线性代数吴赣昌第二章
高等代数教学大纲(12学分)
高等代数教学大纲(Higher Algebra)前言教学大纲是一门课程的指导性文件．教学大纲的科学化、规范化，对建设良好的教学秩序，提高教学质量，搞好教学管理等方面都有很重要的意义．为此，我们根据学校有关文件，编写了《高等代数》这门课程的教学大纲．《高等代数》这门课程是数学系各专业的必修专业基础课程之一，可为后继课程的学习打下必要的基础．它是数学系各专业硕士研究生入学考试的必考课程．它除培养学生掌握必要的基础知识之外，同时着重训练学生掌握数学结构的观念、公理化的方法、纯形式化的思维，从而在知识结构、综合素质、创新能力等方面对学生加以全面培养和整体提高．本课程的基本内容有: 包括：多项式，行列式，线性方程组, 矩阵，二次型，线性空间, 线λ矩阵，欧几里得内积空间，双线性函数和辛空间．重点是下列几章：多项式，行性变换, -列式，线性方程组, 矩阵，二次型，线性空间, 线性变换,欧几里得内积空间.通过本课程的学习，学生能正确理解矩阵、行列式、线性空间、线性变换、欧几里得空间等有关概念, 能理解并掌握线性方程组理论和多项式的理论，并能熟练地应用它们，为后续课程的学习打下坚实的基础．本课程作为基础课，对其它课程依赖不大，当然，如果在学完《空间解析几何》之后开设效果会更好．本课程作为基础课，应在大学低年级学生中开设，建议对本科一年级学生开设．本课程为一学年课程．教材: 《高等代数学》（第三版）北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组, 高等教育出版社，2003年。
参考书:《线性代数》吴赣昌主编，中国人民大学出版社，2006年《高等代数学》姚慕生编, 复旦大学出版社，1999《高等代数新方法》王品超主编，山东教育出版社，1989年《高等代数学》（第二版）张贤科主编，清华大学出版社，2002年《Linear Algebra》S.K.Jain, A.D.Gunawardena，机械工业出版社，2003年建议学时分配课程内容第一章多项式[教学目的与要求]通过本章学习，实现如下目的：(1)理解整除、最大公因式、互素、多项式的不可约性、重因式、本原多项式等概念；(2)熟练掌握整除的性质；(3)熟练掌握最大公因式的求法；(4)熟练掌握有无重因式的判别方法；(5)熟练掌握整系数多项式的有理根的求法；(6)熟练掌握整系数多项式在有理数域上不可约的艾森斯坦判别法；(7)掌握复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理、有理系数多项式的因式分解定理的应用；(8)掌握韦达定理和多元多项式的基本性质．[教学重点]整除的性质、最大公因式的求法、有无重因式的判别方法、整系数多项式的有理根的求法、整系数多项式不可约的艾森斯坦判别法；复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理、有理系数多项式的因式分解定理的应用.[教学难点]整系数多项式的有理根的求法、整系数多项式不可约的艾森斯坦判别法.[教学内容]§1.1. 数域数域的定义和例子§1.2. 一元多项式一、一元多项式的定义二、一元多项式的运算和运算律§1.3. 整除的概念一、带余除法二、整除的定义和几个常用的性质§1.4. 最大公因式一、最大公因式的定义和求法二、互素§1.5. 因式分解定理一、不可约多项式的定义和简单性质二、因式分解唯一性定理§1.6. 重因式重因式的定义和性质§1.7. 多项式函数一、余数定理二、多项式的根或零点§1.8. 复系数与实系数多项式的因式分解一、复系数多项式的因式分解定理 二、实系数多项式的因式分解定理§1.9. 有理系数多项式一、本原多项式的定义和高斯引理 二、整系数多项式的有理根的求法 三、爱森斯坦判别法§1.10. 多元多项式多元多项式的定义及其次数§1.11. 对称多项式一、初等对称多项式二、对称多项式基本定理思考题1． 证明：多项式)(x f 整除任意多项式的充要条件是)(x f 是零次多项式．2． 设b a ,为两个不相等的常数．证明：多项式)(x f 被))((b x a x --除所得的余式为ba b bf a af x b a b f a f --+--)()()()(3． 证明：1|1--n d x x 当且仅当n d |．4． 设k 为正整数．证明：)(|x f x k 当且仅当)(|x f x ．5． 已知242)(234---+=x x x x x f ，22)(234---+=x x x x x g ，求)(),(x v x u 使))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+． 6． 证明：如果)(|)(x f x d ，)(|)(x g x d ，且)()()()()(x g x v x f x u x d +=，则)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式．7． 证明：如果1))(),((=x g x f ，1))(),((=x h x f ，则1))()(),((=x h x g x f ． 8． 证明：如果1))(),((=x g x f ，则1))(),((=mmx g x f ． 9． 若1))(),((21=x f x f ，则对任意的)(x g ，))(),(())(),(())(),()((2121x g x f x g x f x g x f x f =．１０．判断下列多项式在有理数域上是否有重因式，若有，则求出重因式，并确定重数（１）1)(24++=x x x f（２）277251815)(2346+-++-=x x x x x x f１１．设)(x p 是)(x f '的k 重因式，能否说)(x p 是)(x f 的1+k 重因式，为什么？１２．设n 为正整数，证明：如果)(|)(x g x f nn ，则)(|)(x g x f ．１３．设)(x p 为数域P 上的不可约多项式，)(x f 与)(x g 为数域P 上的多项式．证明：如果)()(|)(x g x f x p +，且)()(|)(x g x f x p ，则)(|)(x f x p ，且)(|)(x g x p ．１４．设)(x f 为数域P 上的n 次多项式，证明：如果)(|)(x f x f '，则nb x a x f )()(-=，其中P b a ∈,．１５．求多项式92)(24++=x x x f 与944)(234-+-=x x x x g 的公共根．１６．求多项式61510)(25-+-=x x x x f 的所有根，并确定重数．第二章 行列式[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的： （1） 理解行列式的概念；（2） 能熟练应用行列式的性质和展开定理计算行列式； （3） 会用Cramer 法则求解线性方程组． [教学重点]行列式的计算、Cramer 法则. [教学难点] 行列式的定义 [教学内容]§2.1. 引言二阶、三阶行列式与线性方程组的解§2.2. 排列一、排列及排列逆序数的定义 二、奇偶排列§2.3. n 阶行列式 n 阶行列式的定义§2.4. n 阶行列式的性质 n 阶行列式的性质及其推论§2.5. 行列式的计算n 阶行列式的计算§2.6. 行列式按一行一列展开一、n 阶行列式按一行一列展开定理 二、范德蒙（Vandermonde ）行列式§2.7. 克拉默（Cramer ）法则 克拉默（Cramer ）法则§2.8. 拉普拉斯（Laplace ）定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯（Laplace ）定理 二、行列式的乘法规则思考题１． 求下列排列的逆序数：（１）)2(24)12(13n n -； （２）21)1( -n n ． ２． 写出四阶行列式中含有因子4123a a 的项，并指出应带的符号． ３．用行列式的定义计算下列行列式：（１）00001002001000nn -； （２）000000053524342353433323125242322211312a a a a a a a a a a a a a a a a ． ４．用行列式的性质及行列式的展开定理计算下列行列式：（１）xa a a a x a a a a x a a a a xn nn321212121； （２）na a a +++11111111121，其中021≠n a a a（３）12125431432321-n n n； （４）221222212121211nn n n n na x a a a a a a a x a a a a a a a x +++其中021≠n x x x ．（５）x a a a a a x x x n n n +-----122110000010001；（６）nnn n n nn n nna a a a a a a a a a a a21222212222121111---５． 已知４阶行列式D 中的第１行上的元素分别为4,0,2,1-，其余子式分别为1,5,2,1--；第３行上元素的余子式分别为x ,7,1,6-；求行列式D 的值，及x 的值．６．设４阶行列式1234302186427531中第４行元素的余子式分别为44434241,,,M M M M ，代数余子式分别为44434241,,,A A A A ，求44434241432A A A A +++，44434241432M M M M +++．７． 设４阶行列式2211765144334321中第４行元素的代数余子式分别为44434241,,,A A A A ，求4241A A +与4443A A +．８． 设行列式nn0010301002112531-中第１行元素的代数余子式分别为n A A A 11211,,, ，求n A A A 11211+++ ．第三章 线性方程组[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1） 掌握向量的线性表示、线性相关性的判别法； （2） 掌握极大无关组的求法； （3） 掌握矩阵秩的求法；（4） 掌握线性方程组解情况的判定方法； （5） 掌握齐次线性方程组的基础解系的求法； （6） 掌握非齐次线性方程组解结构定理[教学重点] 向量的线性表示、线性相关性、极大无关组、向量组的秩、矩阵的秩、齐次线性方程组的基础解系.[教学难点] 极大无关组、矩阵的秩.[教学内容]§3.1. 消元法消元法§3.2. n 维向量空间n 维向量及其运算§3.3. 线性相关性一、线性表示二、向量组的线性相关性 三、向量组的极大无关组、秩§3.4. 矩阵的秩矩阵的行秩、列秩、秩§3.5. 线性方程组有解判定定理线性方程组有解判定定理§3.6. 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组的解结构 二、非齐次线性方程组的解结构§3.7. 二元高次方程组二元高次方程组可作为选学内容.思考题１．设)1,1,1(1λα+=，)1,1,1(2λα+=，)1,1,1(3λα+=，),,0(2λλβ=．问当λ为何值时（１）β不能由321,,ααα线性表出？（２）β可由321,,ααα线性表出，并且表示法唯一？（３）β可由321,,ααα线性表出，并且表示法不唯一？ ２．设)1,2,(1a =α，)0,,2(2a =α，)1,1,1(3-=α，问a 为何值时321,,ααα线性相关？３． 求下列向量组的一个极大无关组，并将其余向量表为该极大无关组的线性组合．（１）)5,2,1(1-=α，)1,2,3(2-=α，)17,10,3(3-=α；（２）)4,0,1,1(1-=α，)6,5,1,2(2=α，)0,2,1,1(3--=α，)14,7,0,3(4=α． ４．已知21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，21,αα是其导出组0=Ax 的基础解系，21,k k 是任意常数，则b Ax =的通解是（ ）．（Ａ）2)(2121211ββααα-+++k k ； （Ｂ）2)(2121211ββααα++-+k k ；（Ｃ）2)(2121211ββββα-+-+k k ； （Ｄ）2)(2121211ββββα++-+k k ．５．设A 为秩为３的45⨯矩阵，321,,ααα是非齐次线性方程组b Ax =的三个不同的解，若)0,0,0,2(2321=++ααα，)8,6,4,2(321=+αα，求方程组b Ax =的通解． ６．设b Ax =为４元线性方程组，其系数矩阵A 的秩为３，又321,,ααα是b Ax =的三个解，且)0,2,0,2(1=α，)0,2,2,0(32=+αα，求方程组b Ax =的通解．７．已知β是非齐次线性方程组b Ax =的解，s ααα,,,21 是其导出组0=Ax 的基础解系，证明s αβαβαββ+++,,,,21 是b Ax =解向量组的极大无关组．８．线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++243214312143214321121053153363132k x x x x x x k x x x x x x x x x x ，当21,k k 取何值时，无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解时，用导出组的基础解系表示其全部解．第四章 矩阵[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：(1) 能熟练地进行矩阵的各种运算(加、减、数乘、乘、转置、求逆等)； (2) 能熟练掌握矩阵的初等变换，理解初等变换和初等矩阵的关系； (3) 能掌握各种求逆矩阵的方法； (4) 会应用分块乘法的初等变换. [教学重点]矩阵的各种运算(加、减、数乘、乘、转置、求逆等)；矩阵的初等变换; 初等变换求逆法；分块乘法的初等变换.[教学难点] 分块乘法的初等变换 [教学内容]§2.1. 矩阵的概念的一些背景矩阵的概念§2.2. 矩阵的运算一、矩阵的加法、减法 二、矩阵的乘法三、数与矩阵的乘法 四、矩阵的转置§2.3. 矩阵乘积的行列式与秩一、矩阵乘积的行列式 二、矩阵乘积的秩§2.4. 矩阵的逆一、矩阵可逆的定义 二、伴随矩阵求逆法§2.5. 矩阵的分块一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算三、几种分块矩阵的逆矩阵§2.6. 初等矩阵一、初等矩阵及其性质 二、初等变换求逆法§2.7. 分块乘法的初等变换及应用举例一、分块乘法的初等变换二、分块乘法的初等变换应用举例思考题１． 举例说明下列命题是错误的：（１） 若02=A ，则0=A ；（２） 若A A =2，则0=A 或E A =；（３） 若E A =2，则E A =或E A -=； （４） 若AY AX =，且0≠A ，则Y X =． ２． 证明（１）2222)(B AB A B A +±=±成立当且仅当BA AB =； （２）22))((B A B A B A -=-+成立当且仅当BA AB =． ３．已知n n ij a A ⨯=)(为n 阶方阵，写出：（１）2A 的k 行l 列元素； （２）TAA 的k 行l 列元素； （３）A A T的k 行l 列元素． ４． 已知)3,2,1(=α，)31,21,1(=β．设矩阵βαT A =，求n A ． ５． 证明：对任意的n m ⨯矩阵A ，T AA 和A A T都是对称矩阵．６． 设A 是n 阶方阵，且E AA T=，1||=A ，求||n E A -．７．已知A 为三阶方阵，且21||=A ，求|2)3(|*1A A --．８．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100021201A ，求1*])[(-T A ．９．（１）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300130113A ，矩阵B 满足B A AB 2+=，求B ；（２）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，矩阵B 满足B A E AB +=+2，求B ；（３）已知)1,2,1(-=diag A ，矩阵B 满足E BA BA A 82*-=，求B ． １０．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A ．１１．（１）证明)()()(B r A r B A r +≤+；（２）若n 阶矩阵B A ,满足0=AB ，证明n B r A r ≤+)()(；（３）若n 阶矩阵A 满足A A =2，证明n E A r A r =-+)()(；（４）若n 阶矩阵A 满足E A =2，证明n E A r E A r =-++)()(． １２．（１）B A ,为两个n 阶方阵，证明||||B A B A AB BA -⋅+=； （２）B A ,分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，证明||||BA E AB E E AB E m n nm -=-=．第五章 二次型[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1）掌握用非退化线性替换把二次型化成标准形和规范形的方法； （2）会判断二次型的正定性.[教学重点] 二次型化标准形和规范形的方法；惯性定理；二次型的正定性. [教学难点] 惯性定理 [教学内容]§5.1. 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示 二、矩阵的合同§5.2. 标准形化二次型为标准形的配方法§5.3. 唯一性一、复二次型的规范形二、实二次型的规范形、惯性定理§5.4. 正定二次型一、正定二次型的概念和判定方法二、半正定二次型简介思考题１．写出下列二次型AX X '的矩阵，其中 （１）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=205213111A ； （２）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ２． 设二次型32212221442x x x x x x f --+=，分别作下列可逆线性变换，求新二次型的矩阵，（１）Y X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211； （２）Y X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2101101121．３．分别用配方法和初等变换法化下列二次型为标准形，并写出所作的非退化线性替换（１）2332223121214322x x x x x x x x x f +++++=； （２）323121622x x x x x x f -+=．４． 分别在实数域和复数域上将３题中的两个二次型进一步化成规范型，并写出所作的非退化线性替换．５． 证明：秩等于ｒ的对称矩阵可以表示成ｒ个秩等于１的对称矩阵之和． ６． 证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于２和符号差等于０，或者秩等于１． ７． t 取什么值时，下列二次型是正定的：（１）3231212222214223x x x x x tx x x x f +-+++=； （２）32312123222161024x x x x x tx x x x f +++++=．８． 证明：如果A 正定，则1-A 和*A 也都正定．９．已知m 阶实对称矩阵A 正定，B 是n m ⨯矩阵，证明：AB B T正定的充要条件是n B r =)(．１０． 已知A 为实矩阵，证明：)()(A r A A r ='．第六章 线性空间[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1）能熟练地判断所给非空集合在指定的运算下能否构成线性空间； （2）会判断所给非空子集能否构成子空间； （3）会判断子空间之间的和是否为直和； （4）会判断两个线性空间的同构；（5）能熟练掌握线性空间基和维数的求法；（6）能熟练求向量在基下的坐标、基到基的过渡矩阵； （7）能熟练地求和空间的维数；（7）能熟练地应用维数公式求交空间的基与维数.[教学重点] 线性空间的定义、子空间的直和、维数公式、线性空间的同构. [教学难点] 线性空间的定义 [教学内容]§6.1. 集合 映射一、集合的概念和运算二、映射的概念、映射的乘法、逆映射§6.2. 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质§6.3. 维数 基与坐标一、线性表示、线性相关和线性无关、向量组的等价 二、线性空间的基、维数，向量的坐标§6.4. 基变换与坐标变换一、基到基的过渡矩阵 二、坐标变换公式§6.5. 线性子空间一、线性子空间的定义二、线性子空间的维数和基§6.6. 子空间的交与和一、子空间的交 二、子空间的和§6.7. 子空间的直和一、两个子空间的直和 二、多个子空间的直和§6.8. 线性空间的同构一、线性空间同构的定义 二、同构映射的性质思考题1．检验下列集合对于所规定的运算是否构成给定数域上的线性空间：（１） 数域P 上的对角线元素的和为零的所有n 阶方阵所成的集合，对于矩阵的加法和数量乘法；（２） 设},|2{Q b a b a V ∈+=，Q 为有理数域，对于通常数的加法和乘法； （３） 设},|),{(R b a b a V ∈=，R 为实数域，定义加法和数乘如下：),(),(),(21212211b b a a b a b a +=+， ),(),(kb ka b a k = )(R k ∈．（４） 按照通常的数的运算，实数域R 是否构成实数域R 上的线性空间？是否构成复数域C 上的线性空间？（５） 按照通常的数的运算，复数域C 是否构成实数域R 上的线性空间？是否构成复数域C 上的线性空间？ （６） +R 是全体正实数组成的集合，定义加法和数乘如下：ab b a =⊕， k a a k =⋅，这里+∈R b a ,，R k ∈．２．证明：在数域P 上的线性空间V 中，成立以下运算律：（１）βαβαk k k -=-)(；（２）αααl k l k -=-)(．这里P l k ∈,，V ∈βα,．３．实数域R 按照通常的乘法构成实数域R 上的线性空间．全体正实数集合+R 对１（６）题中定义的加法和数乘也构成实数域R 上的线性空间，能否据此说明+R 是线性空间R 的一个子空间？+R 是线性空间R 的子空间吗？４． 设)1,2,1(1-=α，)3,1,0(2-=α，)0,1,1(3-=α；)5,1,2(1=β，)1,3,2(2-=β，)2,3,1(3=β，（１） 证明：321,,ααα和321,,βββ都是3R 的基； （２） 求321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵； （３） 求向量)1,4,1(=α在两组基下的坐标．５． 在线性空间nR 中，判断下列哪些子集是子空间，（１）},|),0,,0,{(11R a a a a n n ∈ ；（２）}0|),,,{(121=∑=ni in aa a a ；（３）}1|),,,{(121=∑=ni in aa a a ；（４）},,2,1,|),,,{(21n i Z a a a a i n =∈．６． 举例说明线性空间的两个子空间的并一般不是子空间．两个子空间的并仍是子空间的充要条件是什么？７． 设线性空间V 含有非零向量，21,V V 是V 的任意两个真子空间，证明：V V V ≠⋃21． ８．在线性空间3][x P 中，求向量组21-=x α，x 22=α，x -=13α，24x =α 的一个极大无关组．９． 判断正误，并说明理由．（１）V 是n 维向量空间，V r ∈αα,,1 ，则r αα,,1 是子空间),,(1r L αα 的一组基；（２）n 个向量n αα,,1 是n 维向量空间V 的一组生成元，则n αα,,1 一定是V 的一组基；（３）向量空间V 的维数等于V 的任一生成组所含向量的个数； （４）任一向量空间都有基； （５）若向量空间V 的每一个向量都可以由n αα,,1 唯一的线性表示，则n αα,,1 是V 的一组基；（６）若s αα,,1 与t ββ,,1 的极大无关组分别是r i i αα,,1 与p j j ββ,,1 ，则),,(),,(11t s L L ββαα +的一组基为r i i αα,,1 p j j ββ,,1 ．１０． 下列向量组是否为3][x P 的基：（１）}22,,1,1{2322++++++x x x x x x x ； （２）},22,1,1{322x x x x x -+--． １１．求下列子空间的维数：（１）3))4,2,5(),2,4,1(),1,3,2((R L ⊆--； （２）][),1,1(22x P x x x x L ⊆---；（３）],[),,(32b a C e e e L x xx⊆，],[b a C 表示区间],[b a 上的全体连续函数空间．１２．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100010A ，求33⨯P 中所有与A 可交换的矩阵组成的子空间的维数和一组基．１３．令},|{1A A P A A V n n ='∈=⨯，},|{2A A P A A V n n -='∈=⨯，证明21V V P n n ⊕=⨯． １４．设n αα,,1 是P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是P 上的一个s n ⨯矩阵，令A n s ),,(),,(11ααββ =，证明：)(),,(dim 1A r L s =ββ ． １５．证明：线性空间][x P 可以和它的真子空间同构．第七章 线性变换[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的： （１） 能熟练掌握线性变换的运算； （２） 能理解线性变换与矩阵的关系；（３） 能熟练地求线性变换的特征值与特征向量；（４） 理解哈密尔顿—凯莱（Hamilton-Caylay ）定理； （５） 能熟练地将矩阵对角化；（６） 能熟练地求出线性变换的值域与核； （７） 了解若尔当标准形理论.[教学重点] 线性变换与矩阵的关系；线性变换的特征值与特征向量；线性变换的值域与核；矩阵对角化.[教学难点] 矩阵的对角化 [教学内容]§7.1. 线性变换的定义一、线性变换的定义 二、线性变换的简单性质§7.2. 线性变换的运算一、线性变换的乘法 二、线性变换的加法三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆§7.3. 线性变换的矩阵一、线性变换的矩阵 二、矩阵的相似§7.4. 特征值与特征向量一、线性变换特征值与特征向量的概念 二、线性变换特征值与特征向量的求法 三、哈密顿-凯莱定理§7.5. 对角矩阵一、特征向量的性质二、线性变换的矩阵可以是对角矩阵的条件§7.6. 线性变换的值域与核一、线性变换的值域 二、线性变换的核§7.7. 不变子空间一、不变子空间二、不变子空间与线性变换矩阵的化简§7.8. 若尔当（Jordan ）标准形介绍若尔当标准形介绍§7.9. 最小多项式最小多项式概念和性质思考题１．线性空间V 到V 的同构映射称为线性空间V 的自同构．线性空间V 的线性变换和它的自同构有什么异同？２．A 是线性空间V 的线性变换，s αα,,1 是V 中一组线性无关的向量，问)(,),(1s ααA A 是否仍线性无关？试举例说明． ３．设A 是n 维线性空间V 的线性变换，证明：（１）A 是线性空间V 的自同构当且仅当A 把线性无关的向量组变成线性无关的向量组；（２）A 把线性空间V 中某一组线性无关的向量变成一组线性相关的向量的充要条件是A 把V 中某个非零向量变成零向量，即}0{)0(1≠-A ；（３）A 是线性空间V 的自同构当且仅当}0{)0(1=-A ．４．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A ，定义4P 的变换为：ξξA =A ，4P∈ξ，证明A 为4P 的线性变换，并求A 的核和象空间以及它们的维数．５．为什么线性变换的问题可以转化为相应的矩阵的问题去研究？)(V L 与nn P ⨯有什么关系？求出线性空间)(V L 的维数．６．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，求22⨯P 的如下线性变换A 在基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00102ε，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10004ε下的矩阵． （１）AX X =)(A ； （２）XA X =)(A ．７．在3R 中，试求关于基)0,0,1(1=ε，)0,1,1(2=ε，)1,1,1(3=ε的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=221101211A 的线性变换．８．设三维线性空间线性变换A 在基321,,ααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=6788152051115A ，求A 在基321,,βββ下的矩阵，其中321132αααβ++=，321243αααβ++=，321322αααβ++=．若3212αααξ-+=，求)(ξA 在基321,,βββ下的坐标．９．设三维线性空间线性变换A 在基321,,ααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ， 求（１）A 在基123,,ααα下的矩阵；（２）A 在基321,,αααk 下的矩阵；)0(≠k （３）A 在基3221,,αααα+下的矩阵．１０．四维线性空间V 的线性变换A 在基4321,,,αααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3707011311013412A ，求：（１）A 的值域； （２）A 的核；（３）在A 的值域中选一组基，把它扩充成线性空间V 的基； （４）在A 的核中选一组基，把它扩充成线性空间V 的基．１１．若矩阵A 与B 相似，证明：（１） 若A 与B 可逆，则1-A 与1-B 相似； （２） 对任意的常数k ，kA 与kB 相似；（３） 对任意的正整数m ，mA 与mB 相似；（４） 对于任意多项式)(x f ，)(A f 与)(B f 相似．１２．若矩阵A 与B 相似，C 与D 相似，证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00相似． １３．取定矩阵n n P A ⨯∈．对于任意的nn P X ⨯∈，定义变换A 为XA AX X -=)(A ，（１） 证明A 为线性空间nn P ⨯的线性变换；（２） 若⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A λλλ00000021，求线性变换A 在基},1|{n j i E ij ≤≤下的矩阵． １４．在线性空间3P 中，定义线性变换A 为),,(),,(312321x x x x x x =A ．令}2,1,|)0,,{(21=∈=i P x x x S i ，则S 是3P 的一个子空间，试问S 是否为线性变换A 的不变子空间．１５．V 为数域P 上的一个线性空间，A 为V 的一个线性变换，][)(x P x f ∈，如果S 为线性变换A 的不变子空间，则S 线性变换)(A f 的不变子空间．１６．若S 为线性空间V 的线性变换A 和B 的不变子空间，则S 也是B A +和AB 的不变子空间．１７．若21,S S 为线性空间V 的线性变换A 的不变子空间，则21S S ⋂，21S S +也是A 的不变子空间． １８．若S 为线性空间V 的线性变换A 的不变子空间，当线性变换A 可逆时，则S 也是1-A的不变子空间． １９．若A 是线性空间V 的线性变换，且满足A A=2，证明：（１）}|)({)0(1V ∈-=-ξξξA A； （２）)Im()0(1A A ⊕=-V ．２０．n 阶矩阵A 和B 相似时，它们有相同的特征多项式．反过来对吗？即n 阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式时，哪它们相似吗？试举例说明．２１．A 是线性空间V 的线性变换，证明A 可逆的充分必要条件是A 的特征值都非零． ２２．证明线性变换A 的一个特征向量不能同时属于两个不同的特征值．２３．证明：对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b 0021 相似的充分必要条件是n b b b ,,,21 是n a a a ,,,21 的一个排列．２４．设A 是复数域C 上的一个n 阶矩阵，n λλλ,,,21 是A 的全部特征值（按重数计算），证明：（１）如果][)(x C x f ∈是次数大于０的多项式，则)(,),(),(21n f f f λλλ 是)(A f 的全部特征值；（２）如果A 可逆，则n λλλ,,,21 全部不等于零； （３）如果A 可逆，则nλλλ1,,1,121 为1-A 的全部特征值．２５．设三维线性空间V 的线性变换A 在基321,,ααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A ， 求：（１）A 的特征值和特征向量；（２）是否存在V 的基321,,βββ使得线性变换A 在其下的矩阵为对角形．若这样的基321,,βββ存在，试写出由基321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵T ．以及A 在321,,βββ下的矩阵；（３）计算AT T 1-．第八章 -λ矩阵[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的： （1）会求-λ矩阵的标准形 （2）会求-λ矩阵的行列式因子（3）会求矩阵A 的初等因子，并能写出A 若尔当标准形 （4）会求矩阵A 的有理标准形[教学重点] 矩阵A 的初等因子，矩阵的A 若尔当标准形 [教学难点] 矩阵相似的条件 [教学内容]§8.1. -λ矩阵一、-λ矩阵的秩 二、-λ矩阵的可逆§8.2. -λ矩阵在初等变换下的标准形一、-λ矩阵的初等变换 二、-λ矩阵的标准形§8.3. 不变因子一、-λ矩阵的行列式因子 二、-λ矩阵的不变因子§8.4. 相似矩阵的条件两个矩阵相似的充要条件§8.5. 初等因子一、初等因子的概念 二、初等因子的求法§8.6. 若尔当（Jordan ）标准形理论推导一、若尔当矩阵的概念二、矩阵的若尔当标准形的求法§8.7. 矩阵的有理标准形一、有理形矩阵的概念 二、有理标准形的求法思考题１．求下列矩阵的初等因子、不变因子、行列式因子，并写出若当标准形．（１）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----222333111， （２）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----0167121700140013， （３）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10021*********1． ２． 已知nn P A ⨯∈，证明A 与A '相似．３． 设复矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102002c b a A ，（１）求出A 的一切可能的若当标准形；（２）给出A 可对角化的条件．第九章 欧几里得空间[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（１） 掌握求标准正交基的施密特（Schmidt ）正交化方法；（２） 会判断两个欧氏空间的同构； （３） 理解正交变换与正交矩阵的关系； （４） 会求欧氏空间子空间的正交补；（５） 能熟练地把实对称矩阵正交相似于对角矩阵； （６） 能掌握最小二乘法.[教学重点] 求标准正交基的施密特（Schmidt ）正交化方法；欧氏空间的同构；正交变换；对乘变换；实对称矩阵正交相似于对角矩阵的方法.[教学难点] 最小二乘法[教学内容] §9.1. 定义与基本性质一、内积与欧氏空间的定义 二、向量的长度 三、向量的正交四、欧氏空间基的度量矩阵§9.2. 标准正交基一、标准正交基的概念 二、标准正交基的求法§9.3. 同构一、欧氏空间同构的概念 二、欧氏空间同构的充要条件§9.4. 正交变换一、正交变换的定义 二、正交变换的性质§9.5. 子空间一、欧氏空间中子空间的正交 二、欧氏空间子空间的正交补§9.6. 实对称矩阵的标准形一、对称变换二、实对称矩阵的特征值特征向量的性质 三、实对称矩阵的对角化四、二次型化标准形的正交变换法§9.7. 向量到子空间的距离 最小二乘法一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法§9.8. 酉空间介绍一、酉空间的概念二、酉空间中的一些重要结论思考题１．下列线性空间对给定的二元函数),(βα是否构成欧氏空间（１）在线性空间nR 中，对任意向量),,(1n a a =α，),,(1n b b =β，定义二元函数∑==ni i i b a 1||),(βα（２）在线性空间nn R ⨯中，对任意向量nn RB A ⨯∈,，定义二元函数)(),(A B tr B A '=２． 在欧氏空间4R 中求出两个单位向量使它们同时与下面三个向量正交．)0,4,1,2(1-=α，)2,2,1,1(2--=α，)4,5,2,3(3=α３． 称||),(βαβα-=d 为向量α和β间的距离．证明：),(),(),(βγγαβαd d d +≤． ４．设α,β是欧氏空间中任意两个非零向量，证明：（１）)0(>=k k βα的充分必要条件是α和β间的夹角为零； （２）)0(<=k k βα的充分必要条件是α和β间的夹角为π． ５． 已知)0,1,2,0(1=α，)0,0,1,1(2-=α，)1,0,2,1(3-=α，)1,0,0,1(4=α是4R 的一个基，对这个基正交化，求出4R 的一个标准正交基．６． 在欧氏空间]1,1[-C 里，对基32,,,1x x x 正交化，求出]1,1[-C 的一个标准正交基． ７． 已知))0,2,0(),0,0,1((L W =是3R 的一个子空间，求⊥W ． ８．设21,,W W W 为欧氏空间V 的子空间，则（１）W W =⊥⊥)(；（２）如果21W W ⊂，则⊥⊥⊂12W W ； （３）⊥⊥⊥⋂=+2121)(W W W W ． ９．求正交矩阵T 使得AT T '成对角形．其中A 为（１）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--510810228211； （２）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----114441784817． １０．用正交的线性替换化下列二次型为标准形（１）322322214332x x x x x f +++=；（２）43324121242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=； （３）434232413121222222x x x x x x x x x x x x f ++--+=．第十章 双线性函数与辛空间 *[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1）理解线性函数的定义，熟悉线性函数的简单性质 （2）理解线性空间与其对偶空间的同构关系（3）理解双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间等概念 [教学重点] 对偶空间和对偶基、双线性函数、双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间等概念。
线性代数讲稿
安康学院讲稿2010～2011 学年第一学期课程名称线性代数院系数学系教研室应用数学适用专业园林授课年级10级专升本授课教师刘铁教材名称《线性代数》吴赣昌等著二○一○年九月目录目录第一章行列式 (1)第一节二阶与三阶行列式 (1)第二节N阶行列式的定义 (1)第三节行列式的性质 (3)第四节行列式按行(列)展开 (6)第五节克莱姆法则 (8)第二章矩阵 (10)第一节矩阵的概念 (10)第二节矩阵的运算 (11)第三节逆矩阵 (16)第四节矩阵分块法 (18)第五节矩阵的初等变换 (22)第六节矩阵的秩 (25)第三章线性方程组 (29)第一节消元法 (29)第二节向量组及其线性组合 (29)第三节向量组的线性相关性 (31)第四节向量组的秩 (33)第五节向量空间 (34)第六节线性方程组解的结构 (36)第四章矩阵的特征值与特征向量 (2)第一节向量的内积 (2)第二节方阵的特征值与特征向量 (40)第三节相似矩阵 (43)第四节实对称矩阵的对角化 (46)第五章二次型 (47)第一节二次型及其矩阵 (47)第二节化二次型为标准形 (48)第三节正定二次型 (50)第二章 矩阵第一章 行列式第一节 二阶与三阶行列式内容分布图示 ★ 二阶行列式 ★ 简例 ★ 二元线性方程组 ★ 例1★ 三阶行列式 ★ 例2-例3★ 三元线性方程组 ★ 例4内容要点: 一、二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=二、二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+)2()1(22221211212111b x a x a b x a x a三、三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a =112233122331a a a a a a + 132132132231112332122133.a a a a a a a a a a a a +---三阶行列式有6项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠于正负号，其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。
吴赣昌编 《概率论与数理统计》(经管类三版) 第二章
吴赣昌经管类三版复习提要及课后习题解答习题2-2题型一：求随机变量的分布律、分布律的性质应用、由分布律求概率（题1-7）1. 设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，求λ，(1)P X ≥=2(03)P X <<=.解：122(1)2(0)1!2!2P X eeλλλλλλλλ--===⇒=⇒=>2、设随机变量的分布律为{}(1,2,3,4,5)15kP X k k ===，求（1）15{}22P X <<；（2）{13}P X ≤≤；（3）{3}P X > 解：由分布律的性质51{}1k P X k ===∑，得（1）15121{}{1}{2}2215155P X P x x <<==+==+=（2）312{13}155k k P X =≤≤==∑（3）3{3}1{3}1{13}5P X P X P X >=-≤=-≤≤=3、已知X 只取-1，0，1，2四个值，相应的概率为1357,,,24816c c c c，求常数c ，并计算{1|0}P X X <≠。
解：由分布律的性质有1357124816c c c c+++=，所以3716c ={1,0}{1}8{1|0}{0}{1}{1}{2}25P X X P X P X X P X P X P X P X <≠=-<≠===≠=-+=+=4、一袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，在袋中同时取5只球，以X 表示取出的3只球中的大号码，求X 的分布律。
解：由题意知，X 所有可能取到的值为3，4，5，由古典概率计算公式可得分布律为3511{3}10P X C===，23353{4}10C P X C ===，24356{5}10C P X C ===5、某加油站替出租公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元。
因为代出租汽车这项业务，每天加油站需多付职工的服务费60元。
线性代数吴赣昌第五版1-2资料
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0 01
32514
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为0+1+0+3+1=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
第二节 n阶行列式
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法
1种放法
共有 3 2 1 6 种放法.
一、排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
将s 个奇排列的前两个数对换,则这 s个奇排 列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以 s t.
若将 t个偶排列的前两个数对换,则这 t个偶排列
全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s. 故必有s t.
定理3 n阶行列式也可定义为
其中
D
i1i2 in ,
j1 j21sai1jjn1ai是2 j2 两a个in jn n级排列，s为行
1N1 2n 1 n 1N n!,
Nn 1n 221n
n 2 n 3 2 1
n 1n 2 2
n1n2
Dn 1 2 n!.
小结
1. n级排列有n！个，逆序数的定义和计算； 排列奇偶性；对换；任意两个元素对换，排列 改变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
(完整版)线性代数吴赣昌第二章
使 AB BA成立，必须满足一定的条件。
（2）由这个例子还可知，A O ，B O ，
但却有 AB O，所以由 AB O，不能得
出 A O 或 B O的结论。若 A O，而 A(X Y ) O，不能得出 X Y 的结论。
例3： 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
这四个产品的单价及单位重量可列成矩阵
b11
B
b21
b31 b41
b12
b22
b32 b42
求 AB ，并指出 AB 的含义。
2、线性方程组的矩阵表示
对线性方程组
a11x1 a12 x2
三、 矩阵与矩阵相乘 1、定义
定义5： 设 A (aij )是一个 m s 矩阵，B (bij )
是一个 s n 矩阵，那么规定矩阵 A 与
B 矩阵的乘积是一个 m n矩阵 C (cij )，
s
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj k 1
一、矩阵的加、减法 1、定义
定义1： 设有两个 m n矩阵 A (aij ) 和 B (bij ) ，
规定 A 和 B 的和为
a11 b11 a21 b21 am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
a11 a12
《线性代数》(理工类)(第四版)(吴赣昌)完整版内容简介
《线性代数》（理工类，第四版）内容简介
本书根据高等院校理工类本科专业线性代数课程的最新教学大纲及考研大纲编写而成，并在第三版的基础上进行了修订和完善，注重数学概念的实际背景与几何直观的引入，强调线性的思想和方法，紧密联系实际，服务专业课程，精选了许多实际应用案例并配备了相应的应用习题，增补并调整了部分例题与习题，书中还融入了线性模型的教育和数学软件Mathematica的简单应用实例。
本次升级改版的另一重大特色是：每本教材均配有网络账号，通过它可登录作者团队为用户专门建设的网络学习空间，与来自全国的良师益友进行在线交流与讨论。
该空间包含了课程论坛、学习问答、学习软件、教学视频、名师导学、教学博客、科学搜索等功能栏目，并全面支持文字、公式与图形的在线编辑、修改与搜索。
本书内容涵盖了行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值、二次型、线性空间与线性变换等知识。
本书可作为高等学校理科、工科和技术学科等非数学类本科专业的线性代数教材，并可作为上述各专业领域读者的教学参考书。
微积分 经管类. 第四版 课件 (吴赣昌) 第二章
f ( x) f ( x ) f ( 0) lim lim f ( 0 ). x 0 x 0 x x0
三、左右导数 左导数
右导数
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x 0 f ( x ) f ( x0 ) lim ; x x0 x x0 f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x 0 f ( x ) f ( x0 ) lim . x x0 x x0
f ( 2 x ) f ( 2a ) f ( x) ( 2) lim (1) lim 其中 f (0) 0. ; , x a x 0 xa x f ( 2 x ) f ( 2 a ) f ( 2 x ) f ( 2 a ) 解 (1) lim 2lim x a x 2 a 1 xa ( 2 x 2a ) 2 f ( 2 x ) f ( 2a ) (2a ). 2 2lim 2 f x 2 a 2 x 2a
(sin x ) x cos x x 2 . 2 4 4
例6 求函数 y x ( n为正整数 ) 的导数.
n
( x h) x 解 ( x ) lim h0 h n( n 1) n 2 n1 n1 lim [ nx x h h ] h0 2! n 1 nx , 即 ( x n ) nx n1. 更一般地 ( x ) x 1 ( R ).
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6 .
9
9
完
作业
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概率论与数理统计课后习题答案第二章(理工类_第四版)吴赣昌主编
第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9,从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2},得λe-λ=λ22e-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52;(2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c,试确定常数c,并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1,即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110,P{X=4}=C32⋅1C53=310,P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4,解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X,它可能的值只有两个，即0和1. X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品),则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p),若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.解答：因为X∼b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b(3,p),所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005,在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数，n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2},即λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量. 解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1,且F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.解答：由题意知X的分布律为：试求：(1)系数A与B;(2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx,-∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1),所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它,求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1};(3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1,∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0,∴B=-1.(2)P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣,求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1,即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X,则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X,则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C,使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22),所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12,所以c-32=0,故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102),先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1,即1-Φ(x-400060)=0.1,所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此x-400060≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122).在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x,使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x,即1-P{X≤x}≤0.05,亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36),问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36),则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01,而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99,查标准正态表得x-1706>2.33,故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102);第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42),求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.2.5 随机变量函数的分布习题1已知X的概率分布为Y-101P2*******习题3设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令Y=cX+d(c≠0),试求随机变量Y的密度函数. 解答：fY(y)={fX(y-dc)⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e),其反函数为x=lny,可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1,于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x),分布函数为F(x),求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X;(2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0,综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0,这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0,综上所述fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2),已知θ=5(T-32)/9,试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N(98.6,2).θ=59(T-32),反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0,其分布函数为FY(x),又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0,故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z),因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k,P(Ak)=ck,k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20}=1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7,故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7),而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：(1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X,则X∼b(2500,0.002),则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.P{保险公司获利不少于200000元}=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答：设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A,则P(A)=0.03,显然X∼b(300,0.03),即P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,⋯,300),因n=300很大，p=0.03又很小,λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线，要到外线的台数不超过13，故P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265,(查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.习题5在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计),求：(1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解答：(1)t=3,λ=3/2,P{X=0}=e-3/2≈0.223;X-101pi1/22-13/2-2(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.习题7设随机变量X的分布函数F(x)为F(x)={0,x<0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答：应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时，由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0,故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x).显然，当x<0时，F(x)=0,当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.注意，a-1<a,而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它,计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2)dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1.证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0,分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a);(2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5),所以fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去),所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取. 习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率.解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1,P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.习题19设随机变量X的分布律为由定理即得fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.习题21设随机变量X的概率密度fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1),则Y的取值范围为[1,2).当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.。
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记作 A B 。
注意：只有两个矩阵是同型矩阵，才能进行加法运算。 定义2：设矩阵 A (aij ) ，称矩阵 (aij ) 为 A 的负 矩阵，记作 A 。 定义3： A B A ( B) 注意： A ( A) O 2、运算法则 （1） A B B A ； （2）( A B) C A ( B C )；
| A* || A | n1，实际
上，这个结论对于 | A | 0 的矩阵也成立。
定理3： 若 | A | 0，则矩阵 A 可逆，且
1 * A A ，其中 A* 为矩阵 | A|
1
A
的伴随矩阵。
这个定理告诉了我们一种求逆矩阵的方法。 例如在上例中 A的逆矩阵为
3 2 1 1 A 3 / 2 3 5 / 2 1 1 1
称为 m行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵，
通常记作
a11 a 21 A a m1
，以 a ij 为
第 i 行 j 列元素的矩阵可简记作
(aij ) mn
(aij )
或
m ， n 矩阵 A 也记为 Amn 。
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵 成为复矩阵。我们主要是讨论实矩阵。
求 AB ，并指出 AB 的含义。
2、线性方程组的矩阵表示
对线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
| AB || BA（只要 AB, BA 存在） |
六、共轭矩阵
1、定义
定义7： 当 A (aij ) 为复矩阵时，用 a ij 表示
a ij 的共轭复数，则称矩阵 (aij ) 为 A
的共轭矩阵，记作 A 。 2、运算法则
（1） A B A B
（3） AB A B
（2） A A
例如：
1 2 0 A 3 1 1
1 3 T ，A 2 1 0 1
。
2、运算法则 （1） ( AT )T A
( A B) T AT B T （2）
(A) T AT （3）
（4）
( AB) T B T AT
Ax b
称 A 为方程组的系数矩阵。
3、线性变换的概念
变量 x1 , x2 ,, xn 与变量 y1 , y2 ,, ym 之间的关系式:
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn y a x a x a x 2 21 1 22 2 2n n ym am1 x1 am 2 x2 amn xn
注意：由 A O，不能得出 A O （例如
k
1 0 A 0 0 ）
k 若 diag (1 , 2 ,, n ), 则 k diag (1 , k ,, k ) 2 n
四、矩阵的转置
1、定义
定义6： 把矩阵 A 的行换成其对应的列所得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 AT 。
例3： 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
a11 A a 21 a 31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 a14 a 24 a34
这四个产品的单价及单位重量可列成矩阵
b11 b12 b21 b22 B b31 b32 b b42 41
方阵 A 的行列式，记作 | A |或 det A。
注意：方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方
n 2 个数按一定方式排成的数表，而 阵是
n 阶行列式则是这些数按一定的运算法
则所确定的一个数。
2、运算规则 （1） | AT || A | （2） | A | n | A | （3） | AB || A || B | 注意：（1） | A B || A | | B | （2） 一般来说， BA ，但总有 AB
4 1 ，B 2 1 1 0 1 3 0 1 3 4
的乘
积 AB 。
4 2 2 4 例2： 已知 A 1 2 ， 3 6 ，求 B
AB 和 BA 。
注意：（1）由这个例子可知，矩阵的乘法不满足 交换律，即在一般情形下， BA ，要 AB 使 AB BA 成立，必须满足一定的条件。 （2）由这个例子还可知， O ，B O ， A 但却有 AB O ，所以由 AB O，不能得 出 AO 或B O 的结论。若 A O，而 ，不能得出 X Y 的结论。 A( X Y ) O
二、数乘运算 1、定义 定义4： 数 与矩阵 A 的乘积规定为
a11 a 21 a m1
a12 a 22
a m 2
a1n a 2 n a mn
记作 A 或 A 。
2、运算法则 （1） ( ) A ( A)
A的逆矩阵。
定理1：若矩阵 A 可逆，则 | A | 0 。
定义2： 设
A 是 n 阶矩阵，把行列式 | A | 的各
个元素的代数余子式 Aij 所构成的 n 阶 矩阵
A11 A12 A 1n A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
这种数表就是我们所说的矩阵。
定义1： 由 m n个数 a ij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成 的 m 行 n 列的数表
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n
a m 2 a mn
a12 a 22 am2 a1n a2n a mn
则线性变换 可表示为
y Ax
4、运算法则
（1） ( AB)C A( BC )
（2） ( AB) (A) B A(B) （3） A( B C ) AB AC （4） Em Amn Amn
( B C ) A BA CA
Amn En Amn
第三节 逆矩阵
一、定义 定义1： 对于
n 阶矩阵
A ，如果存在一个 n 阶
矩阵 B ，使得
AB BA E
则称矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为
A 的逆矩阵，记作 A 1 。
注意： （1） 如果矩阵
A 是可逆的，那么 A 的
逆矩阵一定是唯一的。 （2） 如果 A 是 B 的逆矩阵，则 B 是
5、方阵的幂运算 设 A 是 n 阶方阵，定义：
A1 A, A2 AA,, Ak 1 Ak A
由矩阵乘法的结合律知：
( Ak Al Ak l ， A k ) l A kl ，（ k, l为正整数）
注意： ( AB) k A k B k
1 0 例4： 设 A ，求 A 2 , A3 ,, A k 。 1
称为变量 x1 , x2 ,, xn 到变量 y1 , y2 ,, ym 的线性变换。
a11 a21 A am1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn
x1 x2 x xn y1 y2 y yn
1 7 1 2 0 1 例3： 已知 A 1 3 2 ， 4 2 3 ， B 2 0 1
( AB) T， T AT。 B 求
设 A 为 n 阶方阵，如果满足 A AT ，那么称
A 为对称矩阵。
五、方阵的行列式 1、定义 定义7：由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列 式（不改变各元素的位置），称为
称为矩阵 A 的伴随矩阵，记作 A* 。
例如
1 2 3 A 2 2 1 3 4 3
，求 A* 。
6 4 2 * A 3 6 5 2 2 2
AA* A* A | A | E 定理2：
| A* || A || A | n 若 | A | 0 ，
（2） ( ) A A A （3） ( A B) A B 矩阵相加与矩阵数乘运算，统称为矩阵的线性运算。
三、 矩阵与矩阵相乘
1、定义 定义5： 设 A (aij )是一个
B m s 矩阵， (bij )
是一个 s n 矩阵，那么规定矩阵 A 与
为列矩阵
（又称列向量）。
3、单位矩阵 称n
1 0 0 0 1 0 阶方阵 E n 0 0 1 E 。 4、对角矩阵 称 n 阶方阵
1 0 0 0 0 0 n
B 矩阵的乘积是一个 m n矩阵 C (cij )，
其中 cij ai1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj
k 1 s
记作 AB 。
注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第 二个矩阵（右矩阵）的行数时，才能进行矩
阵相乘。
1 0 3 1 例1： 求矩阵 A 2 1 0 2
2
0
为对角矩阵，
记作 diag (1 , 2 ,, n ) 。
第二节 矩阵的运算
一、矩阵的加、减法 1、定义
定义1： 设有两个 m n 矩阵 A (aij ) 和 B (bij ) ，
规定 A 和 B 的和为
a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1 a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2 a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn