数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第2章 数列极限
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《数学分析》第二章 数列极限
xn的 限 或 称数 xn 收 于 ,记 极 , 者 列 敛 a 为
lim xn = a, 或xn → a (n → ∞).
n→∞
如果数列没有极限,就说数列是发散的 如果数列没有极限 就说数列是发散的. 就说数列是发散的 注意: 注意:.不等式 x n a < ε刻划了 x n与a的无限接近 ; 1
则当n > N时有 a b = ( x n b ) ( x n a )
ε ≤ x n b + x n a < ε + ε = 2ε.
故收敛数列极限唯一. 上式仅当a = b时才能成立 . 故收敛数列极限唯一
例5 证明数列 x n = ( 1) n + 1 是发散的. 1 由定义, 证 设 lim x n = a , 由定义 对于ε = , n→ ∞ 2 1 则N , 使得当 n > N时, 有 x n a < 成立, 2 1 1 即当n > N时, x n ∈ (a , a + ), 区间长度为1. 2 2 而x n 无休止地反复取1, 1两个数 , 不可能同时位于长度为 的 不可能同时位于长度为1的区间内. 长度为
注意: 数列对应着数轴上一个点列.可看作一 注意: 数列对应着数轴上一个点列 可看作一 1.数列对应着数轴上一个点列 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n = f (n). 数列是整标函数
三,数列的极限
( 1)n1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n
2,唯一性 ,
定理2 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 每个收敛的数列只有一个极限.
数学分析 第二章 数列极限1-2
1 1 这时 lim a lim lim n 1. n n b n b
2015-2-11
23
证法二
( a b )n
0 n 0 1 n 1 2 n 2 2 n n n n Cn a b Cn a b Cn a b Cn a b
an
1. 0
2. N
3. 满足： an a
N f ( )
2015-2-11
16
例 4 对 x n= ( 1 ) ， 证明 lim x n 0。 n ( n 1 ) 2 称为: 放大法 1 证 因为 | x - 0| = 1 1. N 不唯一；
n
n
例如
2,4,8,,2 ,
1 1 1 1 , , , , n , 2 4 8 2
n
{2 } 1 { n} 2
n
2015-2-11
1,1,1,,1
{1}
4
例1（1） a, aq, aq2, aq3, … , aqn-1,…. 其中a,q为常数且q 0。一般项公式为 xn = aq n-1。此数列简记为 {aqn-1} 。 （2） {( 1)
n n 例如, 数列 x n ，有界； 数列 xn 2 ， 无界。 n1
2015-2-11
30
二、有界性
定理3 收敛的数列必定有界.
2015-2-11
31
我们经常能把一个定理啃下来，但是还是觉得 对这个定理依然云里雾里的。 数学学习真正悲哀的就是，记住了某个神奇 而伟大的定理，看懂了其最严密的推导过程，但却 始终没能直观地去理解它。虽然严密的推导是必要 的，直观理解往往是不准确的，但如果能悟出一个 让定理一瞬间变得很显然的解释，这不但是一件很 酷的事，而且对定理更透彻的理解和更熟练的运用 也很有帮助。 这就是我们称为的——直观思维
数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则
数列极限的准则、 运算法则
2021/3/22
1
极限存在准则
1.定理３（夹逼准则）
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件：
(1) yn xn zn (n N),
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极限存在,
且
lim
n
xna.Leabharlann 2021/3/222
证 yn a, zn a,(n )
xn
yn
a b.
3.lim xn a , (b 0).
y n n
b
2021/3/22
11
证1 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a ,
当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
M | b | (M | b |)
即lim n
xn
yn
ab
lim
n
xn
lim n
yn
特别地,两个无穷小量的积仍是无穷小量.
更一般,一个有界量与一个无穷小量的积仍
是无穷小量.
2021/3/22
15
证3 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
| (xn yn ) (a b) | | xn a | | yn b | 2
即lim( n
xn
yn )
a
b
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1
极限存在准则
1.定理３（夹逼准则）
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件：
(1) yn xn zn (n N),
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极限存在,
且
lim
n
xna.Leabharlann 2021/3/222
证 yn a, zn a,(n )
xn
yn
a b.
3.lim xn a , (b 0).
y n n
b
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11
证1 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a ,
当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
M | b | (M | b |)
即lim n
xn
yn
ab
lim
n
xn
lim n
yn
特别地,两个无穷小量的积仍是无穷小量.
更一般,一个有界量与一个无穷小量的积仍
是无穷小量.
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15
证3 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
| (xn yn ) (a b) | | xn a | | yn b | 2
即lim( n
xn
yn )
a
b
2.1数列的极限华师大版数学分析第二章ppt
=3.
3、证明：当 |q|<1时，
=0.
证：当q=0时，结论成立. 当0<|q|<1时, ∀ε>0，
方法1： 要使|qn|<ε=|q|log ，
只要取N=[log|q|ε] +1，则当n>N时，便有
|qn-0|<|qN|<ε，∴
=0.
方法2：记h= -1>0，则|qn-0|=|qn|=
；
由(1+h)n≥1+nh可得：|qn|≤
由a=(1-h)n≤
=
，得1- ≤ ，
要使| -1|=1- ≤
<ε=
, 只要取
N≥
，则当n>N时，有| -1|<ε. ∴
=3.
注： 1、正数ε具有任意性，ε愈小表示an与定数a愈接近， ε可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度。 所以可以“不妨设ε小于某正数”， 不能“不妨设ε大于某正数”。
， ，…， ，…或 .
1：(数列极限的ε-N定义)
设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，
使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，
则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，
记作：
=a，或an→a(n→∞)，
读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”.
(3)∀ε>0，当n为偶数时，要使|
-1|= <ε,
当n为奇数时，要使|
-1|=
< <ε,
只要取N=[ ]+1，当n>N时，有|an-1|<ε， ∴
{an -a}为无穷小数列.
华东师大第四版数学分析上册课件
数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪 和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学 分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况，通过换元将问题转化为更易 于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值 定理等性质。
定积分的计算方法
华东师大第四版数学分析上册课件
目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微 性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他 们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和 发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性 为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连 续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等 ，它具有广泛的应用价值。
数学分析课件2.1数列的极限和无穷大量2.51MB
已知n b 1,由（ ）得证。 x 1 lim
n
c.
lim （3）当a 1时, 对n, n a 1, 故 n n a 1（a 1 . ）
一般地，xn c有
【数学分析课件】 15
例 4.
lim
n
n
n 1.
证明: 令n n 1 hn , 则n n 1 hn , 即
1 1 由不等式有 ，故只须 n 即可。 n
即对 0, 自然数 [ ] ，当 n [ ]时，便有
( 1) n 1 1 1 . n
1
1
定义：
若对 0, 总N [ ]， 当n N时， 有
1
( 1) n 1 1 1 . n
1 ( 1) n 1 1 . 1 , 只须 n 1000000 对 , 要 使1 n 1000000 1000000
……
【数学分析课件】 5
以上还不能说明 竟它们都还是确定的数。
对
( 1) n 1 1 1 n
任意小，并保持任意小，毕
( 1) n 1 1 才 行. 0, 要 使 1 n
2
一、数列极限的定义
1.数列: 是按次序排列的一列无穷多个数
x 1 , x 2 ,L , x n ,L
数列是定义在自然数集N上的函数。即以N为定义域由小 到大取值所对应的一列函数值。 对
n N
，设
f (n) xn
，则
自变量： 1,2, L,2006 L, n, L ,
x 函数值： 1 ,
x2 , L, x2006 , L, xn , L
1 n
or
a 1 ,
1 n
第二章数列极限2-3 数列极限存在的条件
任何有界数列必有收敛子列.
证 设数列an 有界, 由例5可得有一个单调子列 ank .
显然 ank 是有界的, 再由单调有界定理推得 ank 收敛.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
柯西收敛准则
定理2.11
§3 数列极限存在的条件
单调有界定理
柯西收敛准则
数列 {an } 收敛的充要条件是: 对于任意正数 ，存在 N 0 ，当 n , m N 时, 有 an am .
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
(
a n0
Hale Waihona Puke an ( n n0 )
)
x
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§3 数列极限存在的条件
单调有界定理
柯西收敛准则
an 0 an ,
这就证明了 lim an .
n
例1 设 a1 2, , an 2 2 2 , , n 求 lim an .
柯西准则的充要条件可用另一 种形式表达为： 0, N 0, 当 n N 时， 对任意 p N+ , 都有
| a n an p | .
满足上述条件的数列称为柯西列.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
柯西( Cauchy,A.L. 1789－1857 ,法国 )
m
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§3 数列极限存在的条件
单调有界定理
柯西收敛准则
从而 1 1 1 1 e lim sn lim(1 ). n n 1! 2! 3! n! 1 1 1 1 由公式 e lim(1 ), 可以较快地 n 1! 2! 3! n! 算出 e 的近似值. 1 1 1 由于 0 snm sn , ( n 1)! ( n 2)! ( n m )! 1 令 m , 得到 0 e sn , n 1,2, . n!n 取 n 10, e s10 2.7182818, 其误差 1 7 0 e s10 10 . 10 10!
华东师版数学分析2-3课件
=
a n − a n −1 2 + a n + 2 + a n −1
> 0,
17:28
所以 { a n }递增 . 下面再来证明此数列有上界 下面再来证明此数列有上界.
显然 , a1 = 2 < 2 , 设 an < 2 , 则
a n +1 = 2 + an < 2 + 2 = 2.
由此得到 {an }有上界 2 , 故极限 lim an = A 存在 . n→∞ 于是由 lim an+1 = lim
∃ N > 0, 当 n, m > N ( 或 n, m ≥ N )
时, 有
| an − A | <
由此推得
ε
2
, | am − A | <
ε
2
.
柯西( 柯西 Cauchy,A.L. 1789－1857 ,法国 ) －
a n − am ≤ a n − A + a m − A <
17:28
ε
2
+
ε
2
=ε .
xn−1
1 1 1 ⋅1 ≤ (n −1)1 + +1 = 1 + n n n −1
1 = n 1 + = n xn , n ⇒ xn −1 ≤ xn , 即 xn ↗.
17:28
令
a1 = a2 = L = an−1 = 1 −
1 , an = 1, n −1
17:28
例2 设 a1 = 2, L , an = 2 + 2 + L + 2 , L , 144 2444 4 3
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此外，又因 是任意正数, 所以 2 , 3 , , 等
2
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均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式
| an a | 可以用 | an a | K ( K 为某一正常数 ) 来代替. 再有, 我们还可以限定 小于某一个正数 ( 比如 < 1 ). 事实上, 对 0 < < 1 若能验证 { an } 满足 定义 1, 那么对 1 自然也可以验证成立.
一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的 意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这
样的过程可以无限制地进行下去.
我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出：
第一天截下 1 , 2
1
第二天截下
பைடு நூலகம்1 22 ,
2n , . 这样就得到一个数列:
, 第n天截下
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1 2
,
1 22
,
,
1 2n
,
,
或
1 2n
.
容易看出:
数列
1
2n
的通项
1 2n
随着 n 的无限增
大而无限趋于 0 .
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三、收敛数列的定义
一般地说,对于数列 { an }, 若当 n 充分变大时, an 能无限地接近某个常数 a , 则称 { an } 收敛于 a .
下面给出严格的数学定义. 定义1 设 {an} 为一个数列, a 为一个常数, 若对于
N
1
,
当
n
N
时,
1 0 n
,
所以
1 lim 0 . n n
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例2 用定义验证 lim qn 0 ( 0 | q | 1 ) . n
分析 对于任意的正数 , 要使 | q n 0 | , 只要
n log .
log | q |
证
0( 不妨设
0
1),
取
N
log
例4 用定义验证 lim n a 1, 其中 a 0. n
证 这里只验证 a 1的情形（0 a 1 时自证）.
设
n
1
an
1
.
因为
a
1 n n
1 nn ,
所以
0
n
n
a
1
a1 n
.
故对于任意正数
,
取
N
a1
,
当
n
N
时,
n a 1 .
因此证得 lim n a 1 . n
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五、再论 “ - N ”说法
从定义及上面的例题我们可以看出:
1. 的任意性: 定义中的 用来刻画数列 {an} 的通 项与定数 a 的接近程度. 显然正数 愈小,表示 a n 与 a 接近的程度愈高； 是任意的, 这就表示 an 与 a 可以任意接近.要注意， 一旦给出，在接下
来计算 N 的过程中，它暂时看作是确定不变的.
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3. 极限的几何意义
从几何上看,“n N 时有 | an a | ”,实际上就是 所有下标大于 N 的 an 全都落在邻域 U(a; )之内， 而在 U(a; ) 之外, { an } 至多只有有限项( N 项 ). 反过来, 如果对于任意正数 , 落在 U(a; )之外至
注 定义1 这种陈述方式，俗称为 “ - N ”说法.
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四、按定义验证极限
为了加深对数列收敛定义的了解, 下面结合例题加
以说明, 希望大家对 “ - N ”说法能有正确的认识.
例1
用定义验证:
lim
n
1 n
0.
分析
对于任意正 数
, 要使
1 n
0
,
只要
n
1
.
证
对于任意的正数 , 取
为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来, 所以我们也将数列写成
a1 , a2 , , an , ,
. . . . a.2
a1 an
an1
或简记为 {an}. 这里 an 称为数列 {an} 的通项. O 1
2
n1 n
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二、一个经典的例子
古代哲学家庄周所著的《庄子 ·天下篇》引用了
log | q |
,
当 n N 时,有
|qn0| .
这就证明了 lim q n 0. n
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例3
用定义验证
n2
lim
n
3n2
n
7
1. 3
分析 任给 0, 由
n2
1
n7
3n2 n 7 3 3（3n2 n 7） ,
当 n 7 时, n 7 2n, 3n2 n 7 3n2 2n 2n2,
多只有有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表
示当
n
>N
时, an U(a; ) ,
即
lim
n
an
a.
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以上是定义 1 的等价说法, 写成定义就是:
定义1' 任给 0 , 若在 U(a; ) 之外至多只有
{ an } 的有限多项, 则称数列 { an } 收敛于a . 这样,
任意的正数 0 ,总存在正整数 N, 使当 n >N 时, | an a | ,
则称数列 { an } 收敛于a , 又称 a 为数列 { an }的极限,
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记作
lim
n
an
a
( 或 an a, n ) .
aN 1 an
(
)
a1 a a a a2
x
若{ an }不收敛, 则称 { an }为发散数列.
故要使
n7 （3 3n2 n 7）
2n 6n2
1 3n
成立,
只要 n 1
3
即可.
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注意 解这个不等式是在 n 7 的条件下进行的.
证 对于任意的正数 , 取
当
n
N
时,
N 有
max
7,
1
3
,
3n2
n2 n
7
1 3
,
即得
lim
n
3n2
n2 n7
1. 3
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{ an } 不以 a 为极限的定义也可陈述为:存在 0 0, 使得在 (a 0，a 0 ) 之外含有 { an } 中的无限多
§1 数列极限的概念
数列极限是整个数学分析最重要的基础
之一, 它不仅与函数极限密切相关，而且
为今后学习级数理论提供了极为丰富的准 备知识.
一、数列的定义
二、一个经典的例子
三、收敛数列的定义
四、按定义验证极限
五、再论 “ - N ”说
法六、一些例子
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一、数列的定义
若函数 f 的定义域为全体正整数的集合 N+ , 则称 f : N+ R 或 f (n), n N+
2. N 的相对性:从定义1 中又可看出, 随着 的取值
不同, N 当然也会不同. 但这并不意味着 N 是由
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惟一确定. 例如, 当 n >N 时, 有 |an a| ,
则当 n > N1 = 2N 时, 对于同样的 , 更应有 |an a| .
也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追 求 N 的 “ 最佳性 ” .
2
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均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式
| an a | 可以用 | an a | K ( K 为某一正常数 ) 来代替. 再有, 我们还可以限定 小于某一个正数 ( 比如 < 1 ). 事实上, 对 0 < < 1 若能验证 { an } 满足 定义 1, 那么对 1 自然也可以验证成立.
一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的 意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这
样的过程可以无限制地进行下去.
我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出：
第一天截下 1 , 2
1
第二天截下
பைடு நூலகம்1 22 ,
2n , . 这样就得到一个数列:
, 第n天截下
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1 2
,
1 22
,
,
1 2n
,
,
或
1 2n
.
容易看出:
数列
1
2n
的通项
1 2n
随着 n 的无限增
大而无限趋于 0 .
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三、收敛数列的定义
一般地说,对于数列 { an }, 若当 n 充分变大时, an 能无限地接近某个常数 a , 则称 { an } 收敛于 a .
下面给出严格的数学定义. 定义1 设 {an} 为一个数列, a 为一个常数, 若对于
N
1
,
当
n
N
时,
1 0 n
,
所以
1 lim 0 . n n
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例2 用定义验证 lim qn 0 ( 0 | q | 1 ) . n
分析 对于任意的正数 , 要使 | q n 0 | , 只要
n log .
log | q |
证
0( 不妨设
0
1),
取
N
log
例4 用定义验证 lim n a 1, 其中 a 0. n
证 这里只验证 a 1的情形（0 a 1 时自证）.
设
n
1
an
1
.
因为
a
1 n n
1 nn ,
所以
0
n
n
a
1
a1 n
.
故对于任意正数
,
取
N
a1
,
当
n
N
时,
n a 1 .
因此证得 lim n a 1 . n
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五、再论 “ - N ”说法
从定义及上面的例题我们可以看出:
1. 的任意性: 定义中的 用来刻画数列 {an} 的通 项与定数 a 的接近程度. 显然正数 愈小,表示 a n 与 a 接近的程度愈高； 是任意的, 这就表示 an 与 a 可以任意接近.要注意， 一旦给出，在接下
来计算 N 的过程中，它暂时看作是确定不变的.
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3. 极限的几何意义
从几何上看,“n N 时有 | an a | ”,实际上就是 所有下标大于 N 的 an 全都落在邻域 U(a; )之内， 而在 U(a; ) 之外, { an } 至多只有有限项( N 项 ). 反过来, 如果对于任意正数 , 落在 U(a; )之外至
注 定义1 这种陈述方式，俗称为 “ - N ”说法.
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四、按定义验证极限
为了加深对数列收敛定义的了解, 下面结合例题加
以说明, 希望大家对 “ - N ”说法能有正确的认识.
例1
用定义验证:
lim
n
1 n
0.
分析
对于任意正 数
, 要使
1 n
0
,
只要
n
1
.
证
对于任意的正数 , 取
为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来, 所以我们也将数列写成
a1 , a2 , , an , ,
. . . . a.2
a1 an
an1
或简记为 {an}. 这里 an 称为数列 {an} 的通项. O 1
2
n1 n
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二、一个经典的例子
古代哲学家庄周所著的《庄子 ·天下篇》引用了
log | q |
,
当 n N 时,有
|qn0| .
这就证明了 lim q n 0. n
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例3
用定义验证
n2
lim
n
3n2
n
7
1. 3
分析 任给 0, 由
n2
1
n7
3n2 n 7 3 3（3n2 n 7） ,
当 n 7 时, n 7 2n, 3n2 n 7 3n2 2n 2n2,
多只有有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表
示当
n
>N
时, an U(a; ) ,
即
lim
n
an
a.
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以上是定义 1 的等价说法, 写成定义就是:
定义1' 任给 0 , 若在 U(a; ) 之外至多只有
{ an } 的有限多项, 则称数列 { an } 收敛于a . 这样,
任意的正数 0 ,总存在正整数 N, 使当 n >N 时, | an a | ,
则称数列 { an } 收敛于a , 又称 a 为数列 { an }的极限,
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记作
lim
n
an
a
( 或 an a, n ) .
aN 1 an
(
)
a1 a a a a2
x
若{ an }不收敛, 则称 { an }为发散数列.
故要使
n7 （3 3n2 n 7）
2n 6n2
1 3n
成立,
只要 n 1
3
即可.
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注意 解这个不等式是在 n 7 的条件下进行的.
证 对于任意的正数 , 取
当
n
N
时,
N 有
max
7,
1
3
,
3n2
n2 n
7
1 3
,
即得
lim
n
3n2
n2 n7
1. 3
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{ an } 不以 a 为极限的定义也可陈述为:存在 0 0, 使得在 (a 0，a 0 ) 之外含有 { an } 中的无限多
§1 数列极限的概念
数列极限是整个数学分析最重要的基础
之一, 它不仅与函数极限密切相关，而且
为今后学习级数理论提供了极为丰富的准 备知识.
一、数列的定义
二、一个经典的例子
三、收敛数列的定义
四、按定义验证极限
五、再论 “ - N ”说
法六、一些例子
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一、数列的定义
若函数 f 的定义域为全体正整数的集合 N+ , 则称 f : N+ R 或 f (n), n N+
2. N 的相对性:从定义1 中又可看出, 随着 的取值
不同, N 当然也会不同. 但这并不意味着 N 是由
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惟一确定. 例如, 当 n >N 时, 有 |an a| ,
则当 n > N1 = 2N 时, 对于同样的 , 更应有 |an a| .
也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追 求 N 的 “ 最佳性 ” .