二次根式的运算(提高)知识讲解
冀教版八年级数学 15.2 二次根式的乘除运算(学习、上课课件)

1
3 注意:将带分数转化为假分数.
(4)
× 2 × 1 .
2
2
5
1
×
2
1
2 ×
2
3
1 =
5
1
5
8
× × = 2.
2
2
5
感悟新知
知1-练
1-1.淇淇新买了一支点读笔,包装盒长6 5 cm,宽
125
15 cm,高
cm,这个包装盒的体积是
3
3.
_______cm
150
5
感悟新知
知1-练
1-2. [ 月考·秦皇岛] 若 12 与 3 a 的积为- 1,则 a 的
将完全平方的因数(式)“开方”出来,再进行除法运算 .
当根号前含有因数时,根号前的因数与因数对应相除,根号
内的被开方数与被开方数对应相除,再把除得的结果相乘 .
感悟新知
知2-练
3-1. [ 期中·保定 ] 能与 7 ÷ 14相乘得 1 的是( B
A. 7 ÷ 14
B. 14 ÷ 7
C. 7 × 14
知识点 3 分母有理化
1. 分母有理化
知3-讲
将分母中含二次根式的式子化为分母中不含
二次根式的式子 . 像这样,把分母中的二次根式化去,叫
做分母有理化 .
感悟新知
知3-讲
2. 分母有理化的基本步骤
一移,即将分子、分母中能开得
尽方的因数(或因式)移到根号外面;
二乘,即将分子、分母同时乘分母的有理化因数(或因式);
a-8
_________
.
a>8
解题秘方:紧扣“二次根式除法法则”成立的条
件求解 .
二次根式知识点总结

二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一,它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。
本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结,并探讨其在实际问题中的应用。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式,其中a为非负实数。
它可以表示为一个单独的根号表达式,也可以是两个或多个二次根式之间的运算。
二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系:二次根式可以是有理数或无理数。
当根号内的数可以化简为有理数时,二次根式即为有理数;否则,二次根式为无理数。
2. 二次根式的相等性:两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。
3. 二次根式的大小比较:对于非负实数a和b,若a > b,则有√a >√b。
4. 二次根式的运算性质:对于非负实数a和b,有以下运算性质:- 加法:√a + √b = √(a + b)- 减法:√a - √b = √(a - b),其中a ≥ b- 乘法:√a * √b = √(a * b)- 除法:√a / √b = √(a / b),其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时,可以通过以下方法进行化简:1. 提取因子法:将根号内的数分解为两个数的乘积,其中一个数是完全平方数,并提取出完全平方数的根号作为整体。
2. 有理化分母法:对于含有二次根式的分数,可以通过有理化分母的方法化简,即将分母有理化为一个有理数或二次根式。
四、二次根式的应用1. 解一元二次方程:一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0,其中a ≠ 0。
通过二次根式的求解方法,可以求得方程的解,并通过图像分析得到方程的根的性质。
2. 求解勾股定理:在平面几何中,勾股定理是指在直角三角形中,直角边的平方等于两个其他边的平方之和。
通过二次根式的运算,可以准确计算出直角三角形的边长。
3. 计算图形的面积:在几何问题中,经常需要计算图形的面积,而某些图形的面积计算涉及到二次根式。
二次根式的运算知识点总结

二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式,其中a是非负实数。
在数学中,二次根式的运算是一个重要的知识点,掌握了这个知识点,我们可以更好地理解和利用二次根式。
下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。
一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简:当被开方数存在平方因子时,可以进行化简。
例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。
2. 二次根式的乘法运算:对于两个二次根式的乘法运算,可以将两个二次根式的根号内的数相乘,根号外的数相乘,并进行化简。
例如:√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法运算:对于两个二次根式的除法运算,可以将两个二次根式的根号内的数相除,根号外的数相除,并进行化简。
例如:√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
4. 二次根式的加减运算:对于两个二次根式的加减运算,只能进行同类项相加减,并进行化简。
例如:√2 + √3 无法进行化简,可以写成2√2 + 3√5。
二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算:当二次根式与整数进行运算时,可以将整数视为二次根式的特殊形式。
例如:√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。
2. 二次根式的有理化:有时候需要将二次根式的分母变为有理数,这个过程称为有理化。
有理化的方法有两种:(1) 乘以共轭根式:对于分母中含有二次根式的情况,可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。
例如:(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号:对于分母中含有二次根式的情况,可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离,并进行化简,从而实现有理化。
二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析

【基本典型例题】(2) 类型一、二次根式的乘除
1. 计算:(1)(2014 秋•闵行区校级期中) ×(﹣2 )÷
.
(2)(2014 春·高安市期中) a 8a 2 a 2 1 2a 2a a
【答案与解析】 解:(1) ×(﹣2 )÷
举一反三: 【变式】下列式子中二次根式的个数有( ).
(1)
1 ;(2) 3
3 ;(3)
x2 1 ;(4)3 8 ;(5)
( 1)2 ;(6) 1 x( x 1 ) 3
A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B.
2. (2016•贵港)式子
在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( )
= ×(﹣2 )×
=﹣
=﹣
=﹣ .
(2)原式= a 8a2 a2 1 2a 2a a
2 2a2 a2 2 2a 2a 2a a
2
2a2
2a a2
2a a
4 2.
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算,注意最终结果要化简.
举一反三:
【变式】 2
a2 b2 6x2
即原式= a b c a c b b c a = a b c
【总结升华】重点考查二次根式的性质:
的同时,复习了
三角形三边的性质.
二、二次根式的乘除基础知识讲解+基本典型例题解析
【学习目标】 1、 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法,熟练进行二次根式的 乘除运算. 2、 了解最简二次根式的概念,能运用二次根式的有关性质进行化简.
.
二次根式知识点归纳

二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念,也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识,不仅可以提高我们的数学实力,还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义:如果一个数x的平方等于一个有理数a,那么称x是a的二次根,记作√a=x。
其中,a是被开方数,x是二次根。
2.二次根式的性质:二次根式具有以下基本性质:-非负性:对于所有的a≥0,√a≥0。
-唯一性:对于任意一个正数a,二次根√a是唯一确定的。
-传递性:对于任意的a≥0和b≥0,如果√a=√b,那么a=b。
-加减性:对于任意的a≥0和b≥0,有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性:对于任意的a≥0和b≥0,有√(a×b)=√a×√b,√(a/b)=√a/√b(其中,b不为零)。
二、二次根式的化简1.因式分解法:将二次根式的被开方数进行因式分解,然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法:将二次根式中相同的根号项合并,然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时,二次根式相等,即√a=√b,当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时,可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0,有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算:对于任意的a≥0和b≥0,可以进行二次根式的加减运算。
-加法:√a+√b=√(a+b)。
-减法:√a-√b=√(a-b)(需要满足a≥b)。
2.乘法运算:对于任意的a≥0和b≥0,可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法:√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算:对于任意的a≥0和b>0,可以进行二次根式的除法运算。
-除法:√a/√b=√(a/b)(需要满足b≠0)。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题:二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量,例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
二次根式运算法则

二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。
掌握了这些规则,可以帮助我们简化和求解二次根式的运算,提高计算的准确性和效率。
一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式,可以直接对其系数进行相加或相减。
例如:√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式,不能直接进行相加或相减。
需要通过化简的方式将其转化为同类项,然后再进行运算。
例如:√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘,并合并同类项的方式进行。
例如:√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除,并合并同类项的方式进行。
例如:√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式,可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。
常用的化简法则有以下几种:1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。
例如:√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来,使其成为一个单独的因子。
例如:2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化,即将分母中的根号消去。
例如:1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时,需要注意运算的顺序。
一般按照先乘除后加减的原则进行。
专题03二次根式的运算(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学专题03 二次根式的运算(知识点总结+例题讲解)一、数的乘方与开方:1.数的乘方:(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(2)正数的任何次幂都是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;2.数的开方:(1)平方根:如果一个数x的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根);即:若x2=a,则x叫做a的平方根;①正数有两个平方根(互为相反数);②负数没有平方根;③0的平方根是0;(2)算术平方根:正数的正的平方根叫做算术平方根;记作“a”。
3,则b叫做a的立方根;(3)若ab=①一个正数有一个正的立方根;②一个负数有一个负的立方根;③0的立方根是0;【例题1】(2020•青海)(-3+8)的相反数是;的平方根是.【答案】-5;±2【解析】解:-3+8=5,5的相反数是-54,4的平方根是±2.【变式练习1】4的算术平方根是,9的平方根是,-27的立方根是。
【答案】2;±3,﹣3【解析】解:4的算术平方根是2,9的平方根是±3,﹣27的立方根是﹣3.【例题2】(2020•黄冈)计算38-= 。
【答案】-2【解析】解:38-=-2.【变式练习2】若a=,则a的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【答案】C=,∴a 为0或1;故选C 。
二、二次根式:1.二次根式的定义:形如a (a ≥0)的式子,叫做二次根式;(或是说,表示非负数的算术平方根的式子,叫做二次根式)2.二次根式有意义的条件:被开方数≥0;(被开方数大于或等于 0 )3.二次根式的性质:(1)a (a ≥0)是非负数;(2)(a )2=a (a ≥0);(3)⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==),(),(),(00002a a a a a a a(4)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积; 即:b a ab •=(a ≥0,b ≥0);反之:ab b a =⨯;(5)非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根;即:b ab a =(a ≥0,b>0);反之:b ab a=;【例题3】(2020•广东)在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( )A .x ≠2B .x ≥2C .x ≤2D .x ≠-2【答案】B∴2x-4≥0,解得:x ≥2,∴x 的取值范围是:x ≥2;故选:B 。
提高版5.二次根式性质和运算复习专题(教师版)

课题:二次根式的性质和运算专题个性化教学辅导教案 组长签名:________学生姓名年 级 初二 学 科 数学 上课时间 年 月 日教师姓名课 题二次根式的性质和运算专题教学目标1、理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由.2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法,熟练进行二次根式的乘除运算.3、了解最简二次根式的概念和性质,能运用二次根式的有关性质进行化简.4、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则,会合并同类二次根式,进行简单的二次根式加减运算;5、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.教学过程 教师活动学生活动1.把多项式x 2﹣8x +16分解因式,结果正确的是( ) A .(x ﹣4)2B .(x ﹣8)2C .(x +4)(x ﹣4)D .(x +8)(x ﹣8)【考点】54:因式分解﹣运用公式法. 【解答】解:x 2﹣8x +16=(x ﹣4)2. 故选:A .2.某校美术社团为练习素描,他们第一次用120元买了若干本资料,第二次用240元在同一商家买同样的资料,这次商家每本优惠4元,结果比上次多买了20本.求第一次买了多少本资料?若设第一次买了x 本资料,列方程正确的是( ) A .240x−20﹣120x=4 B .240x+20﹣120x=4 C .120x﹣240x−20=4D .120x﹣240x+20=4【考点】B 6:由实际问题抽象出分式方程.【解答】解:设他上月买了x 本笔记本,则这次买了(x +20)本, 根据题意得:120x﹣240x+20=4.故选D .3.约分:①5ab20a 2b = ,②x 2−9x 2−6x+9= . 【考点】66:约分.【解答】解:①5ab20a 2b = 14a ; ②x 2−9x 2−6x+9 = (x+3)(x−3)(x−3)2=x+3x−3.4.已知x ﹣y =﹣1,xy =3,求x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3的值.【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用. 【解答】解:原式=xy (x 2﹣2xy +y 2) =xy (x ﹣y )2,把x ﹣y =﹣1,xy =3代入得:原式=3.5.先化简,再求值:x 2+2x+1x 3−x÷(1+1x),其中x =3.【考点】6D :分式的化简求值. 【解答】解:原式=(x+1)2x(x+1)(x−1)•xx+1 =1x−1 当x =3时, 原式=216.解方程:1x−2+3=1−x2−x .【考点】B 3:解分式方程.【解答】解:两边乘x ﹣2得到,1+3(x ﹣2)=x ﹣1, 1+3x ﹣6=x ﹣1, x =2,∵x =2时,x ﹣2=0,∴x =2是分式方程的增根,原方程无解.问题1二次根式的性质1.若√2x −1+√1−2x +1在实数范围内有意义,则x 满足的条件是( ) A .x ≥12 B .x ≤12 C .x =12 D .x ≠12 【考点】72:二次根式有意义的条件. 【解答】解:由题意可知:{2x −1≥01−2x ≥0解得:x =12 ,故选(C )【点评】本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件,本题属于基础题型.问题2二次根式的运算法则2.已知(4+√7)•a =b ,若b 是整数,则a 的值可能是( ) A .√7 B .4+√7C .8﹣2√7D .2﹣√7【考点】76:分母有理化.【解答】解:因为(4+√7)•a =b ,b 是整数, 可得:a =8﹣2√7, 故选C【点评】此题考查分母有理化问题,关键是根据分母有理化的法则进行解答.3.计算:√8÷√2+(2﹣√2014)0﹣(﹣1)2014+|√2﹣2|+(﹣12)﹣2.【考点】79:二次根式的混合运算;6E :零指数幂;6F :负整数指数幂. 【解答】解:原式=√8÷2+1﹣1+2﹣√2+4 =2+1﹣1+2﹣√2+4 =8﹣√2.【点评】本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.也考查了零指数幂、负整数指数幂.问题1 二次根式的性质对应知识点:(1)二次根式的概念;(2)二次根式的性质问题2 二次根式的运算对应知识点: (1)分母有理化;(2)二次根式的混合运算;【基础知识重温】(一)二次根式概念和性质(1)概念:一般地,我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.(2)二次根式的性质① 非负性:a a ()≥0是一个非负数. ②()()a aa 20=≥.③ a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()(二)二次根式的乘除法运算法则 (1)乘法法则:(a ≥0,b ≥0),即两个二次根式相乘,根指数不变,只把被开方数相乘. (2)除法法则:b a ba =(a≥0,b >0),即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除.(3)最简二次根式(1)被开方数不含有分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.(4)同类二次根式的概念几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.(5)二次根式的加减法二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,即先把各个二次根式化成最简二次根式,再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式,仍要写到结果中.【精准突破1】二次根式的性质【例题精讲】【例题1-1】要使二次根式√2x +6在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A . B . C .D .【考点】72:二次根式有意义的条件;C 4:在数轴上表示不等式的解集. 【解答】解:由题意得,2x +6≥0, 解得,x ≥﹣3, 故选:C .【例题1-2】己知x ,y 为实数,且y =12+√6x −1+√1−6x ,则x •y 的值为( )A .3B .13C .16D .112【考点】72:二次根式有意义的条件. 【解答】解:∵y =12+√6x −1+√1−6x ,∴6x ﹣1=0,解得:x =16,则y =12, 故xy =16×12=112.故选:D .【例题1-3】实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a |+√(a −b)2的结果是( )A .﹣2a +bB .2a ﹣bC .﹣bD .b【考点】73:二次根式的性质与化简;29:实数与数轴. 【解答】解:由图可知:a <0,a ﹣b <0,则|a |+√(a −b)2 =﹣a ﹣(a ﹣b ) =﹣2a +b . 故选:A .【精准突破2】二次根式的运算法则【例题精讲】【例题2-1】下列化简错误的是( ) A .√1625=45B .√1916=134C .√2764=38√3D .﹣√715=﹣65√5【考点】73:二次根式的性质与化简. 【解答】解:A 、√1625=45,故原题计算正确; B 、√1916=√2516=54,故原题计算错误; C 、√2764=3√38,故原题计算正确; D 、﹣√715=﹣√365=﹣65√5,故原题计算正确; 故选:B .【例题2-2】下列二次根式中,与√2之积为有理数的是( ) A .√18 B .√34 C .√12 D .﹣√27【考点】76:分母有理化.【解答】解:A 、√18=3√2,3√2×√2=6,符合题意; B 、原式=√32,√32×√2=√62,不符合题意; C 、原式=2√3,2√3×√2=2√6,不符合题意; D 、原式=﹣3√3,﹣3√3×√2=﹣3√6,不符合题意, 故选A【例题2-3】若最简二次根式√a +23b−1与√4b −a 是同类二次根式,则(a ﹣2b )2017= .【考点】77:同类二次根式;74:最简二次根式.【解答】解:由题意可知:{3b −1=2a +2=4b −a,解得:{a =1b =1,∴(a﹣2b)2017=(﹣1)2017=﹣1,故答案为:﹣1.+√48)÷2√3.【例题2-4】化简:(3√12﹣2√13【考点】79:二次根式的混合运算.+4√3)÷2√3【解答】解:原式=(6√3﹣2√33=28√3÷2√33.=143【巩固一】二次根式的性质1.下列各式中一定是二次根式的是()A.√x+2B.√x C.√x2+2D.√a2b【考点】71:二次根式的定义.【解答】解:(A)当x+2<0时,原式无意义,故A不一定是二次根式;(B)当x<0时,原式无意义,故B不一定是二次根式;(C)∵x2≥0,∴x2+1≥1,故C一定是二次根式;<0时,原式无意义,故D不一定是二次根式,(D)当a2b故选(C)2.若代数式√x+1有意义,则实数x的取值范围是()(x−2)2A.x>1B.x≠2C.x≥1且x≠2D.x≥﹣1且x≠2【考点】72:二次根式有意义的条件.【解答】解:由题意得,x+1≥0且(x﹣2)2≠0,解得x≥﹣1且x≠2.故选D.3.若√(2a+4)2=2a+4,则a的取值范围为()A .a ≥2B .a ≤2C .a ≥﹣2D .a ≤﹣2 【考点】73:二次根式的性质与化简. 【解答】解:∵√(2a +4)2=|2a +4|=2a +4, ∴2a +4≥0, ∴a ≥﹣2 故选(C )4.当1<P <2时,代数式√(1−p)2+(√2−p )2的值为 . 【考点】73:二次根式的性质与化简. 【解答】解:∵1<P <2, ∴1﹣p <0,2﹣p >0,∴√(1−p)2+(√2−p )2=p ﹣1+2﹣p =1, 故答案为:1.【巩固二】二次根式的运算法则1. 计算√24﹣9√23的结果是( ) A .√6 B .﹣√6C .﹣43√6 D .43√6【考点】78:二次根式的加减法.【解答】解:√24﹣9√23=2√6﹣9×√63=2√6﹣3√6=﹣√6.故选:B .2.等式√x +1•√x −1=√x 2−1成立的条件是( )A .x ≥1B .x ≥﹣1C .﹣1≤x ≤1D .x ≥1或x ≥﹣1 【考点】75:二次根式的乘除法.【解答】解:∵√x +1•√x −1=√x 2−1成立, ∴x +1≥0,x ﹣1≥0. 解得:x ≥1. 故选:A .3.下列二次根式,不能与√12合并的是 (填写序号即可).①√48; ②−√125; ③√113; ④√32; ⑤√18.【考点】77:同类二次根式.【解答】解:√12=2√3,①√48=4√3,②﹣√125=﹣5√5;③√113=2√33,④√32,⑤√18=3√2. 不能与√12合并的是﹣√125和√18.故答案为:②⑤.4.计算:(1)3√223×(−18√15)÷12√25. (2)√12+√27+14√48−15√13.(3)(2√5﹣√2)0+|2﹣√5|+(﹣1)2017﹣13×√45.【考点】75:二次根式的乘除法;78:二次根式的加减法.79:二次根式的混合运算;6E :零指数幂.【解答】(1)解:原式=3√83×(﹣18√15)×2√52=﹣3×18×2×√83×15×52 =﹣34√100=﹣34×10 =﹣152.(2)解:原式=2√3+3√3+14×4√3﹣15×√33 =2√3+3√3+√3﹣5√3=√3.(3)解:原式=1+√5﹣2﹣1﹣√5【查漏补缺】1.使代数式1√x+3+√4−3x 有意义的整数x 有( )A .5个B .4个C .3个D .2个 【考点】72:二次根式有意义的条件.【解答】解:由题意,得x +3>0且4﹣3x ≥0,解得﹣3<x ≤43,整数有﹣2,﹣1,0,1,故选:B.2.若3,m,5为三角形三边,化简:√(2−m)2﹣√(m−8)2得()A.﹣10B.﹣2m+6C.﹣2m﹣6D.2m﹣10【考点】73:二次根式的性质与化简;K6:三角形三边关系.【解答】解:由三角形三边关系可知:2<m<8∴2﹣m<0,m﹣8<0∴原式=﹣(2﹣m)+(m﹣8)=﹣2+m+m﹣8=2m﹣10故选(D)【举一反三】1.若最简二次根式√2x+y−53x−10和√x−3y+11是同类二次根式.(1)求x、y的值.(2)求√x2+y2的值.【考点】77:同类二次根式.【解答】解:(1)由题意得,3x﹣10=2,2x+y﹣5=x﹣3y+11,解得x=4,y=3;(2)当x=4,y=3时,√x2+y2=√42+32=5.2.计算:2y √xy5﹙﹣32√x3y﹚÷(13√yx).【考点】75:二次根式的乘除法.(2)2y √xy5﹙﹣32√x3y﹚÷(13√yx)=﹣2y ×32×3√xy5×x3y×xy=﹣9y√x5y5=﹣9x2y√xy.【方法总结】1.二次乘法法则可以推广到多个二次根式相乘的运算: ≥0,≥0,…..≥0).2.在进行二次根式的除法运算时,对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意, a ≥0,b >0,因为b 在分母上,故b 不能为0.3.运用二次根式的除法法则,可将分母中的根号去掉,二次根式的运算结果要尽量化简,最后结果中分母不能带根号.1.下列式子为最简二次根式的是( )A .√x5 B .√8 C .√3x 2y D .√x 2−9 【考点】74:最简二次根式.【解答】解:A 、被开方数含分母,故A 不符合题意;B 、被开方数含能开得尽方的因数或因式,故B 不符合题意;C 、被开方数含能开得尽方的因数或因式,故C 不符合题意;D 、被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式,故D 符合题意; 故选:D .2.已知y =√4−x +√x −4+3,则yx 的值为( ) A .43 B .﹣43 C .34 D .﹣34 【考点】72:二次根式有意义的条件.【解答】解:由题意得,4﹣x ≥0,x ﹣4≥0,解得x =4,则y =3,则y x =34,故选:C .3.下列变形正确的是( )A .√(−4)(−9)=√−4×√−9B .√1614=√16×√14=4×12=2 C .√(a +b)2=|a +b | D .√252−242=25﹣24=1【考点】75:二次根式的乘除法;73:二次根式的性质与化简.【解答】解:A 、√(−4)(−9)=√4×√9,故A 选项错误;B 、√1614=√65×√14=√65×12=√652,故B 选项错误;C 、√(a +b)2=|a +b |,故C 选项正确;D 、√252−242=√(25+24)(25−24)=7,故D 选项错误.故选:C .4.实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,则化简√(a −1)2﹣√(a −b)2+b 的结果是( )A .1B .b +1C .2aD .1﹣2a【考点】73:二次根式的性质与化简;29:实数与数轴.【解答】解:由数轴可得:a ﹣1<0,a ﹣b <0,则原式=1﹣a +a ﹣b +b =1.故选:A .5.计算:(1)4√12÷(﹣√6)×13√12. (2)√48﹣2×√274+(12)﹣1+(π﹣2017)0.【考点】75:二次根式的乘除法.79:二次根式的混合运算;6E :零指数幂;6F :负整数指数幂.(1)解:原式=﹣2√2÷√6×2√33 =﹣2√3×2√33 =﹣43. (2)解:原式=4√3﹣2×3√32+2+1=√3+3.【第1,2天】当周完成一.选择题1.下列各式中①√3;②√−5; ③√a 2; ④√x −1(x ≥1); ⑤√83; ⑥√x 2+2x +1一定是二次根式的有( )个.A .3B .4C .5D .6 【考点】71:二次根式的定义.【解答】解:①√3符合二次根式的定义,故正确.②√−5无意义,故错误.③√a 2中的a 2≥0,符合二次根式的定义,故正确.④√x −1(x ≥1)中的x ﹣1≥0,符合二次根式的定义,故正确.⑤√83是开3次方,故错误.⑥√x 2+2x +1中的x 2+2x +1=(x +1)2≥0,符合二次根式的定义,故正确. 故选:B .2.实数a 、b 在数轴上的对应点如图,化简√a 2﹣√b 2+√(a −b)2的结果是( )A .2a ﹣2bB .0C .﹣2aD .2b【考点】73:二次根式的性质与化简;29:实数与数轴.【解答】解:由数轴可得:∵﹣1<a <0,0<b <1,∴a ﹣b <0,∴√a 2﹣√b 2+√(a −b)2=﹣a ﹣b ﹣(a ﹣b )=﹣2a .故选:C .3.计算2√12×√34÷√3的结果是( ) A .√32 B .√34 C .√3 D .2√3【考点】75:二次根式的乘除法.【解答】解:原式=12√36÷√3 =3÷√3 =√3 故选(C )4.下列各式中计算正确的是( )A .3√2﹣√2=2√2B .2+√2=2√2C .√12−√102=√6−√5 D .√2+√3=√5 【考点】78:二次根式的加减法.【解答】解:3√2﹣√2=2√2,A 正确;2与√2不能合并,B 错误;√12−√102=2√3−√102=√3−√102,C 错误;√2与√3不是同类二次根式,不能合并,D 错误,故选:A .5.若y =√x −12+√12−x ﹣6,则xy = .【考点】72:二次根式有意义的条件.【解答】解:由题意可知:{x −12≥012−x ≥0,解得:x =12,∴y=0+0﹣6=﹣6,∴xy=﹣3,故答案为:﹣36.计算:(2√3﹣√6)2+(√54+2√6)÷√3.【考点】79:二次根式的混合运算.【解答】解:原式=12﹣12√2+6+√54÷3+2√6÷3=18﹣12√2+3√2+2√2=18﹣7√2.7.一个直角三角形的两边m、n恰好满足等式m﹣√2n−12+√12−2n=8,求第三条边上的高的长度.【考点】7B:二次根式的应用.【解答】解:∵m﹣√2n−12+√12−2n=8,∴2n﹣12=0,∴n=6,m=8,则①当m、n为直角三角形时,第三条边长为√62+82=10,所以第三条边上的高的长度为:6×8=4.8;10②当m为斜边、n为直角边时,所以第三条边上的高的长度为:6.答:第三条边上的高的长度为4.8或6.【第7天】(同时放在下一讲的复习检查)1.式子√a+1有意义,则实数a的取值范围是()a−2A.a≥﹣1B.a≠2C.a≥﹣1且a≠2D.a>2【考点】72:二次根式有意义的条件.【解答】解:式子√a+1有意义,a−2则a+1≥0,且a﹣2≠0,解得:a≥﹣1且a≠2.故选:C.2.计算:(5√48﹣6√27+4√15)÷√3﹣4√5.【考点】79:二次根式的混合运算.【解答】解:原式=5√48÷3﹣6√27÷3+4√15÷3﹣4√5=20﹣18+4√5﹣4√5=2.【第15天】(同时放在下下讲的复习检查)1.计算3√45÷√15×23√223.【考点】75:二次根式的乘除法.【解答】解:原式=3×3√5÷√55×23×√83 =9√5÷√55×23×2√63=45×4√69 =20√6.2.计算:√48﹣6√13+(√3+2)(√3﹣2) 【考点】79:二次根式的混合运算.【解答】解:原式=4√3﹣2√3+3﹣4 =2√3﹣1.【第28天】(同时放在下下下一讲的复习检查)1.下列各等式成立的是( )A .4√5×2√5=8√5B .5√3×4√2=20√5C .4√3×3√2=7√5D .5√3×4√2=20√6【考点】75:二次根式的乘除法.【解答】解:A 、4√5×2√5=8×5=40,故选项错误;B 、5√3×4√2=20√3×2=20√6,故选项错误;C 、4√3×3√2=12√3×2=12√6,故选项错误;D 、5√3×4√2=20√3×2=20√6,故选项正确.故选D .2.计算:(2√32﹣√12)×(12√8+√23)﹣(√3﹣2)2.【考点】79:二次根式的混合运算.【解答】解:原式=(√6﹣√22)(√2+√63)﹣(3﹣4√3+4)=2√3+2﹣1﹣√3﹣7+4√33﹣6.=17√33教学反思。
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二次根式的运算(提高)知识讲解
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式的加减法法则,会合并同类二次根式,进行简单的二次根
式加减运算;
2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法,熟练进行二次根式的乘
除运算;
3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.
【要点梳理】
要点一、二次根式的加减
二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,即先把各个二次根式化成最简二次根式,再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式,仍要写到结果中.
要点诠释:
(1)在进行二次根式的加减运算时,整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
(2)二次根式加减运算的步骤:
1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式;
2)判断哪些二次根式是同类二次根式,把同类的二次根式结合为一组;
要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则:(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,根指数不变,
只把被开方数相乘.
要点诠释:
(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中a、b都必须是非负数;(在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示非负数).
(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算:
≥0,≥0,…..≥0).
(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式,则应化简,如.
2.积的算术平方根:
(a≥0,b≥0),即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方
根的积.
要点诠释:
(1)在这个性质中,a、b可以是数,也可以是代数式,无论是数,还是代数式,都必须满足a≥0,b≥0,才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义,等式也就不能成立了; (2)二次根式的化简关键是将被开方数分
解因数,把含有形式的a移到根号外面.
要点三、二次根式的除法及商的算术平方根 1.除法法则:
(a ≥0,b >0),即两个二次根式相除,根指数不变,把被
开方数相除.。
要点诠释:
(1)在进行二次根式的除法运算时,对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意,a ≥0,b >0,因为b 在分母上,故b 不能为0. (2)运用二次根式的除法法则,可将分母中的根号去掉,二次根式的运算结果要尽量化简,最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质:
(a ≥0,b >0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除
式的算术平方根.
要点诠释:
运用此性质也可以进行二次根式的化简,运用时仍要注意符号问题. 要点四、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释:
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样,先乘方,后乘除,最后算加减,有括号要先算括号里面的;
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用; (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【典型例题】
类型一、二次根式的加减法
1.计算:(1)483
2
315311
312--+ 【答案与解析】4832315311312--+ =4823233333
=4343 =0
【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简,再合并.
举一反三 【变式】计算
.
【答案】
类型二、二次根式的乘除
2.(1). 2
1
521)74181(2133÷-⨯ (2).243)2()()(a a a -÷-⋅- 【答案与解析】 (1)原式=7111111171123
()3()22872282711
⨯-÷=⨯-⨯⨯⨯ =3
4
-
(2)原式=3
2
4
2
2
2
12222
a a a a a a a -⋅÷=-÷=-÷=-
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算,注意最终结果要化简. 举一反三:
【变式】b b
a b a x x b a -÷+⋅-54336222
22 【答案】原式=2222
5214633a b x a b
x a b b --⨯⨯⋅÷+ =225()()55
2263()21812
a b a b x b b b x a b a b -+⋅⋅==+- 3.计算
(1). ·(-)÷(m >0,n >0);
(2). -3÷()× (a >0).
【答案与解析】 (1)原式=-÷
=-==-;
(2)原式=-2=-2=- a.
【总结升华】熟练乘除运算,更要加强运算准确的训练. 举一反三 【变式】已知
,且x 为偶数,求(1+x)
的值.
【答案】由题意得,即
∴6<x ≤9,∵x 为偶数,∴x=8 ∴原式=(1+x)
=(1+x)
=(1+x)
=
∴当x=8时,原式的值==6.
类型三、二次根式的混合运算
4.计算322332
233232-+- 322332
233232
-+- 32(23)(233)(23)32(32)
(23)(23)(32)(23)(32)(32)
++-+-++--+= 63633663--=【总结升华】二次根式仍然满足整式的运算规律,•所以直接可用整式的运算规律. 举一反三
【变式】)753)(753(-++-
【答案】原式=3(57)3(57)⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=23(57)-- =2359-
5.计算:已知a+b=﹣7,ab=4,则+=( ) A.
B.﹣
C.
D.﹣
【答案】A.
【解析】解:∵a+b=<0,ab >0,
∴a <0,b <0
原式=(﹣)+(﹣)
=﹣
,
∵a+b=﹣7,ab=4, ∴原式=﹣
=, 故选:A .
【总结升华】本题考查了二次根式的化简求值,分母有理化是解题的关键.
6.化简:111
(12)
2389++++++ 【答案与解析】 原式=
1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++++-+-()(89)()
=2132...98-+-++-
=91- =2
【总结升华】运用分母有理化运算,找出规律,是这一类型题的特点. 举一反三
【变式】化简求值:已知:a 是4的小数部分,求代数式
+
的值.
【答案】解:∵4=,
∴6<4<7, ∴a=4﹣6,
∴a﹣1<0,
∴+
=+
=a﹣1+
=a﹣1﹣
=4﹣6﹣1﹣
=4﹣7﹣
=4﹣7﹣﹣=﹣7.。