【精品】2018最新学年湖南省衡阳八中高二上学期期中数学试卷和解析理科创新班
【精】湖南省衡阳八中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2018-2019学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分.）1．（5分）下列四个函数中，函数值的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=sinx+C．y=3x+3﹣x D．y=lgx+2．（5分）若命题p：∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0，则该命题的否定￢p为（）A．∃x0∉R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0 B．∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0C．∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1≥0 D．∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥03．（5分）已知△ABC的周长为20，且顶点B（﹣4，0），C（4，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．=1（y≠0）B．=1（y≠0）C．=1（y≠0）D．=1（y≠0）4．（5分）若双曲线=1上一点P到它的左焦点的距离为18，则点P到右焦点的距离为（）A．2 B．34 C．6 D．2或345．（5分）下列双曲线中，以y=±x为渐近线的是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=16．（5分）抛物线y=8x2的准线方程是（）A．y=﹣2 B．x=﹣1 C．x=﹣D．y=﹣7．（5分）与直线2x﹣y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是（）A．2x﹣y+3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y+1=0 D．2x﹣y﹣1=08．（5分）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是（）A．B．C．D．9．（5分）已知，则与向量共线的单位向量是（）A．B．C．D．10．（5分）直线y=x+3与曲线的交点个数为（）A．4个 B．1个 C．2个 D．3个11．（5分）已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2） B．C．[2，+∞）D．12．（5分）已知M是椭圆上一点，两焦点为F1，F2，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于N，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分.）13．（5分）若函数f（x）=x+（x＞5）在x=a处取得最小值，则a=．14．（5分）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=．15．（5分）若向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为．16．（5分）已知抛物线C1：y2=2px和圆，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为．三、解答题（共6小题，满分70分.）17．（10分）已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F 分别为C1C、BC的中点．（1）求证：B1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．20．（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．用向量方法证明与解答：（1）求证：AM∥平面BDE；（2）试判断在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°，并说明理由．21．（12分）已知双曲线的离心率，过A（a，0），B（0，﹣b）的直线到原点的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y=kx+5（k≠0）交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k 的值．22．（12分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．2018-2019学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分.）1．（5分）下列四个函数中，函数值的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=sinx+C．y=3x+3﹣x D．y=lgx+【解答】解：选项A，x正负不定，不能得最小值为2，错误；选项B，由0＜x＜可得0＜sinx＜1，故取不到等号，错误；选项C，由基本不等式可得y=3x+3﹣x≥2=2，当且仅当x=0时取等号，正确；选项D，由1＜x＜10可得0＜lgx＜1，取不到等号，错误．故选：C．2．（5分）若命题p：∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0，则该命题的否定￢p为（）A．∃x0∉R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0 B．∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0C．∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1≥0 D．∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，使x02+（a﹣1）x0+1＜0，则该命题的否定￢p为：∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0．故选：D．3．（5分）已知△ABC的周长为20，且顶点B（﹣4，0），C（4，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．=1（y≠0）B．=1（y≠0）C．=1（y≠0）D．=1（y≠0）【解答】解：根据题意，△ABC中，|CB|=8，△ABC的周长为20，∴|AB|+|AC|=12，且|AB|+|AC|＞|BC|，∴顶点A的轨迹是以C、B为焦点的椭圆，去掉与x轴的交点．∴2a=12，2c=8；∴a=6，c=4，∴b2=a2﹣c2=62﹣42=20，∴顶点A的轨迹方程为+=1（其中y≠0），故选：A．4．（5分）若双曲线=1上一点P到它的左焦点的距离为18，则点P到右焦点的距离为（）A．2 B．34 C．6 D．2或34【解答】解：设点P到双曲线的右焦点的距离是x，∵双曲线=1上一点P到它的左焦点的距离为18，∴|x﹣18|=2×8，∴x=2或34．故选：D．5．（5分）下列双曲线中，以y=±x为渐近线的是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【解答】解：由y=±x得±=0，因此以±=0为渐近线的双曲线为﹣=m（m≠0）当m=4时，方程为﹣=1，故选：A．6．（5分）抛物线y=8x2的准线方程是（）A．y=﹣2 B．x=﹣1 C．x=﹣D．y=﹣【解答】解：因为抛物线y=8x2，可化为：x2=y，∴2p=，则线的准线方程为y=﹣．故选：D．7．（5分）与直线2x﹣y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是（）A．2x﹣y+3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y+1=0 D．2x﹣y﹣1=0【解答】解：由题意可设切线方程为2x﹣y+m=0联立方程组得x2﹣2x﹣m=0△=4+4m=0解得m=﹣1，∴切线方程为2x﹣y﹣1=0，故选：D．8．（5分）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是（）A．B．C．D．【解答】解：连接AF，=﹣=（+）﹣=﹣（﹣）=﹣，故选：C．9．（5分）已知，则与向量共线的单位向量是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴与向量共线的单位向量是±=±（1，﹣1，1）=±（，﹣，）．故选：D．10．（5分）直线y=x+3与曲线的交点个数为（）A．4个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：当x＞0时，曲线方程化为，把直线y=x+3代入得，5x=24，所以当x＞0时，直线y=x+3与曲线的交点个数为1个．当x≤0，曲线方程化为，把直线y=x+3代入得，13x2+24x=0，所以当x≤0时，直线y=x+3与曲线的交点个数为2个．所以，直线y=x+3与曲线的交点个数共3个．故选：D．11．（5分）已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2） B．C．[2，+∞）D．【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan30°=，即b＜a∵b=∴＜a，整理得c＜a∴e=＜∵双曲线中e＞1故e的范围是（1，）故选：B．12．（5分）已知M是椭圆上一点，两焦点为F1，F2，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于N，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接PF1，PF2．在△MF1P中，F1P是∠MF1N的角平分线，根据三角形内角平分线性质定理，，同理可得，固有，根据等比定理．故选：A．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分.）13．（5分）若函数f（x）=x+（x＞5）在x=a处取得最小值，则a=6．【解答】解：∵x＞5，∴x﹣5＞0，∴f（x）=x+=x﹣5++5≥2+5=7，当且仅当x﹣5=即x=6时取等号．故答案为：6．14．（5分）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．15．（5分）若向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为．【解答】解：∵向量，，与的夹角为钝角，∴=＜0，且=≠﹣1，解得t＜，且t≠﹣3．∴实数t的取值范围为．16．（5分）已知抛物线C1：y2=2px和圆，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为．【解答】解：法一：当直线l垂直于x轴时，|AB|=|CD|=p﹣=，=法二：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，又=|AB||CD|=x1x2=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分.）17．（10分）已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，须m﹣1＜0，即p是真命题，m＜1f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，须5﹣2m＞1即q是真命题，m＜2，由于p或q为真命题，p且q为假命题，故p、q中一个真，另一个为假命题因此，1≤m＜2．18．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为：x=﹣∵抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，∴根据抛物线的定义可知，3+=5，∴p=4∴抛物线C的方程是y2=8x；（2）由（1）知F（2，0），设P（x0，y0），M（x，y），则，即，而点P（x0，y0）在抛物线C上，，∴（2y）2=8（2x﹣2），即y2=4（x﹣1），此即所求点M的轨迹方程．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F 分别为C1C、BC的中点．（1）求证：B1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．【解答】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，F为BC的中点，∴AF⊥BC，AF⊥BB1，∴AF⊥面B1FE，∵B1F⊂面B1FE，∴B1F⊥AF，设AB=1，∵AB=AA1，∴AB=AA=AC=BB=1，BF=CF=，∴=，EF==，=，∴=，∴B1F⊥EF，所以B1F⊥平面AEF．（2）以AB为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），B1（1，0，1），F（，，0），E（0，1，），∴=（1，0，1），=（），=（0，1，），设平面AB1E的法向量为=（x1，y1，z1），则=0，=0，∴，∴=（1，，﹣1）．设平面AEF的法向量为=（x2，y2，z2），则，=0，∴，∴=（1，﹣1，2），设二面角B1﹣AE﹣F的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=||=．∴二面角B1﹣AE﹣F的余弦值为．20．（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．用向量方法证明与解答：（1）求证：AM∥平面BDE；（2）试判断在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°，并说明理由．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．∴以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AC∩BD=N，连接NE，则点N、E的坐标分别是（，，0）、（0，0，1），∴=（﹣，﹣，1），A、M坐标分别是（）、（），∴=（﹣，﹣，1）．∴=，且NE与AM不共线，∴NE∥AM．又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDF．（2）解：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°．理由如下：设P（t，t，0），（0≤t≤），得=（），∴=（0，，0），又∵PF和AD所成的角是60°．∴cos60°=，解得t=，或t=（舍去），即点P是AC的中点．21．（12分）已知双曲线的离心率，过A（a，0），B（0，﹣b）的直线到原点的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y=kx+5（k≠0）交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k 的值．【解答】解：∵（1）①，原点到直线AB：的距离==②，联立①②及c2=a2+b2可求得b=1，a=，故所求双曲线方程为．（2）把y=kx+5代入x2﹣3y2=3中消去y，整理得（1﹣3k2）x2﹣30kx﹣78=0．设C（x1，y1），D（x2，y2），C、D的中点是E（x0，y0），则，=，y0=kx0+5=，k BE==﹣，∴x0+ky0+k=0，即，解得k=，故所求k=±．22．（12分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，解得：．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m ≠0）由，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0①∴，∴线段AB的中点M∵M在直线OP上，∴∴k=﹣故①变为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，又直线与椭圆相交，∴△＞0，x1+x2=m，∴|AB|=P到直线AB的距离d=∴△APB面积S=（m∈（﹣2，0）令u（m）=（12﹣m2）（m﹣4）2，则∴m=1﹣，u（m）取到最大值∴m=1﹣时，S取到最大值综上，所求直线的方程为：赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.命题“若mn≥0，则m≥0且n≥0”的逆否命题是（）A. 若，则且B. 若，则或C. 若且，则D. 若或，则2.已知抛物线的方程为y2=4x，则此抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.3.下列命题错误的是（）A. 命题“，”的否定是“，”B. 若是假命题，则p，q都是假命题C. 双曲线的焦距为D. 设a，b是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且4.与椭圆C：共焦点且渐近线方程为的双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.5.已知p：x R，x2+2x+a＞0；q：2a＜8．若“p q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.6.直线x+y+2=0截圆x2+y2+2x-2y+a-1=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A. B. C. D.7.方程（2x+3y-1）（-1）=0表示的曲线是（）A. 两条直线B. 两条射线C. 两条线段D. 一条直线和一条射线8.已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 49.已知空间四面体D-ABC的每条边都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则•等于（）A. B. C. D.10.如图，已知椭圆+=1内有一点B（2，2），F1、F2是其左、右焦点，M为椭圆上的动点，则||+||的最小值为（）A. B. C. 4 D. 611.如图，在所有棱长均为a的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别为BB1、A1C1的中点，则异面直线AD、CE所成角的余弦值为（）A.B.C.D.12.P为双曲线：，＞上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，PF2⊥F1F2，若△PF1F2的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C的离心率为（）A. 或B. 2或3C.D. 2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且=2x•+3y•+4z•，则2x+3y+4z=______．14.有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则-2＜x＜2”的逆否命题；④“若m＞0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题；其中真命题的序号是______．15.已知点P（x，y）在椭圆上，则2x+y的最大值为______；16.已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知，已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：“函数在R上为单调增函数若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．18.已知向量，，，，，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直．（1）求向量的坐标；（2）若向量与向量=，，共线，求向量与夹角的余弦值．19.如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（2）求过点（3，0），且斜率为的直线被C所截线段的长度．20.如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠ABC=90°，，BC=1，，∠ACD=60°，E为CD的中点．（1）求证：BC∥平面SAE；（2）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．21.已知F1（-c，0），F2（c，0）为双曲线C：x2=1（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，并在x轴上方交双曲线于点M，且∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过圆O：x2+y2=b2上任意一点Q（x0，y0）作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，AB中点为N，若|AB|=λ|ON|，求实数λ的值．22.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）与椭圆C'：+=1相交所得的弦长为2p．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）设A，B是C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ（tanθ=2）时，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】解：命题“若mn≥0，则m≥0且n≥0”的逆否命题是“若m＜0或n＜0，则mn＜0”．故选：D．根据命题“若p，则q”的逆否命题是命题“若┐q，则┐p”，写出即可．本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：抛物线方程中p=2∴抛物线焦点坐标为（1，0）故选：C．根据抛物线方程求得p，则根据抛物线性质可求得抛物线的焦点坐标．本题主要考查了抛物线的简单性质．属基础题．3.【答案】B【解析】【分析】利用命题的否定形式判断A 的正误；复合命题的真假判断B的正误；双曲线的焦距判断C的正误；异面直线的位置关系判断D的正误．本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．【解答】解：命题“x0R，x02+1＞3x0”的否定是“x R，x2+1≤3x”满足命题的否定形式，A正确；若p q是假命题，则p，q都是假命题，不正确，因为两个命题一个是假命题，则p q是假命题，所以B不正确；双曲线的焦距为2，C正确；设a，b是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得aα，且b∥α，满足直线与平面平行的判定定理，平面的基本性质，所以D正确.故选B．4.【答案】D【解析】解：根据题意，椭圆C：的焦点为（0，±2），则要求双曲线的焦点在y轴上，且c=2，设其方程为-=1，则有a2+b2=4，又由双曲线的渐近线为y=，则有=，解可得a2=3，b2=1，则双曲线的标准方程为：-x2=1；故选：D．根据题意，求出椭圆C的焦点坐标，分析可得要求双曲线的焦点在y轴上，且c=2，设其方程为-=1，分析可得a2+b2=4，由双曲线的渐近线方程可得=，解可得a、b的值，将a、b的值代入双曲线的方程，计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及椭圆、双曲线的标准方程，注意分析双曲线的焦点位置．5.【答案】C【解析】解：若x R，x2+2x+a＞0，则判别式△=4-4a＜0，得a＞1，即p：a＞1；由2a＜8得a＜3，即q：a＜3，若“p q”是真命题，则p，q都是真命题，则，即1＜a＜3，即实数a的取值范围是（1，3），故选：C．根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题“p q”是真命题与p，q的关系进行求解即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．6.【答案】A【解析】解：根据题意，圆x2+y2+2x-2y+a-1=0的标准方程为（x+1）2+（y-1）2=3-a，其圆心为（-1，1），半径r=，a≤3，若直线x+y+2=0截圆x2+y2+2x-2y+a-1=0所得弦的长度为4，则有（3-a）-（）2=4，解可得：a=-3，故选：A．根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得（3-a）-（）2=4，解可得a的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程与标准方程，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由（2x+3y-1）（-1）=0，得2x+3y-1=0或．即2x+3y-1=0（x≥3）为一条射线，或x=4为一条直线．∴方程（2x+3y-1）（-1）=0表示的曲线是一条直线和一条射线．故选：D．由已知的方程得到2x+3y-1=0或．然后在满足根式有意义的前提下化简．从而得到方程（2x+3y-1）（-1）=0表示的曲线．本题考查了曲线与方程，关键是对含有根式方程的化简，是中档题．8.【答案】C【解析】解：根据椭圆定义知PF1+PF2=2a，∵⊥，∴△PF1F2为直角三角形，∴（PF1）2+（PF2）2=（2c）2，又∵△PF1F2的面积为9，∴•PF1•PF2=9，∴（2a）2=（PF1+PF2）2=（PF1）2+（PF2）2+2PF1•PF2=4c2+36，∴b2=a2-c2=9，∴b=3，故选：C．通过椭圆定义知PF1+PF2=2a，通过⊥可知（PF1）2+（PF2）2=（2c）2，利用△PF1F2的面积为9可得•PF1•PF2=9，通过（PF1+PF2）2=（PF1）2+（PF2）2+2PF1•PF2代入计算即可．本题考查椭圆定义、直角三角形的面积及勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由已知条件得：EF∥BD，且EF=BD，∴；∴．故选：A．根据题意知EF∥BD，且EF=BD，所以根据共线向量基本定理可得：，因为，所以这就可以求出了．本题考查共线向量基本定理，向量数量积的计算公式．10.【答案】B【解析】解：||+||=2a-（||-||）≥2a-||=8-2=6，当且仅当M，F2，B共线时取得最小值6．故选：B．借助于椭圆的定义把||+||转化为2a-（||-||），结合三角形中的两边之差小于第三边得答案．本题考查了与椭圆有关的最值得求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．11.【答案】C【解析】解：在所有棱长均为a的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别为BB1、A1C1的中点，以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），D（，，），C（0，a，0），E（0，，a），=（），=（0，-，a），设异面直线AD、CE所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AD、CE所成角的余弦值为．故选：C．以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD、CE所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．12.【答案】B【解析】解：设PF1=m，PF2=n，F1F2=2c，令x=c可得y2=b2（-1）=，解得y=±，可得n=，由双曲线的定义可得m=2a+，可得直角△PF1F2的外接圆半径为m=a+，内切圆的半径设为r，可得r（2c+2a++）=（2a+）•，解得r=c-a，△PF1F2的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，可得a+=（c-a），由b2=c2-a2，e=，可得e2-5e+6=0，解得e=2或3，故选：B．设PF1=m，PF2=n，F1F2=2c，令x=c可得n，由双曲线的定义可得m，再由直角三角形的外心，可得外接圆的半径；由等积法求得内切圆半径r，由条件结合离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的性质，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】-1【解析】解：∵=2x•+3y•+4z•，∴=-2x•-3y•-4z•，∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面∴-2x-3y-4z=1∴2x+3y+4z=-1故答案为：-1利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．本题考查空间向量基本定理，考查向量共面的条件，属于基础题．14.【答案】②③④【解析】解：①命题的否命题为若a≤b，则a2≤b2，为假命题，当a=-3，b=0时，不成立，故①错误，②命题的逆命题为若x，y互为相反数，则x+y=0，则为真命题，故②正确，③若x2＜4，则-2＜x＜2，则原命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，故③正确，④若m＞0时，判别式△=1+4m＞1＞0恒成立，则x2+x-m=0有实根，即原命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，故④正确，故正确的命题为②③④，故答案为：②③④．①根据否命题的定义进行判断，②根据逆命题的定义进行判断，③根据逆否命题的等价性进行判断，④根据逆否命题的等价性判断原命题即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题之间的关系，利用逆否命题的等价性是解决本题的关键．15.【答案】4【解析】解：化椭圆为参数方程可得，其中θ为参数，θR．∴2x+y=2cosθ+2sinθ=4sin（θ+），∴2x+y的最大值等于4．故答案为：4．化椭圆方程为参数方程可得，利用两角和与差的三角函数化简2x+y，然后可得最值．本题考查椭圆的参数方程，涉及三角函数的最值，也可以利用直线的平行线与椭圆相切，求解平行线之间的距离．16.【答案】，【解析】解：椭圆=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，连接AF，AF1，BF，BF1，∴四边形AFF1B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则：∠AF1F=α．∴2a=2ccosα+2csinα椭圆的离心率e===，α[，]，∴≤α+≤，则：≤sin（α+）≤1，∴≤≤-1，∴椭圆离心率e的取值范围：，故答案为：．椭圆=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，四边形AFF1B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则∠AF1F=α．椭圆的离心率e===，α[，]，≤sin（α+）≤1，≤≤-1，即可求得椭圆离心率e的取值范围．本题考查椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型．17.【答案】解：若p是真命题，则6-m＞m-2＞0解得2＜m＜4，若q为真命题，则4-m＞1，即m＜3，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假．当p真q假时，由得3≤m＜4，当p假q真时，由或，得m≤2，综上，实数m的取值范围是m≤2或3≤m＜4.【解析】根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化求解即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）设，，，则由题可知解得或所以，，或，，．（2）因为向量与向量，，共线，所以，，．又，，，，，，所以，，，，，，所以，且，，所以与夹角的余弦值为＜，＞．【解析】（1）设，则由题可知，解出即可得出．（2）由向量与向量共线，可得．再利用向量夹角公式即可得出．本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），由|MD|=|PD|，解得：∵P在圆上，∴x'2+y'2=25，即，整理得：，即C的方程为：；（2）过点（3，0），斜率为k=，的直线方程为：，设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入C的方程，得，整理得：x2-3x-8=0∴由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=-8，∴线段AB的长度为，线段AB的长度丨AB丨=【解析】（1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则|MD|=|PD|，解得：，代入x'2+y'2=25，整理得：；（2）设直线方程为：，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=-8，弦长公式：丨AB丨=•，即可求得直线被C所截线段的长度．本题考查点的轨迹方程的求法，椭圆的标准方程的应用，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．20.【答案】证明：（1）因为，BC=1，∠ABC=90°，所以AC=2，∠BCA=60°，在△ACD中，，AC=2，∠ACD=60°，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2-2AC•CD cos∠ACD解得：CD=4所以AC2+AD2=CD2，所以△ACD是直角三角形，又E为CD的中点，所以又∠ACD=60°，所以△ACE为等边三角形，所以∠CAE=60°=∠BCA，所以BC∥AE，又AE平面SAE，BC⊄平面SAE，所以BC∥平面SAE．解：（2）由（1）可知∠BAE=90°，以点A为原点，以AB，AE，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则S（0，0，2），，，，，，，，，．所以，，，，，，，，．设，，为平面SBC的法向量，则，即设x=1，则y=0，，即平面SBC的一个法向量为，，，＜，＞所以所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为．【解析】（1）推导出，BC=1，∠ABC=90°，AC=2，∠BCA=60°，由余弦定理得CD=4，从而AC2+AD2=CD2，再求出△ACE为等边三角形，从而BC∥AE，由此能证明BC∥平面SAE．（2）以AB，AE，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线SD与平面SBC所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．21.【答案】解：（1）根据已知条件a=1得c==，∴焦点坐标为F1（-，0），F2（，0），∵MF2⊥x轴，∴M（，b2）在直角三角形MF1F2中，tan30°===，解得b2=2，于是所求双曲线方程为x2-=1．（2）①当直线l的斜率不存在时，则AB⊥F1F2，于是|AB|=2，|ON|=，此时|AB|=2|ON|，∴λ=2，②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m切线l与C的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），于是有消去y化成关于x的二次为（2-k2）x2-2kmx+m2+2=0．∴x1+x2=，x1x2=，y N=kx N+m，∵N为AB的中点，∴x N=（x1+x2）=，即N坐标为（，），则|ON|==，|AB|=•=•，又点O到直线l的距离为d==，m2=2（k2+1），代入得：|AB|=，|ON|=，故|AB|=2|ON|，∴λ=2．【解析】（1）确定|MF2|=b2，|MF1|=2b2，由双曲线的定义可知：|MF1|-|MF2|=b2=2，从而可得双曲线C的方程；（2）分类讨论：①当切线l的斜率存在，设切线l的方程代入双曲线C中，利用韦达定理，结合直线l与圆O相切，可得|AB|=2|ON|成立；②当切线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，即可得到结论．本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）抛物线C：y2=2px（p＞0）与椭圆C'：+=1交于，M（x1，y1）N（x2，y2）（y1＞0，y2＜0）两点．由椭圆的对称性可知，y1=p，y2=-p，将点M（x1，p）代入抛物线C：y2=2px（p＞0）中，得x1=，将点M（，p）代入椭圆C'：+=1中，整理得：16p2=16，解得：p=1．故抛物线C的标准方程为：y2=2x．（Ⅱ）设点A（x3，y3），B（x4，y4）．由题意得x3≠x4（否则α+β=π，不满足tan θ=2），且x3≠0，x4≠0，设直线OA，OB方程分别为y=kx，y=mx（k≠0，m≠0）．联立，解得x3=，y3=；联立，解得x4=，y4=；则由两点式得，直线AB的方程为=，化简得y=x+．①∵θ≠，由α+β=θ，得tanθ=tan（α+β）==，解得：k=，②将②代入①，化简得y=x+，得y=（x+2）+1，即y-1=（x+2）∴不管m取何值，直线AB恒过定点（-2，1）．【解析】（Ⅰ）将M点坐标分别代入抛物线和椭圆方程，即可求得p的值，即可求得抛物线C的标准方程；（Ⅱ）由题意可知求得直线OA，OB方程分别为y=kx，y=mx（k≠0，m≠0），代入椭圆方程，求得A和B点坐标，根据直线的两点式方程求得直线AB的方程，由tanθ=tan（α+β），由两角和的正切公式求得m与k的关系，代入直线方程，整理得y=（x+2）+1，可知，不管m取何值，直线AB恒过定点（-2，1）．本题考查椭圆和抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，直线的两点式方程与一般方程及两角和差的正切公式的综合应用，考查计算能力，转化思想，属于中档题．。
【精品】2018学年湖南省衡阳市衡阳县三中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2018学年湖南省衡阳市衡阳县三中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：共12题1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5}2．（5分）与﹣角终边相同的角是（）A．B．C．D．3．（5分）在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是（）A．12B．24C．36D．484．（5分）如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A．B．C．D．5．（5分）已知向量=（1，），=（cosθ，sinθ），若∥，则tanθ=（）A．B．C．D．6．（5分）若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（）A．B．﹣a＞b C．a2＞b2D．a3＜b37．（5分）若对任意的实数k，直线y﹣2=k（x+1）恒经过定点M，则M的坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）8．（5分）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4B．3C．2D．19．（5分）在由正数组成的等比数列{a n}中，若a3a4a5=3π，则sin（log3a1+log3a2+…+log3a7）的值为（）A．B．C．1D．﹣10．（5分）设函数f（x）=sinxcosx，x∈R，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣111．（5分）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件：“2x2﹣3x≤0”发生的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1B．5﹣4C．6﹣2D．二、填空题：共4题13．（5分）函数y=的最小正周期为．14．（5分）在△ABC中若a=2，b=2，A=30°，则B等于．15．（5分）已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（1﹣x），则f（3）=．16．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=3n，记数列{a n}的前n项和为S n，若∃n∈N*使得（S n+）k≥3n﹣6成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：共6题17．（10分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．（1）当m=0时，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，求几何体ABD﹣A1B1C1的体积．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．。
2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版 含解析
2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“若a b >，则a c b c +>+”的逆命题是 A. 若a b >，则a c b c +≤+ B. 若a c b c +≤+，则a b ≤ C. 若a c b c +>+，则a b > D. 若a b ≤，则a c b c +≤+ 【答案】C【解析】试题分析：“若则”的逆命题是“若则”，所以原命题的逆命题是“若，则”，故选C.【考点】四种命题2．抛物线24x y =的准线方程是（ ）．A. 1y =B. 1y =-C. 1x =-D. 1x = 【答案】B【解析】 抛物线24x y =是焦点在y 轴，开口向上的抛物线，，且24p =12p∴= ∴准线方程为1y =-故答案选B3．双曲线22169144x y -=-的渐近线的方程是 A. 169y x =±B. 169x y =±C. 43y x =±D. 43x y =± 【答案】C【解析】由题意得，双曲线的标准方程为221169y x -=，令220169y x -=得43y x =±，即双曲线的渐近线方程为43y x =±。
选C 。
4．已知向量()1,a m =， (),1b m = ，则“1m =”是“//a b ”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由条件得2//1a b m ⇔= ，解得1m =±。
因此由“1m =”可得“//a b ”，反之不成立。
故“1m =”是“//a b”成立的充分不必要条件。
选A 。
5．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是 A. 22134x y += B. 2214x += C. 22142x y += D. 22143x y += 【答案】D【解析】试题分析：由题意可知椭圆焦点在轴上，因而椭圆方程设为，可知，可得，又，可得，所以椭圆方程为22143x y +=. 【考点】椭圆的标准方程.6．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为 ( )A.B. C.D. 56【答案】C【解析】由已知得6m =±，当6m =,则圆锥曲线是椭圆， 1,a b c ===心c e a ==；当6m =-时则是双曲线， 1,a b c =a=1，离心率ce a==故选C. 7．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．12⎡⎤⎢⎥⎣⎦-1，- B ．[]-1，0 C ．[]0，1 D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【答案】A【解析】试题分析：曲线C 在点P 处切线斜率[]tan tan 0,tan 0,14k πθ⎡⎤=∈=⎢⎥⎣⎦，不妨设()00,P x y ，则[]00220,1x x k y x ='==+∈，因此011,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【考点】导数的几何意义；8．命题p ：“x R ∃∈”，使20x<，命题q ：“2a >， 2b >是4ab >成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是（ ）A. p q ⌝∧B. p q ∧C. p q ∨D. p q ⌝∨ 【答案】B【解析】对,20x x R ∀∈>恒成立,所以命题p 是假命题.由不等式的乘法性质可知充分性成立. 所以命题q 为真命题.所以B 选项错.选B. 9．函数sin cos y x x x =+的图像大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】∵()()sin()cos()sin cos f x x x x x x x f x -=--+-=+=， ∴函数()f x 为偶函数。
【精品】2018最新学年湖南省衡阳八中高二上学期期中数学试卷和解析理科
2018学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（）
A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）
2．（3分）双曲线=1的渐近线的方程是（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
3．（3分）“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的否命题是（）
A．若x2≠1，则x=1或x=﹣1 B．若x2=1，则x≠1且x≠﹣1
C．若x2≠1，则x≠1或x≠﹣1 D．若x2≠1，则x≠1且x≠﹣1
4．（3分）若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．
5．（3分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）
A．2 B．3 C．7 D．5
6．（3分）在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（）A．B．1 C．2 D．4
7．（3分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．（3分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，
，则下列向量中与相等的向量是（）。
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二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11． （4 分）定义一种运算如下： =ad﹣bc，则复数 的共轭复数是 ．
12． （4 分）两个物体在相距为 423m 的同一直线上从 0s 开始同时相向运动，物体 A 的运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v=2t+1（v 的单位是 m/s，t 的单位是 s） ，物体 B 的运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v=1+8t， ．则它们相遇时，A 物体的运动路程为 13． （4 分）观察如图等式，照此规律，第 n 个等式为 ． ．
﹣1
）
＜n（n∈N*，n≥2）”时，由 n=k（k≥2） ）
B．2k﹣1
C．2k
D．2k+1 ）
7． （3 分）已知方程 x2+（4+i）x+4+ai=0（a∈R）有实根 b，且 z=a+bi，则复数 z 等于（ A．2﹣2i B．2+2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i 8． （3 分）已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线，则 k 的值是（ ）
4． （3 分）n∈N*，则（20﹣n） （21﹣n）…（100﹣n）等于（ A．A C．A B．A D．A
5． （3 分）若 a，b∈R，则复数（a2﹣4a+5）+（﹣b2+2b﹣6）i 表示的点在（ A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 6． （3 分）用数学归纳法证明不等式“1+ + +…+ 不等式成立，推证 n=k+1 时，左边应增加的项数是（ A．2k
14． （4 分）给出定义：若函数 f（x）在 D 上可导，即 f′（x）存在，且导函数 f′（x）在 D 上也 可导，则称 f（x）在 D 上存在二阶导函数，记 f″（x）=（f′（x） ）′，若 f″（x）＜0 在 D 上恒成立， 则称 f（x）在 D 上为凸函数．对于给出的四个函数： ①f（x）=sinx+cosx，②f（x）=lnx﹣2x，③f（x）=﹣x4+x3﹣x2+1，④f（x）=﹣xe 以上四个函数在 上是凸函数的是
湖南省衡阳八中2017-2018学年高二上学期六科联赛试题(12月) 数学(理)Word版含解析
衡阳市八中2017-2018学年高二上期六科联赛试题数 学 (理)一、选择题 （本大题共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1．双曲线1322=-y x 的两条渐近线夹角是（ ）A.30B.60C.90D.1202．已知向量a ＝（0,2,1），b ＝（－1,1，－2），则a 与b 的夹角为（ ） A ．0° B ．45° C ．90° D ．180°3．已知向量(2,1,4),(1,0,2)a b →→==，且a b →→+与k a b →→-互相垂直，则k 的值是 A.1 B.15 C.35 D.15314．下列命题的逆命题为真命题的是（ ）A ．若2x >，则(2)(1)0x x -+>B ．若224x y +≥，则2xy =C ．若2x y +=，则1xy ≤D ．若a b ≥，则22ac bc ≥5．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A 、294eB 、22e C 、2e D 、22e6．已知函数f(x)=x 2+2x+m(m ∈R)的最小值为-1,则()21f x dx ⎰ =（ ）A.2B.163错误！未找到引用源。
C.6 D.7 7．已知空间直角坐标系xyz O -中有一点()1,1,2A --，点B 是平面x y O 内的直线1x y +=上的动点，则A ，B 两点的最短距离是（ ） AB．2 C ．3 D．28．极坐标方程2sin()2ρπθ=+和参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）所表示的图形分别是（ ）A ．圆与直线 B.圆与椭圆 C.直线与圆 D.直线与椭圆9．参数方程1)1x t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数表示的曲线不经过点（ ） A ．()0,3 B ．()1,1 C ．3,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．()2,1-10．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且倾斜角为60︒的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则||||AF BF 的值等于（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．211．已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 A.47 B.779 C.49 D.37 12．已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2x f f x e x f x -=⋅+-⋅，0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是（ ）A.(2)(2015)(2017)f g g ⋅<B.(2)(2015)(2017)f g g ⋅>C.(2015)(2)(2017)g f g <⋅D.(2015)(2)(2017)g f g >⋅二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若(1,1,0)=a ，(1,0,2)=-b ，且k +a b 与2-a b 互相垂直，则k 的值是_____14．已知命题p ：“0>∀x ，有12≥x成立”，则p ⌝为_______.15．函数b x ax x x f +++=23)(在1=x 时取得极值，则实数=a _______.16．设1F 、2F 分别是椭圆1162522=+y x 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为)4,6(，则||||1PF PM -|的最小值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解题时必须写出必要的计算或推理过程）17．（10分）设:p 实数x 满足3a x a <<，其中0a >；:q 实数x 满足23x <<. （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（10分）在极坐标系中，已知圆C 的方程是4ρ=，直线l 的方程是sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，将直线l 与圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求直线l 与圆C 相交所得的弦长．19.（12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC⊥侧面AA 1C 1C ，AC=BC=1，CC 1=2， ∠CAA 1=3π，D 、E 分别为AA 1、A 1C 的中点．（1）求证：A 1C⊥平面ABC ；（2）（2）求平面BDE 与平面ABC 所成角的余弦值．20．（12分）已知函数()3233f x x ax bx =-+的图象与直线1210x y +-=相切于点()1,11-．（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．21.（13分）以椭圆()222:11x M y a a+=>的四个顶点为顶点的四边形的四条边与22:1O x y += 共有6个交点，且这6个交点恰好把圆周六等分.（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线l 与O 相切，且与椭圆M 相交于,P Q 两点，求PQ 的最大值.22．（13分）已知函数()()21ln0f x ax x a x=-+>． （1）若()f x 是定义域上不单调的函数，求a 的取值范围；（2）若()f x 在定义域上有两个极值点12x x 、，证明：()()1232ln2f x f x +>-．衡阳市八中2016年高二上期六科联赛试题数学（理）参考答案1．B. 【解析】试题分析：根据题意可知，双曲线的渐近线方程是y =，其倾斜角为3π，故两渐近线的夹角是3π，故选B. 考点：1.双曲线的标准方程；2.两直线的夹角. 2．C 【解析】试题分析：()()0211210=-⨯+⨯+-⨯=⋅b a，所以a与b的夹角为090，故选C. 考点：空间向量的运算 3．D 【解析】试题分析：()()()()3,1,6,2,,41,0,221,,42a b k a b k k k k k k →→→→+=-=-=--，由a b →→+与k a b →→-互相垂直可得()()153********k k k k -++-=∴=考点：向量坐标运算 4．B 【解析】试题分析：A ．“若2x >，则(2)(1)0x x -+>”的逆命题为“若(2)(1)0x x -+>，则2x >”，错误；B ．“若224x y +≥，则2xy =”的逆命题为“若2xy =，则224x y +≥”正确；C ．“若2x y +=，则1xy ≤” 的逆命题为“若1xy ≤，则2x y +=”，如1,1x y =-=-，1xy ≤，但2x y +≠；D ．“若a b ≥，则22ac bc ≥”的逆命题为“若22ac bc ≥，则a b ≥”，如0c =时，22ac bc ≥，但a b ≥不一定成立 考点：命题真假性的判断 5．D 【解析】 试题分析：2222222'|(2)(1,0),(0,)x x y e y e y e e x y e x e A B e ==⇒=⇒-=-⇒=-⇒-221122e S e ⇒=⨯⨯=，故选D.考点：1、导数的几何意义；2、三角形的面积.6．B 【解析】 试题分析：1-m 1)(x m 2x x f(x)22++=++=,当-1m =时，-11-m f(x)min ==,0m = ，316|)3()2()(21232121=+=+=∴⎰⎰x x dx x x dx x f .故选B ．考点：求定积分.7．B 【解析】试题分析：∵点B 是平面x y O 内的直线1x y +=上的动点， ∴可设点10B m m -（，，）由空间两点之间的距离公式，得AB =令22117229222t m m m =-+=-+（） 当12m =时，t 的最小值为172∴当12m =时，AB=A ，B故选B考点：空间两点之间的距离公式 8．D 【解析】 试题分析：由22,cos 2,2cos sin()2x ρρθπθθ====+，为直线； 而2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），消参可得；22 1.49x y +=为椭圆。
湖南省衡阳市第八中学2018学年高二理科实验班上学期第五次月考数学试题 含答案
衡阳八中2018年下期高二年级第五次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第五次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I 卷 选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知命题:p []1,2x ∀∈-，函数()2f x x x =-的值大于0．若p q ∨是真命题，则命题q 可以是（ ）A ．()1,1x ∃∈-，使得1cos 2x <B ．“30m -<<”是“函数()2log f x x x m =++在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有零点”的必要不充分条件C ．6x π=是曲线()2cos2f x x x =+的一条对称轴D ．若()0,2x ∈，则在曲线()()2xf x e x =-上任意一点处的切线的斜率不小于1e-2.函数x xe x f -=)(的单调递减区间是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞- C ．(,1)-∞ D ．(1,)-+∞3.用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2+ax+b=0没有实根 B ．方程x 2+ax+b=0至多有一个实根 C ．方程x 2+ax+b=0至多有两个实根 D ．方程x 2+ax+b=0恰好有两个实根4.某工厂为了调查工人文化程度与月收入之间的关系，随机调查了部分工人，得到如下表所示的数据：（单位：人）由上表中的数据计算，得，则我们有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”（）A．1% B．99% C．5% D．95%5.已知三棱锥P ABC-的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0PA PB⋅=，PB PC⋅=，0PC PA⋅=,则三棱锥P ABC-的侧面积的最大值为A．12B．1 C．2 D．46.函数y=x2cosx（）的图象是（）A．B．C． D．7.椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．8.某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即()2~100,X N a（0a>），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（）（A） 400 ( B ) 500 (C) 600 (D) 8009.设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，e 2+] B ．（0，e 2+]C ．（e 2+，+∞] D ．（﹣e 2﹣，e 2+]10.已知过双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的中心的直线交双曲线于点A ，B ，在双曲线C 上任取与点A ，B 不重合的点P ，记直线PA ，PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2，k ，若k 1k 2＞k 恒成立，则离心率e 的取值范围为（ ） A ．1＜e ＜B ．1＜e ≤C ．e ＞D ．e ≥11.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为23481313-+-=x x y ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为A. 13万件B. 11万件C. 9万件D. 7万件12.椭圆=1的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将椭圆沿y 轴折成一个二面角，使得A 1点在平面B 1A 2B 2上的射影恰好为椭圆的右焦点C ，则该CA 1的长度为（ ） A ．4 B.24C ．2D ．22第II 卷 非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.（1﹣x ）（1+x ）6的展开式中x 3系数为 ．14.复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．15.在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为3，则三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的表面积为 ． 16.圆心在抛物线212y x =上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ．三.解答题（共6题，共70分） 17.（本题满分12分）已知命题p ：函数())6lg(2a x ax x f +-=的定义域为R ，命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x 的两个实根均大于3.若“p 或q ”为真，“p 且q “为假，求实数a 的取值范围．18.（本题满分12分）某市为了了解高二学生物理学习情况，在34所高中里选出5所学校，随机抽取了近千名学生参加物理考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示.（1）将34所高中随机编号为01，18，…，34，用下面的随机数表选取5组数抽取参加考试的五所学校.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次取两个数字，则选出来的第4所学校的编号是多少？49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 64 57 24 55 18 88 7718 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 18（2）求频率分布直方图中a的值，试估计全市学生参加物理考试的平均成绩；（3）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望.（注：频率可以视为相应的概率）19.（本题满分12分）如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．20.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，﹣4），P（2，t）（t＜0）在抛物线y2=2px（p＞0）上．（1）求p，t的值；（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM 上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标．21.（本题满分12分）已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g（x）}=．（1）求函数f（x）的极值；（2）若g（x）=xf'（x），且存在x∈使h（x）=f（x），求实数a的取值范围；（3）若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数．选做题 考生从22、23中任选一题作答，共10分。
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湖南省衡阳八中高二上学期期中考试（数学）考生注意：本卷共21题，满分100分，考试时间1一、选择题： (每小题3分，共30分)1、在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝1则a 等于( )A ．2B ．6C ．2 或6D ．272、设数列的通项公式为72-=n a n ，则=+++1521a a a （ ）A 、153B 、210C 、135D 、1、 已知正数,x y 满足1x y +=，则12x y+的最小值（ ） A．B．3+C ．2D ．44、若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A 、4005B 、4006C 、4007D 、40085、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项之和，且98776,S S S S S >=<，则下列结论中错误的是（ ） A 、0<d B 、08=a C 、610S S > D 、87,S S 均为n S 的最大项6、已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ）A 、0B 、3-C 、3D 、23 7、a,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程 02=++c bx ax （ ） A 、一定有两个不相等的实数根 B 、一定有两个相等的实数根 C 、一定没有实数根 D 、以上三种情况均可出现8、已知4,,,121a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则212a ab -等于（ ） A 、14 B 、12- C 、12 D 、12或12-9、不等式x +3y －2≥0表示直线x +3y －2=0（ ）A ．上方的平面区域B ．下方的平面区域C ．上方的平面区域(包括直线本身)D ．下方的平面(包括直线本身)区域10、已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．a <－7或a >24B ．a =7或a =24C ．－7<a <24D ．－24<a <7 二、填空题：（每小题3分，共15分）(11) 已知数列{}n a 前n 项和21n S n n =+-，那么它的通项公式_____n a =(12) 设实数x 、y 满足5)2()1(22=++-y x ，则x －2y 的最大值是__________(13) 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________．(14) 不等式21131x x ->+的解集是 (15)定义一种新的运算“*”对任意正整数n 满足下列两个条件：(1)111=*),1(21)1)(2(*+=*+n n 则*1=__________三、解答题：16.（8分）（1）求数列n+++++++ 3211,,3211,211,1的通项公式n a （2）求数列}{n a 的前n 项和17（12分）.已知关于x 的二次方程)(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根βα,满足3626=+-βαβα，且11=a（1）试用n a 表示1+n a （2）求证：}32{-n a 是等比数列（3）求数列的通项公式n a （4）求数列}{n a 的前n 项和n S18.（9分）深圳某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：19（8分）.建造一个容量为38m ，深度为m 2的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方分别为180元和80元，求水池的最低总造价。
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衡阳市八中下学期期中考试试题高二数学（理科）本试题卷共三大题21小题，全卷满分100分，考试用时1.请将答案写在答卷上.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “2>x ”是“42>x ”成立的（ ）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件； 2.下列命题中，真命题是（ ）A. 0)2(,2*>-∈∀x N x ； B. 0lg ,>∈∀x R x ； C. 12,>∈∃xR x ； D. 01,2≤+-∈∃x x R x ； 3.“若12=x ，则1=x 或1-=x ”的否命题是（ ）A. 若12≠x ，则1=x 或1-=x ； B. 若12=x ，则1≠x 且1-≠x ； C. 若12≠x ，则1≠x 或1-≠x ； D. 若12≠x ，则1≠x 且1-≠x ； 4.不等式1|1|->-x x 的解集是（ ）A.（∞-，1）；B.（∞-，∞+）；C.（1，∞+）；D.（∞-，1）⋃（1，∞+）； 5.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A.21； B. 2； C. 22； D. 23；6.设点P 是双曲线127922=-y x 上的点，两焦点分别为21,F F ，若7||1=PF ，则=||2PF （ ） A.1； B.13； C.5或13； D.1或13；7.双曲线19422=-y x 的渐近线的方程是（ ） A.x y 94±=； B.x y 49±=； C.x y 23±=； D.x y 32±=； 8.若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为（ ） A.2- B.2 C.4- D.49.若点P 在曲线022=-y x 上移动，则点A （0，1-）与点P 连线中点M 的轨迹方程是（ ） A. 22x y =； B. 28x y =； C. 1822-=x y ； D. 1822+=x y ；10.过抛物线x y 42=上的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A 、B 两点，则|AB|的值为（）A.2B.3C.4D.8二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11.命题“01,2>++∈∀x x R x ”的否定是： ；12.已知椭圆1522=+my x 的离心率510=e ，则m 的值为： ；13.设双曲线19422=-y x 的右焦点为F ，则点F 到该双曲线的渐近线的距离为： ； 14.从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且=||PM 5，设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为: ；15. 设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点分别为21,F F ，若在椭圆上存在一点P ，使1PF ⊥2PF ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是： ；三、解答题：本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分8分） 已知6=c ，经过点P （5-，2），焦点在x 轴上，求该双曲线的方程；17.（本小题满分8分）过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使该弦被点M 平分，求这条弦所在直线l 的方程；18.（本小题满分8分）命题p ：关于x 的不等式0422>++ax x 对于一切R x ∈恒成立，命题q ：指数函数x a x f )23()(-=是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围；19.（本小题满分9分）已知椭圆19422=+y x 及直线m x y l +=23:， （1）当直线l 与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；（2）求直线l 被椭圆截得的弦长的最大值；本小题满分10分）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为332=e ，直线l 过点A （a ，0）和B （0，b -），原点O 到直线l 的距离为23， （1）求此双曲线的方程；（2）已知直线)0(5:≠+=k kx y l 交双曲线于不同的点C ，D ，且BC=BD ，求k 的值；21.（本小题满分12分）抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴的负半轴上，过点M （0，2-）作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且满足4(-=+,)12-，（1）求直线l 和抛物线C 的方程；（2）当抛物线C 上一动点P 从点A 向点B 运动时，求ABP ∆的面积的最大值； （3）在抛物线C 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？请说明理由；衡阳市八中下学期高二数学（理科）期中考试试题命题：仇武君 审题：宋仕利本试题卷共三大题21小题，全卷满分100分，考试用时1.请将答案写在答卷上.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “2>x ”是“42>x ”成立的（ A ）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件； 2.下列命题中，真命题是（ C ）A. 0)2(,2*>-∈∀x N x ； B. 0lg ,>∈∀x R x ； C. 12,>∈∃xR x ； D. 01,2≤+-∈∃x x R x ； 3.“若12=x ，则1=x 或1-=x ”的否命题是（ D ）A. 若12≠x ，则1=x 或1-=x ； B. 若12=x ，则1≠x 且1-≠x ； C. 若12≠x ，则1≠x 或1-≠x ； D. 若12≠x ，则1≠x 且1-≠x ； 4.不等式1|1|->-x x 的解集是（ A ）A.（∞-，1）；B.（∞-，∞+）；C.（1，∞+）；D.（∞-，1）⋃（1，∞+）； 5.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ C ）A.21； B. 2； C. 22； D. 23；6.设点P 是双曲线127922=-y x 上的点，若7||1=PF ，则=||2PF （ D ） A.1； B.13； C.5或13； D.1或13；7.双曲线19422=-y x 的渐近线的方程是（ C ） A.x y 94±=； B.x y 49±=； C.x y 23±=； D.x y 32±=； 8.若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为（D ） A.2- B.2 C.4- D.49.若点P 在曲线022=-y x 上移动，则点A （0，1-）与点P 连线中点M 的轨迹方程是（C ） A. 22x y =； B. 28x y =； C. 1822-=x y ； D. 1822+=x y ；10.过抛物线x y 42=上的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A 、B 两点，则|AB|的值为（D ） A.2 B.3 C.4 D.8二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11.命题“01,2>++∈∀x x R x ”的否定是：01,2≤++∈∃x x R x ；12.已知椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 的值为：3或325；13.设双曲线19422=-y x 的右焦点为F ，则点F 到该双曲线的渐近线的距离为：3； 14.从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且=||PM 5，设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为:10；15. 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为21,F F ，若在椭圆上存在一点P ，使1PF ⊥2PF ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是：)1,22[； 三、解答题：本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分8分） 已知6=c ，经过点P （5-，2），焦点在x 轴上，求该双曲线的方程；【解】由题意，可设所求双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，依题设有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+142562222b a b a ，解得⎩⎨⎧==1522b a ，故所求双曲线的方程为1522=-y x ；17.（本小题满分8分）命题p ：关于x 的不等式0422>++ax x 对于一切R x ∈恒成立，命题q ：指数函数x a x f )23()(-=是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围；【解】设42)(2++=ax x x g ，由于关于x 的不等式0422>++ax x 对于一切R x ∈恒成立，所以函数)(x g 的图象开口向上且与x 轴没有交点，故01642<-=∆a ，∴22<<-a . 函数x a x f )23()(-=是增函数，则有123>-a ，即1<a . 由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 、q 一真一假.①若p 真q 假，则⎩⎨⎧≥<<-122a a ∴21<≤a ；②若p 假q 真，则⎩⎨⎧<-≤12a a 2≥a 或 ∴2-≤a ；综上可知，所求实数a 的取值范围是｛21|<≤a a 或2-≤a ｝18.（本小题满分8分）过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使该弦被点M 平分，求这条弦所在直线l 的方程；【解】设直线l 与椭圆的交点为A ),(11y x ，B ),(22y x ，因为M 为AB 的中点，所以421=+x x ，221=+y y ，又A ，B 两点在椭圆上，则有1642121=+y x ，1642222=+y x 两式相减，得)(21x x +)(21x x -+4（21y y +）0)(21=-y y 所以)(421212121y y x x x x y y ++-=--，即21-=AB k ，此时直线l 的方程为042=-+y x ，代入椭圆的方程，0>∆， 故所求直线l 的方程为042=-+y x .19.（本小题满分9分）已知椭圆19422=+y x 及直线m x y l +=23:， （1）当直线l 与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； （2）求直线l 被椭圆截得的弦长的最大值；【解】（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1942322y x m x y 消去y ，整理得：0826922=-++m mx x ………①)8(36)82(3636222--=--=∆m m m ，∵直线l 与椭圆有公共点，∴0≥∆，解得2222≤≤-m ， 故所求实数m 的取值范围为]22,22[-（2）设直线l 与椭圆的交点为A ),(11y x ，B ),(22y x ，由①得：9621mx x -=+，982221-=m x x 故8313)23(19824)96(14)(||2222221221+-=+-⨯--=+-+=m m m k x x x x AB 当0=m 时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为3262；本小题满分10分）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为332=e ，直线l 过点A （a ，0）和B （0，b -），原点O 到直线l 的距离为23， （1）求此双曲线的方程；（2）已知直线)0(5:≠+=k kx y l 交双曲线于不同的点C ，D ，且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值；【解】（1）由已知直线l 的方程为0=--ab ay bx ， ∵原点O 到直线l 的距离为23，∴23||22=+-ab ab ，即：23=c ab ；又332=e ，∴1,3==b a ， 故所求双曲线的方程为：1322=-y x （2）把5+=kx y 代入1322=-y x 中消去y ，整理得07830)31(22=---kx x k …①， 设C ),(11y x ，D ),(22y x ，CD 的中点是M ),(00y x ，则20021103155,31152k kx y k k y x x -=+=-=+=， k x y k BM 1100-=+=，∴000=++k ky x ，即)0(0315311522≠=+-+-k k k kk k ， ∴72=k ，即7±=k ，代入①式，0>∆，符合题意.故所求k 的值为7±.21.（本小题满分12分）抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在y 轴的负半轴上，过点M （0，2-）作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且满足4(-=+,)12-，（1）求直线l 和抛物线C 的方程；（2）当抛物线C 上一动点P 从点A 向点B 运动时，求ABP ∆的面积的最大值；（3）在抛物线C 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，请说明理由；【解】（1）由题意可设所求直线l 的方程为2-=kx y ，所求抛物线的方程为)0(22>-=p py x ，由⎩⎨⎧-=-=pyx kx y 222，消去y 得：0422=-+p pkx x设点A ),(11y x ，B ),(22y x ，则pk x x 221-=+，=+21y y 424)(221--=-+pk x x k ，∴,(21x x OB OA +=+)21y y +=（pk 2-，422--pk ） ∵)12,4(--=+，∴⎩⎨⎧-=---=-1242422pk pk ，解得⎩⎨⎧==21k p ， 故直线l 的方程为22-=x y ，抛物线的方程为y x 22-=（2）据题意，当抛物线过点P 的切线m 与直线l 平行时，ABP ∆的面积最大， 此时切线m 的方程为b x y +=2，由⎩⎨⎧-=+=yx b x y 222消去y ，整理得：0242=++b x x ， ∵0816=-=∆b ，∴2=b ，m 的方程为22+=x y ，即22+=x y此时点P 到直线l 的距离为5545|)2(2|=--=d ， 由⎩⎨⎧-=+=yx x y 2222消去y 得：0442=++x x 故10421)4(4)4(14)(||22221221=+-⨯--=+-+=k x x x x AB ，所以ABP ∆的最大面积为⨯⨯=⋅⋅10421||21d AB 554=28；（3）在抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点.假设在抛物线C 存在相异两点A ),(11y x ，B ),(22y x 关于直线l 对称，则直线AB 的方程为m x y +-=21，由⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=yx m x y 2212，消去y 得：022=+-m x x ， 121=+x x ，m y y 22121+-=+，于是可得AB 的中点M 的坐标为（21，m +-41），又点M 在直线l 上，所以m +-41=2221-⨯，即43-=m ，AB 的方程为4321--=x y ，而此时07>=∆，即直线AB 与抛物线C 有两个相异公共点.综上所述，在抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点.。
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2018学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）（创新班）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列表述正确的是（）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．①③⑤D．②④⑤
2．（3分）dx=（）
A．ln2+B．ln2﹣C．ln2﹣D．ln2﹣
3．（3分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）
A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数
4．（3分）n∈N*，则（20﹣n）（21﹣n）…（100﹣n）等于（）
A．A B．A
C．A D．A
5．（3分）若a，b∈R，则复数（a2﹣4a+5）+（﹣b2+2b﹣6）i表示的点在（）
A．在第一象限B．在第二象限C．在第三象限D．在第四象限
6．（3分）用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）”时，由n=k（k≥2）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）
A．2k﹣1B．2k﹣1C．2k D．2k+1
7．（3分）已知方程x2+（4+i）x+4+ai=0（a∈R）有实根b，且z=a+bi，则复数z等于（）A．2﹣2i B．2+2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i
8．（3分）已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）
A．e B．﹣e C．D．﹣
9．（3分）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）
A．16种B．18种C．37种D．48种
10．（3分）设有复数ω1=﹣π，令ω=ω1ω2，则复数ω+ω2+ω3+ (2011)
（）
A．ωB．ω2C．ω1D．ω2
E．ω
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）定义一种运算如下：=ad﹣bc，则复数的共轭复数是．12．（4分）两个物体在相距为423m的同一直线上从0s开始同时相向运动，物体A的运动速度v 与时间t之间的关系为v=2t+1（v的单位是m/s，t的单位是s），物体B的运动速度v与时间t之间的关系为v=1+8t，．则它们相遇时，A物体的运动路程为．
13．（4分）观察如图等式，照此规律，第n个等式为．
14．（4分）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．对于给出的四个函数：
①f（x）=sinx+cosx，②f（x）=lnx﹣2x，③f（x）=﹣x4+x3﹣x2+1，④f（x）=﹣xe﹣x
以上四个函数在上是凸函数的是（请把所有正确的序号均填上）
15．（4分）有6×6的方阵，3辆完全相同的红车，3辆完全相同的黑车，它们均不在同一行且不在同一列，则所有的排列方法种数为．
三、解答题（共6小题，共50分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（5分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）
17．（5分）已知|z|=1，求|z2+z+4|的最小值．。