矩阵不等式的扩充与某些性质
关于矩阵范数的几个不等式
关于矩阵范数的几个不等式
舍克范数是一种用于度量矩阵的度量，它是一种比较矩阵的规模的一种方法，被广泛地用于数学和工程应用。
一种有用的性质是，它反映了矩阵中元素的总模数。
矩阵范数还经常用于解决数值计算问题，比如解决线性方程组，最小二乘估计等。
它也被用于图像处理，比如对图像进行锐化和缩放。
关于矩阵范数的几个不等式
1.列范数达到最大值
一个m×n矩阵A的舍克范数达到最大值，当它的每个元素都被最大可能的数值代替时，即Aij=|Aij|.
2.列范数的凸性
如果A和B是m×n矩阵，并且α是一个实数，α>0,
那么有：
|A+B| <= |A|+|B| .
3.列范数的依赖性
如果A是m×n矩阵，那么有：
|A| = |UAV|，
其中U是m×m矩阵，V是n×n矩阵，A = UAV是A的奇异值分解
4.等性
如果A和B是m×n矩阵，那么有：
|A| = |B|当且仅当A和B是相等的。
5. 三角不等式
如果A和B是m×n矩阵，那么有：
|A + B| |A| + |B|。
这些不等式能够决定某矩阵的范数的大小和上限，进一步帮助研究人员深入探索矩阵范数的特性和性质。
这些不等式提供了一个明确的方法，用于在计算机科学中提高数值计算精度和效率。
以上就是有关矩阵范数的几个不等式的内容，它们可以有效地提高数值计算的精度和效率，为计算机科学提供有价值的参考。
同时，这些不等式也可以作为有关矩阵范数的研究基础，为人们了解这一概念提供明确的参考。
线性矩阵不等式
则应用引理 2.1.2，可以将矩阵不等式（2.1.6）的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等 式
AT P PA Q PB
BT P
R0
（2.1.7）
的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。
2.3一些标准的线性矩阵不等式问题
例2.1.1 稳定性问题 考虑线性自治系统
x(t) Ax(t)
setlmis([]) X=lmivar(1,[61]) S=lmivar(1,[20;21]) ﹪lst LMI lmiterm([111x],1,A,’s’) lmiterm([111s],c’,c) lmiterm([112x],1,B) lmiterm([122s],-1,1) ﹪2nd LMI lmiterm([-211X],1,1) ﹪3rd LMI lmiterm([-311s],1,1) lmiterm([3110],1) lmisys=getlmis
m 是一组给定的实对称矩阵，（2.1.1）中的不等号“＜”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有
非零的向量 v Rm , vT F (x)v0 或者 F(x)的最大特征值小于零。
在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov 矩阵 不等式：
F ( X ) AT X XA Q0
lmivar 函数lmivar用来描述出现在线性矩阵不等式系
统中的矩阵变量，每一次只能描述一个矩阵变 量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。 该函数的一般表达是：
X=lmivar(type,struct) 这一函数定义了一个新的矩阵变量X。函数中
的第一个输入量type确定了矩阵变量X的类型， 第二个输入量struct进一步根据变量X的类型给 出该变量的结构。变量的类型分成三类：
关于正矩阵性质的几个不等式及 Holder、Minkowski不等式的推广与发展
关于正矩阵性质的几个不等式及 Holder、Minkowski不等式的推广与发展刘珍儒【摘要】推广得到了关于正矩阵性质的几个不等式，借此推广发展了经典的Holder、Minkowski不等式，并利用这些成果给出了恒正可积函数列的广义Holder及广义Minkowski积分不等式。
%This paper obtained several inequalities on the nature of the positive matrix,thereby promoting the classical Holder and Minkowski inequality, it gives the generalized Holder-Minkowski integral inequality for Hengzheng integrable function.【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(030)005【总页数】5页(P69-73)【关键词】正矩阵;矩阵的幂平均;幂不等式【作者】刘珍儒【作者单位】山东理工大学理学院，山东淄博 255049【正文语种】中文定义1 设，称数为a1,a2，…，aM关于权系数p1,p2,…，pm的r次幂平均. 规定，即零次幂平均等于a1,a2,…,am关于权系数p1,p2,…,pm的几何平均.定义2 设A为m×n阶矩阵.若A中各元素均为正数，即称A为正矩阵.本文中考虑的矩阵皆指正矩阵，不再重述.矩阵各行(或各列)的平均系数，简称为行(或列)权系数.本文限定：同一矩阵各行取相同的行权系数，各列取相同的列权系数.下面令A=(aij)m×n的行权系数为{，列权系数为{.定义3 对矩阵A各行的S次幂平均值，按矩阵A列权系数，作t次幂平均后的所得值，简称A的“行S次幂平均的列t次幂平均”.记为lt[Hs(A)].类似，对A各列的t次幂平均值，按A的行权系数，作S次幂平均后所得值，简称矩阵A的“列t次幂平均的行S次幂平均”.记为Hs[lt(A)].和分别表示矩阵A“第i行的S次幂平均”和“第j列的t次幂平均”，由定义3知：矩阵A的行算术平均的列几何平均，记为矩阵A列几何平均的行算术平均.记为矩阵A的行r次幂平均的列几何平均，记为定理1 设A=(aij)m×n为正矩阵，则有A的行算术平均的几何平均值≥其列几何平均的行算术平均.即L0[H1(A)]≥H1[L0(A)].亦即定理2 设A=(aij)m×n为正矩阵，r为非零实数，则(i)若r>0时，有证明令,因，{Hr[L0(A)]/L0[Hr(A)]}r=在不等式(7)两端，同作次乘幂(只取幂正主值)，因不等式两边同作正数次幂不等号不变，同作负数次幂，原不等式反向，故(4)和(5)成立.推论1 当r=1时，不等式(4)即为不等式(3).推论2 当列权系数改为时，不等式(4)、(5)也成立.证明设由不等式L0[Hr(A1)]≥Hr[L0(A1)]和L0[Hr(A)]≥Hr[L0(A)]所得不等式相同，且同为不等式(4).因不等式(3)是(4)式特例，不等式(5)又是(4)式的反向不等式，故不等式(3)和(5)成立条件，也应改为pi≤1.定理3 设A=(aij)m×n为正矩阵，s、t为实数.(i)若s>t>0，则有即Lt[Hs(A)]≥Hs[Lt(A)].(ii)若0>t>s,则有(7)式的反向不等式，即即Hs[Lt(A)]≥Lt[Hs(A)].证明利用矩阵A作矩阵Bk因s>t>0,或0>t>s时，均有1>t/s>0，故可令矩阵Bk的行、列权系数分别为q1,q2,…，qn和.将不等式(3)用于矩阵Bk，则有L0[H1(BK)]≥H1[L0(BK)]L0[H1(BK)]=H1[L0(BK)]=将以上两式代入(9)式两端，即得在不等式(10)两边，分别关于k从1至m作和，化简后则有在(11)式两边同除以后，再同作次乘幂，经化简得(1)当s>t>0时，因1/t>0,则(7)成立.(2)当0>t>s时，因1/t<0,故1/t将乘幂后，不等式反向，则(8)成立.即Hs[Lt(A)]≥Lt[Hs(A)](0>t>s)证讫.顺便指出：不等式(4) 与(5)和不等式(7)与(8)都分别是同一不等式参数的分段表示. 不等式(或等式)两边取同极限所得不等式(或等式)，简称为原不等式(或等式)的极限形式.定理4 (i)不等式(4)是不等式(7)中S=r，当t→0+时的极限形式.(ii)不等式(5)是不等式(8)中s=r，当t→0-时的极限形式.证明(i)、令s=r,t→0+，在不等式(7)两边同取极限，即因和分别可视为数列和数列aij(i=1,2,…，m)关于平均系数p1,p2,…，pm的零次幂平均，故由零次幂平均性质得将(14)、(15)代入(13)式，得(4)成立.即不等式(4)是不等式(7)的极限形式.同法可证(ii).令{fi(x)}m表示函数列f1(x),f2(x),…，fm(x).定理5 设fi(x)(i=1,2,…，m)在[a,b]上恒正可积，,则(1)若r>0，有(2)设s、t为实数，若s>t>0，则有即函数列{fi(x)}m的S次积分幂平均的t次幂平均≥函数列{fi(x)}m的t次幂平均的S次积分幂平均.若0>t>s，则有证明将[a,b]划分n等分：x0=a<x1<x2<…<xn=b.任取，n.将aij=fi(ξj)和代入(4)式，有令n→+∞,即Δx→0,在(19)两边同取极限，即由根据极限性质，即有利用定积分定义，即得类似以上方法，将分别代入不等式(7)和(8)，在所得不等式两边，令n→+∞,从而Δx→0,同取极限，即分别得积分不等式(17)和(18)．(从略)．推论3 (1)令(20)式中r=1,则有即{fi(x)}m积分的几何平均≥{fi(x)}m几何平均的积分.(2)令(17)中S=r，t=1，即得即函数列{fi(x)}m的r次积分幂平均的算术平均≥函数列{fi(x)}的算术平均的r次积分幂平均.(3)令(17)式中S=1，t=r，即有x. (r<1)下例证明了幂平均和积分幂平均的重要性质.例1 设f(x)在[a,b]恒正可积，,则有(s>t>0)(s>t>0)证明选取及A4的行、列权系数分别为：q1,q2,…，qn和将不等式(3)用于矩阵A4，则L0[H1(A4)]≥H1[L0(A4)]化为化简得上式两边同作次乘幂，即得将代入(24)式后，在不等式两边，令n→+∞,即Δx→0同取极限，即得(25)式.。
矩阵不等式
(5.1.3) (5.1.4)
推论: Hermite 矩阵的特征值都是实数; 反 Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数。 事实上，当 A 为 Hermite 矩阵时，由式（5.1.4） 知 Im( )=0,即 为实数； 当 A 为反 Hermite 矩阵时，由式（5.1.3）知 Re( )=0,即为 为零或纯虚数。 定义.5.1 设 A (ars ) C
a1
h
p O q ak
定理 5.5 （Schur’s inequality） 设 A=(ars)Cn×n 的特征值为1，…，n，则有
| r |2
r 1
n
r ,s 1
| a
n
rs
|2 || A ||2 F
(5.1.9)
证明：根据定理 1.43,存在酉矩阵 U 使得 A=UTUH 其中 T 为上三角矩阵。因此 T 的对角元素为 A 的特征值，且有
b
i 1 j i
n 1
ij
( xi y j x j yi ) |2
2
n (2M) | xi y j x j yi | i 1 j i
2
(利用(a1+a2+…+an)2 n((a1)2+(a2)2+…+(an)2)
n 2 (2M) (n(n1)/2) | xi y j x j yi | i 1 j i
xT x yT x
(求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (xTx+yTy)=xTAx+yTAy (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： (xTx+yTy)=xT(AAT)y 1). 记 B=AAT,则 |xTBy|||x||2 ||B||2||y||2 从而 ||||x||2 ||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y||2)2) 利用 ab/(a2+b2)1/2 可得 ||||B||2 /2. 2). 由于|xTBy|||Bx||1 ||y||||B||1||x||1 ||y|| 从而 ||||B||1 ||x||1 ||y|| /((||x||2)2 +(||y||2)2) 易证明 ||x||1 ||y|| /((||x||2)2 +(||y||2)2) n /2. (显然，不妨假设(||x||2)2 +(||y||2)2=1, 设||y||=t=cos(), 则 y 必为 t ej 的形式（为什么？） ， 从而极值转化为求解如下最大值问题： max ||x||1, 满足约束(||x||2)2=1t2 这样有均值不等式||x||1 n ||x||2=
线性矩阵不等式
7.4.2线性矩阵不等式的确定
LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性 矩阵不等式。 NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M 其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量， 左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩 阵，左、右内因子L（﹒）和R（﹒）是具有相 同块结构的对称块矩阵。 注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是 指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式 X>0，X称为是不等式的右边，0称为是不等式 的左边，常表示成0< X。
I F T ( x) F ( x) F ( x) I 0 0 F ( x) I
T 2
因此，可以通过求解：
min x,
(7.3.2)
I F T ( x) s.t 0 F ( x) I
来得到所求问题的解。显然，问题（7.3.2）是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数 的最优化问题。
定的常数矩阵。由于
DED 1 1 D T E T D T DED 1 1
E T DT DE DT D
ET XE X 0
1 T 其中 X D D0 。因此，使得 DED 1 成立的对角矩阵 D 的存在性问题等价
于线性矩阵不等式 E XE X 0 的可行性问题。
要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步： 给出每个矩阵变量X1，…，XK的维数和结构； 描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。 这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部 表示，它以一个单一向量的形式储存在计算机内，通 常用一个名字，例如lmisys来表示。该内部表示lmisys 可以在后面处理这个线性矩阵不等式时调用。 下面将通过LMI工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不 等式系统的确定。运行lmidem可以看到这个例子的完 整描述。
矩阵不等式
如果A按行严格对角占优，则
(5.1.5)
且当ars=0(s>r)时，式(5.1.5)中等号成立。
证明：由于A按对角占优，所以det(A)0.
考虑方程组
因为A按行对角占优，因此A1也按行对角占优。
从而A1可逆。上述线性方程组有唯一解
x(1)=(2,…,n)T.
可以证明|k|=max {|2|,…,|n|} <1,
则|yHBy| .
定理5.2设ACn×n，则A的任一特征值 满足
| | ||A||
(5.1.3)
(5.1.4)
推论:Hermite矩阵的特征值都是实数;
反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数。
事实上，当A为Hermite矩阵时，由式（5.1.4）
知Im( )=0,即 为实数；
当A为反Hermite矩阵时，由式（5.1.3）知
4). |xTBy|=| |
而 (xTx)1/2(yTy)1/2
由此可以有||(1/2)
思考题：对于(1)式，利用定理特征值都是实数。
事实上，当A这实对称矩阵时，M=0.
由定理5.1可得Im( )=0,即 为实数。
引理1设BCn×n,列向量yCn满足||y||2=1,
易证明||x||1||y||/((||x||2)2+(||y||2)2) /2.
(显然，不妨假设(||x||2)2+(||y||2)2=1,
设||y||=t=cos(),则y必为tej的形式（为什么？），
从而极值转化为求解如下最大值问题：
max||x||1,满足约束(||x||2)2=1t2
这样有均值不等式||x||1 ||x||2= (1t2)1/2,
矩阵范数的三角不等式
矩阵范数的三角不等式
矩阵范数是一个向量空间中的概念,它可以用来度量矩阵的大小和形状。
矩阵范数的三角不等式是一组重要的数学不等式,它们描述了矩阵范数的一些性质。
以下是矩阵范数的三角不等式:
1. 正弦不等式:对于任意的实对称矩阵A,有|A| ≤ ||A||~2,其中||A||~2表示A的模平方。
2. 余弦不等式:对于任意的实对称矩阵A,有|A| ≤ ||A||~3,其中||A||~3表示A的模立方。
3. 正切不等式:对于任意的实对称矩阵A,有|A| ≤ ||A||~4,其中||A||~4表示A的模四次方。
4. 模方不等式:对于任意的实对称矩阵A,有|A| ≤ ||A||^2,其中||A||^2表示A的模平方。
这些不等式的重要性在于,它们描述了矩阵范数的一些基本性质,如对称性、周期性、三角不等式等,这些性质在矩阵论、计算几何等领域都有广泛的应用。
矩阵的几个不等式
矩阵的几个不等式1. 矩阵的不等式定义：矩阵的不等式指的是一组矩阵的元素之间的比较，它可以是大于、小于或等于关系。
矩阵的不等式可以表示为A≤B，其中A和B分别是两个矩阵，A≤B表示A中的每个元素都小于等于B中的对应元素。
## 2. 矩阵的不等式性质1. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥A；2. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤2A；3. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠A；4. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠2A；5. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥2A；6. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤A；7. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠0；8. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠-A；9. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥0；10. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤-A。
3. 矩阵的不等式应用矩阵的不等式应用可以用于多种情况，如矩阵的范数估计、矩阵的特征值估计、矩阵的迹估计、矩阵的奇异值估计、矩阵的乘积估计等。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于求解线性方程组、求解矩阵的逆等问题。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于矩阵的正定性判断、矩阵的正交性判断等。
#### 4. 矩阵的不等式推导1. 对于矩阵A，若A的行列式不为零，则有A的逆矩阵存在；2. 若A的行列式为零，则A的逆矩阵不存在；3. 对于任意矩阵A，有A+A的逆矩阵存在；4. 对于任意矩阵A，有A*A的逆矩阵存在；5. 对于任意矩阵A，有A*A+A的逆矩阵存在；6. 对于任意矩阵A，有A*A*A的逆矩阵存在；7. 对于任意矩阵A，有A*A*A+A的逆矩阵存在；8. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A的逆矩阵存在；9. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A+A的逆矩阵存在。
5. 矩阵的不等式变换：矩阵的不等式变换是指将一个矩阵中的不等式变换为另一个矩阵，这样可以更容易地解决矩阵的不等式问题。
变换的方法有很多，比如可以使用行列式，矩阵乘法，矩阵加法，矩阵转置等。
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矩阵不等式的扩充与某些性质学生姓名 张旭东 指导教师 温瑞萍 （太原师范学院数学系14011班 山西太原 030012）【内容摘要】 本文扩充了矩阵不等式的定义，突破了在矩阵不等式中矩阵必须为对称矩阵的限制，并进一步讨论，证明了矩阵不等式的某些性质。
【关键词】 正定矩阵 矩阵不等式 nn R ⨯ 交换引言对于n 阶实对称矩阵A ，如果对任意的x ∈nR ，且x ≠0,都有0>'Ax x ，则称A 为正定矩阵，记为A>0；如果对于任意x n R ∈，都有0≥'Ax x ，则称A 为半正定矩阵，记为0≥A ；如果对任意的x nR ∈，且x ≠0，都有0<'Ax x ，则称A 为负定矩阵，记为A<0；如果对任意的x nR ∈，都有0≤'Ax x ，则称A为半负定的，记为A 0≤。
如果总存在1x ,2x nR ∈,使01>'Ax x , 022<'Ax x ,则称A 为不定矩阵。
定义1：设A,B 均为n 阶实对称矩阵，如果A-B 0≥，则称A 大于等于B （或称B 小于等于A ）记作A ≥B （或B ≤A ）；，如果A-B>0，则称A 大于B （或称B 小于A ），记作A>B （或B<A ）。
引理[]11 A 是正定矩阵的充要条件是A 的任意阶顺序主子式大于零。
引理[]12 A 是负定矩阵的充要条件-A 是正定矩阵。
n n R ⨯表示n 阶实矩阵空间。
i A （ 2,1=i n ）表示矩阵A 的i 阶顺序主子式。
引理1 设A ∈nn R ⨯,则A 可唯一表示成一对称矩阵和反对称矩阵的和。
即A=S （A ）+K （A ）。
其中S(A)=21(A +)A ',K(A)=)(21A A '- ，则)()(A S A S ='，)()(A K A K ='。
S(A)表示A 的对称部分，K(A)表示A 的反对称部分。
在英文中symmetrical 表示“对称的”，所以在本文中用S(A)表示矩阵A 的对称部分，skew 表示“反对称的”，而本文已用了S(A)表示矩阵A 的对称部分，故用K(A)表示矩阵A 的反对称部分。
正文本文突破了矩阵不等式中矩阵必须为对称矩阵的限制，从而扩充了矩阵不等式的范围。
引理2 A ，B ∈nn R⨯，如果K （A ）=K （B ），则A-B 是对称矩阵。
定义1'：设A ，B ∈nn R ⨯，如果K （A ）=K （B ），且有A-B 0≥，则称A 大于等于B （或称B 小于等于A ），记作A ≥B ；如果K （A ）=K （B ）且有A-B>0，则称A 大于B （或称B 小于A ），记作A>B （或B<A ）。
如: A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400040224 B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--002002000 A,B 均不是对称矩阵。
但 K(A)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001001110 K （B ）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001001110 ∴ K(A)=K(B) A-B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡402042224则A-B 是对称矩阵，且 1)(B A -=4>0 2)(B A -=4224=12>0 3)(B A -=402042224=32>0∴A-B>0 即A>B 。
这里当n 为1时，所定义的不等式便是实数不等式，当n 大于或等于2时，所定义的不等式便与一般不等式有所不同，这里的大于或小于仅是一种记号，表示正定或负定，是矩阵中的一种偏序，而不是一般意义下的大小。
如任意两个实数总能比较大小，但任意两个n 阶矩阵不一定能比较大小。
因为，首先对于任意的n 阶矩阵A ，B 。
A-B 便不一定是对称矩阵。
就算A-B 是对称矩阵也不一定能比较大小。
如： A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3021 B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1102 A-B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2121显然A-B 不是对称矩阵，当然不能判断正定。
A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2011 B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2012 A-B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001A-B 是对称矩阵．但由于1)(B A -=-1 2)(B A -=1 ∴ A ≥B 或B ≥A 均不成立。
引理[]23：设A ，B ，C ，D ∈nn R⨯，且K(A)=K(B)=K(C)=K(D),则1） A ≥B (A>B)⇔kA ≥kB (kA>kB) k>0⇔kA ≤kB(kA<kB) k<0 2） A ≥0 B ≥0⇒A+B ≥03） A ≥0 B>0 ⇒A+B>0 4） A ≥B B ≥A ⇒A=B 5） A ≥B B ≥C ⇒A ≥C 6） A ≥B C ≥D ⇒A+C ≥B+D 7） A ≥B B>C ⇒A>C8） A>0 (A ≥0) B>0 (B ≥0)且AB=BA,则AB>0(AB ≥0) 9） A ≥B ⇒A+C ≥B+C 由引理3的性质1） 可得A ，B ∈nn R ⨯则，则A ≥B ⇔-A ≤-B由引理3的性质4） 可得A ∈nn R ⨯，则A ≥0 A ≤0⇒A=0定理4：设A ，B ∈nn R⨯，则A>B 的充要条件是：对任意n ⨯m 列满秩矩阵P 都有BP P AP P '>'。
证明：必要性 )(''-'BP P AP P =[]'-'p B A P )(=P 'P B A )('-=P B A P )(-' ∀ x mR ∈,x ≠0由P 列满秩 ∴Px ≠0()x BP P AP P x '-''=0)()(>-'Px B A Px 此即 BP P AP P '>'充分性 BP P AP P '>' 即∀ x mR ∈,x ≠0 ()x BP P AP P x '-''>0⇔0)()(>-'Px B A Px由于 p 的任意性知 A-B>0 即 A>B引理[]25：设A ，B ，C ，D ∈nn R ⨯,则1)如果A>B, C>0，且AC=CA, BC=CB,则 AC>BC ； 如果A>B, C<0, 且AC=CA, BC=CB,则 AC<BC 。
2)如果A>B>0, C>D>0,且有AC=CA, BD=DB, AB=BA 或BC=CB,那么AC>BD 。
3)如果A>0,则01>-A 。
定理6:如果A,B ∈nn R⨯ A,B>0且AB=BA,那么B A B A nn>⇔> )(+∈N n 。
证明:充分性:A>0,B>0,且A>B 由引理3的2)可知 nnB A >必要性: nnB A >⇔0>-n n B A ⇔(A-B))(121---+++n n n AB B A B A >0 ①由于A>0,B>0 则可知)(121---+++n n n AB B A B A >0从而1121)(----+++n n n AB B A B A存在。
①式两边同乘以1121)(----+++n n n AB B A B A ,则可得A-B>0,即A>B 。
定义:设A >0,则2A =A ; A <O,则2A =-A 。
定理7:设A>B 或A<B,且AB=BA,则AB B A 222>+。
证明: 0)(2222>-=-+B A AB B A 即 AB B A 222>+。
定理8: 设n 阶实矩阵0>>B A 或0>>A B ,且BA AB =,则B A +>AB 2。
证明:由于 0>>B A 或0>>A B , 且BA AB = ,所以0>AB ,则存在唯一正定矩阵C ,使2C AB =,所以C C AB ==2有意义。
而由定理6知B A +>AB 2⇔AB B A AB B A AB B A 204)(4)(2222>+⇔>-+⇔>+定理9:对于任意n 阶正定矩阵A,存在唯一正定矩阵B,使A=Bk2,k +∈N 。
证明:由于A 是正定矩阵,从而存在唯一正定矩阵C,使A=C 2。
由数学归纳法可易证存在正定矩阵B,使A=Bk2。
对于正定矩阵A 和B,如果A=B k2,则称B 为A 的2k 次方根，记为B=k A 2。
推论:对于A1, A2,An2>0,Ai)22,1(n i =不完全相等,且可互相交换，则有nn n A A A nA A A 22212212 >+++性质1:设A 是n 阶不对称矩阵,B=-A ',则如A 在两等号的特征值,A>B 或B>A 不成立。
证明:显然可知：A-B 即A -A '是对称矩阵。
设A 的两特征值分别为21,λλ,且0,021<>λλ1λ相对应的一特征值向量为1x , 1x ≠0则02)()()(1111111111111111>'='+'='+'='+'=-'x x x x x x x Ax Ax x x A A x x B A x λλλ A B >∴ 不成立。
2λ相对应的一特征值向量为2x , 02≠x则 02)()()(2222222222222222<'='+'='+'='+'=-'x x x x x x x Ax Ax x x A A x x B A x λλλB A >∴ 不成立。
性质2:设A,B,C 为n 阶正定矩阵,且可相互交换,并且可排序,求证ABC B A C A C B C B A 6)()()(222222≥+++++。
证明:由于B,C 可排序.所以有 BC C B 222≥+ 又0>A ∴ABC C B A 2)(22≥+同理 ABC BCA A C B 22)(22=≥+ ABC CAB B A C 22)(22=≥+∴ ABC B A C A C B C B A 6)()()(222222≥+++++性质3:设A,B 为n 阶正定矩阵,并可相互交换,并且可排序,则有2233AB B A B A +≥+。