递归与回溯算法
matlab回溯算法代码
matlab回溯算法代码Matlab回溯算法代码回溯算法是一种常用的解决问题的方法，可以用于求解诸如组合问题、排列问题、子集问题等。
在Matlab中，我们可以使用回溯算法来解决各种实际问题，下面是一个基于Matlab的回溯算法代码示例。
我们定义一个函数backtracking，该函数接受参数n和k，n表示待解问题的规模，k表示每个解的长度。
在函数内部，我们定义一个数组solution来存储每个解，一个变量count用于记录当前解的长度。
接下来，我们使用递归的方式来实现回溯算法。
在递归函数backtrack中，我们首先判断当前解的长度是否达到了k，如果达到了，则将该解存入结果数组result中，并返回。
如果当前解的长度还没有达到k，我们就从1到n的范围内选择一个数加入到当前解中，并调用backtrack函数进行下一步的递归。
递归结束后，我们将当前选择的数从解中移除，然后继续选择下一个数进行递归。
我们在主函数中调用backtracking函数，并将得到的结果进行输出。
下面是完整的Matlab回溯算法代码示例：```function result = backtracking(n, k)solution = [];count = 0;result = [];backtrack(1);function backtrack(start)if count == kresult = [result; solution]; return;endfor i = start:nsolution = [solution, i];count = count + 1;backtrack(i + 1);solution = solution(1:end-1); count = count - 1;endendendresult = backtracking(4, 2);disp(result);```上述代码中，我们以n=4，k=2为例进行了一次回溯算法的求解。
01背包各种算法代码实现总结（穷举，贪心，动态，递归，回溯，分支限界）
01背包各种算法代码实现总结（穷举，贪⼼，动态，递归，回溯，分⽀限界）2020-05-22所有背包问题实现的例⼦都是下⾯这张图01背包实现之——穷举法：1.我的难点：（1）在⽤穷举法实现代码的时候，我⾃⼰做的时候认为最难的就是怎么将那么多种情况表⽰出来，⼀开开始想⽤for循环进⾏多次嵌套，但是太⿇烦，⽽且还需要不断的进⾏各种标记。
我现在的⽔平实在太菜，然后就在⼀篇中看到⼀个特别巧妙的枚举算法,如下所⽰：int fun(int x[n]){int i;for(i=0;i<n;i++)if(x[i]!=1) {x[i]=1; return;}//从遇到的第⼀位开始，若是0，将其变成1，然后结束for循环，得到⼀种解法else x[i]=0;return;//从第⼀位开始，若是1，将其变成0，然后继续循环，若再循环的时候遇到0，则将其变为1，结束循环。
得到另⼀种解法。
} 虽然我现在也不知道为什么会这样，但是确实是个很好的规律，找到这个规律后，就可以很轻松的⾃⼰写出各种排列情况，以后遇到排列的问题，就⽤这个⽅法。
语⾔不好描述，上图⽚演⽰（是歪的，凑活看吧。
）：（2）算法思想：x[i]的值为0/1，即选或者不选w[i]的值表⽰商品i的重量v[i]的值表⽰商品的价值所以这个算法最核⼼的公式就是tw=x[1]*w[1]+x[2]*w[2]+.......+x[n]*w[n]tv=x[1]*w[1]+x[2]*v[2]+......+x[n]*v[n]tv1:⽤于存储当前最优解limit:背包容量如果 tw<limit&&tv>tv1 则可以找到最优解2.代码实现（借鉴）#include<stdio.h>#include<iostream>using namespace std;#define n 4void possible_solution(int x[n]){int i;for(i=0;i<4;i++) //n=4,有2^4-1种解法if(x[i]!=1){x[i]=1;return; //从遇到的第⼀位开始，若是0，将其变成1，然后结束循环，得到⼀种解法}elsex[i]=0;return;//从第⼀位开始，若是1，将其变成0，然后继续循环，若再循环的时候遇到0，则将其变为1，结束循环。
回溯与递归
回溯与递归
回溯和递归都是算法中常用的概念，通常用于解决一些复杂的问题。
回溯（Backtracking）是一种试探性的算法思想，它可以在解
决问题的过程中进行“回溯”，即通过不断的尝试，找到一条解决问题的路径。
回溯算法通常应用于求解每一个可能的解，并对每一个解进行检查，最终找到一个满足条件的解。
回溯算法通常使用递归的方式实现，每次尝试一个可能的解，如果该解行不通，就回溯到前一步，再尝试另一个可能的解，直到找到一个满足条件的解。
递归（Recursion）是一种算法思想，它将问题的求解转化为
对自身的调用，通常包含一个或多个基准情况和一个或多个递归情况。
递归算法通常需要将问题分解成若干个子问题，然后递归求解每一个子问题的解，最终将子问题的解合并成原问题的解。
递归算法通常用于处理数据结构中的树、图、链表等结构，并可以方便地实现回溯算法。
总的来说，回溯算法是通过尝试所有可能的解来找到一个满足条件的解，而递归算法是通过逐层递归求解子问题的解，最终得到原问题的解。
在实际应用中，回溯算法和递归算法常常相互结合，并且可以通过剪枝等方式进行优化，提高算法的效率。
回溯法的几种算法框架
回溯法的几种算法框架回溯法是一种经典的求解问题的算法框架，通常用于解决组合优化、搜索和排列问题。
下面将介绍回溯法的几种常见算法框架。
1. 全排列问题：全排列问题是指对给定的一组数字或字符，求出所有可能的排列方式。
回溯法可以通过递归的方式实现。
首先选择一个初始位置，然后从剩余的数字中选择下一个位置，依次类推，直到所有位置都被填满。
当所有位置都填满时，得到一个排列。
随后继续回溯，在上一次选择的位置后面选择下一个数字，直到得到所有的排列。
2. 子集问题：子集问题是指对给定的一组数字或字符，求出所有可能的子集。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从给定的集合中选择一个元素，可以选择将其添加到当前正在构建的子集中，也可以选择跳过。
递归地遍历所有可能的选择路径，直到得到所有的子集。
3. 组合问题：组合问题是指在给定的一组数字或字符中，取出若干个元素进行组合，求解出所有不重复的组合方式。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从给定的集合中选择一个元素，将其添加到当前正在构建的组合中，然后以当前选择元素的下一个位置为起点，递归地构建后续的组合。
如果当前组合已经满足条件或者已经遍历完所有可能的位置，则回溯到上一次选择的位置，继续尝试其他可能的选择。
4. 搜索问题：搜索问题是指在给定的搜索空间中，找到满足特定条件的解。
回溯法可以通过递归的方式实现。
从初始状态开始，选择一个操作或移动方式，然后递归地探索所有可能的状态转移路径。
每次探索时，进行剪枝操作，排除一些不符合条件的状态。
当找到满足条件的解或搜索空间遍历完时，回溯到上一次选择的位置，继续探索其他可能的路径。
总结：回溯法是一种求解问题的经典算法框架，适用于组合优化、搜索和排列问题。
通过选择和回溯的方式，可以遍历所有可能的解空间，并找到满足特定条件的解。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点，选择合适的算法框架和相应的优化策略，以提高算法的效率和准确性。
计算机算法设计五大常用算法的分析及实例
计算机算法设计五⼤常⽤算法的分析及实例摘要算法（Algorithm）是指解题⽅案的准确⽽完整的描述，是⼀系列解决问题的清晰指令，算法代表着⽤系统的⽅法描述解决问题的策略机制。
也就是说，能够对⼀定规范的输⼊，在有限时间内获得所要求的输出。
如果⼀个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执⾏这个算法将不会解决这个问题。
不同的算法可能⽤不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。
其中最常见的五中基本算法是递归与分治法、动态规划、贪⼼算法、回溯法、分⽀限界法。
本⽂通过这种算法的分析以及实例的讲解，让读者对算法有更深刻的认识，同时对这五种算法有更清楚认识关键词：算法，递归与分治法、动态规划、贪⼼算法、回溯法、分⽀限界法AbstractAlgorithm is the description to the problem solving scheme ,a set of clear instructions to solve the problem and represents the describe the strategy to solve the problem using the method of system mechanism . That is to say, given some confirm import，the Algorithm will find result In a limited time。
If an algorithm is defective or is not suitable for a certain job, it is invalid to execute it. Different algorithms have different need of time or space, and it's efficiency are different.There are most common algorithms: the recursive and divide and conquer、dynamic programming method、greedy algorithm、backtracking、branch and bound method.According to analyze the five algorithms and explain examples, make readers know more about algorithm , and understand the five algorithms more deeply.Keywords: Algorithm, the recursive and divide and conquer, dynamic programming method, greedy algorithm、backtracking, branch and bound method⽬录1. 前⾔ (4)1.1 论⽂背景 (4)2. 算法详解 (5)2.1 算法与程序 (5)2.2 表达算法的抽象机制 (5)2.3 算法复杂性分析 (5)3．五中常⽤算法的详解及实例 (6)3.1 递归与分治策略 (6)3.1.1 递归与分治策略基本思想 (6)3.1.2 实例——棋盘覆盖 (7)3.2 动态规划 (8)3.2.1 动态规划基本思想 (8)3.2.2 动态规划算法的基本步骤 (9)3.2.3 实例——矩阵连乘 (9)3.3 贪⼼算法 (11)3.3.1 贪⼼算法基本思想 (11)3.3.2 贪⼼算法和动态规划的区别 (12)3.3.3 ⽤贪⼼算法解背包问题的基本步骤： (12)3.4 回溯发 (13)3.4.1 回溯法基本思想 (13)3.3.2 回溯发解题基本步骤 (13)3.3.3 实例——0-1背包问题 (14)3.5 分⽀限界法 (15)3.5.1 分⽀限界法思想 (15)3.5.2 实例——装载问题 (16)总结 (18)参考⽂献 (18)1. 前⾔1.1 论⽂背景算法（Algorithm）是指解题⽅案的准确⽽完整的描述，是⼀系列解决问题的清晰指令，算法代表着⽤系统的⽅法描述解决问题的策略机制。
排列组合配对问题算法
排列组合配对问题算法排列组合配对问题，其实就是在已知有一组数据，需要对其进行组合，找到所有可能的组合情况，进而进行配对。
这个问题涉及到了算法和数学的知识，需要进行一定的计算和分析。
在这篇文章中，我将介绍几种常用的排列组合配对算法，并阐述它们的原理及其实现过程。
1. 回溯算法回溯算法是一种递归算法，用于解决包括排列、组合和背包问题等在内的一系列问题。
其核心思想是在搜索进程中遇到了问题，就返回上一级，尝试另一种可能性，直至找到问题的解法。
在排列组合配对问题中，回溯算法可以通过生成子集和排列来求解所有的组合。
生成子集的算法流程：（1）初始化一个数组 arr，表示给定的集合；（2）定义一个函数 dfs(start, subset)，其中 start 表示起始位置，subset 表示当前子集；（3）遍历数组 arr，对于每个数，都有两种可能性：将其加入子集中或不加入子集中。
如果加入，则将该数加入 subset，并递归调用 dfs(start+1, subset)，更新 start 和 subset；如果不加入，则仅递归调用 dfs(start+1, subset)。
生成排列的算法流程：（1）初始化一个数组 arr，表示给定的集合；（2）定义一个函数 dfs(pos)，其中 pos 表示已选择的数的个数；（3）遍历数组 arr，对于每个数，判断其是否已经被选择过。
如果没有，则将该数加入已选择的数中，并递归调用dfs(pos+1)，更新选择的数和 pos；如果已经被选择过，则不进行任何操作。
2. 位运算算法位运算算法与回溯算法类似，也可以用于求解排列和组合问题。
它的优势在于，通过位运算可以直接表示一个集合的子集或排列，而不需要额外的内存空间。
因此，位运算算法可以大大提高运算效率。
生成子集的算法流程：（1）初始化一个集合 set，表示给定的集合；（2）计算出集合 set 的元素个数 n，然后构建一个二进制串，表示从左到右每个元素是否在子集中，其中 0 表示不在，1 表示在。
递归经典题目
递归经典题目
递归是一种常用的算法技术，它可以用来解决许多经典问题。
以下是一些经典的递归问题：
1. 斐波那契数列：这是一个经典的递归问题，其中每个数字是前两个数字的和。
例如，斐波那契数列的前几个数字是 0、1、1、2、3、5、8、13、21 等。
2. 阶乘函数：这是一个计算一个数的阶乘的递归函数。
例如，5 的阶乘是 5 4 3 2 1 = 120。
3. 汉诺塔问题：这是一个经典的递归问题，其中有一些盘子需要从一根柱子移动到另一根柱子，每次只能移动一个盘子，并且不能将一个较大的盘子放在较小的盘子上面。
4. 二分搜索：这是一个在排序数组中查找特定元素的递归算法。
它首先将数组分成两半，然后根据目标值与中间元素的比较结果，选择另一半继续搜索。
5. 回溯算法：这是一种通过递归搜索所有可能解的算法，通常用于解决约束满足问题。
例如，排列组合问题、八皇后问题等。
6. 分治算法：这是一种将问题分解为更小的子问题，然后递归地解决这些子问题的算法。
例如，归并排序和快速排序等。
7. 动态规划：这是一种使用递归和备忘录（或称为记忆化）的方法，用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。
例如，背包问题和最短路径问题等。
这些经典的递归问题涵盖了不同的应用领域和算法类型，可以通过学习和解决这些问题来提高自己的编程和算法技能。
著名算法matlab编程 贪心算法 背包问题 递归算法 Hanoi塔问题 回溯算法 n皇后问题
10/22
在命令窗口输入：>> [n,s]=hanoi(3,1,2,3) n= 7 s= 1 2 1 3 1 2 1 1 1 3 1 2 2 1 3 2 2 3 1 3 3
1
1 2 3
2 3 3 3 1
2
3
1
2 1 2
1
1 2
2
3
3
1
2 3
1 2 3
11/22
5/22
A
B
C
1
2
n
6/22
问题分析： 把柱C作为目标柱子，设an为n块金片从其中一柱移 到另一柱的搬运次数，则把n块金片从A移到C，可 以先把前n-1片移到B，需搬an-1次；接着把第n片从 A称到C，再从B把剩下的n-1片搬到C，又需搬an-1 次。所以从A到n块金片称到柱C，共需次数为： 2an-1+1次。 显然，当n=1时，a1=1，所以Hanoi塔的移动次数相 当于一个带初值的递归关系：
有 旅 行 者 要 从 n 种 物 品 中 选 取 不 超 过 b公 斤 的 物 品 放 入 背 包 ， 要 求 总 价 值 最 大 。 设 第 i 种 物 品 的 重 量 为 a i， 价 值 为 c i，i 1, 2 , n )。 定 义 向 量 [ x 1 , x 2 , , x n ]， 当 选 第 i ( 种 物 品 往 背 包 放 时 取 x i 1， 否 则 取 x i 0。 于 是 所 有 选 取 的 物 品 的 总 价 值 为 ： c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n， 总 的 重 量 为 ： a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n。 问 题 可 描 述 为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
测试数据： 输入： 5 输出： 3
9
2．问题的求解方法是按递归算法来实现的。 例如；著名的Hanoi塔（汉诺塔）问题。
3．数据之间的结构关系按递归定义的 例如：大家将在后面的学习内容中遇到的树的 遍历、图的搜索等问题。
begin read(k,n); tentok(k,n); writeln; end.
测试数据： 输入：K和N的值 19 3 输出：转化后的N进制整数 201
8
递归的一般适合场合
1．数据的定义形式是按递归定义的. 如：裴波那契数列的定义为： Fn=Fn-1+Fn-2 F1=0 F2=1 begin program aa; read(n); var s:=fib(n); n:integer; writeln(s); s:longint; end. Function FIB(N:integer):integer;
递归的定义
所谓递归就是一个函数或过程可以直接或间接地调用自己。 我们大家都熟悉一个民间故事：从前有一座山，山上有一 座庙，庙里有一个老和尚正在给小和尚讲故事，故事里说， 从前有一座山，山上有一座庙，庙里有一个老和尚正在给 小和尚讲故事，故事里的故事是说……。象这种形式，我 们就可以称之为递归的一种形象描述，老和尚什么时候不 向下讲了，故事才会往回返，最终才会结束。 再如：前面多次提到的求N!的问题。 我们知道：当N>0时，N!=N*(N-1)!，因此，求N!的问题化成 了求N*(N-1)!的问题，而求(N-1)!的问题又与求N!的解法相同， 只不过是求阶乘的对象的值减去了1，当N的值递减到0时， N!=1，从而结束以上过程，求得了N!的解。
6
程序如下： program aa; procedure reverse; var ch:char; begin read(ch); if ch<>'&' then reverse; write(ch); end; begin reverse; writeln; end.
测试数据： 输入： abcdefghijklmn& 输出： &nmlkjihgfedcba
20
递归过程或函数直接（或间接）调用自身，但如果 仅有这些操作，那么将会由于无休止地调用而引起死循 环。因此一个正确的递归程序虽然每次调用的是相同的 子程序，但它的参数、输入数据等均有所变化，并且在 正常的情况下，随着调用的深入，必定会出现调用到某 一层时，不再执行调用而是终止函数的执行。
递归思路是把一个不能或不好直接求解的“大问题” 转化成一个或几个“小问题”来解决，再把这些“小问 题”进一步分解成更小的“小问题”来解决，如此分解， 直至每个“小问题”都可以直接解决。
其Pascal程序如下：
18
program aa; var m,n,t:integer; function f(m,n:integer):integer; var r:integer; begin if (m mod n)=0 then f:=n else begin r:=m mod n; f:=f(n,r); end; end;
2
递归ห้องสมุดไป่ตู้调用
在Pascal程序中，子程序可以直接自己调用自己或间 接调用自己，则将这种调用形式称之为递归调用。 其中，我们将前者的调用方式称为简单递归，后者称为间 接递归。由于目前我们介绍、掌握的知识尚还无法实现间接 递归，只有留待在以后的内容中我们再作介绍。本节只介绍 直接递归。 递归调用时必须符合以下三个条件： （1）可将一个问题转化为一个新的问题，而新问题的 解决方法仍与原问题的解法相同，只不过所处理的对象有所 不同而已，即它们只是有规律的递增或递减。 （2）可以通过转化过程使问题回到对原问题的求解。 （3）必须要有一个明确的结束递归的条件，否则递归 会无止境地进行下去。 下面我们通过一些例子，来解释递归程序的设计。
3
例1：按照以上的分析，用递归的方法来求N！的解。 程序如下： begin program aa; write('input n='); var read(n); t:longint; if n<0 then n:integer; writeln('n<0,data errer') function fac(n:integer):longint; else begin begin if n=0 then fac:=1 t:=fac(n); else fac:=fac(n-1)*n; writeln(n,'! =',t) end; end end. 测试数据： 输入： input n=5 输出： 4 5! =120
13
程序设计
1.（文件名：d4.pas）利用递归过程，将一个十进 制整数K转化为7进制整数。 测试数据： 输入：十进制数K 19 输出：7进制整数 25
14
2.（文件名：d5.pas）楼梯有N阶台阶，上楼可以 一步上一阶，也可以一步上二阶，计算共有多少种 不同走法。 测试数据： 输入：输入N的值 6 输出：走法总数 13 提示： N=1 f(1)=1 N=2 f(2)=2 当N>=3时f(N)=f(N-1)+f(N-2)
12
3．program d3; var a,b,c,d:integer; procedure p(a:integer; var b:integer); var c:integer; begin a:=a+1;b:=b+1;c:=2;d:=d+1; writeln('m',a,b,c,d); if a<3 then p(a,b); writeln('n',a,b,c,d) end; begin a:=1; b:=1; c:=1; d:=1; writeln('x',a,b,c,d); p(a,b); writeln('y',a,b,c,d); end.
测试数据 输入： 34 输出： 125
17
例5:用辗转相除法求两个自然数m,n的最大公约数。
思路：辗转相除法规定：求两个正整数m,n （m>=n）的最大公约数，应先将m除以n；求得 余数r,如果等于零，除数n就是m,n的最大公约数； 如果r不等于零，就用n除以r，再看所得余数是否 为零。重复上面过程，直到余数r为零时，则上一 次的余数值即为m,n的最大公约数。用其数学方 式描述如下:
15
递归及其应用
例4:已知:ack(m,n)函数的计算公式如下:
请计算ack(m,n)的值。(m,n<=5)
16
program aa; var m,n:longint; a:longint; function ack(m,n:longint):longint; begin if m=0 then ack:=n+1 else if n=0 then ack:=ack(m-1,1) else ack:=ack(m-1,ack(m,n-1)) end; begin read(m,n); a:=ack(m,n); writeln(a); end.
begin readln(m,n); if m<n then begin t:=m; m:=n; n:=t; end; writeln('gd=',f(m,n)); end.
测试数据 输入： 20 18 输出： gd=2
19
爬楼梯时可以1次走1个台阶，也可以1次走2个台阶。 对于由n个台阶组成的楼梯，共有多少种不同的走法？
10
练习一
判断运行结果
1.program d1; var s,n:integer; function f(n:integer):integer; begin if n=1 then f:=1 else f:=n*n+f(n-1); end; begin write('input n:');readln(n); s:=f(n); writeln('f(',n,')=',s) end.
1个台阶：只有1种走法； 2个台阶：有两种走法；(1+1；2) n个台阶(n>2)，记走法为f(n)： 第1次走1个台阶，还剩(n-1)个台阶，走法为f(n-1)； 第1次走2个台阶，还剩(n-2)个台阶，走法为f(n-2)。 所以，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。 定义f(0)=1，则有： function fib(n:integer):longint; n 0 begin 1 f (n) 1 n 1 if(n=0)or(n=1)then fib:=1 f (n 1) f (n 2) n 1 else fib:=fib(n-1)+fib(n-2); end;
如图展示了程序的执行过程： 在这里，因为函数FAC的形 参是值形参，因此每调用一次 该函数，系统就为本次调用的 值形参N开辟了一个存储单元， 以便存放它的实参的值。也就 是说，对于递归函数或递归过 程，每当对它调用一次时，系 统都要为它的形式参数与局部 变量（在函数或过程中说明的 变量）分配存储单元（这是一 个独立的单元，虽然名字相同， 但实际上是互不相干的，只在 本层内有效），并记下返回的 地点，以便返回后程序从此处 开始执行。
算法2：设f(i,j)为a[i]..a[j]中的最小值。将a[0]..a[n]看作一 个线性表，它可以分解成a[0]..a[i]和a[i+1]..a[n]两个子表， 分别求得各自的最小值x和y，较小者就是a[0]..a[n]中的最 小值。而求解子表中的最小值方法与总表相同，即再分 别把它们分成两个更小的子表，如此不断分解，直到表 中只有一个元素为止(该元素就是该表中的最小值)。