江西省宜春市高三数学上学期第一次诊断试题文

高三上学期第一次诊断考试数学（文科）试卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．设A={x|2x
＞1}，B={x|y=log 2（x+1）}，则A∪B=（ ）
A ．{x|﹣1＜x ＜0}
B ．{x|x≥1}
C ．{x|x ＞0}
D ．{x|x ＞﹣1}
2．设i z -=1（i 是虚数单位），则
=+2
2z
z （ ）
A ．i --1
B ．i +-1
C ．i -1
D ．i +1
3．在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，4-n a =30，则n 的值为（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
4．已知5
3)3
sin(
=
-x π
，则=-)6
5cos(
x π（ ）
A ．5
3
B ．5
4 C ．5
3-
D ．5
4-
5．如图程序框图输出的结果为（ ）
A ．
11
5 B ．
13
5
C ．
9
4 D ．
136
（第5题图）
6．在区间上随机地取一个数x ，使 2
2
1
1
a x a +
≥+恒成立的概率是（ ）
A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
7．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）
A ．52
B ．62
C ．72
D ．24
8．已知定义在R 上的偶函数，)(x f 在0≥x 时，)1ln()(++=x e x f x
，
若)1()(-<a f a f ，则a 的取值范围是（ ）
A ．)1,(-∞
B ．)2
1
,(-∞
C ．)1,2
1
(
D ．)
1(∞+，
9．知函数⎩
⎨⎧>+≤+-=)0)(1ln()
0(2)(2
x x x x x x f ，若函数满足ax x f ≥)(，则a 的取值范围是
（ ）
A ．(]0，∞-
B ．(]1，∞-
C ．[]1,2-
D ．[]0,2-
10．已知角a 的终边经过点)3,1(-，则对函数+=x a x f 2cos sin )()
22(cos cos π
-x a 的表述正确的是（ ）
A ．对称中心为)0,12
11(π B ．函数x y 2sin =向左平移
3
π
个单位可得
到)(x f
C ．)(x f 在区间)6
,
3(π
π
-上递增
D ．方程0)(=x f 在⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡
-065
，π上有三个零点
11．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足
λ+=OA OP +
AB AC ，[)∞+∈，
0λ，则点P 的轨迹经过△ABC 的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心．
12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数)(x f y =满足：x
xe x f x f x =-')()(且3)1(-=f ，
0)2(=f ．则函数)(x f y =（ ）
A ．有极小值，无极大值
B ．有极大值，无极小值
C ．既有极小值又有极大值
D ．既无极小值又无极大值
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。

13．已知)3,2(=a ，)7,4(-=b ，则a 在b 上的投影为 ．
14．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≤--0
320420
2y y x y x 则x y 的最大值为 ．
15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且11-=a ，11++=n n n s s a ，则=n s ．
16．设1F 、2F 分别是椭圆116
25
2
2
=+
y
x
的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标
为)4,6(，则
1
PF PM
+的最大值为 ．
三、解答题:本大题共六小题，解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤。

17、（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数a x x f +=2)(32--x ，R a ∈. （1）若2=a ，求不等式3)(-≥x f 的解集；
（2）若存在实数x 使得a x f 2)(≥成立，求实数a 的取值范围.
18、（本题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠CAD=
4
π
，AC=
72
，
cos∠ADB=10
-．
（1）求sin∠C 的值；
（2）若BD=2DC ，求边AB 的长．
19、（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，21a a +，)(241a a +成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和为n s ，求证：6<n s ．
20、（本题满分12分）设)(x f 的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞，且)(x f 是奇函数，当0>x 时，x
x x f 3
1)(-=
.
（1）求当0<x 时，)(x f 的解析式； （2）解不等式8
)(x x f -<．
21．（本小题满分12分）在三棱锥ABC P -中，PAB ∆是等边三角形，AC PA ⊥，
BC PB ⊥．
（1）证明：PC AB ⊥；
（2）若2=PC ，且平面⊥PAC 平面PBC ，求三棱锥ABC P -的体积．
22、（本题满分12分）已知函数()ln 1,.a f x x a R x
=+
-∈
（1）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线01=+-y x 垂直，求函数的极值；
（2）设函数1()g x x x
=+
.当a =1-时，若区间上存在x 0，使得[]1)()(00+<x f m x g ，
求实数m 的取值范围．（e 为自然对数底数）
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分， 共60分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．
5
65 14．
2
3 15．n
1-
16．15
三、解答题（本大题共6小题，10+12+12+12+12+12，共70分） 17、
………………5分
………………
10分
18、解：（Ⅰ）因为cos ∠ADB=10
-且∠ADB ∈（0，π），所以sin ∠10
．2
分 因为∠CAD=
4
π
，所以C=∠ADB ﹣
4
π
．
4分
所以sin ∠C=sin （∠ADB ﹣4
π
）=
410
2
10
2
5
+=
．6分
（Ⅱ）在△ACD
7
10
2
C D
，∴CD=
52
，9分
∵BD=2DC ，∴BC= 152
，∴AB= = 12分
19、
………………6分
………………12分
20、
………………6分
………………12分
21、
………………6分
(12)
分
22、解：（I）f′（x）= ﹣= （x＞0），
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，所以f′（1）=﹣1，
即1﹣a=﹣1，解得a=2．所以，2分
∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减；
当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增；
∴当x=2时，f（x）取得极小值，
∴f（x）极小值为ln2．5分
（II）令，则h′（x）=
，
欲使在区间上上存在x0，使得g（x0）＜mf（x0），
只需在区间上h（x）的最小值小于零．令h'（x）=0得，x=m+1或x=﹣1．
当m+1≥e，即m≥e﹣1时，h（x）在上单调递减，则h（x）的最小值为h（e），
∴，解得，∵，∴；当m+1≤1，即m≤0时，h（x）在上单调递增，则h（x）的最小值为h（1），
∴h（1）=1+1+m＜0，解得m＜﹣2，∴m＜﹣2；
当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，
h（x）在上单调递减，在（m+1，e]上单调递增，
则h（x）的最小值为h（m+1），
∵0＜ln（m+1）＜1，∴0＜mln（m+1）＜m，
∴h（m+1）=2+m﹣mln（m+1）＞2，此时h（m+1）＜0不成立．
综上所述，实数m的取值范围为
21
(,2)(,)
1
e
e
+
-∞-+∞
-
12分。