18.1勾股定理(1)

4
SA+SB=SC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
探究二：
一般的直角三角形 三边关系
A
C
S正方形c
1 = 4× × 4× 3 +1 2
B
图3
C A B
图4
= 25 单位面积） （单位面积）
分割成若干个直角边为 整数的三角形
A a B b
如果直角三角形的两条直角 边长分别是a、 ， 边长分别是 、b，斜边长 猜想:两直角边 两直角边a、 为c.猜想 两直角边 、b
A
b
C
c a
B
米的梯子AC斜靠在墙上 例2：将长为 米的梯子 斜靠在墙上， ：将长为5米的梯子 斜靠在墙上， BC长为 米，求梯子上端 到墙的底端 长为2米 求梯子上端A到墙的底端 长为 B的距离 的距离. 的距离
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° △ 中 ° ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC² - BC² = 5²-2² C =21 舍去负值） ∴ AB= 21（米） (舍去负值） 舍去负值
分层测试:
A组: 组 1、在 ∆ABC中，∠ C = 90 ° 、 ， AB=7, AC=3,求BC的长 的长. 求 的长 A
b
C
A
c a
B
D
B组: 组 2、如图，在矩形 、如图，在矩形ABCD中， 中 DE⊥AC于E，设AE=8， ⊥ 于 ， ， 且AD=10, EC = 4, 求DE 和AB的长 的长
第十八章 18.1
勾股定理
勾股定理(一） 勾股定理(
历史因你而改二全体学生去凌峰山风 景区游玩,同学们看到山势险峻, 景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意 图得知:凌峰山主峰高约为900 如图: 900米 图得知:凌峰山主峰高约为900米,如图:为了方 便游人,此景区从主峰A处向地面B 便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条 缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200 缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200 请问缆车路线AB长应为多少 米, ∠ACB = 90°,请问缆车路线 长应为多少？ 请问缆车路线 长应为多少？
2、直角∆ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b= 、直角∆ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26， 的一条直角边a=10, ( 24 ).
a=6， ３、已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4， a=6 求b 和c .
b=8 c=10
a
c
b
小结
１、本节课我们经历了怎样的过程？ 本节课我们经历了怎样的过程？ 经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探 经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理， 索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程. 索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程 ２、本节课我们学到了什么？ 本节课我们学到了什么？ 通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还 通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理， 知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、 知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、 验证数学结论的数形结合思想. 验证数学结论的数形结合思想 ３、学了本节课后我们有什么感想？ 学了本节课后我们有什么感想？ 很多的数学结论存在于平常的生活中， 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学 的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化 的眼光去观察、思考、发现， 辉煌历史的教育. 辉煌历史的教育
A的面 的面 积(单位 单位 面积) 面积
B的面 的面 积(单位 单位 面积) 面积
C的面 的面 积(单位 单位 面积) 面积
C A
图1
9
9
18 8
图2
4 B C 图1 A B 图2 （图中每个小方格代表一个单位面积） 图中每个小方格代表一个单位面积）
A、B、 、 、 C面积 面积 关系 直角三 角形三 边关系
看 一 看
能 发 现 什 么 ？
同 学 们 ， 我 们 也 来 观 察 一 下 案 ， 看 看 你 图
面 反 映 直 角 三 角 形 三 边 的 某 种 数 量 系 ， 关
去 朋 友 家 作 客 ， 发 现 朋 友 家 用 砖 铺 成 的 地 相 传 两 千 五 百 前 ， 一 次 毕 达 哥 拉 斯 年
图1-1
图1-2
这是2002年国际数学家大会会标 年国际数学家大会会标 这是
c a
b
∵
1 2
ab×4+(b-a)²=c² ×
2ab+（b²-2ab+a²）=c² （ ）
∴a²+b² =c²
赵爽弦图
结论： 结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和，等 于斜边的平方. B
在Rt△ABC中，∠C=900 ， 边BC、AC、AB所对应的边 勾 a 分别为a、b、c则存在下列 C 关系， a2+b2=c2
C A B C 图1 A B 图2 （图中每个小方格代表一个单位面积） 图中每个小方格代表一个单位面积）
9
图2
9
C A B C 图1 A B 图2 （图中每个小方格代表一个单位面积） 图中每个小方格代表一个单位面积）
S正方形c
1 = 4 × × 3 × 3 = 18 2
（单位面积） 单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
a
b
c
A
勾 股 世 界
两千多年前， 两千多年前 ， 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派， 他们发现了勾股定理， 斯学派， 他们发现了勾股定理 学派，他们首先发现了勾股定理， ， 学派，他们首先发现了勾股定理，因此 因此在国外 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。 人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， ，1955年希腊 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 为了纪念毕达哥拉斯学派， 为了纪念毕达哥拉斯学派 年希腊 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 曾经发行了一枚纪念邮票. 曾经发行了一枚纪念邮票 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， 国家之一 、股四、弦五” 勾三、股四、弦五” “勾三。早在三千多年前， ，它被记 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。 国家之一。早在三千多年前 周髀算经》 《周髀算经》中.
数学家毕达哥拉斯的发现： 数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ 、 、 的面积有什么关系 的面积有什么关系？ SA+SB=SC 直角三角形三边有什么关系？ 直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
探究一：等腰直角三角形三边关系 等腰直角三角形三边关系
A的面 的面 积(单位 单位 面积) 面积 图1 B的面 的面 积(单位 单位 面积) 面积 C的面 的面 积(单位 单位 面积) 面积
E B C
作业
必做题：课本 页第 页第1、 、 题 必做题：课本77页第 、2、3题. 选做题： 选做题：收集有关勾股定理的其它 证明方法，下节课展示、 证明方法，下节课展示、 交流. 交流
股
b
c
弦 A
此结论被称为“勾股定理”.
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a， ， 如果直角三角形的两直角边分别为 ，b， 斜边为c， 斜边为 ，那么 a2 + b2 = c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
B 90° ∵ ∠C＝90° ∴ a2 + b2 = c2 C
与斜边c 之间的关系？ 与斜边 之间的关系？
c
C
SA+SB=SC
a2+b2=c2
结论： 结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和， 直角三角形中，两条直角边的平方和， 等于斜边的平方. 等于斜边的平方.
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾 ， 较长的直角边称为股， 斜边称为弦.图 称为 称为“ 较长的直角边称为股 ， 斜边称为弦 图 1-1称为 “ 弦图 最早是由三国时期的数学家赵爽在为《 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 作法时给出的.图 是在北京召开的 是在北京召开的2002年国际数 》 作法时给出的 图 1-2是在北京召开的 年国际数 学家大会（ 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 － ）的会标，其图案正是“ 它标志着中国古代的数学成就. ”，它标志着中国古代的数学成就
∠ ACB = 90 °
，
AC=900米，BC=1200米， 米 米 求斜边AB的长. AB的长 求斜边AB的长
勾股定理的运用一 已知直角三角形的任意两条边 求第三条边长. 长，求第三条边长
2=a2+b2 c 2=c2-b2 a 2=c2-a2 b
在直角三角形ABC中 在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、∠B、 ABC 所对的边分别为a ∠C所对的边分别为a、b、c 已知a=1 b=2， a=1， （1） 已知a=1，b=2，求c 已知a=10 c=15， a=10， （2） 已知a=10，c=15，求b