PQ变换与DQ变换的理解与推导要点
dq坐标系数学模型
dq坐标系数学模型引言：dq坐标系是一种常用的坐标系，广泛应用于数学模型中。
本文将介绍dq坐标系的基本概念、转换公式以及在数学模型中的应用。
一、dq坐标系的基本概念dq坐标系是一种以dq轴为基础的坐标系，其中d轴表示直流分量，q轴表示交流分量。
在dq坐标系中，任意向量可以表示为d轴和q 轴的线性组合，即：Vd = V * cos(θ)Vq = V * sin(θ)其中V为向量的幅值，θ为向量的角度。
二、dq坐标系的转换公式在dq坐标系中，向量的转换可以通过dq坐标系的变换公式来实现。
dq坐标系的转换公式如下：Vα = Vd * cos(θ) - Vq * sin(θ)Vβ = Vd * sin(θ) + Vq * cos(θ)其中Vα和Vβ为向量在α轴和β轴上的分量，θ为dq坐标系与αβ坐标系之间的夹角。
三、dq坐标系在数学模型中的应用1. 电力系统中的dq坐标系dq坐标系在电力系统中广泛应用于电压和电流的分析和控制。
通过dq坐标系的转换，可以将电压和电流从三相坐标系转换到dq坐标系，简化了电力系统的分析和控制过程。
2. 电机控制中的dq坐标系dq坐标系也被广泛应用于电机控制领域。
通过dq坐标系的转换，可以将电机的电流从三相坐标系转换到dq坐标系，实现对电机的精确控制。
3. 电力电子领域中的dq坐标系dq坐标系在电力电子领域中也有重要的应用。
通过dq坐标系的转换，可以对电力电子器件的电流进行精确控制，提高电力电子系统的效率和稳定性。
4. 机器人控制中的dq坐标系dq坐标系在机器人控制中也有广泛的应用。
通过dq坐标系的转换，可以将机器人的位姿从笛卡尔坐标系转换到dq坐标系，实现对机器人的精确控制。
结论：dq坐标系是一种常用的坐标系，广泛应用于数学模型中。
本文介绍了dq坐标系的基本概念、转换公式以及在数学模型中的应用。
dq 坐标系的应用领域广泛，包括电力系统、电机控制、电力电子和机器人控制等。
通过dq坐标系的转换，可以简化数学模型的分析和控制过程，提高系统的效率和稳定性。
三相电从αβ坐标系转换为dq坐标系的变换原理
三相电从αβ坐标系转换为dq坐标系的变换原理一、引言在电力系统中，三相电是一种常见的电力形式。
为了方便分析和控制，我们通常需要将三相电从αβ坐标系转换为dq坐标系。
本文将介绍三相电的αβ坐标系和d q坐标系，以及它们之间的变换原理。
二、αβ坐标系2.1αβ坐标系的定义αβ坐标系是一种旋转坐标系，它与三相电的a bc坐标系相互关联。
α轴与相A的电压或电流波形相一致，β轴与相A和相B的电压或电流波形之和相一致。
2.2αβ坐标系的优势αβ坐标系具有以下优势：-简化了三相电的分析和控制-方便了功率计算和控制策略的制定-适用于各种电力系统的分析和仿真三、d q坐标系3.1d q坐标系的定义d q坐标系是一种固定坐标系，它与三相电的αβ坐标系相互关联。
d轴与α轴对齐，q轴与d轴垂直，且正方向满足右手定则。
3.2d q坐标系的优势d q坐标系具有以下优势：-方便了电力系统的控制和运算-简化了电力系统中的数学模型-适用于各种电力系统的动态仿真和稳定性分析四、αβ坐标系到d q坐标系的变换原理4.1d q坐标系向αβ坐标系的变换d q坐标系向αβ坐标系变换的公式如下：α=d*co s(θ)-q*si n(θ)β=d*si n(θ)+q*co s(θ)其中，θ是d q坐标系和αβ坐标系之间的旋转角度。
4.2αβ坐标系到d q坐标系的变换αβ坐标系到dq坐标系的变换公式如下：d=α*co s(θ)+β*s i n(θ)q=-α*s in(θ)+β*c os(θ)其中，θ是d q坐标系和αβ坐标系之间的旋转角度。
五、结论通过以上介绍，我们了解到三相电从αβ坐标系转换为d q坐标系的变换原理。
αβ坐标系和d q坐标系分别具有自己的优势，能够方便地进行电力系统分析和控制。
我们可以通过变换公式实现αβ坐标系到d q坐标系的转换，也可以实现d q坐标系向αβ坐标系的转换。
这种变换原理在电力系统中得到广泛应用，为电力系统的研究和控制提供了重要的基础。
dq坐标变换数学原理解析
dq坐标变换数学原理解析
3.2 坐标变换和动态数学模型的简化
上节中虽已推导出异步电机的动态数 学模型，但是，要分析和求解这组非线性 方程显然是十分困难的。在实际应用中必 须设法予以简化，简化的基本方法是坐标 变换。
一、 坐标变换的基本思路
直流电机的数学模型比较简单： • 虽然电枢本身是旋转的，但其绕组通过换向器电 刷接到端接板上，因此，电枢磁动势的轴线始终被电 刷限定在 q 轴位置上，其效果好象一个在 q 轴上静止 的绕组一样。
由于进行坐标变换的是电流（代表磁动势） 的空间矢量，所以这样通过坐标变换实现的控 制系统就叫作矢量控制系统（Vector Control System）。
3.3.2 异步电动机在按转子磁场定向的 MT同步旋转坐标系中的数学模型
❖ 上述是矢量控制的基本思路，其中的矢 量变换包括三相/两相变换和同步旋转 变换。在进行两相同步旋转坐标变换时，
此方法也同样适用于电压和磁链的变换。
• 变换过程
3/2变换
C2s/2r
ABC坐标系
坐标系
dq坐标系
三、异步电动机在、静止坐标系上的
数学模型
把异步电机在三相
β
静 止 ABC 坐 标 系 上 的
Rs
数学模型变换到两相
Ls
Lm
坐标系上，由于两相
坐标轴互相垂直，两 相绕组之间没有磁的 耦合，仅此一点，就 会使数学模型简单了 许多。
在这里，不同电机模型彼此等效的原则 是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。
（2）等效的两相交流电机绕组
两相静止绕组 和 ，它
们在空间互差90°，通以时间 上互差90°的两相平衡交流电 流，也产生旋转磁动势 F 。
运用数学方法推导dq变换
基于数学推导的方法进行Clark 变换和Park 变换网上很多关于Clark 变换和Park 变换都是基于磁链的，很多没有磁基础的同鞋，看了都很恍惚。
而且很多教科书上关于Clark 变换中的这个系数2/3，都是轻描淡写地一句话，根据能量守恒推导得到的！很多人看到这句之后一脸萌神！现在换个方式来进行Clark 和Park 变换的研究，用纯数学的方式来推导这个两个电力电子最唯美的变换！这两个变换是研究电力电子最基础的理论!在进行推导之前，帮助大家温习一下，三角函数的一些公式，估计很多人已经忘记了，没关系请继续往下看：三角函数积化和差公式：2β)cos(α-β)-cos(αsinβαsin2β)cos(αβ)-cos(αcosβαcos2β)(αs β)sin(αcosβinαin s 2β)(αs β)sin(αβs osαin in c 三角函数和差化积：2βαcos 2βαsin2sinβαsin 2βαsin2βαcos 2sinβαsin 2βαcos2βαcos 2βc osα os c 2βαsin2βαsin 2βc osα os c 其他一些三角函数：inβsinαβcos αcos β)os(αs c inβsinαβcos αcos β)os(αs cinβαc βcos αsin β)in(αs os s inβαc βcos αsin β)in(αs os s 将三相电用公式表示出来：3.........).........120t ωcos(2..........).........120-t ωcos(1..................).........t ωcos(mcm b m a UU U U U U 建立相对于电机定子的静止坐标系， U 为横轴， U 为纵轴，φ为旋转的磁场，α为旋转磁场和横轴的夹角。
如下图：UbUaUcaUαUβψ图1仔细观察三相电表达式和上图，似乎看出点规律来了！设：4.............................)t ωcos( U U U m a 将式（2）用三角函数的和差化积公式进行展开：)5..( (2)32123)t ωsin(21()t ωcos(23)t ωsin()21()t ω(cos()120sin()t ωsin()120cos()t ωcos()120-t ωcos( U U U U U U U U U U U U b m m b m b m b m b同理将式（3）进行展开：)6..( (2)32123)t ωsin()21()t ωcos()23)t ωsin()21()t ω(cos()120sin()t ωsin()120cos()t ωcos()120t ωcos( U U U U U U U U U U U U c m m c m c m c m c将电压表达式写成矩阵的形式：U U U U U cb a2323021211现在需要求出一个矩阵P 使得下式成立：cbaU U U P U U将式（4），式（5），式（6）联立方程组：)9..( (2)321)8..(....................2321)7.......(........................................U U U U U U U U c b a 用式（8）-式（9）得：U U U c b 3 U U U U c b a 30 (10)用式（8）+式（9）得：)11.(.................................................. U U U c b 将公式（7）两边同时乘以2得：)12.(..................................................22 U U a 这里为什么是乘以2而不乘以其他值，在数学领域是没有问题的，但是在工程应用中意义不大了，在后面的Park 变换中，大家就会明白为什么是乘以2，这里就不多说了，继续往下！将式（11）+式(12)得：)13..(........................................32 U U U U c b a 将式（10）和式（13）联立成方程组得：UU U U U U U U c b a c b a 31313233330 (14)好了到现在大家有没有发现，上面这个矩阵P 我们已经求出来了，也许看起来不是太明朗,下面做些变换：c b a c b a U U U U U U U U 33330313132 ................................(15)将式（15）写成矩阵的形式：cb a U U U U U3331333132 很多人又要问了为什么这个结果跟教科书上的不一样呢！好了下面做如下变换：)16....( (2)32123021132cb aU U U U U现在再看看这个结果是不是就和教科书上一样了，是不是感觉到数学工具很强大额，数学是个很好的工具，电子技术是将这些枯燥抽象的公式应用到具体的项目中，其实不管是什么技术都可以用数学的方式进行推导，计算机技术，电子技术，生物技术，仅仅是数学汪洋里的一艘小船！好了！上面即是美妙的Clark 变换,Clark 变换是基于电机定子建立的坐标系，还不能将电机等效成直流特性，下面我们还需要将电机的直流特性表征出来，怎么办呢！不用担心，下面接着进行Park 变换首先我们需要建立坐标系，选取磁场方向为d 轴方向，垂直于d 轴方向建立q 轴，然后将α、β轴投影到d 、q 轴上，θ为d 轴与α轴的夹角，因为q 轴代表无功，所以q 轴滞后d 轴90°，结果如下图：U bU aU caU αU βψU qU d图2有了上面这张图是不是就很简单了，让我们来看图说话吧，建立三角函数关系建立方程组：cos sin sin cos U U U U U U q d OK!将上式写成矩阵的形式：)17......(..............................cos sin sin cosU U U U qd 到现在已经出现点dq 变换的端倪了，离成功还差一步，继续努力！将式（16）带入到式（17）中：)18( (2)321230211sin sin cos 32cb aqd U U U con U U现在将矩阵进行展开：c b a qd U U U U Ucos 23sin 21cos 23sin 21sin sin 23cos 21sin 23cos 21cos 32好了将矩阵内部用函数的形式表示出来：cb a qd U U U U Ucos 120sin sin 120cos cos 120sin sin 120cos sin sin 120sin cos 120cos sin 120sin cos 120cos cos 32将上述三角函数的积化和差公式逆过来使用!cb a qd U U U U U)120sin()120sin(sin )120cos()120cos(cos 32O(∩_∩)O 哈哈！大功告成，dq 变换的神秘面纱已经被揭开了，现在再回过去看看前面的数学处理，是不是应该能明白为什么要那样处理了吧！很多人问磁场是怎样旋转起来的，下面我们几张图来研究下磁场旋转的机制！现在我们假想一下，有一台1对极对数的三相电机，我们从电机的侧面将其切开，三相绕组通上三相交流电，用法拉第右手定律绘制出绕组周围的磁场，结果如下图：上面的图为6个特殊位置下的磁场方向，实际中电流时连续变化的，所以磁场在电机内部也是连续变化的，连起来看上图时发现磁场在电机内部是旋转的！这篇主要是讲述了dq变换的原理及推导，后面一篇将推出dq变换在实际项目中的一些应用。
单相谐波dq变换
单相谐波dq变换一、引言单相谐波dq变换是电力系统中常用的一种数学工具，它可以将三相交流电信号转换为直流信号，并且可以方便地进行控制和分析。
在本文中，我们将介绍单相谐波dq变换的基本原理、公式推导以及应用案例。
二、基本原理单相谐波dq变换是通过对三相交流电信号进行坐标变换来实现的。
具体来说，我们可以将三相交流电信号表示为：$V_{abc}=V_a+jV_b+j^2V_c$其中，$j$是虚数单位，$V_a$、$V_b$和$V_c$分别表示三个相位的电压。
通过dq坐标系变换，我们可以将这个三维向量表示为两个二维向量：$\begin{bmatrix}V_d \\V_q \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\\sin\theta & \cos\theta \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_a \\V_b \\\end{bmatrix}$其中，$\theta=\omega t+\phi$是旋转角度，$\omega$是角速度，$\phi$是初始相位差。
这个矩阵就是dq坐标系变换矩阵，也称为Park变换矩阵。
通过dq坐标系变换，我们可以将三相交流电信号转换为直流信号。
具体来说，$V_d$表示直流分量，$V_q$表示交流分量。
如果我们只关注交流分量，那么可以将dq变换视为一种滤波器，它可以将不同频率的信号进行分离。
三、公式推导dq坐标系变换矩阵的推导比较复杂，需要用到一些高等数学知识。
这里简单介绍一下基本思路。
首先，我们需要将三相电压表示为复数形式：$V_a=|V_a|\cos(\omega t+\phi_a)$$V_b=|V_b|\cos(\omega t+\phi_b-2\pi/3)$$V_c=|V_c|\cos(\omega t+\phi_c+2\pi/3)$其中，$\phi_a$、$\phi_b$和$\phi_c$分别是三个相位的初始相位差。
PQ变换与DQ变换的理解与推导要点
独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abc到120的变换应以磁
动势不变为准则，应选取等幅值变换。
虽然等幅值变换虽然有明确的物理意义，但是如果对三相电压、电流均进行等幅值
变换，在计算功率的时候就会出现功率不守恒的情况。因此，相对于等幅值变换，还
有等功率变换。
所谓等功率变换，是指原三相系统中的功率和变换后的功率相等。
定义定子电流的空间矢量 iori ，它等于 i1 的2倍3，即
iori
=
2 3
(1ia
aib
a2ic )
（1-2）
式中的1、 a 和 a2 分别表示a相、b相和c相轴线位置处的单位空间矢量。若零序电
流为0， iori 在a、b、c相轴线上的投影即为 ia、 ib、 ic ，如图1-1所示。 从式（1-
1
1 2 1 2
1
0
1 2
C 0 2 30
3 2 3 2
C 1 0
2 31 2
32
1 2
12
12
12
，
1 2 3 2
1
2
不难推导出，120分量与αβ0分量之间具有下列关系
6
i1 i2
1 6
ic
i0 i0
ic
1 其中 C 01 1 2
1 2
0 32 32
1
1
1 1
， C 0
2 3
0
1 2
1 2 32 12
1 2 3 2
1 2
不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把 C 0 进行单位正
dq坐标变换数学原理
把异步电机在三相静止 ABC坐标系上的数学模型 变换到两相坐标系上，由 于两相坐标轴互相垂直， 两相绕组之间没有磁的耦 合，仅此一点，就会使数 学模型简单了许多。
β
Rs Ls Lm
ω Rr
Lr Lm Lr Lm Rr
Lm Ls Rs α
图3-9 用两相静止坐标系表示的异步机等 效电路
第26页，共90页。
需要高动态性能的异步电机调速系统必须在其动态 模型的基础上进行分析和设计。经过多年的潜心研究和 实践，有几种控制方案已经获得了成功的应用，目前应 用最广的就是按转子磁链定向的矢量控制系统。
第33页，共90页。
3.3 矢量控制变频调速系统
本节提要
❖ 矢量控制的基本思路
❖ 按转子磁链定向的MT同步旋转坐标系中的数学模型 ❖ 矢量控制基本方程
0 Lr 0
Lm
isβ
绕组落在互相垂直的 两根轴上，它们之间没有耦合关系，互感磁链只在同轴绕组 之间存在，所以式中的每个磁链分量只剩下两项。
第28页，共90页。
3. 电磁转矩方程
Te np Lm (isβirα isαirβ )
np
第12页，共90页。
• 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
为方便起见，取 A 轴和
轴重合。设三相绕组每相有 效匝数为N3，两相绕组每相 有效匝数为N2，各相磁动势为
有效匝数与电流的乘积，其空 间矢量均位于有关相的坐标轴 上。由于交流磁动势的大小随 时间在变化着，图中磁动势矢 量的长度是随意的。
iα
iβ
cos sin
sin
cos
id iq
C2r
/
2s
id iq
(3-41)
则两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变
dq坐标变换数学原理解读
（2）等效的两相交流电机绕组
两相静止绕组 和 ，它 们在空间互差90°，通以时间 上互差90°的两相平衡交流电 流，也产生旋转磁动势 F 。 当两个旋转磁动势大小和 转速都相等时，即认为图b的
i
ω1 i
F
两相绕组与图a的三相绕组等 效。
图B 两相交流绕组
（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型
把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与 图 a 和图 b 中的磁动势一样，那么这套旋转的直 流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。 当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他 看来，d 和 q 是两个通以直流而相互垂直的静止 绕组。 如果控制磁通的位置在 d 轴上，就和直流电 机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组d 相当于励磁绕组，q 相当于伪静止的电枢绕组。
按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压 变换阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。
3. 两相—两相旋转变换（2s/2r变换）
从两相静止坐 标系到两相旋转坐 标系 d、q 变换称 作两相—两相旋转 变换，简称 2s/2r 变换，其中 s 表示 静止，r 表示旋转。
图中，两相交流电流 i、i 和两个直流电流 id、 iq 产生同样的以同步转速1旋转的合成磁动势 Fs 。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势
写成矩阵形式，得
1 i α N 3 1 2 i 3 β N 2 0 2 1 i A 2 i 3 B i C 2
考虑变换前后总功率不变，在此前提下，可以证 明，匝数比应为
N3 2 N2 3
• 交流电机的物理模型
如果能将交流电机的物理模型等效地变换成类
似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。 坐标变换正是按照这条思路进行பைடு நூலகம்。
dq坐标变换数学原理
得
i α i β 1 1 2 2 3 3 0 2 1 i A 2 i B 3 i C 2
（3-37）
• 三相—两相坐标系的变换矩阵
令 C3/2 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的
变换矩阵，则
2. 三相--两相变换（3/2变换） 现在先考虑上述的第一种坐标变换 ——在三相静止绕组A、B、C和两相静 止绕组、 之间的变换，或称三相静止 坐标系和两相静止坐标系间的变换，简 称 3/2 变换。
• 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
为方便起见，取 A 轴 B 和 轴重合。设三相绕组 每相有效匝数为N3，两相 N3iB 绕组每相有效匝数为N2， N2i 60o 各相磁动势为有效匝数与 电流的乘积，其空间矢量 60o 均位于有关相的坐标轴上。 N2iβ 由于交流磁动势的大小随 时间在变化着，图中磁动 N3iC 势矢量的长度是随意的。 C
β
Rs Ls Lm ω Lm Lm L m L s Rs
Rr Lr
α
Rr
Lr
图3-9 用两相静止坐标系表示的异步机等 效电路
1. 电压方程
usα Rs Ls p u sβ 0 urα Lm p urβ Lm 0 Rs Ls p Lm Lm p Lm p 0 Rr Lr p Lr isα i Lm p sβ Lr irα Rr Lr p irβ 0
3. 电磁转矩方程
Te np Lm (isβirα isαirβ )
Lm np (Ψ rα isβ Ψ rβ isα ) Lr
以上电压方程、磁链方程和电磁转矩方程再加上式 （3-1）运动方程和式（3-2）转角微分方程构成了静 止坐标系上的异步电动机数学模型。这种在两相静止坐 标系上的数学模型又称作Kron异步电机方程式或双轴 原型电机（Two Axis Primitive Machine）基本方程式。
dq坐标变换数学原理
把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与 图 a 和图 b 中的磁动势一样，那么这套旋转的直 流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。 当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他 看来，d 和 q 是两个通以直流而相互垂直的静止 绕组。
如果控制磁通的位置在 d 轴上，就和直流电 机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组d 相当于励磁绕组，q 相当于伪静止的电枢绕组。
2. 三相--两相变换（3/2变换）
现在先考虑上述的第一种坐标变换 ——在三相静止绕组A、B、C和两相静
止绕组、 之间的变换，或称三相静止
坐标系和两相静止坐标系间的变换，简 称 3/2 变换。
• 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
为方便起见，取 A 轴
和 轴重合。设三相绕组
每相有效匝数为N3，两相 绕组每相有效匝数为N2， 各相磁动势为有效匝数与 电流的乘积，其空间矢量 均位于有关相的坐标轴上。 由于交流磁动势的大小随 时间在变化着，图中磁动 势矢量的长度是随意的。
ω1 F i
i
图B 两相交流绕组
（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型
F
1
q d
it M
T
im
图c 旋转的直流绕组
再看图c中的两个匝数相等且互相垂直的绕 组 d 和 q，其中分别通以直流电流 id 和iq，产 生合成磁动势 F ，其位置相对于绕组来说是固 定的。
如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步 转速旋转，则磁动势 F 自然也随之旋转起来， 成为旋转磁动势。
N 2 iβ N 3 iB s6 in 0 N 3 iC s6 in 02 3 N 3 ( iB iC )
写成矩阵形式，得
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cos
C dq 0
2 3
sin 1 2
cos( 2 / 3) sin( 2 / 3)
12
cos( 2 / 3)
sin( 2 / 3)
12
式中 t 0 ， 为转子的角速度，0 为0时刻时，d轴与a轴夹角，转子旋转时 ， Cdq0 是一个时变阵。若 0 ，即转子不转，且d轴与a轴重合时，dq0坐标系退化为 αβ0坐标系。实际上，由图1-3可知，若 0 ，就意味着。。。。。与图1-2一致。
对实线性空间，由于正交变换2保持内积不变，而功率恰好是电流、电压矢量的内
积，只要将组成变换矩阵的特征向量规范化（单位化），即可保证变换前后的功率形
式不变。
ia
ua
令
i
ib
，
u
ub
，变换矩阵为C。
ic
uc
原三相系统中功率为： p (u,i) uT i
(i
ji )
，
e1
1 6
(i
ji )
e2
1 6
(e
je )
1 6
(e
je )
以电流为例推导过程如下：
（1-5）
i1
i2
C120
ia ib
C120C
0
1
i i
i0
ic
i0
ia
ib
C 1 120
i2
，
i2
C120
ib
ic
i0 i0
ic
（1-1）
1 1 1
1 a a2
C 1 120
a 2
a
a a2
1 1
， C120
1 3
1 1
a2 1
a
iori 2i1
2 3
(i
ji
)
eori 2e1
2 3 (e
je
)
（1-6）
在图1-
4所示的 平面上，矢量 e 、 e 和 i 、 i 。分别可以合成为（旋转）电压矢量 e
和电流矢量 i
用于瞬时功率计算中的Clarke变换需要保证变换前后功率保持不变，因此应采用为
2 正交变换：变换矩阵 C 为正交矩阵，满足 C T C 1
3 考虑这里为什么空间矢量是正序分量的2倍？是不是考虑到空间矢量是正序和负序分量之和。 2
a相
ia iori
1 ic
a
ib a2
b相
c相
电压矢量同理可得。
图1-1 电流的空间向量
2. Park变换与Clarke变换
（1）Clarke变换
a 2ib
aic )
i1
i0
1 3 (ia
ib
ic
)
可以看出，120变换在形式上与矢量对称分量变换很相似，不过这里的 ia、 ib、 ic 是 瞬时值而不是矢量， i1、 i2 是瞬时复数值，所以120变换亦称为瞬时值对称分量变换。
由于是瞬时值之间的变换，所以120变换对瞬态（动态）和任何电流波形都适用，而矢
ia
ib
Cdq01 iq
，
iq
C dq 0
ib
ic
i0 i0
ic
其中
cos
sin
1
C 1 dq 0
cos(
2
/
3)
sin( 2 / 3)
1
cos( 2 / 3) sin( 2 / 3) 1
1
1 2 1 2
1
0
1 2
C 0 2 30
3 2 3 2
C 1 0
2 31 2
32
1 2
12
12
12
，
1 2 3 2
1
2
不难推导出，120分量与αβ0分量之间具有下列关系
6
i1 i2
1 6
等功率变换。
电压电流矢量的原始定义中采用的120变换为等幅值变换，Clarke等幅值变换矩阵
系数为 2 ，等功率变换矩阵系数为 2 。电压电流矢量应用到等功率变换体系中应相
3
3
应改变系数，因此此处的等功率变换中应用的电压电流矢量应为原始定义的电压电流
矢量的 3 倍： 2
e
3 2
eori
e
e
定义定子电流的空间矢量 iori ，它等于 i1 的2倍3，即
iori
=
2 3
(1ia
aib
a2ic )
（1-2）
式中的1、 a 和 a2 分别表示a相、b相和c相轴线位置处的单位空间矢量。若零序电
流为0， iori 在a、b、c相轴线上的投影即为 ia、 ib、 ic ，如图1-1所示。 从式（1-
一、 p-q变换与d-q变换的理解与推导
1. 120变换和空间向量
120坐标系是一个静止的复数坐标系。120分量首先由莱昂（Lyon）提出，所以亦
成为莱昂分量。下面以电流为例说明120变换。 ia 、 ib 、 ic 为三相电流瞬时值，120坐
标系与abc坐标系之间的关系为[1]：
ia i1 i2 i0
αβ0坐标系是一个两相坐标系，其中α轴与a相绕组轴线重合，β轴超前α轴90°电角 ，0序则是一个孤立的系统。
以电流为例，说明abc与αβ0坐标系之间的坐标变换。把图中α和β轴线上的电流 i 和 i 分别投影到a、b、c三相轴线上，再加上孤立的零序电流 i0 ，可得 ia 、 ib 和 i c ：
独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abc到120的变换应以磁
动势不变为准则，应选取等幅值变换。
虽然等幅值变换虽然有明确的物理意义，但是如果对三相电压、电流均进行等幅值
变换，在计算功率的时候就会出现功率不守恒的情况。因此，相对于等幅值变换，还
有等功率变换。
所谓等功率变换，是指原三相系统中的功率和变换后的功率相等。
1 a
1 3
1 1
a2 1
a2 1
a
2 3 1 2
1 1 2
0 32 32
1
2
i
1 2 i
1
2
i0
1 1
1 6
1 0
1 0
0 0
ii
2 i0
空间矢量与αβ分量的关系为
ee
i
3 2
eori
i
i
ii
（1-7）
式中 e 、 i 为矢量 e 、 i 的模（黑体 e 、 i 为矢量，非黑体 e 、 i 为矢量的幅值），
e 、i 分别为矢量 e 、 i 的相角。
7
【定义1】三相电路瞬时有功电流 ip 和瞬时无功电流 iq 分别为矢量 i 在矢量 e 及其法线
量对称分量法仅适用于交流稳态和正弦波的情况。另外，由于 a 和 a2 是空间算子，所
以 i1 和 i2 是空间向量而不是时域里的矢量；所以瞬时值对称分量和矢量对称分量具有本
质上的区别。另外，从上式可知， i2 等于 i1 的共轭值，所以 i2 不是独立变量。
用矩阵表示时，可写成
ia
i1 i1
轴
a
轴
i i
0序
b
c
图1-2 αβ0变换
ia i i0
ib
1 2 i
3 2
i
i0
ic
1 2 i
3 2
i
i0
3
ia
i i
ia
ib
C 01 i
，
i
C 0
ib
交化，变为正交矩阵，使得 C 01
C
T 0
，得到等功率变换矩阵为
C 0
1
2
3
0 12
1 2 32 12
1 2 3 2
1 2
（2）Park变换
dq0坐标系是一种与转子一起旋转的两相坐标系和零序系统的组合。若转子为凸极 ，则d轴与凸极的中心轴线重合，q轴超前d轴90°电角，如图13所示。dq0变换是从静止的abc坐标系变换到旋转的dq0坐标系的一种变换。
ib
a 2i1
ai2
i0
ic ai1 a2i2 i0
式中 a 和 a2 分别为定子绕组平面内的120°和240°空间算子， a e j120 ， a2 e j240
，上式的逆变换为：
i1
1 3
(ia
aib
a 2ic
)
i2
1 3 (ia
ic
i0 i0
ic
1 其中 C 01 1 2
1 2
0 32 32
1
1
1 1
， C 0
2 3
0
1 2
1 2 32 12
1 2 3 2
1 2
不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把 C 0 进行单位正