广东省高一数学重点班教案：任意角的三角函数

广东省高一数学重点班教案：任意角的三角函数【学习目标】1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义. 3．会应用三角函数的定义解决相关问题。

【要点梳理】知识点一：三角函数定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； (2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； (3)y x叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x xα=≠. 要点诠释：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan y xα=。

知识点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。

知识点三：诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2)sin k απα+⋅=，其中k Z ∈ cos(2)cos k απα+⋅=，其中k Z ∈ tan(2)tan k απα+⋅=，其中k Z ∈要点诠释：该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。

要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.知识点四：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于P ，过P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N.以A 为原点建立y '轴与y 轴同向，与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ')，则有向线段0M 、0N 、AT(或AT ')分别叫作α的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.要点诠释：三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴的正方向的交点的切线上； 三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外. 【典型例题】类型一：三角函数的定义例1．（1）已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α，tan α，cot α的值；（2）已知角α的终边在直线y =上，求sin α，cos α，tan α的值。

【思路点拨】先根据点P （－4a ，3a ）求出OP 的长；再分a ＞0，a ＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论【答案】（1）35，45-，34-，43-或35-，45，34-，43-（21212-【解析】 （1）5||r a ==。

若a ＞0，则r=5a ，角α在第二象限，则33sin 55y a r a α===，44cos 55x a r a α-===-， 33tan 44y a x a α===--，44cot 33x a y a α-===-。

若a ＜0，则r=－5a ，角α在第四象限，则3sin 5α=-，4cos 5α=，3tan 4α=-，4cot 3α=-。

（2）因为角α的终边在直线y =上，所以可设()(0)P a a ≠为角α终边上任意一点。

则2||r a ==（a ≠0）。

若a ＞0，则α为第一象限角，r=2a ，所以sin α==， 1cos 22a a α==，tan α==。

若a ＜0，则α为第三象限角，r=－2a ，所以sin 22a α==--，1cos 22a a α=-=-，tan aα==。

【总结升华】 三角函数值的大小与点P 在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。

本题应注意把函数34xy =-的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。

举一反三：【变式1】已知角α的终边上一点()P m ，且si n 4α=，求c o s ,t a n αα的值.【解析】由题设知x =y m =，所以2222||(r OP m ==+，得r =从而sin4α=m r ==， 解得0m =或21662m m =+⇒=当0m =时，r x == cos 1,tan 0x yr xαα==-==；当m =r x == cos tan 43x y rx αα==-==；当m =r x == cos tan xy r x αα===【变式2】已知角α的终边落在y=|2x|上，求cos α值。

【解析】 y=|2x|，2y x ∴=±取点P （1，2），'(1,2)P -'||||r OP OP ===cos5x r α∴===或类型二：三角函数的符号 例2．（1）判断17tan 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的符号； （2）若sin α=―2cos α，确定tan α的符号；（3）已知α为第二象限角，判断3sin αcos α+2tan α的符号； （4）若sin α＜0，cos α＞0，则α是第几象限角？ （5）若sin2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在象限？ 【答案】（1）＞（2）＜（3）＜（4）四（5）三 【解析】（1）因为177466πππ-=-+，且76π是第三象限角，所以176π-是第三象限角。

所以17tan 06π⎛⎫-> ⎪⎝⎭。

（2）由sin α=―2cos α，知sin α与cos α异号，故α是第二或第四象限角。

当α是第二象限角时，tan α＜0；当α是第四象限角时，tan α＜0。

综上知，tan α＜0。

（3）因为α为第二象限，所以sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，所以3sin αcos α+2tan α＜0。

（4）因为sin α＜0，所以α为第三或第四象限角， 又cos α＞0，所以α为第一或第四象限角， 所以α为第四象限角。

（5）因为sin2α＞0，所以2k π＜2α＜2k π+π（k ∈Z ）， 所以2k k ππαπ<<+（k ∈Z ）。

当k 为偶数时，α是第一象限；当k 为奇数是，α为第三象限象。

所以α为第一或第三象限角。

又因为cos α＜0，所以α为第二或第三象限角，或α终边在x 轴的非正半轴上。

综上知，角α终边在第三象限。

【总结升华】第一象限角，函数值全为正；第二象限角，只有正弦值为正；第三象限角，正切值为正；第四象限角，只有余弦角为正。

举一反三： 【变式1】求函数sin |cos |tan |sin |cos |tan |x x xy x x x =++的值域。

【答案】{－1，3}【解析】 由题意知，角x 的终边不在坐标轴上。

当x 是第一象限角时，sin cos tan 3sin cos tan x x xy x x x =++=； 当x 是第二象限角时，sin cos tan 1sin cos tan x x xy x x x -=++=--；当x 是第三象限角时，sin cos tan 1sin cos tan x x xy x x x -=++=--；当x 是第四象限角时，sin cos tan 1sin cos tan x x xy x x x=++=---，故函数sin |cos |tan |sin |cos |tan |x x xy x x x =++的值域为{－1，3}。

【总结升华】本题主要考查三角函数值在各象限的符号，并将其与函数的值域、绝对值等有关知识结合进行综合考查。

本题运用了分类讨论思想。

分象限讨论各三角函数值的符号是解决这类问题的基本方法，注意讨论时要不重不漏，所有可能的情况要考虑全面。

类型三：诱导公式一的应用 例3．（1）1112sin cos tan 3cos 654ππππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）sin （―1740°）·cos1470°+cos （―660°）+sin750°+tan405°。

【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。

【答案】（1）12+（2）2 【解析】（1）原式12sin 2cos tan(2)cos 654ππππππ⎛⎫⎛⎫=-++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin costan cos 654ππππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭11222+=+=。

（2）原式=sin(―10×180°+60°)·cos(8×180°+30°)+cos(―4×180°+60°)·sin(4×180°+30°)+tan(2×180°+45°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=11122222+⨯+=. 【总结升华】 在弧度制下，与角α终边相同的角为2k πα+，k ∈Z ，在角度制下终边相同的角为k ·360°+α，k ∈Z 。

利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。

举一反三：【变式1】设()s i n ()c o s ()f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f （2006）=1，求f （2010）的值。

【答案】1【解析】 由(2006)1f =，即s i n (2006)c o s (2a bπαπβ+++=，得s i n c o sa bαβ+=。

故(2010)sin(2010)cos(2010)sin cos 1f a b a b παπβαβ=+++=+=。

类型四：三角函数线的应用例4．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：sin tan ααα<<.【思路点拨】利用正弦、余弦的三角函数线去证明。

【证明】如图，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于点T ，过点P 作PM ⊥OA 于点M ，连接AP ，则：在Rt △POM 中，sin α=MP ； 在Rt △AOT 中，tan α=AT 。