PQ变换与DQ变换的理解与推导
dq坐标系数学模型
dq坐标系数学模型引言：dq坐标系是一种常用的坐标系，广泛应用于数学模型中。
本文将介绍dq坐标系的基本概念、转换公式以及在数学模型中的应用。
一、dq坐标系的基本概念dq坐标系是一种以dq轴为基础的坐标系，其中d轴表示直流分量，q轴表示交流分量。
在dq坐标系中，任意向量可以表示为d轴和q 轴的线性组合，即：Vd = V * cos(θ)Vq = V * sin(θ)其中V为向量的幅值，θ为向量的角度。
二、dq坐标系的转换公式在dq坐标系中，向量的转换可以通过dq坐标系的变换公式来实现。
dq坐标系的转换公式如下：Vα = Vd * cos(θ) - Vq * sin(θ)Vβ = Vd * sin(θ) + Vq * cos(θ)其中Vα和Vβ为向量在α轴和β轴上的分量，θ为dq坐标系与αβ坐标系之间的夹角。
三、dq坐标系在数学模型中的应用1. 电力系统中的dq坐标系dq坐标系在电力系统中广泛应用于电压和电流的分析和控制。
通过dq坐标系的转换，可以将电压和电流从三相坐标系转换到dq坐标系，简化了电力系统的分析和控制过程。
2. 电机控制中的dq坐标系dq坐标系也被广泛应用于电机控制领域。
通过dq坐标系的转换，可以将电机的电流从三相坐标系转换到dq坐标系，实现对电机的精确控制。
3. 电力电子领域中的dq坐标系dq坐标系在电力电子领域中也有重要的应用。
通过dq坐标系的转换，可以对电力电子器件的电流进行精确控制，提高电力电子系统的效率和稳定性。
4. 机器人控制中的dq坐标系dq坐标系在机器人控制中也有广泛的应用。
通过dq坐标系的转换，可以将机器人的位姿从笛卡尔坐标系转换到dq坐标系，实现对机器人的精确控制。
结论：dq坐标系是一种常用的坐标系，广泛应用于数学模型中。
本文介绍了dq坐标系的基本概念、转换公式以及在数学模型中的应用。
dq 坐标系的应用领域广泛，包括电力系统、电机控制、电力电子和机器人控制等。
通过dq坐标系的转换，可以简化数学模型的分析和控制过程，提高系统的效率和稳定性。
dq坐标变换分析
dq 坐标变换的理解由于dq 变换有四种,而不同的书中写的dq 变换不一致，应用起来很麻烦。
所以为了便于更好理解每一种用法，不至于使用中陷入混乱，特写此报告理清每一种dq 变换。
一、滞后无功dq 变换结构图1.1、q 轴有功d 滞后无功abc图1、q 轴有功d 轴滞后无功（张兴的书)其中矢量I 以电网基波频率ω逆时针方向旋转.如图1可得下列公式：sin()cos()d m q m m i I i I I θγθγ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩cos cos(120)cos(120)a m o b m o c m i I i I i I γγγ=⎧⎪=-⎨⎪=+⎩解上述两个方程可得:0cos cos(120)cos(120)2sin sin(120)sin(120)3111222o oq a o o d b c i i i i i i θθθθθθ⎡⎤⎢⎥-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 0sin cos 1sin(120)cos(120)1sin(120)cos(120)1a d o o b q o o c i i i i i i θθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦1。
2、d 轴有功q 滞后无功相对应的d 轴有功、q 轴滞后无功的换算方法,只需将以上公式的d 、q 对换即可。
二、超前无功dq 变换结构图2.1、d 轴有功q 超前无功abc图2、d 轴有功q 轴超前无功如图1可得下列公式：cos()sin()d m q m m i I i I I θγθγ⎧=-+⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎩cos cos(120)cos(120)a m o b m o c m i I i I i I γγγ=⎧⎪=-⎨⎪=+⎩解上述两个方程可得：0sin()sin(120)sin(120)2cos()cos(120)cos(120)3111222sin sin(120)sin(120)2cos cos(120)cos(120)3111222o o q a o o d b c o o a o o b i i i i i i i i i θθθθθθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥--+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥----+⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦00cos()sin()1cos(120)sin(120)1cos(120)sin(120)1cos sin 1cos(120)sin(120)1cos(120)sin(120)1a d o o b q o o c d o o q o o i i i i i i i i i θθθθθθθθθθθθ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦2。
单相谐波dq变换
单相谐波dq变换一、引言单相谐波dq变换是电力系统中常用的一种数学工具，它可以将三相交流电信号转换为直流信号，并且可以方便地进行控制和分析。
在本文中，我们将介绍单相谐波dq变换的基本原理、公式推导以及应用案例。
二、基本原理单相谐波dq变换是通过对三相交流电信号进行坐标变换来实现的。
具体来说，我们可以将三相交流电信号表示为：$V_{abc}=V_a+jV_b+j^2V_c$其中，$j$是虚数单位，$V_a$、$V_b$和$V_c$分别表示三个相位的电压。
通过dq坐标系变换，我们可以将这个三维向量表示为两个二维向量：$\begin{bmatrix}V_d \\V_q \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\\sin\theta & \cos\theta \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_a \\V_b \\\end{bmatrix}$其中，$\theta=\omega t+\phi$是旋转角度，$\omega$是角速度，$\phi$是初始相位差。
这个矩阵就是dq坐标系变换矩阵，也称为Park变换矩阵。
通过dq坐标系变换，我们可以将三相交流电信号转换为直流信号。
具体来说，$V_d$表示直流分量，$V_q$表示交流分量。
如果我们只关注交流分量，那么可以将dq变换视为一种滤波器，它可以将不同频率的信号进行分离。
三、公式推导dq坐标系变换矩阵的推导比较复杂，需要用到一些高等数学知识。
这里简单介绍一下基本思路。
首先，我们需要将三相电压表示为复数形式：$V_a=|V_a|\cos(\omega t+\phi_a)$$V_b=|V_b|\cos(\omega t+\phi_b-2\pi/3)$$V_c=|V_c|\cos(\omega t+\phi_c+2\pi/3)$其中，$\phi_a$、$\phi_b$和$\phi_c$分别是三个相位的初始相位差。
dq坐标系 功率
dq坐标系功率
“dq坐标系”通常是电力系统中用于描述三相交流电系统中的矢量分析的坐标系。
这个坐标系在电力系统中有着重要的应用，特别是在控制、保护和分析交流电机以及变流器等方面。
dq坐标系（也称为帕克（Park）变换）：
- 描述：dq坐标系是从三相坐标系（abc坐标系）中变换得到的，通过旋转变换将三相系统转换为以直流或定子为参考的二维坐标系。
- 变换原理：dq坐标系通过dq变换将三相系统转换为两个轴：d轴（直流轴）和q轴（交流轴）。
d轴通常与系统的直流分量相关联，而q轴则与系统的交流分量相关。
- 功率分析：在dq坐标系下，电力系统的功率计算和分析更为方便。
在恒定转速的电机中，d轴代表有功功率，q轴代表无功功率。
功率在dq坐标系下的表示：
- 有功功率（P）和无功功率（Q）：在dq坐标系中，有功功率（P）位于d轴，无功功率（Q）位于q轴。
- 合成功率（S）：合成功率（S）为d轴和q轴上功率的矢量和，即\(S = P + jQ\)。
dq坐标系在控制和分析交流电机、变流器和电力系统中具有广泛的应用，它简化了三相电系统的分析和控制，使得在控制系统中对电压、电流和功率的处理更为方便和直观。
PQ变换与DQ变换的理解与推导要点
独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abc到120的变换应以磁
动势不变为准则，应选取等幅值变换。
虽然等幅值变换虽然有明确的物理意义，但是如果对三相电压、电流均进行等幅值
变换，在计算功率的时候就会出现功率不守恒的情况。因此，相对于等幅值变换，还
有等功率变换。
所谓等功率变换，是指原三相系统中的功率和变换后的功率相等。
定义定子电流的空间矢量 iori ，它等于 i1 的2倍3，即
iori
=
2 3
(1ia
aib
a2ic )
（1-2）
式中的1、 a 和 a2 分别表示a相、b相和c相轴线位置处的单位空间矢量。若零序电
流为0， iori 在a、b、c相轴线上的投影即为 ia、 ib、 ic ，如图1-1所示。 从式（1-
1
1 2 1 2
1
0
1 2
C 0 2 30
3 2 3 2
C 1 0
2 31 2
32
1 2
12
12
12
，
1 2 3 2
1
2
不难推导出，120分量与αβ0分量之间具有下列关系
6
i1 i2
1 6
ic
i0 i0
ic
1 其中 C 01 1 2
1 2
0 32 32
1
1
1 1
， C 0
2 3
0
1 2
1 2 32 12
1 2 3 2
1 2
不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把 C 0 进行单位正
dq坐标变换数学原理解读
（2）等效的两相交流电机绕组
两相静止绕组 和 ，它 们在空间互差90°，通以时间 上互差90°的两相平衡交流电 流，也产生旋转磁动势 F 。 当两个旋转磁动势大小和 转速都相等时，即认为图b的
i
ω1 i
F
两相绕组与图a的三相绕组等 效。
图B 两相交流绕组
（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型
把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与 图 a 和图 b 中的磁动势一样，那么这套旋转的直 流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。 当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他 看来，d 和 q 是两个通以直流而相互垂直的静止 绕组。 如果控制磁通的位置在 d 轴上，就和直流电 机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组d 相当于励磁绕组，q 相当于伪静止的电枢绕组。
按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压 变换阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。
3. 两相—两相旋转变换（2s/2r变换）
从两相静止坐 标系到两相旋转坐 标系 d、q 变换称 作两相—两相旋转 变换，简称 2s/2r 变换，其中 s 表示 静止，r 表示旋转。
图中，两相交流电流 i、i 和两个直流电流 id、 iq 产生同样的以同步转速1旋转的合成磁动势 Fs 。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势
写成矩阵形式，得
1 i α N 3 1 2 i 3 β N 2 0 2 1 i A 2 i 3 B i C 2
考虑变换前后总功率不变，在此前提下，可以证 明，匝数比应为
N3 2 N2 3
• 交流电机的物理模型
如果能将交流电机的物理模型等效地变换成类
似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。 坐标变换正是按照这条思路进行பைடு நூலகம்。
基于d—q变换的微电网PQ控制
基于d—q变换的微电网PQ控制作者：侯海涛霍彦明焦立春来源：《山东工业技术》2017年第15期摘要：基于d-q变换的前馈解耦PQ控制，可使微电源发出的有功及无功功率恒定，是目前微电网的主流控制策略之一。
本文采用MATLAB中的SIMULINK模块搭建了系统仿真模型。
该模型中的并网逆变器在输出有功功率的同时补偿一定量的无功功率，并且使用了LCL 滤波器技术、锁相环技术。
为了使用参数时更加方便，本文对某些参数进行了标幺化。
最后通过运行仿真模型测得THD畸变略小，达到了控制要求。
关键词：变换；微电网；PQ控制DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2017.15.1601 恒PQ控制策略PQ控制主要用于并网运行模式，是指对并网逆变器输出的有功功率和无功功率进行控制[2]。
由式1-1可知电网电压存在着耦合关系：（1-1）为了实现解耦控制需要从静止abc坐标系下转换为dq坐标系（称为Park变换，或dp变换）。
经过dp变换可得：（1-2）ud和uq均为常数实现了解耦控制。
PQ控制策略框图如图1所示。
三相交流电通过锁相环（PLL）得到电压和电流的相位，该角度用于Park变换中。
三相电压和电流经过Park变换，得到dq0分量。
通过式子（1-2）可以得到逆变器输入的参考无功功率和有功功率。
（1-3）再通过PQ计算器得到控制电流。
将控制电流与实际值比较，将结果输入到PI控制器中，最后转换到abc静止坐标系下得到并网逆变器输出的三相交流电。
2 PQ控制策略MATLAB/SIMULINK模型搭建2.1 LCL滤波器的设计微电网在并网时可看做受控电流源。
其中的逆变器发出的电流波形具有一定的谐波，为了抑制其产生的谐波，提高并网质量，通常需要接通低通滤波器。
在传统的微电网中采用L滤波器。
为了抑制高次谐波需要增大电感值，这样所使用的电感体积增大，会对整个系统带来一定的损耗。
为了解决以上问题，本文采用LCL滤波器。
dq坐标变换数学原理
得
i α i β 1 1 2 2 3 3 0 2 1 i A 2 i B 3 i C 2
（3-37）
• 三相—两相坐标系的变换矩阵
令 C3/2 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的
变换矩阵，则
2. 三相--两相变换（3/2变换） 现在先考虑上述的第一种坐标变换 ——在三相静止绕组A、B、C和两相静 止绕组、 之间的变换，或称三相静止 坐标系和两相静止坐标系间的变换，简 称 3/2 变换。
• 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
为方便起见，取 A 轴 B 和 轴重合。设三相绕组 每相有效匝数为N3，两相 N3iB 绕组每相有效匝数为N2， N2i 60o 各相磁动势为有效匝数与 电流的乘积，其空间矢量 60o 均位于有关相的坐标轴上。 N2iβ 由于交流磁动势的大小随 时间在变化着，图中磁动 N3iC 势矢量的长度是随意的。 C
β
Rs Ls Lm ω Lm Lm L m L s Rs
Rr Lr
α
Rr
Lr
图3-9 用两相静止坐标系表示的异步机等 效电路
1. 电压方程
usα Rs Ls p u sβ 0 urα Lm p urβ Lm 0 Rs Ls p Lm Lm p Lm p 0 Rr Lr p Lr isα i Lm p sβ Lr irα Rr Lr p irβ 0
3. 电磁转矩方程
Te np Lm (isβirα isαirβ )
Lm np (Ψ rα isβ Ψ rβ isα ) Lr
以上电压方程、磁链方程和电磁转矩方程再加上式 （3-1）运动方程和式（3-2）转角微分方程构成了静 止坐标系上的异步电动机数学模型。这种在两相静止坐 标系上的数学模型又称作Kron异步电机方程式或双轴 原型电机（Two Axis Primitive Machine）基本方程式。
dq坐标变换数学原理
iqiβcosiαsin
• 两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵
写成矩阵形式，得
id iq
cos sin
c sionsiiβ αC2s/2riiβ α
（3-40）
式中
cos sin C2s/2r sin cos
Ls
0
Lm 0
0 Ls 0 Lm
Lm 0 Lr 0
0 ids
Lm
iq
s
0 Lr
iiqdrr
3.电磁转矩方程
TenpLm (iqisdridisq)r
由于dq坐标系与电动机气隙磁场同步旋转，彼此之间 无相对运动，当A、B、C坐标系中的变量为正弦函数时， dq坐标系中的变量将是直流量，已经非常接近直流电动 机了。但是，直流电动机的电枢回路和励磁回路是解耦
usα RsLsp 0
Lmp
0 isα
usβ 0
uurrα β
Lmp
Lm
RsLsp 0
Lmp isβ
Lm
Lmp
Rr Lrp
Lr
RrLLrrpiirrα β
式中，下标s和r分别表示定子和转子变量；下标和分
2. 三相--两相变换（3/2变换）
现在先考虑上述的第一种坐标变换 ——在三相静止绕组A、B、C和两相静
止绕组、 之间的变换，或称三相静止
坐标系和两相静止坐标系间的变换，简 称 3/2 变换。
• 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
为方便起见，取 A 轴
和 轴重合。设三相绕组
每相有效匝数为N3，两相 绕组每相有效匝数为N2， 各相磁动势为有效匝数与 电流的乘积，其空间矢量 均位于有关相的坐标轴上。 由于交流磁动势的大小随 时间在变化着，图中磁动 势矢量的长度是随意的。
dq变换的物理意义
dq变换的物理意义DQ变换是离散时间系统分析和控制中最基本的一种数学工具。
它最大的优点是能够在离散时间系统中直接地分析和控制交流电路等连续时间系统。
DQ变换主要是用来将三相交流电系统的三相电信号转换为两相静态坐标系下的直流（DC）和交流（AC）信号。
DQ变换在电力电子学、电力驱动系统和电力负载等领域里得到了广泛的应用。
DQ变换物理意义之一是将三相传感器输出的原始信号转换为直流和交流信号。
在交流电路中，电源产生的电流和电压通常是交流的，即其值随时间而变化。
然而，这些交流信号在控制系统中很难被处理，因为它们是在连续时间域中测量的。
通过DQ变换，交流信号可以被转换成在直流分量和交流分量上分别独立表示的信号，使得这些信号更容易被数学模型所处理。
因此，DQ变换为控制交流电路提供了更方便的数学工具。
DQ变换物理意义之二是将三相交流信号变换为定向坐标系下的信号。
在交流电力系统中，电源电压和电流是通过交流方式进行传输的，这意味着它们的值会随时间而变化。
DQ变换可以将三相信号转换成在定向坐标系下的幅值和相位，使得它们更容易被处理和控制。
通过在定向坐标系下进行运算，可以把三相交流系统的运算推广到定向坐标系下的系统，这为对三相电路的控制和运行提供了合理的数学模型和操作手段。
DQ变换物理意义之三是将转速不确定的交流平衡系统中的控制器输出变换到 DQ 轴上。
在电力电子学领域中，DQ变换被广泛应用于控制交流电机的速度。
在控制交流电机的速度时，控制器需要对转速进行测量，以便在电机达到理想的运行速度时进行控制。
然而，由于各种原因，控制器输出的速度信号可能会发生变化。
此时，DQ变换可以将非精确的控制器输出转换成在DQ轴上的精确的信号，使控制精度得到提高。
通过这种方法，DQ变换不仅可以提高交流电机的控制精度，而且也可以在各种实际应用中提高控制系统的可靠性和性能。
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一、 p-q 变换与d-q 变换的理解与推导1. 120变换和空间向量120坐标系是一个静止的复数坐标系。
120分量首先由莱昂（Lyon ）提出，所以亦成为莱昂分量。
下面以电流为例说明120变换。
a i 、b i 、c i 为三相电流瞬时值，120坐标系与abc 坐标系之间的关系为[1]：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=02210212021i i a ai i i ai i a i i i i i c b a 式中a 和2a 分别为定子绕组平面的120°和240°空间算子，︒=120j e a ，︒=2402j e a ，上式的逆变换为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++==++=++=*)(31)(31)(31012221c b a c b a c b a i i i i i ai i a i i i a ai i i 可以看出，120变换在形式上与矢量对称分量变换很相似，不过这里的c b a i i i 、、是瞬时值而不是矢量，21i i 、是瞬时复数值，所以120变换亦称为瞬时值对称分量变换。
由于是瞬时值之间的变换，所以120变换对瞬态（动态）和任何电流波形都适用，而矢量对称分量法仅适用于交流稳态和正弦波的情况。
另外，由于a 和2a 是空间算子，所以1i 和2i 是空间向量而不是时域里的矢量；所以瞬时值对称分量和矢量对称分量具有本质上的区别。
另外，从上式可知，2i 等于1i 的共轭值，所以2i 不是独立变量。
用矩阵表示时，可写成⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0211120i i i C i i i c b a ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a i i i C i i i 120021（1-1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11111221120a aa a C ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111113122120a a a a C 此变换矩阵为等幅变换①。
所谓等幅值变换，是指原三相电流形成的总的磁动势（MMF ：Magnetic Motive Force ）和变换后的电流形成的磁动势MMF 幅度一样。
由于本文中120变换的目的是生成电压电流的空间矢量。
而电流矢量的定义为其单独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abc 到120的变换应以磁动势不变为准则，应选取等幅值变换。
① 如何理解式（1-1）中的变换矩阵是等幅值变换？？？虽然等幅值变换虽然有明确的物理意义，但是如果对三相电压、电流均进行等幅值变换，在计算功率的时候就会出现功率不守恒的情况。
因此，相对于等幅值变换，还有等功率变换。
所谓等功率变换，是指原三相系统中的功率和变换后的功率相等。
对实线性空间，由于正交变换②保持积不变，而功率恰好是电流、电压矢量的积，只要将组成变换矩阵的特征向量规化（单位化），即可保证变换前后的功率形式不变。
令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b a i i i i ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b a u u u u ，变换矩阵为C 。
原三相系统中功率为：i u i u p T ==),(变换后的功率为：i C C u Ci C u Ci Cu Ci Cu p T T T T T )()(),(====当E C C T =，即1-=C C T ，可使变换前后功率不变，满足此条件的C 即为正交矩阵。
在120分量中，由于负序分量2i 不是一个独立变量，所以可以把它省略；另外，零序分量是一个孤立系统，可以单独处理；所以实用上通常仅需用到正序分量1i 。
为此定义定子电流的空间矢量ori i ，它等于1i 的2倍③，即ori i =)1(322c b a i a ai i ++（1-2）式中的1、a 和2a 分别表示a 相、b 相和c 相轴线位置处的单位空间矢量。
若零序电流为0，ori i 在a 、b 、c 相轴线上的投影即为c b a i i i 、、，如图1-1所示。
从式（1-2）可以看出，定子电流的空间矢量ori i 既表达了三相电流在时域的变化情况，又表达了三相绕组在空间的不同位置；就物理意义而言，它实质上是代表定子三相绕组所组成的基波合成磁动势。
b 相c 相图1-1 电流的空间向量电压矢量同理可得。
② 正交变换：变换矩阵C 为正交矩阵，满足1-=C C T③ 考虑这里为什么空间矢量是正序分量的2倍？是不是考虑到空间矢量是正序和负序分量之和。
2. Park 变换与Clarke 变换（1）Clarke 变换αβ0坐标系是一个两相坐标系，其中α轴与a 相绕组轴线重合，β轴超前α轴90°电角，0序则是一个孤立的系统。
以电流为例，说明abc 与αβ0坐标系之间的坐标变换。
把图中α和β轴线上的电流αi 和βi 分别投影到a 、b 、c 三相轴线上，再加上孤立的零序电流0i ，可得a i 、b i 和c i ：c0序图1-2 αβ0变换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=++-=+=00023212321i i i i i i i i i i i c b a βαβαα ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010i i i C i i i c b a βααβ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a i i i C i i i 00αββα其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-123211232110110αβC ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2121212323021211320αβC 不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把0αβC 进行单位正交化，变为正交矩阵，使得TC C 01αβαβ=-，得到等功率变换矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2121212323021211320αβC（2）Park 变换dq0坐标系是一种与转子一起旋转的两相坐标系和零序系统的组合。
若转子为凸极，则d 轴与凸极的中心轴线重合，q 轴超前d 轴90°电角，如图1-3所示。
dq0变换是从静止的abc 坐标系变换到旋转的dq0坐标系的一种变换。
b 相c 相图1-3 dq0变换以定子电流为例。
设定子三相绕组中电流为a i 、b i 、c i ，转子d 轴与定子a 相绕组轴线之间夹角为θ（电角），dq0变换后定子电流的dq0分量分别为d i 、q i 、0i 。
把旋转的d 、q 轴上的d i 、q i 分别投影到定子a 、b 、c 三相轴线上，再加上零序电流0i ，可得到a i 、b i 和c i ：⎪⎩⎪⎨⎧++-+=+---=+-=000)3/2sin()3/2cos()3/2sin()3/2cos(sin cos i i i i i i i i i i i i q d c q d b q d a πθπθπθπθθθ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010i i i C i i i q d dq c b a ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a dq q d i i i C i i i 00其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+----=-1)3/2sin()3/2cos(1)3/2sin()3/2cos(1sin cos 10πθπθπθπθθθdq C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+----+-=212121)3/2sin()3/2sin(sin )3/2cos()3/2cos(cos 320πθπθθπθπθθdq C 式中0θωθ+=t ，ω为转子的角速度，0θ为0时刻时，d 轴与a 轴夹角，转子旋转时，0dq C 是一个时变阵。
若0=θ，即转子不转，且d 轴与a 轴重合时，dq0坐标系退化为αβ0坐标系。
实际上，由图1-3可知，若0=θ，就意味着。
与图1-2一致。
显然上式不是正交矩阵，上述变换为等幅值变换，把变换矩阵单位正交化变为正交矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+----+-=212121)3/2sin()3/2sin(sin )3/2cos()3/2cos(cos 320πθπθθπθπθθdq C则Tdq dq C C 01=-，此时变换将成为等功率变换。
Clarke 变换也是αβ变换，它变换后的量仍然是交流量，也就是说，它的值是随着abc 三相值的变化而变化的。
它的主要用途是瞬时无功功率控制。
Park 变换是交流坐标系变换为直流坐标系，一般在VSC （voltage sourceconverter ）的控制中常用，它将交流变化的量变换到直流坐标系下，稳态时dq 量可以保持恒定。
VSC 控制就是控制变换过的dq 量从而对系统的电压电流等参数进行控制的[3]。
3. 瞬时无功理论设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为a e 、b e 、c e 和a i 、b i 、c i 。
为分析问题方便，把他们变换到βα-两相正交的坐标系上研究。
如图1-4所示[2]。
βe i i βi β图1-4 βα-系中电压、电流矢量由下面的变换可以得到α、β两相瞬时电压αe 、βe 和α、β两相瞬时电流αi 、βi 。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a e e e C e e αββα （1-3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a i i i C i i αββα （1-4）式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=232123210132αβC 。
此变换为等功率变换，标准正交化成可逆的转移矩阵（正交阵）为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2123212123212101320αβC ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-21232121232121013210αβC 不难推导出，120分量与αβ0分量之间具有下列关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(61)(6121βαβαji i i ji i i ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(61)(6121βαβαje e e je e e （1-5）以电流为例推导过程如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0022010120120021200011011612123212123212101321111131i i i i i i a a a a i i i C C i i i C i i i c b a βαβαβααβ空间矢量与αβ分量的关系为ori i )(3221βαji i i +== ori e )(3221βαje e e +== （1-6） 在图1-4所示的βα-平面上，矢量αe 、βe 和αi 、βi 。
分别可以合成为（旋转）电压矢量e 和电流矢量i用于瞬时功率计算中的Clarke 变换需要保证变换前后功率保持不变，因此应采用为等功率变换。