(完整版)九年级点与圆的位置关系练习含答案(精选典题),推荐文档
部编数学九年级上册专题12点、直线与圆的位置关系(热考题型)解析版含答案
专题12 点、直线与圆的位置关系【思维导图】◎考点题型1 点和圆的位置关系PO=，则点P与⊙O的位例．（2022·河北邯郸·九年级期末）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若6置关系是（）A．圆内B．圆上C．圆外D．圆上或圆外【答案】C【分析】根据点到圆心的距离小于半径即可判断点P在⊙O的内部．【详解】∵⊙O的半径为5，PO＝6，∴点P到圆心O的距离大于半径，∴点P 在⊙O 的外部，故选C ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解点与圆的位置关系是解题的关键．变式1．（2021·江苏淮安·九年级期中）O e 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离3cm OA ＝，则点A 与O e 的位置关系为（ ）A ．点A 在O e 上B ．点A 在O e 内C ．点A 在O e 外D ．无法确定【答案】B【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：O Q e 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，即点A 到圆心O 的距离小于圆的半径，\点A 在O e 内．故选：B ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆内⇔d ＜r ．变式2．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，4为半径作圆，点P 的坐标是（5，5），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 上B ．点P 在⊙O 内C ．点P 在⊙O 外D ．点P 在⊙O 上或在⊙O 外变式3．（2021·江苏常州·九年级期中）数轴上有两个点A 和B ，点B 表示实数6，点A 表示实数a ，⊙B半径为4．若点A在⊙B内部，则a的取值范围是（ ）A．a＜2或a＞10B．2＜a＜10C．a＞2D．a＜10【答案】B【分析】先表示出AB=|6-a|，从而列出|6-a|＜4，进而即可求解．【详解】解：∵点B表示实数6，点A表示实数a，∴AB=|6-a|，∵⊙B半径为4．若点A在⊙B内部，∴|6-a|＜4，即：2＜a＜10，故选B．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆的内部则点与圆心的距离小于圆的半径，是解题的关键．◎考点题型2 三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）外接圆圆心和三角形位置关系：1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.例．（2022·江苏·九年级）如图，在平面直角坐标系中，()0,3A-，()2,1B-，()2,3C．则△ABC的外心坐标为（）图2C CA ．()0,0B ．()1,1-C ．()2,1--D ．()2,1-【答案】D 【分析】由BC 两点的坐标可以得到直线BC ∥y 轴，则直线BC 的垂直平分线为直线y =1，再由外心的定义可知△ABC 外心的纵坐标为1，则设△ABC 的外心为P （a ，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到()()()22222222131621148PA a a PB a a a =++=+==-++=-+，由此求解即可．【详解】解：∵B 点坐标为（2，-1），C 点坐标为（2， 3），∴直线BC ∥y 轴，∴直线BC 的垂直平分线为直线y =1，∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，∴△ABC 外心的纵坐标为1，设△ABC 的外心为P （a ，1），∴()()()22222222131621148PA a a PB a a a =++=+==-++=-+，∴221648a a a +=-+，解得2a =-，∴△ABC 外心的坐标为（-2， 1），故选D ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．变式1．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，若AB =3，则⊙O 的半径是（ ）A ．32BCD ．52∵△ABC 为等边三角形，∴∠B =60°，变式2．（2022·全国·九年级）如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C；（2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC．则下列说法中不正确的是（ ）A．∠ABD＝90°B．sin2A+cos2D＝1C．DB D．点C是△ABD的外心变式3．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）如图，△ABC和△DBC中，点D在△ABC内，AB＝AC＝BC＝2，DB＝DC，且∠D＝90°，则△ABC的内心和△DBC的外心之间的距离为（）B．1C DA．12◎考点题型3 三点定圆的方法1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B 的圆，这样的圆也有无数个．3）经过三点时：情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．三点定圆的画法：1）连接线段AB,BC。
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2018年10月05日数学40的初中数学组卷一．选择题（共22小题）1．已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断2．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（ ）A．4B．3C．2D．3．⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，点P的位置（ ）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定4．已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C 为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）A．（0，0）B．（1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（2，0）6．⊙O的半径为4，圆心到点P的距离为d，且d是方程x2﹣2x﹣8=0的根，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O内部B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外部D．点P不在⊙O 上7．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm8．已知⊙O的半径为6，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与⊙O的位置关系为（ ）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不确定9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）10．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O内B．点P的⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的值可以是下列选项中的（ ）A．3B．4C．5D．612．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定13．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（ ）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°14．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（ ）A．5cm或11cm B．2.5cm C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm15．下列语句中，正确的有（ ）个．（1）三点确定一个圆（2）平分弦的直径垂直于弦（3）相等的弦所对的弧相等（4）相等的圆心角所对的弧相等．A．0个B．1个C．2个D．3个16．若点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以3为半径的圆内，则a的取值范围为（ ）A．﹣2＜a＜4B．a＜4C．a＞﹣2D．a＞4或a＜﹣217．下列说法正确的是（ ）A．一个点可以确定一条直线B．两个点可以确定两条直线C．三个点可以确定一个圆D．不在同一直线上的三点确定一个圆18．在△ABC中，已知AB=AC=4cm，BC=6cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为3cm的圆，则下列说法正确的是（ ）A．点A在⊙D外B．点B在⊙D内C．点C在⊙D上D．无法确定19．⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为（ ）A．B．C．D．20．若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（ ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，CD=3，AB=4，则⊙O的直径等于（ ）A．B．3C．5D．722．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°二．填空题（共7小题）23．已知三角形三边长分别为1cm、cm和cm，则此三角形的外接圆半径为 cm．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为 ．25．直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 ．26．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ．27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是= 度．28．三角形的外心是三角形 的交点．29．如图，点O是△ABC的外心，且∠BOC=110°，则∠A= ．三．解答题（共1小题）30．已知：如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为4，∠A=30°，求BC的长．2018年10月05日数学40的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内，故选：A．2．【解答】解∵∠BAC与∠BOC互补，∴∠BAC+∠BOC=180°，∵∠BAC=∠BOC，∴∠BOC=120°，过O作OD⊥BC，垂足为D，∴BD=CD，∵OB=OC，∴OB平分∠BOC，∴∠DOC=∠BOC=60°，∴∠OCD=90°﹣60°=30°，在Rt△DOC中，OC=2，∴OD=1，∴DC=，∴BC=2DC=2，故选：C．3．【解答】解：∵⊙O的直径为15cm，∴⊙O的半径为7.5cm，∵O点与P点的距离为8cm，∴点P在⊙O外．故选：A．4．【解答】解：∵圆的半径是4cm，点A到圆心的距离是3cm，小于圆的半径，∴点A在圆内．故选：A．5．【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图得：∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：C．6．【解答】解：解方程x2﹣2x﹣8=0，得x=4或﹣2，∵d＞0，∴d=4，∵⊙O的半径为4，∴点P在⊙O上．故选：B．7．【解答】解：分为两种情况：①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm．故选：C．8．【解答】解：∵OP=10，A是线段OP的中点，∴OA=5，小于圆的半径6，∴点A在圆内．故选：C．9．【解答】解：如图所示：∵点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，∴△ABC的外接圆的圆心是斜边BC的中点，∴△ABC外接圆的圆心坐标是（，），即（3，1）．故选：D．10．【解答】解：∵圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），∴OP==＜5，因而点P在⊙O内．故选：A．11．【解答】解：由勾股定理，得BD==5．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，得3＜r＜5，故选：B．12．【解答】解：∵圆心P的坐标为（5，12 ），∴OP==13，∴OP=r，∴原点O在⊙P上．故选：B．13．【解答】解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选：C．14．【解答】解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是5.5cm；当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．故选：D．15．【解答】解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故本小题错误；（2）平分弦的直径，当被平分的弦是直径是直径不垂直于弦，故本小题错误；（3）相等的弦不在同圆或等圆中，所对的弧不一定相等，故本小题错误；（4）相等的圆心角不在同圆或等圆中所对的弧不一定相等，故本小题错误；综上所述，正确的有0个．故选：A．16．【解答】解：∵点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以3为半径的圆内，∴|a﹣1|＜3，∴﹣2＜a＜4．故选：A．17．【解答】解：A、根据两点确定一条直线可知说法错误；B、两点可以确定两条直线，故说法错误；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故说法错误；D、正确；故选：D．18．【解答】解：∵D是BC的中点，即DC=BC÷2=3cm，而圆的半径为3cm，∴点C在⊙D上．故选C．19．【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，∴BC=2BD，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠BOC=×360°=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB===30°，∵⊙O的半径为2，∴OB=2，∴BD=OB•cos∠OBD=2×cos30°=2×=，∴BC=2BD=2．∴等边△ABC的边长为2．故选：C．20．【解答】解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．故选：B．21．【解答】解：作直径AE，连接BE，∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形，由勾股定理得AD==4．∵∠ACD=∠AEB，（同弧圆周角相等）∠ABE=90°，（半圆上的圆周角是直角）∴△ADC∽△ABE，AE：AC=AB：AD，∴AE==5，则直径AE=5．故选：C．22．【解答】解：连接OC，由圆周角定理，得∠AOC=2∠B=120°，△OAC中，OA=OC，∴∠CAO=∠ACO=30°．故选：B．二．填空题（共7小题）23．【解答】解：∵三角形的三条边长分别为1cm、cm和cm，12+（）2=（）2，∴此三角形是以cm为斜边的直角三角形，∴这个三角形外接圆的半径为÷2=（cm）．故答案为：．24．【解答】解：连接CD，如图所示：∵∠B=∠DAC，∴，∴AC=CD，∵AD为直径，∴∠ACD=90°，在Rt△ACD中，AD=4，∴AC=CD=AD=×4=2，故答案为：2．25．【解答】解：∵直角边长分别为6和8，∴斜边是10，∴这个直角三角形的外接圆的半径为5．故答案为：5．26．【解答】解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，∵点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），∴O1的坐标是（2，1）．故答案为：（2，1）．27．【解答】解：连接OC，∴∠AOC=2∠B=120°，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO==30°．故答案为：30．28．【解答】证明：如图，∵OA=OB=OC，∴点O是△ABC三边垂直平分线的交点；（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）故答案为：三条边垂直平分线．29．【解答】解：如图所示：∵∠BOC=110°，∴∠A=∠BOC=×110°=55°．故答案为：55°．三．解答题（共1小题）30．【解答】解：作直径CD，连接BD．∵CD是直径，∴∠CBD=90°．又∠D=∠A=30°，CD=4，∴BC=2，答：BC的长为2．。
人教版九年级数学上册《24.2 点和圆直线和圆的位置关系》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.2 点和圆直线和圆的位置关系》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1点与圆的位置关系1. 点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r点P到圆心的距离为OP＝d点P在⇔d＞r点P在⇔d＝r点P在⇔d＜r。
2.三点圆：不在直线上的三个点一个圆。
3.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆这个圆叫做三角形的圆．外接圆的圆心是三角形三条边的的交点叫做这个三角形的外心。
考点2直线和圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：（1）直线和圆有两个公共点时我们说这条直线和圆．这条直线叫做圆的线。
（2）直线和圆只有一个公共点时我们说这条直线和圆．这条直线叫做圆的线这个点叫做点。
（3）直线和圆没有公共点时我们说这条直线和圆。
（4）设⊙O的半径为r圆心O到直线l的距离d直线l和⊙O⇔d＜r直线l和⊙O⇔d＝r直线l和⊙O⇔d＞r。
2.切线的判定定理和性质定理（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的性质定理：圆的切线于过切点的半径。
3.切线长定理：（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上这点和点之间线段的长叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线它们的切线长这一点和圆心的连线两条切线的夹角。
4.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的．内切圆的圆心是三角形三条的交点叫做三角形的内心。
限时训练:一选择题：在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·全国·同步练习)以点P(1,2)为圆心r为半径画圆与坐标轴恰好有三个交点则r应满足( )A. r=2或√ 5B. r=2C. r=√ 5D. 2≤r≤√ 52.(2024·全国·同步练习)如图在△ABC中O是AB边上的点以O为圆心OB为半径的⊙O与AC相切于点D BD平分∠ABC AD=√ 3OD AB=12CD的长是( )A. 2√ 3B. 2C. 3√ 3D. 4√ 33.(2024·江苏省·同步练习)下列命题中真命题的个数是( ) ①经过三点可以作一个圆②一个圆有且只有一个内接三角形③一个三角形有且只有一个外接圆④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等⑤直角三角形的外心是三角形斜边的中点。
人教版-数学-九年级上册-24.2.1点和圆的位置关系同步练习
24.2点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1点和圆的位置关系01基础题知识点1点与圆的位置关系1．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是(C) A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定2．(云南中考模拟)已知⊙O半径为6，点P在⊙O内，则OP长可能是(A) A．5 B．6 C．7 D．83．已知⊙O的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是OP＞6_cm．4．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系．(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.解：(1)在圆内；(2)在圆上；(3)在圆外．知识点2过不在同一直线上的三点作圆5．下列说法中，正确的是(D)A．经过三个点一定可以作一个圆B．经过四个点一定可以作一个圆C．经过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦D．三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等6．直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上．若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为25π．7．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用两次就可以找到圆形工件的圆心．知识点3反证法8．如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点只能有一条直线垂直于直线l.用反证法证明这个命题的步骤如下：①在△EFG中，∠1＋∠2＋∠3＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾；②假设过E点有两条直线EF、EG分别垂直于直线l于F、G两点；③则∠2＝90°，∠3＝90°；④故过E点只有一条直线垂直于直线l.证明步骤的正确顺序是(C)A．①②③④B．①③②④C．②③①④D．②③④①9．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.02中档题10．(通辽中考)在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，当点B在⊙A内时，实数a的取值范围在数轴上表示正确的是(D)11．用反证法证明“两条直线相交只有一个交点”应该先假设(A)A．两条直线相交至少有两个交点B．两条直线相交没有两个交点C．两条直线平行时也有一个交点D．两条直线平行没有交点12．如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是(－2，－1)．13．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°或150°．14．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，斜边AB边上的高为CD，若以点C为圆心，分别以R1＝2，R2＝2.4，R3＝3为半径作⊙C1，⊙C2，⊙C3，试判断点D与这三个圆的位置关系．解：由勾股定理得斜边：AB ＝AC 2＋BC 2＝5，由面积公式得：CD ＝2.4，∴d ＝CD ＝2.4.∴d>R 1，d ＝R 2，d<R 3.∴点D 在⊙C 1的外部，在⊙C 2上，在⊙C 3的内部．15．如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8 cm ，腰AB ＝5 cm .求圆片的半径R.解：(1)分别作AB ，AC 的垂直平分线，设交点为O ，则O 为所求圆的圆心，如图．(2)连接AO 交BC 于E.∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，BE ＝12BC ＝4. 在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3.连接OB ，在Rt △BEO 中，OB 2＝BE 2＋OE 2，即R 2＝42＋(R －3)2，解得R ＝256. 即所求圆片的半径为256cm .03 综合题16．已知：如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D 是平面内不与A ，B ，C 重合的任意一点，∠ABC ＝∠DBE ，BD ＝BE.图1图2(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE.又∵BA＝BC，BD＝BE，∴△ABD≌△CBE(SAS)．(2)四边形BECD是菱形．证明：∵△ABD≌△CBE，∴CE＝AD.∵点D是△ABC的外接圆圆心，∴DA＝DB＝DC.又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝EC＝CD.∴四边形BECD是菱形．。
第04讲 点与圆的位置关系(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册同步学与练(人教版)
第04讲点与圆的位置关系课程标准学习目标①点与圆的位置关系②确定圆的条件③反证法④三角形的外接圆与外心1.理解点与圆的位置关系，能够准确的运用勾股定理求点到圆心的距离。
2.学会过已知点画圆。
3.学会应用反证法证明结论。
4.认识确定三角形的外接圆与外心。
知识点01点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离OP 为d 。
如图：（1）如图1：d＞r⇔点在圆外。
（2）如图2：d＝r⇔点在圆上。
（3）如图3：d＜r⇔点在圆内。
题型考点：①点与圆的位置关系的判断。
【即学即练1】1．已知⊙O的半径为5cm，当线段OA＝5cm时，则点A在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，OA＝5cm，∴点A在⊙O上．故选：B．【即学即练2】2．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（）A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．无法确定【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选：B．【即学即练3】3．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【解答】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．故选：A．【即学即练4】4．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．点P在⊙O上或在⊙O外【解答】解：∵点P的坐标是（4，3），∴OP＝＝5，而⊙O的半径为5，∴OP等于圆的半径，∴点P在⊙O上．故选：C．知识点02确定圆的条件1.确定圆的条件：①由不在同一直线上的三点可以确定唯一的圆。
【精品】人教版九年级数学上册同步练习：24.2.1 点和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系一、课前预习 (5分钟训练)1.已知圆的半径等于5 cm ，根据下列点P 到圆心的距离：(1)4 cm ；(2)5 cm ；(3)6 cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由.2.点A 在以O 为圆心，3 cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是________.3.若⊙A 的半径为5，点A 的坐标为(3，4)，点P 的坐标为(5，8)，则点P 的位置为( )A.在⊙A 内B.在⊙A 上C.在⊙A 外D.不确定4.两个圆心为O 的甲、乙两圆，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在( )A.甲圆内B.乙圆外C.甲圆外，乙圆内D.甲圆内，乙圆外二、课中强化(10分钟训练)1.已知⊙O 的半径为3.6 cm ，线段OA=725 cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是( ) A.A 点在圆外 B.A 点在⊙O 上 C.A 点在⊙O 内 D.不能确定2.⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为(0，0)，点P 的坐标为(4，2)，则点P 与⊙O 的位置关系是( )A.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 上C.点P 在⊙O 外D.点P 在⊙O 上或⊙O 外3.在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4 cm ，D 是AB 边的中点，以C 为圆心，4 cm 长为半径作圆，则A 、B 、C 、D 四点中在圆内的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图24-2-1-1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 cm ，BC=4 cm ，CM 为中线，以C 为圆心，5 cm 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________.图24-2-1-1三、课后巩固(30分钟训练)1.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是( )A.a=15，b=12，c=1B.a=5，b=12，c=12C.a=5，b=12，c=13D.a=5，b=12，c=142.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则它的外心与顶点C的距离为( )A.5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm3.如图24-2-1-2，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由.图24-2-1-24.阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖.图24-2-1-3回答下列问题：(1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm;(2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm;(3)边长为2 cm，1 cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm，这两个圆的圆心距是________ cm.5.已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a、b是方程x2-3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积.6.有一个未知圆心的圆形工件(如图24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法.图24-2-1-47.某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树.现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限.(1)按圆形设计，利用图24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图;(2)按平行四边形设计，利用图24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图;(3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由.图24-2-1-58.电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片，叫“晶圆片”.现在为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1 cm的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05 cm，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由.(不计切割损耗)图24-2-1-6参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.思路分析：利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.解：（1）当d=4 cm 时，∵d ＜r ，∴点P 在圆内；（2）当d=5 cm 时，∵d=r ，∴点P 在圆上；（3）当d=6 cm 时，∵d ＞r ，∴点P 在圆外.2.点A 在以O 为圆心，3 cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是________. 思路解析：根据点和圆的位置关系判定.答案：0≤d ＜33.若⊙A 的半径为5，点A 的坐标为(3，4)，点P 的坐标为(5，8)，则点P 的位置为( )A.在⊙A 内B.在⊙A 上C.在⊙A 外D.不确定思路解析：本题有两种方法，既可以画图，也可以计算AP 的长,再与半径进行比较.∵AP=22)48()35(-+-=2242+=20＜5，所以点P 在圆内.答案：A4.两个圆心为O 的甲、乙两圆，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在( )A.甲圆内B.乙圆外C.甲圆外，乙圆内D.甲圆内，乙圆外 思路解析：点A 在两圆组成的圆环内.答案：C二、课中强化(10分钟训练)1.已知⊙O 的半径为3.6 cm ，线段OA=725 cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是( ) A.A 点在圆外 B.A 点在⊙O 上 C.A 点在⊙O 内 D.不能确定思路解析：用“点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系”来判定点与圆的位置关系. 答案：C2.⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为(0，0)，点P 的坐标为(4，2)，则点P 与⊙O 的位置关系是( )A.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 上C.点P 在⊙O 外D.点P 在⊙O 上或⊙O 外思路解析：比较OP 与半径r 的关系.∵OP=2224+=25，OP 2=20,r 2=25，∴OP ＜r.∴点P 在⊙O 内.答案：A3.在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4 cm ，D 是AB 边的中点，以C 为圆心，4 cm 长为半径作圆，则A 、B 、C 、D 四点中在圆内的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 思路解析：如图，连结CD.∵D 为AB 的中点，∴CD=21AB. ∵AB=22BC AC +=42，∴CD=22＜4.∵AC=BC=4，∴点C 和点D 在以C 为圆心，4 cm 为半径的圆的内部.答案：B4.如图24-2-1-1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 cm ，BC=4 cm ，CM 为中线，以C 为圆心，5 cm 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________.思路解析：AB=25 cm ，CM=5 cm.答案：点B 点M 点A 、C 图24-2-1-1三、课后巩固(30分钟训练)1.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是( )A.a=15，b=12，c=1B.a=5，b=12，c=12C.a=5，b=12，c=13D.a=5，b=12，c=14思路解析：只有直角三角形的外心在边上（斜边中点）.答案：C2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6 cm ，BC=8 cm ，则它的外心与顶点C 的距离为( )A.5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm 思路解析：AB=2286+=10，它的外心是斜边中点，外心与顶点C 的距离是斜边的中线长为21AB=5 cm. 答案：A3.如图24-2-1-2，点A 、B 、C 表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由.图24-2-1-2思路分析：设水泵站处为O ，则O 到A 、B 、C 三点的距离相等，可得点O 为△ABC 的外心.作法：连结AB 、AC ，分别作AB 、AC 的中垂线l 、l ′，直线l 与l ′相交于O ，则水泵站建在点O 处，由以上作法知，点O 为△ABC 的外心，则有OA=OB=OC.4.阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖.如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖.图24-2-1-3回答下列问题：(1)边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm;(2)边长为1 cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm;(3)边长为2 cm ，1 cm 的矩形被两个半径都为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm ，这两个圆的圆心距是________ cm.思路解析：图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径.（1）正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r 的最小值是22 cm. （2）等边三角形的外接圆半径是其高的32，故r 的最小值是33 cm. （3）r 的最小值是22 cm ，圆心距是1 cm. 答案:(1)22 (2)33 (3)22 1 点拨：注意应用“90°的圆周角所对的弦是直径”和勾股定理解题.5.已知Rt △ABC 的两直角边为a 和b ，且a 、b 是方程x 2-3x ＋1=0的两根，求Rt △ABC 的外接圆面积.思路分析：由a 、b 是直角三角形的两直角边，所以可求出斜边是22b a +，这样就得外接圆半径.根据直角三角形的外心是斜边中点，因此，其外接圆直径就是直角三角形的斜边解：设Rt △ABC 的斜边为c ，∵a 、b 为方程x 2－3x ＋1=0的两根，∴a ＋b=3，ab=1. 由勾股定理，得c 2=a 2＋b 2=（a ＋b ）2－2ab=9－2=7.∴△ABC 的外接圆面积S=π·（2c ）2=π42c =4πc 2=4π×7=47π. 6.有一个未知圆心的圆形工件(如图24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法.图24-2-1-4思路解析：因为三角板有一个角是直角，所以可利用直角画90°的圆周角，由此可得直径.再画一个90°的圆周角，也能得到一直径，两直径的交点为圆心.作法：如图,(1)用三角板的直角画圆周角∠BDC=90°，∠EFH=90°.(2)连结BC 、EH ，它们交于点O.则BC 为直径，点O 为圆心.7.某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树.现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限.(1)按圆形设计，利用图24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图;图24-2-1-5(2)按平行四边形设计，利用图24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图;(3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由.思路分析：过A 、B 、C 三点画圆，以△ABC 为平行四边形的一半，画出另一半，得平行四边形解：（1）作图工具不限，只要点A 、B 、C 在同一圆上,图(1).(2)作图工具不限，只要点A 、B 、C 在同一平行四边形顶点上,图(2).（3）如图(3)，∵r=OB=334， ∴S ⊙O =πr 2=316 ≈16.75， 又S 平行四边形=2S △ABC =2×21×4×2×23=83≈13.86, ∵S ⊙O >S 平行四边形,∴选择建圆形花坛面积较大.8.电脑CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片，叫“晶圆片”.现在为了生产某种CPU 芯片，需要长、宽都是1 cm 的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05 cm ，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由.(不计切割损耗)图24-2-1-6解：可以切割出66个小正方形.方法一：（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长方形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05 m的圆内.如图中的矩形ABCD.∵AB=1，BC=10，∴对角线AC2=100＋1=101＜（10.05）2.（2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形.∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的长为9，高为3，对角线EG2=92＋32=81＋9＜（10.05）2，但是新加入的这两排小正方形不能每排10个，因为：102＋32=100＋9＞（10.05）2.（3）同理，∵82＋52=64＋25＜（10.05）2，92＋52=81＋25=106＞（10.05）2，∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层. （4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排可以是7个，但不能是8个.∵72＋72=49＋49=98＜（10.05）2，82＋72=64＋49=113＞（10.05）2.（5）在第7层的基础上，上下再加一层，新矩形的高可以看成是9，这两层每排可以是4个，但不能是5个.∵42＋92=16＋81=97＜（10.05）2，52＋92=25＋81=106＞（10.05）2.现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5 cm的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了.所以10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4=66（个）. 方法二：可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内.然后（1）上下再加一层，每层8个，现在共6层.（2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层.（3）最后上下还可加一层，但每层只能有一个，共10层，这样共有4×9＋2×8＋2×6＋2×1=66（个）.。
人教版九年级数学上册24.2.1： 点和圆的位置关系 精练题(含答案)
点和圆的位置关系精练题1．在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是 ．答案：点P 在⊙O 内．2．⊙O 的半径为5，圆心的坐标为（0，0），点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在圆内B ．点P 在圆外C ．点P 在圆上D ．点P 在⊙O 内或在⊙O 外答案：A ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，AB =10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 外C ．点P 在⊙O 上D ．无法确定BA答案：A ．4．下列条件：①已知半径；②过矩形四边的中点；③过已知直线l 上两点和直线l 外一点；④过双曲线6y x=第一象限图像上三点，其中只能确定一个圆的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④答案：C ．5．下列命题是假命题的是 （ ）A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B ．三角形的外心到三边的距离相等C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点是这个三角形的外心答案：B ．6．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a >b ），则此圆的半径为（ ）A ．2a b +B ．2a b -C ．2a b +或2a b - D ．a b +或a b - 答案：C ．7．已知矩形ABCD 的边AB =15，BC =20，以B 为圆心作圆，使A 、C 、D 三点至少有一点在⊙B 内，且至少有一点在⊙B 外，则⊙B 的半径r 的取值范围是（ ）A ．r >15B ．15<r <20C ．15<r <25D ．20<r <25 答案：C ．8．用反证法证明一个命题时，第一步很重要，请写出下列命题证明时的第一步假设：⑴三角形中至少有一个角不小于60°.第一步假设为 .⑵梯形的对角线不能互相平分.第一步假设为 .⑶三角形中至多只有一个角为钝角.第一步假设为 .答案⑴三角形中三个角都小于60° ⑵梯形的对角线互相平分 ⑶三角形中至少有两个角为钝角9．若O 为△ABC 的外心，且 ∠BOC =60°，则∠BAC = ．分析：本题没有给出图形，根据题意可画出符合题意的图形，可以看出，三角形的顶点A 可能在优弧BC 上，此时∠BAC =12BOC ∠=30°；也可能在劣弧BC 上，此时∠BAC =11(360)(36060)15022BOC ︒-∠=︒-︒=︒．答案：30°或150°10．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面，请你补全这个输水管道的圆形截面．答案：略11．如图，△ABC 中，BD ，CE 是△ABC 的高，试说明B ，C ，D ，E 四点在同一个圆上．ABC D E解：如图，取BC 的中点O ，连接OD ，OE ， O ED C BA则OB =OC =12BC ． 又因为BD ，CE 是△ABC 的高，所以OE =OD =12BC =OB =OC ． 所以B ，C ，D ，E 四点在以O 为圆心，OB 为半径的圆上．12．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∠A =30°，AC =3，以C为圆心，为半径画⊙C ，指出点A ，B ，D 与⊙C 的位置关系．若要使⊙C 经过点D ，则这个圆的半径应为多长？D CBA解：由∠ACB =90°，∠A =30°，AC =3，可求得BCAB=CD =32，由已知得r BC =r ，CA >r ，CD <r ．所以点A在⊙C外，点B在⊙C上，点D在⊙C内．因为要使⊙C经过点D，所以当r=CD=1.5时，⊙C经过点D．13．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD与点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．ED CBA解答：因为点D在∠BAC的平分线上，所以∠1=∠2，A32 1BCDE又因为DE∥AC，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE=DE．又因为BD⊥AD于点D，所以∠ADB=90°．所以∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．所以∠EBD=∠EDB．所以BE=DE．所以AE=BE=DE．因为过A，B，D三点确定一个圆，又∠ADB=90°，所以AB是A，B，D所在圆的直径．所以点E是A，B，D所在圆的圆心．14．如图，直线AB⊥CD于点O，线段PQ=a（定值），现在让线段PQ的两个端点Q、P分别在直线AB、CD上任意滑动，试探求线段PQ的中点M一定在什么图形上移动，写出你探求的结果，并在图上画出来．解：因为AB⊥CD，M为PQ的中点，所以OM=12 PQ．又因为PQ=a为定值，所以OM=12a为定值．线段PQ的中点M在以O为圆心，12a为半径的圆上．15．如图，公路MN和公路PQ在P点交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少？解：如图，过A作AB⊥MN于B，因为AP=160，∠APB=30°所以AB=80．因为80<100，所以学校会受到影响．DC B A QP NM设MN 上有点C 、D ，且AC =AD =100，则拖拉机在CD 之间时学校受到影响，在R t △ABC 中，AC =100，AB =80，则BC =60．同理BD =60，所以CD =120．180km/h=5m/s120÷5=24（秒）答：学校会受到影响，影响时间为24秒16．在等腰△ABC 中，B 、C 为定点，且AC =AB ，D 为BC 的中点，以BC 为直径作⊙D ．问：⑴∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 上？⑵∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 内部？⑶∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 外部？解：A 2A 1D CB A⑴因为点A 在⊙D 上，且AD 为BC 的中线，AB =AC ，所以AD ⊥BC ，所以BD =DC =AD ，所以∠BAD =12∠BAC =45°．所以∠BAC =90°．即∠BAC=90°时，点A在⊙D上．⑵因为点A1在⊙D内，所以∠B A1D>∠BAD．所以∠B A1C>∠BAC，即∠B A1C>90°．所以当∠B A1C的度数大于90°且小于180°时，点A在⊙D内部．⑶与⑵类似，当顶点A的度数大于0°且小于90°时，点A在⊙D外部．。
点与圆的的位置关系练习题(含答案)
点和圆的位置关系一、课前预习 (5分钟训练)1.已知圆的半径等于5 cm ，根据下列点P 到圆心的距离：(1)4 cm ；(2)5 cm ；(3)6 cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由.2.点A 在以O 为圆心，3 cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的X 围是________.3.若⊙A 的半径为5，点A 的坐标为(3，4)，点P 的坐标为(5，8)，则点P 的位置为( )A.在⊙A 内B.在⊙A 上C.在⊙A 外D.不确定4.两个圆心为O 的甲、乙两圆，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在( )A.甲圆内B.乙圆外C.甲圆外，乙圆内D.甲圆内，乙圆外二、课中强化(10分钟训练)1.已知⊙O 的半径为3.6 cm ，线段OA=725 cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是( ) A.A 点在圆外 B.A 点在⊙O 上C.A 点在⊙O 内 D.不能确定2.⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为(0，0)，点P 的坐标为(4，2)，则点P 与⊙O 的位置关系是( )A.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 上C.点P 在⊙O 外D.点P 在⊙O 上或⊙O 外3.在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4 cm ，D 是AB 边的中点，以C 为圆心，4 cm 长为半径作圆，则A 、B 、C 、D 四点中在圆内的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图24-2-1-1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 cm ，BC=4 cm ，CM 为中线，以C 为圆心，5 cm 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________.图24-2-1-1三、课后巩固(30分钟训练)1.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是( )A.a=15，b=12，c=1B.a=5，b=12，c=12C.a=5，b=12，c=13D.a=5，b=12，c=142.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则它的外心与顶点C的距离为( )A.5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm3.如图24-2-1-2，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由.图24-2-1-24.阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.如图24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖.图24-2-1-3回答下列问题：(1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm;(2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是________ cm;(3)边长为2 cm，1 cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是________cm，这两个圆的圆心距是________ cm.5.已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a、b是方程x2-3x＋1=0的两根，求Rt△ABC 的外接圆面积.6.有一个未知圆心的圆形工件(如图24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法.图24-2-1-47.某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树.现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限.(1)按圆形设计，利用图24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图;图24-2-1-5(2)按平行四边形设计，利用图24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图;(3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由.8.电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅〞的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片，叫“晶圆片〞.现在为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1 cm的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05 cm，问一X这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66X？请说明你的方法和理由.(不计切割损耗)图24-2-1-6参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1解：〔1〕当d=4 cm 时，∵d ＜r ，∴点P 在圆内；〔2〕当d=5 cm 时，∵d=r ，∴点P 在圆上；〔3〕当d=6 cm 时，∵d ＞r ，∴点P 在圆外.2.思路解析：根据点和圆的位置关系判定.答案：0≤d ＜33.思路解析：本题有两种方法，既可以画图，也可以计算AP 的长,再与半径进行比较.∵AP=22)48()35(-+-=2242+=20＜5，所以点P 在圆内.答案：A4.思路解析：点A 在两圆组成的圆环内.答案：C二、课中强化(10分钟训练)1.思路解析：用“点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系〞来判定点与圆的位置关系. 答案：C2.思路解析：比较OP 与半径r 的关系.∵OP=2224+=25，OP 2=20,r 2=25，∴OP ＜r.∴点P 在⊙O 内.答案：A3.思路解析：如图，连结CD.∵D 为AB 的中点，∴CD=21AB.∵AB=22BC AC +=42，∴CD=22＜4. ∵AC=BC=4，∴点C 和点D 在以C 为圆心，4 cm 为半径的圆的内部.答案：B4.思路解析：AB=25 cm ，CM=5 cm.答案：点B 点M 点A 、C三、课后巩固(30分钟训练)1.思路解析：只有直角三角形的外心在边上〔斜边中点〕.答案：C2.思路解析：AB=2286+=10，它的外心是斜边中点，外心与顶点C 的距离是斜边的中线长为21AB=5 cm.答案：A 3.思路分析：设水泵站处为O ，则O 到A 、B 、C 三点的距离相等，可得点O 为△ABC 的外心.作法：连结AB 、AC ，分别作AB 、AC 的中垂线l 、l′，直线l 与l′相交于O ，则水泵站建在点O 处，由以上作法知，点O 为△ABC 的外心，则有OA=OB=OC. 4.思路解析：图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径.〔1〕正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此r 的最小值是22 cm. 〔2〕等边三角形的外接圆半径是其高的32，故r 的最小值是33 cm. 〔3〕r 的最小值是22 cm ，圆心距是1 cm. 答案:(1)22 (2)33 (3)22 1 点拨：注意应用“90°的圆周角所对的弦是直径〞和勾股定理解题.5.思路分析：由a 、b 是直角三角形的两直角边，所以可求出斜边是22b a +，这样就得外接圆半径.根据直角三角形的外心是斜边中点，因此，其外接圆直径就是直角三角形的斜边.[来源:学+科+网Z+X+X+K]解：设Rt △ABC 的斜边为c ，∵a 、b 为方程x 2－3x ＋1=0的两根，∴a ＋b=3，ab=1. 由勾股定理，得c 2=a 2＋b 2=〔a ＋b 〕2－2ab=9－2=7.∴△ABC 的外接圆面积S=π·〔2c 〕2=π42c =4πc 2=4π×7=47π. 6图24-2-1-4思路解析：因为三角板有一个角是直角，所以可利用直角画90°的圆周角，由此可得直径.再画一个90°的圆周角，也能得到一直径，两直径的交点为圆心.作法：如图,(1)用三角板的直角画圆周角∠BDC=90°，∠EFH=90°.(2)连结BC 、EH ，它们交于点O.则BC 为直径，点O 为圆心.7(1)按圆形设计，利用图24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图;图24-2-1-5思路分析：过A 、B 、C 三点画圆，以△ABC 为平行四边形的一半，画出另一半，得平行四边形.[来源:Z+xx+k ]解：〔1〕作图工具不限，只要点A 、B 、C 在同一圆上,图(1).(2)作图工具不限，只要点A 、B 、C 在同一平行四边形顶点上,图(2).〔3〕如图(3)，∵r=OB=334，∴S ⊙O =πr 2=316 ≈16.75， 又S 平行四边形=2S △ABC =2×21×4×2×23=83≈13.86, ∵S ⊙O >S 平行四边形,∴选择建圆形花坛面积较大.8.图24-2-1-6解：可以切割出66个小正方形.方法一：〔1〕我们把10个小正方形排成一排，看成一个长方形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05 m的圆内.如图中的矩形ABCD.∵AB=1，BC=10，∴对角线AC2=100＋1=101＜〔10.05〕2.〔2〕我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形.∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的长为9，高为3，对角线EG2=92＋32=81＋9＜〔10.05〕2，但是新加入的这两排小正方形不能每排10个，因为：102＋32=100＋9＞〔10.05〕2.〔3〕同理，∵82＋52=64＋25＜〔10.05〕2，92＋52=81＋25=106＞〔10.05〕2，∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层.〔4〕再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排可以是7个，但不能是8个.∵72＋72=49＋49=98＜〔10.05〕2，82＋72=64＋49=113＞〔10.05〕2.〔5〕在第7层的基础上，上下再加一层，新矩形的高可以看成是9，这两层每排可以是4个，但不能是5个.∵42＋92=16＋81=97＜〔10.05〕2，52＋92=25＋81=106＞〔10.05〕2.现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5 cm的空间，因为矩形ABCD 的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了.所以10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4=66〔个〕.方法二：可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内.然后〔1〕上下再加一层，每层8个，现在共6层.〔2〕在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层.〔3〕最后上下还可加一层，但每层只能有一个，共10层，这样共有4×9＋2×8＋2×6＋2×1=66〔个〕.。
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P 与⊙O 的位置关系是（ ） A. 点 P 在⊙O 内部B．点 P 在⊙O 上 上
C．点 P 在⊙O 外部 D．点 P 不在⊙O
A．
B．3 C．5 D．7
22. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO 的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
二．填空题（共 7 小题） 23. 已知三角形三边长分别为 1cm、 为 cm．
cm 和 cm，则此三角形的外接圆半径
24. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，直径 AD=4，∠ABC=∠DAC，则 AC 长为
．
25. 直角三角形的两直角边长分别为 6 和 8，它的外接圆的半径是
．
26. 如图，在直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为（0，3）、（4，3）、
（0，﹣1），则△ABC 外接圆的圆心坐标为
．
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27. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO 的度数是= 度．
28. 三角形的外心是三角形
的交点．
29. 如图，点 O 是△ABC 的外心，且∠BOC=110°，则∠A=
．
三．解答题（共 1 小题） 30. 已知：如图，△ABC 的外接圆⊙O 的直径为 4，∠A=30°，求 BC 的长．
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2018 年 10 月 05 日数学 40 的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 22 小题） 1． 【解答】解：∵⊙O 的半径为 5，若 PO=4， ∴4＜5， ∴点 P 与⊙O 的位置关系是点 P 在⊙0 内， 故选：A．
A．40° B．100° C．40° 或 140° D．40°或 100°
14. 一个点到圆的最小距离为 3cm，最大距离为 8cm，则该圆的半径是（
பைடு நூலகம்
）
A．5cm 或 11cm B．2.5cm C．5.5cm D．2.5cm 或 5.5cm
15．下列语句中，正确的有（ ）个．
（1）三点确定一个圆
（2）平分弦的直径垂直于弦
（1，﹣2），则△ABC 外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1） 10. ⊙O 的半径为 5，圆心 O 的坐标为（0，0），点 P 的坐标为（4，2），则点 P 与⊙O 的位置关系是（ ） A．点 P 在⊙O 内 B．点 P 的⊙O 上 C．点 P 在⊙O 外 D．点 P 在⊙O 上或⊙O 外 11. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，以顶点 D 为圆心作半径为 r 的圆， 若点 A，B，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 r 的值可以 是下列选项中的（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6 12. 若⊙P 的半径为 13，圆心 P 的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点 O 与⊙P 的位置关系是（ ） A．在⊙P 内 B．在⊙P 上 C．在⊙P 外 D．无法确定
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13. 点 O 是△ABC 的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC 的度数为（ ）
） A． B． C． D． 20．若一个三角形的外心在它的一条边上，
那么这个三角形一定是（
）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 21．如图，
△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD⊥BC 于 D 点，且
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AC=5，CD=3，AB=4 ，则⊙O 的直径等于（ ）
7. 一个点到圆的最小距离为 6cm，最大距离为 9cm，则该圆的半径是（
）
A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm 或 7.5cm D．3cm 或15cm
8. 已知⊙O 的半径为 6，A 为线段 PO 的中点，当 OP=10 时，点 A 与⊙O 的位
置关系为（ ） A.在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定9．如图，在平面直角坐标 系中，点 A，B，C 的坐标为（1，4），（5，4），
2018 年 10 月 05 日数学 40 的初中数学组卷
一．选择题（共 22 小题） 1．已知⊙O 的半径为 5，若 PO=4，则点 P 与⊙O 的位置关系是（ ） A．点 P 在⊙O 内 B．点 P 在⊙O 上 C．点 P 在⊙O 外 D．无法判断 2．如图，⊙O 的半径为 2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接 OB、OC．若 ∠BAC 与∠BOC 互补，则弦 BC 的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D． 3. ⊙O 的直径为 15cm，O 点与 P 点的距离为 8cm，点 P 的位置（ ） A. 在⊙O 外 B．在⊙O 上 C．在⊙O 内 D．不能确定 4. 已知⊙O 的半径为 4cm，点 A 到圆心 O 的距离为 3cm，则点 A 与⊙O 的位置 关系是（ ） A.点 A 在⊙O 内 B．点 A 在⊙O 上 C．点 A 在⊙O 外 D．不能确定5．如 图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 为（0，3），点 B 为（2，1），点 C为 （2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC 的外心坐标应是（ ）
B．两个点可以确定两条直线
C．三个点可以确定一个圆
D．不在同一直线上的三点确定一个圆 18．在△ABC 中，已知 AB=AC=4cm，BC=6cm，D 是 BC 的中点，以 D 为圆心作 一个半径为 3cm 的圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点 A 在⊙D 外 B．点 B 在⊙D 内 C．点 C 在⊙D 上 D．无法确定 19．⊙O 是等边△ABC 的外接圆，⊙O 的半径为 2，则等边△ABC 的边长为（
（3）相等的弦所对的弧相等 （4）相等的圆心角所对的弧相等．
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
16．若点 B（a，0）在以点 A（1，0）为圆心，以 3 为半径的圆内，则 a 的取
值范围为（ ）
A．﹣2＜a＜4 B．a＜4 C．a＞﹣2 D．a＞4 或
a＜﹣2 17．下列说法正确的是（
）
A．一个点可以确定一条直线