青岛版八年级下册第七章二次根式

讲义内容
学生姓名： 授课老师： 授课时间：
一、课前回顾
首次授课，课前对学生进行更多学习进度和学习情况的了解。

二、本节课重难点
1、二次根式的概念
2、二次根式的性质
3、二次根式的计算
4、二次根式中的字母的取值 三、本节主要内容和例题
1、二次根式的概念：一般地，式子a （a ≥0）叫作二次根式。

判断一个式子是不是二次根式，主要看它是否符合以下两点：一是形式，指数必须是2，否则就不是二次根式；二是被开方数必须为非负数，否则也不是二次根式。

二次根式有意义的条件:被开方数大于等于零。

练习：下列各式哪些是二次根式，哪些不是?
①25- ②23b ③ 38 ④2
)12(+-x ⑤n 3- ⑥122+-x x
理解二次根式：①)0()(2≥=a a a 表明：一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身；这个式子反过来可以写成)0()(2≥=a a a ，它表明一个非负数可以表示成这个数的算术平方根的平方的形式。

②)0(2
≥=a a a
表明：一个非负数的平方的算术平方根
等于这个非负数本身，它是进行二次根式化简的依据。

因为a 为任意实数时2
a ≥0，所以
2
a
有意义，所以当a 为任意实数时，
⎩
⎨⎧-≥==)0()
0(||2
a a a a a a
2、最简二次根式
一个二次根式，如果满足两个条件：（1）、被开方数的因数是证书，因式是整式；（2）、被开方数中不含能够开的尽方的因数或因式，那么这个二次根式叫做最简二次根式。

化简二次根式的一般步骤是：1．把分数或小数化成假分数；2．把被开方数分解成质因数或因式分解；3．把根号内能开得尽方的因式、因数，利用性质移到根号的外面；4．化去根号内的分母或者化去分母中的根号；5．约分．以上五个步骤，在具体化简时不一定每一步都用到，这与解一元一次方程的五个步骤类似，解一元一次方程时，五个步骤不一定全用到，需要根据题目的特点选择解题步骤。

3、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式
4、二次根式的性质
二次根式的性质：
（1） 非负性 ：a ≥0，（a ≥0） （2） （a ）2=a ，（a ≥0）
a （a>0） (3)、2
a =|a| 0 (a=0)
—a (a<0) (4)、ab =a ×b (a ≥0,b ≥0)
(5)、b
a =b
a （a ≥0,
b >0）
5、二次根式的运算
二次根式乘法法则：ab =a ×b
二次根式除法运算：b
a =b
a （a ≥0,
b >0）
二次根式的加减：类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。

二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用， 原来所学的乘法公式（如 （a+b ）(a-b)=a 2-b 2;a 2±2ab+b 2=(a±b)2 例题：
题型1:二次根式有意义的条件 ①
23x x
-- ②13x - ③x
x x y -+
-=
21
2.（2005.吉林）当 x _____时， x -3 有意义。

3.(2005.青岛)
4-a =
a -4中有意义的条件_______
4.求下列二次根式中，字母的取值范围
x -3-5-x
x
x -21-
4-2
25
x --⑤
51x
-④
2x
-⑥
3
12x
+⑦
2
1
x +⑧
5.已知y=x -2＋2-x +5,求
x
y =
6.下列各式中，哪些是同类二次根式？（用画∨出来）：
以下二次根式：①12；②22；③
23
；④
27中，与3是同类二次根式的是（ ）．
A ．①和②
B ．②和③
C ．①和④
D ．③和④
化简成最简二次根式：
题型2:二次根式的计算题
1、若x>1，化简12)
1(2
2
+-+x x x 2、
2008
2006
)
347()
347(+-
3、m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，求 （m －n ）2
的值
4、
(
)
(
)
2005
2006
52
52
-⋅
+
5、5（15+25）
6、（27
8—5 3）∙6
7、x
x x y -+
-=
21中自变量x 的取值范围是 。

8、若a<1，化简2
12a a -+的结果是（ ）
A 、a-1
B 、-a-1
C 、1-a
D 、a+1
9、若2
(5)50x x -+-=，则x 的取值范围是（ ）
A 、x>5
B 、x<5
C 、x ≥5
D 、x ≤5
10、计算2
1234
a a
a
a a a
+-的值是（ ）
A 、正数
B 、负数
C 、非负数
D 、非正数
11、若|a-b+1|与24a b ++互为相反数，则(a-b)2007= 。

12、计算或化简：
（1）33
(3223)(3223)3
-
--+ （2）48(
54453
)83
3
-+⨯
13、112212
y x x =-+-+
，求2
2
(1)(2)y y
x x
-+--
的值
14、若x 、y 为实数，且|x+2|+3-y =0，则（x+y ）
2010
的值为
15、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示， 化简2a －2b ＋2)(b a －（7分）
16、已知21x =+求2
11()4()4x x x
x
+
-+
+
17、2
2
11()2xy y
x
x xy y
-
⋅
-+，其中3x =，2y =
18、已知x+x
1=3，求22
1x x
+
19、
已知xy ＞0,化简二次根式2
x
y x -的正确结果是( )
20、
实数a 在数轴上的位置如图所示，化简: =___________.
21、已知：当a 取某一范围内的实数时，代数式 的值是一个常数（确定值），则这个常数是 ； 22、 = a －1
b 1
· · A.y B.-y C.-y D.--y
(2-a)2+(a-3)2(3+1)(3-1)+(2-1)0-(-1
3
)-2
23、 若
b
a 是二次根式，则a ，
b 应满足的条件是（ ）
A ．a ，b 均为非负数
B ．a ，b 同号
C ．a ≥0，b>0
D ．
b
a ≥0
24、若m<0，则3
3
2||m m m ++= 。

25、若35-=
x ，则
562
++x x 的值为 。

26、若x ，y 是实数，且2
111+
-+
-<x x y ，求
1
|1|--y y 的值
27、把m
m 1-
根号外的因式移到根号内，得（ ）
A ．m
B ．m -
C ．m --
D ．m -
28、已知：的值。

求代数式
22,2
11881-+
-
++
+
-+-=x
y y
x x
y y
x x x y
29、阅读下面问题： 12)
12)(12()12(1211-=
-+-⨯=
+
；
;
23)
23)(23(2
32
31-=-
+
-
=
+
25)
25)(25(2
52
51-=-+-=
+。

试
求： （1）
6
71+
的值；（2）
17
231+
的值；
（3）n n +
+11（n 为正整数）的值。

先化简，再求值
（6x y x
+
3
3xy y
）－（4x
x y
+36xy ），其中x=
32
，y=27
2（a ＋3）（a －3）－a （a －6）， 其中a ＝2－1
22
2
2
211(
)a ab b a b
a
b
-+÷-
-，其中21a =+，21b =-
，其中 a=2-3
a 2-1a-1-a 2-2a+1
a 2-a。