线性代数第二章
线性代数第二章方阵的行列式
2 n阶行列式的性质
本节教学内容
行列式按一行(列)展开定理
Laplace定理
3 展开定理与行列式的计算
3 展开定理与行列式的计算
行列式按一行(列)展开定理 三阶行列式的一个计算公式 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式
3 展开定理与行列式的计算
线性代数 第二章
本章教学内容
1 n阶行列式的定义
2 方阵行列式的性质
3 展开定理与行列式的计算
第二章 方阵的行列式
1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数 定义 由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2… in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺； 排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
2 n阶行列式的性质
例 =0 2r1+r2
2 n阶行列式的性质
性质2.5 即
2 n阶行列式的性质
或 证 由性质2.1及推论2.3得到.
2 n阶行列式的性质
例1
2 n阶行列式的性质
例2
2 n阶行列式的性质
例3 计算行列式 解
2 n阶行列式的性质
2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵，为常数，m为正整 数，则 ⑴ A=nA ； ⑵ AB=AB ； ⑶ Am=Am . 注① 一般的A+B≠A+B ； ② 虽然AB≠BA，但AB=BA ； ⑶由⑵推得，下证⑴ ⑵
自考复习专题：线性代数第2章
第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。
主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。
在自学考试中，所占比例是各章之最。
按考试大纲的规定，第二章占26分左右。
而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。
以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数07.4 07.7 07.10 直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。
2.1 线性方程组和矩阵的定义2.1.1 线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若，称这样的方程组为齐次方程组。
称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。
事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。
例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2 矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。
注意:矩阵和行列式的区别。
二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。
例如都是零矩阵。
2.若A的行数m=1，则称为行矩阵，也称为n维行向量。
若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。
3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。
如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。
4.称n阶方阵为n阶对角阵。
特别若上述对角阵中，，称矩阵为数量矩阵，如果其中λ=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。
5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
《线性代数》第二章矩阵
《线性代数》
第二章 矩 阵
本章重点：
•矩阵的运算、矩阵的初等行变换、矩
阵的秩和逆矩阵
本章难点：
•求逆矩阵
一、矩阵的概念
（一）矩阵的概念
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1
am2
amn
矩阵表示一张数表；
称为：m×n矩阵
记作：Amn
2
5
4
1
2
【解答】
由（1）（2）两题又验证，
152
10 31
1 0
矩阵乘法的交换律不成立。 即有：AB≠BA。
2 0 11
50
31
(2)11 0
51 30
1 3
2
5
210
am1 am2
在它的每个元素前 添上一个负号，就
得到A的负矩阵
a1n
a2n
amn
类似实数 里的负数.
7、单位矩阵
主对角线上的元素都是1，其余元素
都是0的n阶方阵。 记为：In或I
1 0 0
In
0
1
0
0 0 1
nn
主对角线以外的元素
全为零的方阵
1 1 2 1 2 1
3 3
0
2
2
0
5
1
3 9
3 0
6 6
线性代数知识点总结第二章doc资料
线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 定义由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ija i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表111212122212nn m m mna a a a a a a a a LL M M M L称为m 行n 列矩阵。
简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。
说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。
记作：A n 。
行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。
也称行(列)向量。
同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。
相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。
记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。
单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29—P31）注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。
第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++ ⎪+=⎪⎪+++⎝⎭L L L L L LL说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。
（课本P33） 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭L L L L L L L设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
(完整版)线性代数吴赣昌第二章
使 AB BA成立，必须满足一定的条件。
（2）由这个例子还可知，A O ，B O ，
但却有 AB O，所以由 AB O，不能得
出 A O 或 B O的结论。若 A O，而 A(X Y ) O，不能得出 X Y 的结论。
例3： 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
这四个产品的单价及单位重量可列成矩阵
b11
B
b21
b31 b41
b12
b22
b32 b42
求 AB ，并指出 AB 的含义。
2、线性方程组的矩阵表示
对线性方程组
a11x1 a12 x2
三、 矩阵与矩阵相乘 1、定义
定义5： 设 A (aij )是一个 m s 矩阵，B (bij )
是一个 s n 矩阵，那么规定矩阵 A 与
B 矩阵的乘积是一个 m n矩阵 C (cij )，
s
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj k 1
一、矩阵的加、减法 1、定义
定义1： 设有两个 m n矩阵 A (aij ) 和 B (bij ) ，
规定 A 和 B 的和为
a11 b11 a21 b21 am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
a11 a12
《线性代数》第二章参考答案+详解
k 0
k 2 1 0 k k 1 0 1 0 0 k
k 1 0 0
( k 1) k 1
k 1 0
k 1 ( k 1 ) k 1 k 1
所以(AB)2A22ABB2 (3) (AB)(AB)A2B2 吗? 解: (AB)(AB)A2B2
2 A B 0 0 5 2 0 5 0 2 1 6 9 2 因为 A B 2
2 ( A B)( A B) 2
2 0 1 0
而
3 8 1 0 2 8 A2 B2 4 11 3 4 1 7
故(AB)(AB)A2B2
5 举反列说明下列命题是错误的 (1) 若 A20 则 A0
0 解: 取 A 0 1 则 A20 但 A0 0
(2)
2 1 设 a 1 ,b 2 ,A abT , 3 4
T
求 A100 .
2 解： b a 1 2 4 1 8 . 3
则
A100 (abT )100 a (bT a )( bT a )bT a (bT a )bT 2 99 a (b a ) b 1 8 1 2 4 3 4 8 2 99 8 1 2 4 . 3 6 12
2 2 a11x12 a22 x2 a33 x3 2a12 x1x2 2a13 x1x3 2a23 x2 x3
1 1 1 1 2 3 2 设 A 1 1 1 B 1 2 4 求 3AB2A 及 ATB 1 1 1 0 5 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 解: 3AB 2 A 31 1 1 1 2 4 21 1 1 1 1 1 0 5 1 1 1 1 0 5 8 1 1 1 2 13 22 3 0 5 6 21 1 1 2 17 20 2 9 0 1 1 1 4 29 2 1 1 1 1 2 3 0 5 8 A B 1 1 1 1 2 4 0 5 6 1 1 1 0 5 1 2 9 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
❖引例
相继作线性变换
xx12 x3
b11t1 b12t2 b21t1 b22t2 b31t1 b32t2
和
yy12
a11x1 a12x2 a13x3 a21x1 a22x2 a23x3
a2nxn
amnxn
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
y1 x1
y2 yn
x2 xn
y1 1x1
y2 yn
2 x2
n xn
1 0 0 线性变换所对应
E
0 0
1 0
0 1
的矩阵称为线性变换 的系数矩阵.
§2.1 矩阵
❖引例
一个线性方程组与一个数表存在一一对应关系
a11x1 a12x2 a1nxn b1 (a11 a12 a1n b1)
aam211xx11 aa2m22xx22aa2mn nxxn nbb2m
(a21 a22 a2n b2) (am1 am2 amn bm)
这个数表就称为矩阵.
B
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
b1 b2
bm
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖矩阵的定义
❖方阵 行矩阵 列矩阵
由mn个数aij(i1 2 m •n阶矩阵(n阶方阵)
j1 2 n)排成的m行n列的矩 形数表称为mn矩阵 记作
10 00
.
注 图中的结点可以看作城市 有向边可以看作单向或双向 航线.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖矩阵举例 例3 线性变换与矩阵之间存在一一对应的关系
y1 a11x1 a12x2 a1nxn
y2 a21x1 a22x2
ym am1x1 am2x2
996996. .
首页
上页
返回
下页
结束
铃
数与矩阵相乘 设A(aij) 则规定A=(aij).
❖数乘矩阵的运算规律
设A、B都是mn矩阵 、是数 则 (1)()A(A) (2)()AAA (2)(AB)AB.
矩阵的加法运算与数乘运算合起来 统称为矩阵的线性 运算.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
三、矩阵与矩阵相乘
A
B
a11 b11 a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
.
例1
设
A
3 2
5 0
74
B
12
3 1
52
则
A B 2312
53 01
7452
4 4
8 1
99 .
首页
上页
返回
下页
结束
铃
矩阵的加法 设A(aij)和B(bij) 则规定AB(aijbij ).
A
A
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
.
例2
设
A
3 2 0
5 0 1
7 4 2
332
则
33AA333333023023
3355 3300 3311
3377 3344 3322
333333332332
906906
1155 00 33
2211 1122 66
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
a11 a21
an1
a12 a22
an2
•行矩阵
(a1 a 2
a1n a2n
ann
.
an)
其中aij称为矩阵的第 i 行第 j
(a1 a 2 an).
列的元素.
•列矩阵
一般情况下 我们用大写 字母A B C等表示矩阵. mn 矩阵A简记为A(aij)mn或Amn .
B
b11 b21 b31
b12 b22 b32
b41 b42
其中bi1为第i种产品的单价 bi2为第i种产品的单件重量.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖矩阵举例 例2 由结点和有向边构成的有向图与矩阵之间存在一一
对应关系. 例如
①②③④
A
①
(aij②③)
④
10 10
1 0 1 0
1 0 0 1
恒等变换的系数
001
0
2
0
0
0n
矩阵为单位阵.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
§2.2 矩阵的运算
一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的转置 五、方阵的行列式 六、共轭矩阵
补充例题
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、矩阵的加法
❖矩阵加法的定义
设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记为 AB 规定为AB(aijbij ) 即
B
bbb1n2
.
首页
上页
返回
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
下页
结束
铃
❖同型矩阵 矩阵相等 •同型矩阵
两个矩阵的行数相等、列数也相等 就称它们是同型矩 阵. •矩阵相等
如果A(aij)与B(bij)是同型矩阵 并且它们的对应元素相 等 即
aijbij(i1 2 m j1 2 n) 则称矩阵A与矩阵B相等 记作AB.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖零矩阵 单位矩阵 对角矩阵 •零矩阵
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵 记为O.
•单位矩阵
E
1 0
0
0 1 0
0 0
1
.
•对角矩阵
单位矩阵简称为单位阵. n阶单位矩阵用En或E表示.
001
0
2
0
00n .
对角矩阵简记为
diag[1 2 n].
A
B
a11 b11 a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
.
提示
只有当两个矩阵是同型矩阵时 这两个矩阵才能进
行加法运算.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、矩阵的加法
❖矩阵加法的定义
设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记为 AB 规定为AB(aijbij ) 即
注 n阶矩阵中从左上角到右下角的直线叫做主对角线.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖矩阵举例 例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
A
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
其aij为工厂向第i个店发送第j种产品的数量.
这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵
❖矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则 (1)ABBA (2)(AB)CA(BC).
❖负矩阵 矩阵的减法 设矩阵A(aij) 记A(aij) A称为矩阵A的负矩阵. 显然有 A(A)O. 规定矩阵的减法为 ABA(B).
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、数与矩阵相乘
❖数乘矩阵的定义
数与矩阵A的乘积 记为A或A 规定为A=(aij) 即