p06_中心流形_V14

• 稳定性定义有多个 , 其中 Lyapunov 意义下的稳定性是 最基本的一个, 它包括线性系统的稳定性问题.
• 线性系统稳定性属于全局稳定性 , 非线性系统稳定性
则是一个局部性的概念.
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• 不稳定性并不意味着系统轨迹随时间无限膨胀 , 如
van del Pol系统零平衡点在Lyapunov意义下是不 稳定的 , 但趋于定幅为 2 的运动 , 而不是趋于无限 .
例2:
矢量场: F(x, v)=F(v, -x) 该矢量场产生的流是一个绕原点的旋转.
t(x)
O
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• 非线性系统 理论2: 非线性系统一般不存在上述三个不变子空间, 但 具有类似不变性质的集合. 将平衡点平移到原点, 记以 原点为中心的一个邻域为 d(0)0, 从其中出发的相轨线 为t(x). 引入三个集合: ns维局部稳定流形Wsloc(0), nu维 局部不稳定流形Wuloc(0), nc维局部中心流形Wcloc(0), 其 中ns+nu+nc=n. Eu Wsloc(0) t<=0t(Wsloc(0))=Ws(0) Wuloc(0) Es Wu(0)=t>=0t(Wuloc(0))
的流等价, 也即存在原点邻域N到另一原点邻域上的同
胚映射 , 以致 etA(y)=(x(t,y)), 即两个系统具有相同 的轨道结构-拓扑等价(共轭).
+Perko L, Differential Equations and Dynamical Systems, Third Edition, Spring-Verlag, 2001
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2. 平衡点附近轨线结构
1 1 0 E s span{(1, 0, 0)， (1,1, 0)} u 1 1 0 例1: A E span(0, 0,1) c E 0 0 2
1 0 0 例2: A 0 0 2 0 2 0
A(x=(1,1), f(x)=(0,-2))
2. 平衡点附近轨线结构
• 微分方程和矢量场是等价的 矢量场由映射F:Unn确定, 矢量场的流解析定义为 (x, t)/t=F((x, t)), (x, 0)=x0
并满足群的性质: (i) 0 =identity, (ii) t+s=t◦s .
• 第二可数是指可数性: 空间的拓扑具有可数拓扑基. • 拓扑基: 设集合M上有一个拓扑, b为该拓扑的一组开集,
使得每个开集可以写成b中成员的并集, 则b叫作该拓扑的
一组拓扑基.
The Hausdorff condighborhoods in n
例2:
V I UV
中心流形方法
金栋平
南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室 May 05, 2014
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内容提要
1. 引言
2. 平衡点附近轨线结构
3. 关于不变流形
4. 中心流形方法
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1. 引言
• 由于实际系统总有干扰或误差, 稳定性的意义在于: 任
何初始扰动导致随后的运动任意小. • 稳定性包括三种: 稳定, 渐近稳定和不稳定.
例如, dx/dt=ax, 解(t, x0)=eatx0满足群的性质, 是流. (t+s, x0)=ea(t+s)x0=eat(easx0)=(t, easx0)=(t, (s, x0)) 问:dx/dt=t满足(0, x)=x的解(t, x)是否定义为一个流？ 结论: 非自治系统精确解不满足群的性质, 不能定义为流.
必然是有界的, M上的距离函数定义为d(f,g)=sup|f(x)-g(x)|,
xI. 对于fM, M的子集N为f的邻域, 如对某个正实数e, 所 有与f相距小于、等于e的函数都在N内.
定义1: 拓扑空间M称为n维局部欧式空间n: 若对每一点 xM有邻域U, 以致存在从U到n某开集上的同胚. 我们 称一对(U,:Un)为区图(Chart)、U为坐标邻域或坐标 开集、为U上的坐标映射或坐标系统 . 所有C相容区图 构成C的图册(atlas), 即M= {(Ui, i)}4i=1.
• 稳定和不稳定流形与相应子空间在原点相切. • 流形:降维光滑映射,有严格的数学定义,这里可理解为 相空间中的曲线或曲面,局部看起来就像欧式空间k. • 线性常微分方程系统,其流形为x0或y0的邻域:Ws,uEs,u • Ws,u,c对向量场而言是不变的:若起始点在流形上则整条 相轨迹也在此流形上,统称为不变流形. • Ws,u 是唯一的 , 而 Wc 并不唯一 , 即 limtt(x0) 方向不定 并可能失去光滑性. 例3: 坐标函数y1=f(x1,…,xn)描述了n+1维空间的一个n维子 流形Mn-解析流形. 只要求同胚的映射得到拓扑流形. 还有 复流形, Ck-流形等, 我们这里主要关心光滑流形.
U
S1
对于圆柱面上的开集 O 以及其 内的一点 x, 可找到开集 U 和 V 使得xUVO, 即这些乘积集 合构成圆柱面拓扑的一组基且 是第二可数的. 概括之, 圆柱面 具有“乘积拓扑”.
例3: The cusp y=x2/3 in 2是拓扑流形: 因它是n子空间, 为 Hausdorff且第二可数局部同胚于 借助(x, x2/3) |x.
3. 关于不变流形
拓扑空间公理: 设有一集合M, 对于M的每一“点”x, 选 定一个以M的子集为元素的非空组, 这每个子集叫做x的 一个邻域. 该邻域满足4条公理: (a) x在它自己的每个邻域 里; (b) x的任何两个邻域的交集为x的一个邻域; (c) 若N是 x的邻域, U为M的子集包含N, 则U是x的邻域; (d) 若N是x 的邻域且NO表示集合{zNO|NO是z的邻域}, 则NO是x的邻 域(集合NO叫作N的内部). 这一整套结构叫作一个拓扑空间 . 每点 xM 指定以满足 (a)-(d)的一组邻域, 就叫作在集合上给了一个拓扑结构或 简称拓扑.
例4: The cross in 2不是局部Euclidean, 因而不会是一个 拓扑流形.
定义3: 光滑或C流形为连同最大图册在内的拓扑流形, 该 最大图册也称为M上的微分结构. 要证明拓扑空间是C流形, 只要check: (1) M是第二可 数的Hausdorff空间; (2) M具有C的图册(不必是最大的). • n就是一光滑流形, 它有单个区图(n, r1,…,rn). • 光滑函数图是光滑流形:对于开子集Un和f:Um, 函 数图定义为子空间G(f)={(x, f(x))Um}. 下面两个映射 连续且互为可逆因而同胚: : G(f) U, (x, f(x)) | x
若x0 E s ,则t 时 etA x0 0 若x0 E u , 则t 时 etA x0 若x0 E c ,对任意t，etA x0 保持不变
2. 平衡点附近轨线结构
系统(1): dx/dt=f(x), 解x(t)=x(t,y), x(0)=y 系统(2): dx/dt=Ax+g(x), g(0)=0, Dg(0)=0. 理论1(Hartman-Grobman理论+): 设 f 光滑. 若A=Df(0) 全部特征值有非零实部(双曲平衡点), 则方程(1)和(2)
在这个意义上, 可认为该系统的性能仍是好的.
• 可见膨胀只是不稳定性出现的一种形式 , 而不是唯 一形式.
van del Pol系统相图(m=1):
• 不稳定性意味着 : 只要对于某一个 e不论 d(e)如何小 , 使得起始于初值的轨迹最终要离开球域, 仅仅在这个 意义上才是不稳定的. • 在图示情况下, 可以有另外的概念: 即该平衡点虽不 稳定但具有吸引性.
是否在左半平面判定系统是否稳定. A.M. Lyapunov 1892年发表了著名的博士学位论文 “运动稳定性一般问题”, 通过考察系统能量是否衰 减来判定系统的稳定性, 迄今广泛使用.

主要方法
• 图解法: 自治系统或自激系统, 可用相平面法; 平衡点稳
定性, 可由奇点稳定性判别; 周期运动, 可由极限环稳定性
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例1: 解出: 和
x(0) ( x0 , y0 )
2 t x 2t t ( x ) xe , ye sinh(2t ) 2 • 流的物理意义
t b
I
(x0, · )
t(U)
0
解曲线t(x0): 固定x0
流t(U): 固定t
2. 平衡点附近轨线结构
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n
f
n

n
etA(y)=(x(t,y))
etA
etA (y)= f
n
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• 微分方程, 矢量场和流 (flows) dx/dt=f(x), xn x(x, f(x))定义为相应于上述微分方程的矢量场. 因解(t) 满足((t), d(t)/dt)=((t), f((t))), 故若xn为轨道上的一 点, 则该点的切线为(x, f(x)). 例如
2. 平衡点附近轨线结构
• 线性系统 定义1 设dx/dt=Ax的特征值重数(代数重数)与特征向量
所张成的子空间维数 (几何重数 )相同 (称为半简情况 ).
定义三个子空间:
The stable subspace: Re( r ) 0，E s span{ r1 , r 2 ,, ns } The unstable subspace: Re( r ) 0，E u span{ r1 , r 2 ,, nu } The center subspace: Re( r ) 0，E c span{ r1 , r 2 ,, nc }
x2
e
d e
xe
x0
x1
不稳定但具有吸引性的平衡点
• 线性振动系统:除无阻尼共振情形,所有运动皆稳定. • 非线性系统:不同类型的周期运动可稳定或不稳定.