对“有价值的数学”的探索与思考

对“有价值的数学”的探索与思考浙江省宁波市鄞州区鄞江镇中心小学教科室叶杰军“学习有价值的数学”是数学课程标准中提出的基本理念之一，在今后相当长的时间内，将指导着中小学数学教学实践。

因此，如何正确理解“学习有价值的数学”，对于改善中小学数学课堂教学具有重要意义。

一、什么样的数学是有价值的呢？这是一个传统的教学材料：某水池有一进水管，单独放水需12小时把空水池放满，有一出水管，单独放水需20小时放完一池水。

问同时打开进水管和出水管，几小时可以把水放满？记忆中在讨论《课标》讨论稿时，许多专家、教师认为：像这样的数学教学内容，可以认为是没有价值的。

因为这一问题情境在现实生活中是很少存在的，一般情况下是不会采用同时打开进水管和出水管来把水池放满的。

在现实生活中，是否真的没有进水管与出水管同时打开的情境呢？笔者十分赞同在2002年7-8期上发表“怎样理解‘有价值的数学’”一文的俞正强老师的观点。

当俞老师把这个问题交给学生讨论时，学生们的回答出乎意料，因为他们发现，现实生活中“同时打开进水管与出水管”的现象几乎十分普遍，如：A．排队候场。

不断来排队的人和不断进场的人，来排队的人多于进场的人，就会有等候的人。

B．草场。

不断生长的草和不断被吃掉的草。

C．人体的新陈代谢。

不断的补充和不断的消耗。

D．社会人口的增减。

不断出生的人和不断死亡的人，出生的人多于死亡的人时，人口就增加；反之则减少。

……从学生们的回答中可以发现，在学生的理解里，进、出水管同时打开是表示有进有出的一种动态平衡。

这种对动态平衡意识的感情，是一种多么有价值的数学体验！看来，我们必须认识到在理解“有价值的数学”时，应该避免表面的肤浅理解，避免实用主义。

（一）有价值的数学应具备的几个特性：《标准》指出：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。

”这一提法反映了义务教育阶段面向全体学生，体现基础性、普及性和发展性的基本精神，代表着一种新的数学课程理念和实践体系。

从中也体现为有价值的数学应具备的三大基本特征：基础性、普及性和发展性。

笔者认为从更广泛的意义上来说，有价值的数学具体还表现为具备下列特性：1．趣味性长期以来，我国基础教育是学科课程一统天下，教师中心、书本中心、知识中心仍占有相当显著的位置，无论是小学还是中学，也无论是文科课程还是理科课程，在学习的方式上几乎都是以接受教师讲授为主的。

教师所要做的是如何准确地说明解释以使学生理解的明明白白，学生的最佳状态则是跟着教师的思路走，并把老师讲的记下来。

教师常用的教学方式是例题、示范、讲解，学生习惯的学习方式是听讲、记忆、练习。

尤其在数学课中，人们相当重视知识的逻辑性、系统性，为了严密、完整，不产生歧义，常常用大量的文字表述某个概念。

结果，数学是枯燥的、抽象的、难学的，成为学生们对数学的普遍认识。

而兴趣是学生最好的老师，从这个意义上分析，“有价值的数学”首先应是能吸引和激发学生学习兴趣的数学，即具有趣味性。

新数学课程在教材编排上版式活泼、图文并茂，内容上顺理成章、深入浅出，将枯燥的数学知识演变得生动、有趣、有较强的可接受性、直观性和启发性，对培养学生的学习兴趣有极大的帮助。

这就需要我们教师精心设计教学过程，激发他们的学习兴趣，让学生亲身去感受数学，萌发一种教学真有趣，我就要学习数学的心理。

如：学习“百分数的意义”时，可问学生：“大家经常喝牛奶，可牛奶盒上写着‘脂肪3.3%，蛋白质2.9%……，这些3.3%、2.9%表示什么意思。

”又如：学完“10内各数的认识”后，我让学生用第几排第几个来描述自己坐的位置；让他们说一说家里的电话号码是由哪几个数学组成的；让他们记录一星期的气温……。

学生完成题目时，兴致特别高，争先恐后地交流。

他们在交流中体验到了数学就在身边，感受到了数学的乐趣。

从对自己的座位表述中，他们区别了第几排和第几个；通过交流家里的电话号码，知道了由于数的排列顺序不同，构成的电话号码也不同，解决了生活中的实际问题，领悟了数学的奥秘，从中也体现出数学的价值所在。

2．生活性数学教学不应该是刻板的知识的传授，而应该遵循源于生活、富于生活、用于生活的理念。

实践表明，越贴近学生生活的，学生熟悉的内容在情感上越容易引起学生的同鸣。

所以，应从熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发，使他们体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，对数学产生亲切感。

因此有价值的数学在学习内容上应当是现实的、有趣的，富有挑战性的。

例如：在“除数是小数的除法”的教学中，教师可紧密联系学生“购物”的生活经验，创设出“一个橡皮擦0.3元，一本练习本0.45元，一付三角板0.54元，一支彩色笔0.9元，一支自动铅笔1.35元，如果你有2.7元，要买其中一种物品，算一算能买多少”的情境，引导学生思考：在日常生活中你是怎样算的？于是学生联系自己的生活经验和已有知识，很快探索出了“除数是小数的除法”的计算方法，使他们在获取数学知识的同时，也得到了积极的情感体验。

3．个性性“有价值的数学”在解题策略、方法上更多的体现出个性性。

例1：在下面的横线上填数，便这列数具有某种规律，并说明有怎样的规律。

3，5，7，___，___，___。

我们（教师）首先应鼓励学生通过独立思考，从不同的角度去探究可能隐含的规律，并在全班进行交流。

在解决这个问题时，只要学生给出一个答案，并能作出合理的解释，就可以给予肯定。

下面是学生可能给出的一些答案：（1）在横线上依次填入9，11，13，形成奇数列。

（2）在横线上依次填入11，17，27，使这列数从第三个数开始每个数都是前两个数的和减1。

（3）在横线上依次填入27，181，4879，使这列数从第三个数开始，每个数都是前两个数的积减8。

这样的教学有利于培养学生独立地思考，合作交流的能力，有利于培养学生寻求数的规律的能力，突出其个性性，这种比单纯地做几道计算题更具有挑战性，也更有价值。

从数学习题的分类来看，上例无疑可以说是一道数学开放题，相比较常规封闭题而言，虽然数学开放题在整个数学习题中所占的比例远低于封闭题，但其训练学生的实践能力和创新意识来说，数学开放题具有其独到的作用，也就是说从某一角度来说，数学开放题比封闭题更有价值。

例如下面所举的例2与例2'对比题，其训练价值无疑是后者（开放题）更高一些。

例2：将一个正方形分割为四个面积相等的小正方形。

（封闭题）例2'：将一个正方形分割为四个面积相等的图形。

（开放题）4．文化性《课标》指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。

”从这一层面来讲，文化性也是有价值数学的重要特性。

当今世界，数学已变得越来越重要。

“数学文化”的内涵越来越丰富，数学与人类的关系越来越密切。

但是，正是人们越来越需要数学的时代，数学却越来越难被人们理解、接受，审视我国小学数学教育，我们不难发现，数学教育由“开放”走向“封闭”，是十分可悲的现象；把数学学习与学生的生活、社会的发展割裂开来，更是严重的错误；让学生学习毫无“应用”之言的“数学”，对学生的发展没有任何价值。

我们知道，“数学文化”的形成，是人类在生活和生产过程中，经过无数次“经历”和“体验”，逐步抽象、概括形成的一种有自身特色的“文化”，但是，在我国数学教育漫长的发展过程中，又出现了一个严重的问题，即把数学与人们的生活和社会发展现实隔离开来，把学生封闭在狭窄的课堂里，去研究一些“纯数学”问题，使学生的数学学习严重地与他们的生活实际、社会发展实际脱节，不仅感受不到“数学文化”的魅力，体验不到数学的价值，而且使他们从心理上感到数学学习的枯燥、乏味，甚至厌倦数学，这难道不是一种可悲的现象吗？数学社会学研究表明：学生的数学学习，并不是独立于社会环境的一个体系。

学生认识的起点，往往不是规定中的逻辑公理，而是学生生活中的一些实际事例。

鉴于此，现代小学数学教育呼唤回归生活，强调数学科学世界与生活世界的统一，科学精神与人文精神的整合。

从某种意义上讲，让数学回归生活，让学生从生活中学习数学，已成为时代的一种呼声。

“数学文化”的一个显著特点，就是它源于生活，又广泛应用于生活。

因此，国际数学课程改革的一个重要趋势，就是提倡学习有价值的数学，强调数学课程的应用性和实践性。

目前，现实数学观点正逐步为广大数学教师所接受，在数学界得到普遍的认同。

现实数学观点强调：学校数学教育具有现实的性质（数学来自于现实生活，再运用到现实生活中去）；学生应该用现实的方法学习数学（通过熟悉的现实生活，自己逐步发现和得出数学结论）；基于此，“人人学习有价值的数学”，“人人都获得必要的数学”，“让不同的人在数学上得到不同的发展”就成了时代的又一种呼声。

我们知道，“文化的核习是价值观的问题”。

因此，在数学教学中，我们应借助数学科学的文化价值，把蕴含在数学知识、技能中的价值观念、审美情趣、思想方法和行为规范加以挖掘和提升，让学生在数学学习活动中，通过“再现、重演数学知识中隐含着的原始实践和认识活动（包括认知活动和情感体验活动等）”，从而接受“数学文化”的熏陶，使学生在获得一个公民必需的基本数学知识和技能的同时，在情感、态度、价值观等方面也得到较好的发展。

例如：在“0的认识”教学中，教师可创设一个小朋友“放飞小鸟”的情境，让学生不仅感受到“一只小鸟也没有用‘0’来表示”，同时也受到保护野生动物的教育。

例如：在“分类”的教学中，教师可创设这样的问题情境：妈妈从超市买回一些食品（有熟食、水果、饮料……），请你帮妈妈分一分，并放在相应的地方。

于是学生要先调查，看看自己家冰箱里面放什么物品？食品柜里放什么物品……然后再尝试分一分，提出自己解决问题的方案。

这样，学生不仅学习了“分类”知识，而且达到了了解生活、学会生活的目的。

5．后继性有价值的数学从教材体系上更加突出体现为对后继学习有用性（有价值）上，即具有后继性的特性。

《数学课程标准》中关于计算数学的一个很重要的改革方向是强化口算，淡化笔算。

以“两位数加一位数的进位加法”为例，许多老师在教给学生口算的方法后，往往通过大量的有关练习使学生“熟能生巧”。

也许学生能达到老师所期望的水平，但训练是否“科学、价值高”，恐怕就没有更多地去深思了。

笔者认为，在“两位数加一位数的进位加法”训练题中，我们可以把它分成两类：一类是对后继学习有用的题，例如：“64+7=？”……另一类是对后继学习用处不大的题，例如：“65+7=？”……对于教师来说，在两位数加一位数的进位加法训练中，尽可能地选择“后继学习有用题”，对学生来说无疑是大有益处的，可以说，这就是让学生学习“有价值的数学”。

后继学习有用题。

例：64+7=？因为在以后的学习中，当学生遇到用乘法计算“89×8=？”时，采用笔算或口算过程中会遇到64+7=？的问题。