06 第六章-02 频率特性的对数坐标图

ω s2 + 2ζωs +ω2
2
4. 画精确曲线：即在转角频率处对渐近线修正对一 阶环节：在转角频率处-3db，在左右一倍频处-1db。 对二阶环节按图5-1修正 5. 计算相频特性Φ(ω)值： 取若干点ω1，ω2，…，ωN。计算各φ(ωi)值
φ(ωi)=∑α−∑β
∑α：分子因式相角和; ∑β:分母因式相角和 6. 连接各φ(ωi)，描成曲线。
2
1 2）比例微分环节1+ jωT与 互为倒数，根据互为 1+ jωT
倒数的频率特性图的性质
L(ω) = −20lg (ωT) +1
2
20 10 0 90
L(ω) (db) 20db/dec Tω
φ(ω) = tg−1Tω
φ(ω)
.1 .2
.5 1 2
5
10
45 0
.1
.2
.5 1 2
5 10
2 ω2 4. 二阶环节 2 和 + 2ζωs +ω2 s + 2ζωs +ω2 s
Байду номын сангаас
ωc φ(ωc ) = −90 −tg 2ζωn
−1
γ ωc γ (ωc ) =180 +φ(ωc ) = 90 −tg 2ζωn ζωn 2ζ −1 2 −1 = tg = tg 4 2 ωc 1+ 4ζ − 2ζ
−1
ζ
可见γζ 关系成正比。参见图示。
γ Mp ζ
由 Mp = e 于
−
πζ
1−ζ 2
φ(ω) = 0
10 0
K>1 K=1 ω
1 2 5 10 20 50 100 90 φ(ω) (°) 45 ω 0 1 2 5 10 20 50 100 -45 -90
1 2. 积分环节 和微分环节(s)： 和微分环节( ) s
积分环节
1 L(ω) = 20lg = −20lg ω jω 1 φ(ω) = −tg − 0 = −90 ω 微分环节
2 e ωn = G( jω) = 2 2 2 2 ( jω) + 2ζωn jω +ωn 2 ω ω 1− 2 + 2ζ ω ω n n
2ζω ωn − jarctg 1−ω ω n
ω ω L(ω) = −20lg 1− 2 + 2ζ ω ω n n
4）修正曲线 在转角频率处-3db 5）计算φ(ω)=∑α−∑β 画φ(ω)， 如φ(1)=-210
- 20db/dec 40
L(ω) (db)
- 40db/dec 20 0 .1 .2 .5 1 5 10 ω - 60db/dec 2 2 - 40db/dec 5 10
-20
φ(ω)
-90 -180 -270
0.5 0 0.8 -6 -8 0.1 0.2 0.6 1.0 1.0 2 6 10
ω ωn
图5-1 二阶振荡环节幅频特性误差曲线
5. 延迟环节 e
−τs
L(ω) = 20lg1 = 0
φ(ω) = −τω(rad) = −57.3τω( )
L(ω) (db)
0 ω .1 .2 .5 1 2 5 10
-20 φ(ω) 0 -45 -90 .1 .2 .5 1 2 5 10
渐近线与原曲线的误差
0.5 ω= ， T ∆L = −20lg 0.52 +1 − 0 = −1 2 ω= ， T
ΔL= −20lg 22 +1 − 20lg 2 = −1
1 ω= ， T
ΔL= −20lg 1 +1 − 0 = −3
X =ω
2 c
2 4 X 2 + 4Xζ 2ωn −ωn = 0
2 4 (4ζ 2ωn )2 + 4ωn 2 X = −4ζ 2ωn ± 2 2 2 = −2ζ 2ωn ±ωn 4ζ 4 +1 2 = ωn 4ζ 4 +1 − 2ζ 2
(
)
频 率不可能 为负
ωc = ωn
1+ 4ζ 4 − 2ζ 2
，所以ΜΡ与 ×100%
γ成反比关系。参见图示。
由于 ts (∆ = 5%) =
3
ζωn
4
ts (∆ = 2%) =
代入ωn =
ωc 大，系统频带宽，惯性小，响应快，调整时间短。γ
和 ζ有一一对应关系，故也与超调量Mp成反比关系。
2 ωn 分析标准二阶系统： ( jω)H( jω) = G jω( jω + 2ζωn ) 2 ωn 当 = ωc时 G( jωc )H( jωc ) = =1 ω 2 2 ωc ωc + (2ζωn )
iv) 谐振频率与谐振幅值
dL(ω) 令 = 0， 求 可 得 dω 谐 频 振 率 ωr = ωn 1− 2ζ 2 谐 幅 振 值 Mr = 1 2ζ 1−ζ 2 0 <ζ 0.707 ≤ 0 <ζ 0.707 ≤
v) 渐近线与精确曲线之间的误差见下图5-1。
20
ξ = 0.05
10
∆L(ω)(dB)
伯德图图示法： G( jω) = M(ω)e jφ(ω) 伯德图图示法：
40 L(ω) (db) 20 0 均匀刻度 L(ω)=20lgM(ω) dec---十倍频程 -20 db/dec ω 1 2 5 10 20 50 100 对数刻度线性标注
90 φ(ω) (°) 均匀刻度 45 0 -45 -90 1 2 5 10 20 50 100
L(ω) (db) 0
1 T 1
1 T2
ω L1=L2
φ(ω)
0 -90 180
φ1(ω) φ2(ω)
对于最小相位系统的判别 看开环零极点； 看ω→∞时 相角极限 若 ∠G( jω) ω→∞ = 0 = (n − m)(−90 ) 则为最小相位 系统，否若则为非最小相位系统。 上例：∠G ( jω) 1
1）惯性环节
L(ω) = −20lg 1+ (Tω)
2
φ(ω) = tg−1Tω
分析：
1 ω « ， (ω) ≈ 0 L T 1 ω » ， (ω) ≈ −20lgTω L T
L(ω) (db) 0
.1 .2 ∆L= -3 -10 ∆L= -1
1/T 转角频率
.5 1 2 5 10 Tω
-20db/dec
φ(ω) 0
-90 -180
.1 ζ=1.
.2
.5 1 ζ=0.05
2
5 10
分析： i) ω<<ωn 低频渐近线L(ω)=0；
ω ii) ω>>ωn高频渐近线 L(ω) ≈ −20lg ω n
2
ω iii) ζ 对 L(ω)曲线影响很大，主要集中在 =1处 。 ωn
ωn为转角频率。
10(0.5s +1) 求Bode图。 例6-3：(s)H(s) = ： G s(2s +1)(10s +1)
解： 1）
1 1 1 G( jω)H( jω) =10⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (0.5 jω +1) jω 10 jω +1 2 jω +1 1 2）转角频率 (ω = )：，，. ，.5 2 0 0 01 0 ，， T 3）画渐近线 从环节 至环节
PM = γ = φ(ωc ) − (−180 ) =180 +φ(ωc ) ωc — 剪切频率，截止频率，增益穿越频率。 奈氏图中与单位圆|GΗ|=1的交点 伯德图中与L(ω)=0的交点
增益裕量—Gain Margin(GM) 增益裕量 1 GM = Kg = G( jωg )H( jωg )
GM = −20lg G( jωg )H( jωg ) = K
控制系统的伯德图分析
–. 控制系统相对稳定性及其判别 .
劳斯判别，奈氏判据只能判别系统的绝对稳定性，实 际中需要知道稳定的深 度 —相对稳定性。 一般要求系统不但绝对稳定而且有一定的稳定裕量。 稳定裕量常用 相位稳定裕量 增益稳定裕量 表达
用奈氏图和伯德图均可看出两种裕量，Bode图更直观。
相位裕量Phase Margin (PM) 相位裕量
φ(ω) 0
-45 -90
开环系统频率特性对数坐标图—伯德（Bode） 开环系统频率特性对数坐标图 伯德（Bode）图 伯德
绘制Bode图的步骤： 1. 将整理成典型环节乘积形式； 2. 找出各环节的转角频率，并从大到小排列； 3. 画L(ω)渐近线，从左至右，每遇一个转角频率便 改变斜率，如遇一阶惯性 则−20dB⁄dec，遇 ，为−40dB⁄dec。
b
b g
ωg ——相位穿越频率 φ（ωg） G( jωg )H( jωg ) = −180 =
奈氏图 jIm 1 Kg 1 Re PM ωc PM 奈氏图 相位交叉 下面稳定 交叉， 相位交叉，下面稳定 PM>0 Kg>1 增益轴上，圆内稳定 增益轴上，圆内稳定 轴上
奈氏图
jIm
ωc
1 Re
PM<0 Kg<1
.1
.2
.5 1
四. 最小相位系统和非最小相位系统
定义： 定义： 最小相位系统——开环传函零极点不在右半平面。 开环传函零极点不在右半平面。 最小相位系统 非最小相位系统—— 有开环传函零极点在右半平面。 环传函零极点在右半平面。 非最小相位系统 之所以称最小相位系统，顾名思义相位变化最小。 之所以称最小相位系统，顾名思义相位变化最小。 例： G (s) = 1+T2s T > T > 0 1 1 2 1+T s 1 1−T2s G2 (s) = T > T2 > 0 1 1+T s 1 两者幅频特性相同，但相频特性不同。
−1
L(ω) = 20lg ω
φ(ω) = 90
20 L(ω) (db) 积分 10 -20db/dec 0 微分 20db/dec ω .5 1 2 5 10 微分 .1 .2 ω .5 1 2 5 10 积分
φ(ω)90
45 0 -45 -90
.1 .2
1 和比例微分环节(Ts+1)： 3.惯性环节 1+Ts
对数幅相图图示法： 数幅相图图示法：
作法：可先作伯德图得 L(ω) 、φ(ω) ，再作对数幅 相图 -180 -90 L(ω) 20 10 φ(ω)
互为倒数的对数频率特性图的性质： 互为倒数的对数频率特性图的性质： 图形关于实轴对称， 图形关于实轴对称，因为互为倒数的对数频 是大小相等，符号相反。 率特性的L( 率特性的 (ω) 、φ(ω)是大小相等，符号相反。 证明： 证明： 设
ω→∞
= 0 = (n − m)(−90 )
∠G2 ( jω) ω→∞ = −180 ≠ (n − m)(−90 )
含延迟环节的系统是典型非最小相位系统。 延迟环节的系统是典型非最小相位系统。 的系统是典型 非最小相位系统含有较大相位滞后，很难控制。所 以非最小相位系统是我们所不期望的。但是计算机控制 系统常常是非最小相位系统，使我们不得不面对它。
γ： 30°70°
ζ ： 0.3 0.8
求 得
ωc = ωn
1+ 4ζ 4 − 2ζ 2
推导： 推导： ω = ωc ω + (2ζωn )
2 n 2 c
2
4 2 2 4 2 4 ωn = ωc (ωc + (2ζωn )2 ) = ωc + 4ωcζ 2ωn
4 2 4 4 ωc + 4ωcζ 2ωn −ωn = 0
1）当ζ>1时成为二阶惯性环节和二阶微分环节
1 1 T s +1 T s +1和T s +1)(T2s +1) (1 1 2
2）当0<ζ<1时为二阶振荡环节(ωn)2 /[s2+2ζωns+(ωn)2] （现主要讨论二阶振荡环节，其倒数环节不常用）
2
2
2
ω 2ζ ωn −1 φ(ω) = −tg ω2 1− 2 ωn
20 L(ω) (db) 0 -20 180 90 0 -90 -180 ω
1 T 1
1 T2
φ(ω)
ω
ζ=0.05 转角频率 L(ω) (db)
0 -20 -40 .1 .2 .5 1 2 5 10
ω ωn
ζ=1.
- 40db/dec
1 G ( jω) = 1 G2 ( jω) 则 L ( jω) = 20lg G ( jω) = −20lg G2 ( jω) = −L2 ( jω) 1 1
φ(ω) = ∠G1( jω) = −∠G2 ( jω)
典型环节频率特性的伯德图
1. 比例环节(Κ)： 比例环节(
L(ω) = 20lg K 20 L(ω) (db)
1 Kg
奈氏图上闭环系统的GM和PM
L(ω) 0
伯德图 ωc GMb>0 0
L(ω) GMb<0
伯德图 ωc
φ(ω) 0 PM -180
ωg
φ(ω) 0
ωg
-180 伯德图 增益过0，相位高于-180 增益过 ，相位高于
PM
二。相位裕量与时域指标的关系
用Bode图分析控制系统时，常利用 γ (PM)和ωc。