计算方法习题
计算方法习题及答案
计算方法习题及答案在学习计算方法的过程中，习题的练习和答案的掌握是非常重要的。
下面将为大家提供一些计算方法习题及答案，希望能够帮助大家更好地巩固知识。
一、整数运算习题1. 计算以下整数的和：-5 + 8 + (-3) + (-2) + 10。
答案：-5 + 8 + (-3) + (-2) + 10 = 8。
2. 计算以下整数的差：15 - (-6) - 10 + 3。
答案：15 - (-6) - 10 + 3 = 24。
3. 将 -3 × (-4) - 2 × 5 的结果化简。
答案：-3 × (-4) - 2 × 5 = 12 - 10 = 2。
二、分数运算习题1. 计算以下分数的和：1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5。
答案：1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 = 47/20。
2. 计算以下分数的差：2/3 - 1/4 - 5/6。
答案：2/3 - 1/4 - 5/6 = -1/12。
3. 计算以下分数的积：2/3 × 3/4 × 4/5。
答案：2/3 × 3/4 × 4/5 = 4/15。
4. 将以下分数的除法化简为整数：3/8 ÷ 1/4。
答案：3/8 ÷ 1/4 = (3/8) × (4/1) = 3/2 = 1 1/2。
三、百分数运算习题1. 计算60% × 80%的结果。
答案：60% × 80% = 0.6 × 0.8 = 0.48 = 48%。
2. 计算40%除以20%的结果。
答案：40% ÷ 20% = (40/100) ÷ (20/100) = 2。
3. 计算200中的20%是多少。
答案：200 × 20% = 200 × 0.2 = 40。
四、多项式运算习题1. 计算以下多项式的和：(3x^2 + 4x + 5) + (2x^2 + x + 3)。
计算方法各习题及参考答案
计算⽅法各习题及参考答案第⼆章数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：试构造⼀多项式()q x 通过下列点：答案：54313()()()3122q x p x r x x x x x =-=-++-+． 2.2 观测得到⼆次多项式2()p x 的值：表中2()p x 的某⼀个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利⽤差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．2.4 当⽤等距节点的分段⼆次插值多项式在区间[1,1]-近似函数xe 时，使⽤多少个节点能够保证误差不超过61102-?．答案：需要143个插值节点．2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔⽶特插值多项式，步长b a h n-=．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．答案：()443||()()||384h M f x H x h ∞-≤．第三章函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2{1,,}span x x Φ=上最佳平⽅逼近多项式，并给出平⽅误差．答案：()sin f x x =的⼆次最佳平⽅逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-?+-，⼆次最佳平⽅逼近的平⽅误差为0.122-1220(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=??．3.2 确定参数,a b c 和，使得积分2121(,,)[I a b c ax bx c -=++-?取最⼩值．答案：810, 0, 33a b c ππ=-== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳⼀致逼近多项式()p x ．答案：()f x 的最佳⼀致逼近多项式为323()74p x x x =++． 3.4 ⽤幂级数缩合⽅法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤3.5 求() (11)xf x e x =-≤≤上的关于权函数()x ρ=的三次最佳平⽅逼近多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章数值积分与数值微分4.1 ⽤梯形公式、⾟浦⽣公式和柯特斯公式分别计算积分1(1,2,3,4)n x dx n =?，并与精确值⽐较．答案：计算结果如下表所⽰4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量⾼，并指明所确定的求积公式具有的代数精度．（１）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?（２）11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++? （３）20()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h α''≈++-?答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有⼆次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式12300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++?中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量⾼，并给出余项表达式．答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440f R f h η=，其中01(,)x x η∈．4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的⼆次插值多项式，⽤2()P x 导出计算积分30()hI f x dx =?的数值积分公式h I ，并⽤台劳展开法证明：453(0)()8h I I h f O h '''-=+．答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+?．4.5 给定积分10sin xI dx x =（１）运⽤复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31102-?．（２）取同样的求积节点，改⽤复化⾟浦⽣公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过610-，若⽤复化⾟浦⽣公式，应取多少个节点处的函数值？答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045n b a R f h f η--=-≤=? （３）取７个节点处的函数值．4.6 ⽤变步长的复化梯形公式和变步长的复化⾟浦⽣公式计算积分10sin xI dx x =?．要求⽤事后误差估计法时，截断误不超过31102-?和61102-?．答案：使⽤复化梯形公式时，80.946I T ≈=满⾜精度要求；使⽤复化⾟浦⽣公式时，40.946 083I s ≈=满⾜精度要求．4.7（１）利⽤埃尔⽶特插值公式推导带有导数值的求积公式2()()[()()][()()][]212ba b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+?，其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30b a R f f a b ηη-=∈．（２）利⽤上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式020()[()()]12Nx N N x h f x dx T f x f x ''≈--?，其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++ ，⽽ 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==- ．4.8 ⽤龙贝格⽅法计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有五位有效数字．答案：49.6884l I =≈．4.9确定⾼斯型求积公式0011()()()x dx A f x A f x ≈+?的节点0x ，1x 及系数0A ，1A ．答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证⾼斯型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+?的系数及节点分别为0001 2 2A A x x ===-=+第五章解线性⽅程组的直接法5.1 ⽤按列选主元的⾼斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中11121 0110A -?? ?= ? ?-??．答案： 1110331203321133A -?? ? ?=---5.2 ⽤矩阵的直接三⾓分解法解⽅程组1234102050101312431701037x x x x= ? ? ? ? ? ? ? ? ??答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．5.3 ⽤平⽅根法(Cholesky 分解法)求解⽅程组12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -?????? ??? ?-=- ??? ? ??? ???????答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 ⽤追赶法求解三对⾓⽅程组123421113121112210x x x x ?????? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?????答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．第六章解线性代数⽅程组的迭代法６.１对⽅程1212123879897x x x x x x x -+=??-+=??--=?作简单调整，使得⽤⾼斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，⽤该⽅法求近似解(1)k x+，使(1)()3||||10k k x x +-∞-≤．答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]Tx =．６.２讨论松弛因⼦ 1.25ω=时，⽤SOR ⽅法求解⽅程组121232343163420412x x x x x x x +=??+-=??-+=-? 的收敛性．若收敛，则取(0)[0 0 0]T x=迭代求解，使(1)()41||||102k k x x +-∞-<．答案：⽅程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*3 2.16667x =-．６.３给定线性⽅程组Ax b =，其中111221112211122A ?? ? ?=，证明⽤雅可⽐迭代法解此⽅程组发散，⽽⾼斯－赛得尔迭代法收敛．６.４设有⽅程组112233302021212x b x b x b -?????? ??? ?= ??? ? ??? ?-??????，讨论⽤雅可⽐⽅法和⾼斯－赛得尔⽅法解此⽅程组的收敛性．如果收敛，⽐较哪种⽅法收敛较快．答案：雅可⽐⽅法收敛，⾼斯－赛得尔⽅法收敛,且较快．６.５设矩阵A ⾮奇异．求证：⽅程组Ax b =的解总能通过⾼斯－赛得尔⽅法得到．６.６设()ij n nA a ?=为对称正定矩阵，对⾓阵1122(,,,)nn D diag a a a = ．求证：⾼斯－赛得尔⽅法求解⽅程组1122D AD x b --=时对任意初始向量都收敛．第七章⾮线性⽅程求根例７.４对⽅程230xx e -=确定迭代函数()x ?及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ?∈，迭代过程1(), 0,1,2,k x x k ?+== 均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<．答案：若取2()x x ?=，则在[1,0]-中满⾜收敛性条件，因此迭代法121, 0,1,2,k x k x k +== 在(1,0)-中有惟⼀解．取00.5x =-，*70.458960903x x ≈=-．取2()x x ?=，在[0,1上满⾜收敛性条件，迭代序列121, 0,1,2,k x k x k +== 在[0,1]中有惟⼀解．取00.5x =，*140.910001967x x ≈=- 在[3,4]上，将原⽅程改写为23xe x =，取对数得2ln(3)()x x x ?==．满⾜收敛性条件，则迭代序列21ln(3), 0,1,2,k k x x k +== 在[3,4]中有惟⼀解．取0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．例７.６对于迭代函数2()(3)x x c x ?=+-，试讨论：（１）当c 为何值时，1()k k x x ?+=产⽣的序列{}k x（２）c 取何值时收敛最快？（３）取1,2c =-()x ?51||10k k x x -+-<．答案：（１）(c ∈时迭代收敛．（２）c =时收敛最快．（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所⽰表７.７例７.13 设不动点迭代1()k x x ?+=的迭代函数()x ?具有⼆阶连续导数，*x 是()x ?的不动点，且*()1x ?'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y x+===-?=-?-+?⼆阶收敛于*x ．例7.15 设2()()()()()x x p x f x q x f x ?=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解()0f x =且以()x ?为迭代函数的迭代法⾄少三阶收敛．答案：1()()p x f x ='，31()()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有⾼阶导数，*(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且⽜顿法收敛，证明⽜顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111lim2k kk k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．第⼋章矩阵特征值8.1 ⽤乘幂法求矩阵A 的按模最⼤的特征值与对应的特征向量，已知5500 5.51031A -?? ?=- ? ?-??，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这⾥()1k λ表⽰1λ的第k 次近似值．答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T-；25λ≈-，对应的特征向量为[5,10,5]T --． 8.2 ⽤反幂法求矩阵110242012A -??=-- -的按模最⼩的特征值．知A 的按模较⼤的特征值的近似值为15λ=，⽤5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最⼩的特征值为30.2384428λ≈(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．8.3 设⽅阵A 的特征值都是实数，且满⾜121, ||||n n λλλλλ>≥≥> ，为求1λ⽽作原点平移，试证：当平移量21()2n p λλ=+时，幂法收敛最快． 8.4 ⽤⼆分法求三对⾓对称⽅阵1221221221A ?? ? ?= ? ? ???的最⼩特征值，使它⾄少具有２位有效数字．答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．8.5 ⽤平⾯旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]T x =变为与1[1 0 0 0]Te =平⾏的向量．答案：203/2/00001010/0T ??- ?=--?0.324 442 8400.486 664 26200.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 92200100.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --??--= ? ?--8.6 若532644445A -??=- -，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后⽤QR ⽅法求A 的全部特征值．第九章微分⽅程初值问题的数值解法9.1 ⽤反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题0, 0<0.2(0)1y y x y '+=≤??=?，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过510-．答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈==9.2 ⽤⼆阶中点格式和⼆阶休恩格式求初值问题2, 0<0.4(0)1dy x y x dx y ?=+≤=?的数值解(取步长0.2h =，运算过程中保留五位⼩数)．答案：⽤⼆阶中点格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈⽤⼆阶休恩格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 ⽤如下四步四阶阿达姆斯显格式1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，⼩数点后保留８位．答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使⼆阶中点公式1(,(,))22n n n n n n h hy y hf x y f x y +=+++，求解初值问题 , (0)y y y aλλ'=-??=?为实常数绝对稳定，试求步长h 的⼤⼩应受到的限制条件．答案：2h λ≤．9.5 ⽤如下反复迭代的欧拉预估－校正格式(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++?=+??=++??==，求解初值问题sin(), 01(0)1x y e xy x y '?=<≤?=?时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭代收敛．答案：2h e<时上述格式关于k 的迭代是收敛的．9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式⼆步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能⾼，并指出其阶数．答案：系数为142,,33a b d c ====，此时⽅法的局部截断误差阶最⾼，为五阶5()O h ．9.7 试⽤欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dyxy z y dxx dz x y z z dx=-≤=+=，取步长0.1h =，⼩数点后⾄少保留六位．答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得110.800 000z 2.050 000y =??=? ， 11(0.1)0.801 500(0.1) 2.046 951y y z z ≈=??≈=? 220.604 820z 2.090 992y =??=? ， 22 (0.2)0.604 659(0.2) 2.088 216y y z z ≈=??≈=?。
计算方法练习题与答案
练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限。
()2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
()3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
()4.用近似表示cos x产生舍入误差。
( )5.和作为的近似值有效数字位数相同。
( )二、填空题1.为了使计算的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为；2.–是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3.误差的来源是；4.截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是。
三、选择题1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。
(A) 7； (B) 3；(C) 不能确定 (D) 5.2．舍入误差是( )产生的误差。
(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。
(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入4．用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。
(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断5．作为的近似值，有( )位有效数字。
(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题1．，，分别作为的近似值，各有几位有效数字？2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：(1)， (2)(3) ， (4)4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2，g为重力加速度。
现设g是精确的，而对t有秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。
5*. 采用迭代法计算，取k=0,1,…,若是的具有n位有效数字的近似值，求证是的具有2n位有效数字的近似值。
计算方法复习题
计算方法复习题一、判断题1．四舍五入得到的最后一位数字是有效数字。
（ ）2．运算量是衡量一个算法好坏的唯一指标。
（ ）3．从计算方法近似解角度考虑，方程组都有解。
（ ）4．最小二乘拟合本质是解矛盾方程组。
（ ）5．高斯—塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛速度快。
（ ）6．数值积分中求积系数与被积函数f (x )有关。
（ ）7．同一组数据采用拉格朗日插值与牛顿插值的结果不同。
（ ）8．迭代法求非线性方程f (x )=0收敛的条件是|f ’(x)|<1。
（ ）9．常微分方程数值解中龙格库塔法的系数可由Taylor 公式展开求取。
（ ）10．线性方程组的迭代法不适合用于求解大型稀疏矩阵。
（ ）11．加减计算量是衡量一个算法好坏的最重要的指标。
（ ）12．计算方法应考虑各种误差的影响。
（ ）13．插值法是函数逼近的唯一方法。
（ ）14．求解同一个问题时，结果的有效数字位数越多说明的近似解精度越高。
（ ）15．高斯—塞德尔迭代法不一定比雅可比迭代法求解精度高。
（ ）16．所有插值法都是只要求构造的φ(x )与f (x )在给定点的函数值相等。
（ ）17．f(x)没有解析表达式，只有数表形式时，可以对f (x )进行积分。
（ ）18．线性方程组的直接解法适合用于求解小型稠密矩阵。
（ ）19．可以用代数精确度度量数值积分的精度。
（ ）20．计算方法中各种算法只考虑舍入误差。
（ ）21．计算方法考虑数学问题的近似解，信息量越少近似解越准确。
（ ）22．所有插值法只要求构造的φ(x )与f (x )在给定点的函数值相等。
（ ）23．线性方程组迭代收敛与矩阵A 的特征值有关。
（ ）24．可以用代数精确度度量数值积分的精度。
（ ）二、填空题1．微分方程离散化的方法有：数值积分、差商和_________________。
2．你学习或知道的线性方程组求解方法，除了简单迭代法（雅克比）外，还有____________等。
计算方法习题集及解答(总结版)
左边 （ ）- 右边 证明：当 m=0 时
∑∞
= T0 h
T=
∆ i
h
2i
=
i=1
设 时等式成立，即 （ ）- m=k
Tk h
∑∞
T=
∆ h (k ) 2k +2i i
i =1
当 时 m=k+1
∑ ∑ Tk+（1 h）-T=
4k
+1Tk
(
h 2
)
−
Tk
(h)
4k +1 −1
−T=
4k +1[T
+
∞ i =1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.46647
9 1.4650
10
11
1.46593 1.4653
x* ≈ 1.466
迭代公式（2）：
k
0
xk
1.5
12 1.46572
13 1.46548
14 1.46563
xk +1
=
ln(4 − xk ln 2
)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
xk 1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 1.386
x* ≈ 1.386
2. 方程 x3 − x2 −1 = 0 在 x = 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
计算方法习题集及答案(总结版)
雅克比法：
3 10 12 5
3 (k ) 2 (k ) x1( k +1) = − 5 x2 − 5 x3 −
，x
( k +1) 2
(k ) 1 (k ) =1 4 x1 − 2 x 3 + 5
18 i
，x
( k +1) 3 −4
(k ) 3 =−1 + 10 x (2 k ) + 5 x1
取初始向量 x
（2） x （3） x
3
= 1+ x2 =
，对应迭代公式 x 对应迭代公式 x
0
k +1
= 3 1 + x k2 ;
2
1 , x −1
k
+1 =
1 xk − 1
。
0
判断以上三种迭代公式在 x 解： （1） ϕ ( x) = 1 + x1
2
= 1 .5
的收敛性，选一种收敛公式求出 x
2 x3
−
2 3
= 1 .5
5
习题 3
1.
设有方程组
5 x1 + 2 x 2 + x3 = −12 − x1 + 4 x 2 + 2 x3 = 20 2 x − 3x + 10 x = 3 2 3 1
( k +1) (k )
∞
(1)
考察用 Jacobi 法，Gauss-Seidal 法解此方程组的收敛性； −x (2) 用 Jacobi 法及 Gauss-Seidal 法解方程组，要求当 x
1.
x
k +1 k k
'
<1
公式收敛
804#——计算方法
计算方法练习题1一. 填空题1. 用插值点(2, 4), (3, 9), (5, 25)构造的二次Lagrange 插值函数为______________.2. 已知46)2(,16)1(,0)0(===f f f , 则=]1,0[f __16______，=]2,1,0[f ____17___, )(x f 的二次牛顿插值多项式为_____________________.3. 用二分法求方程01)(3=++=x x x f 在区间[0，1]内的根, 进行一步后根所在区间为___________, 进行二步后根所在区间为_____________,4. 计算积分⎰15.0dx x , 用梯形公式计算求得的值为__0.4268__, 用辛普森公式计算求得的值为_____0.4369_.二. 计算题1. 已知4)2(,2)1(,1)0(===f f f ，求)(x f 的二次Lagrange 插值多项式.2. 用插值点(2, 4), (3, 9), (5, 25)构造牛顿插值函数)(2x N , 并计算)5.3(2N .3. 求三个常数C B A ,,, 使求积公式)2()1()0()(20Cf Bf Af dx x f ++≈⎰具有尽可能高的代数精确度.4.用最小二乘法求下列数据的线性拟合函数bxy+=ax0.1 0.2 0.3iy 5.1234 5.3053 5.5684i计算方法练习题2一. 填空题1. 已知46)2(,16)1(,0)0(===f f f , 则=]1,0[f ___16_，=]2,1,0[f __17, )(x f 的二次牛顿插值多项式________.2. 已知16.0)4.0(,04.0)2.0(==f f , 则一次差商=]4.0,2.0[f ______0.6_.3. 用二分法求方程01)(3=++=x x x f 在区间[0，1]内的根, 进行一步后根所在区间为___________, 进行二步后根所在区间为_____________,二. 计算题1. 已知12144,11121,10100===，试利用二次Lagrange 插值多项式计算115的近似值. 2. 用插值点(1, 4), (2, 1), (4, 0), (6,1)构造牛顿插值函数)(3x N .3. 求三个常数C B A ,,, 使求积公式)2()1()0()(20Cf Bf Af dx x f ++≈⎰具有尽可能高的代数精确度.。
计算方法习题答案
计算方法习题答案在数学和工程领域，计算方法是指解决数学问题的一系列算法和程序。
以下是一些常见的计算方法习题及其答案。
习题1：求解线性方程组考虑线性方程组：\[ \begin{align*}3x + 2y &= 7, \\4x - y &= 5.\end{align*} \]答案：使用高斯消元法，我们首先将第二个方程乘以2，然后从第一个方程中减去得到：\[ \begin{align*}3x + 2y &= 7, \\0x + 9y &= 17.\end{align*} \]解得 \( y = \frac{17}{9} \)。
将 \( y \) 的值代入第一个方程，解得 \( x = 1 \)。
因此，解为 \( x = 1, y = \frac{17}{9} \)。
习题2：数值积分给定函数 \( f(x) = x^2 \)，求在区间 [0, 1] 上的积分。
答案：使用梯形法则进行数值积分，取两个子区间：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \approx \frac{1}{2} \left( f(0) + f(1) \right) = \frac{1}{2} \left( 0 + 1 \right) = 0.5. \]习题3：求解常微分方程的初值问题考虑初值问题：\[ y' = 3x^2 - 2y, \quad y(0) = 1. \]答案：使用欧拉方法，取步长 \( h = 0.1 \)，计算 \( y \) 的值：\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n). \]从 \( y_0 = 1 \) 开始，计算得到：\[ y_1 = 1 + 0.1(0 - 2) = 1.2, \]\[ y_2 = 1.2 + 0.1(0.01 - 2.4) = 1.4, \]以此类推，可以得到 \( y \) 在区间 [0, 1] 上的近似值。
习题4：数值解非线性方程给定方程 \( f(x) = x^3 - x - 1 = 0 \)，求根。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《计算方法》习题
习题一
1． 设85.9,64.3,23.1321===x x x 均准确到末位数字，试估计由这些数据计算
321x x x +的相对误差。
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----4170212153222352
32
31
4321x x x x 4． 用追赶法解方程组
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11
1141001410014
10014
4321x x x x 5． 设方阵
⎫⎛78
7
10
10．设A 为非奇异方阵，B 是任一奇异方阵，则
11
-≥±A B
A
11．若1<A ，则
A
A A I I -≤
---1)(1
12．证明
A
B A A B
A B -≤----)
(1
1
1cond
讨论以上方法在区间]6.1,3.1[上的敛散性，并选出收敛速度最快的迭代公式求根。
6． 用二分法求01.175.36.3)(3
=-+-=x x x x f 在]3,0[∈x 上所有的根。
习题四
1． 取T )0,0,0()
0(=x
分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组，要求保
留四位有效数字。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--10
52151023210321
321321x x x x x x x x x （2）⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-+=+-12423311420238321321321x x x x x x x x x
1． 取T )1,1,1()
0(=x
，用幂法求方阵A 的按模最大的特征根以及相应的特征向量。
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=361641593642A
2． 已知对称三对角方阵
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=21001
210012
10012
A 在区间]0,2[-内有多少个特征根？
=⎪⎩
+=-i n n n j x x x 010.
1,)1( 4．设)(x f 为x 的n 次多项式，证明：当n k >时，0],,,[10=k x x x f 。
5．已知)(x f 的函数值9)2(,15)1(,3)1(,5)0(-=-=--=-=f f f f ，求次数不高于三次的Newton 插值多项式)(x N 以及)5.1(f 的近似值。
6．求次数不高于四次的Newton 插值多项式)(x N ，满足条件
,1)0()0(='=N N ,2)1()1(='=N N 3)3(=N
6． 求次数不高于三次的Newton 插值多项式)(x N ，满足条件
5)2(,2)1(,3)1(,2)1(==''='=N N N N
7． 求次数不高于三次的的新代数插值多项式)(x Z ，满足条件
9)2(,15)1(,5)0(,3)1(-==--=-=Z Z Z Z
8． 求次数不高于四次的的新代数插值多项式)(x Z ，满足条件
6)2(,5)1(,3)0(,2)1(,1)2(====-=-Z Z Z Z Z
习题七
1． 下面是一分段多项式
⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤+-<≤++<≤+=10035.922325.04205.42222x x x x x x x x y
该多项式是否可作二次样条函数？ 2． 下面是一分段多项式
⎪⎩
⎪
⎨⎧
≤≤+-<≤++<≤-=5314533252203922x x x x x x x x y
该多项式是否可作二次样条函数？ 3． 作一二次样条函数)(x s ，满足条件
4)2(,3)2(,7)1(,5)0(='===s s s s
4． 作一二次样条函数)(x s ，满足条件
2)1(,5)4(,3)3(,2)2(,2)1(='====s s s s s
5． 判断分段三次多项式
⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-+-<≤+++<≤-+++=2
1123104107
5201752232323x x x x x x x x x x x x y 是否可作为三次样条函数？
6． 作一三次样条函数)(x s ，满足条件
4)4(,2)1(,3)4(,2)3(,2)2(,1)1(='='====s s s s s s
习题八
1． 将有理函数
1
+x 化成连分式形式。
5． 确定101,,A A A -，使下列积分公式的代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数
精确度。
)()0()()(10122h f A f A h f A dx x f h
h
++-≈--⎰
6． 确定21,x x ，使下列积分公式的代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确
度。
)](3)(2)1([3
1
)(211
1
x f x f f dx x f ++-≈⎰- 7． 用Romberg 积分法计算积分
⎰
1
dx e x ，精确到510-。
8． 确定下列Gauss 型求积公式中的系数和节点： （1）
)()()(ln
1
x f A
x f A dx x xf +≈
5． 分别用三步Adams 内插法求解，要求计算精度为5
10-。
[0,1]
(0)1
dy y t dt y ⎧=∈⎪⎨⎪=⎩
6． 分别用三步Adams 预估-校正法求解，要求计算精度为5
10-。
[0,1]
(0)1
dy y t dt y ⎧=∈⎪⎨⎪=⎩
7． 证明Euler 法的绝对稳定区域包含在四阶Runge-Kutta 法的绝对稳定区域内。