三角函数0基础自学
初中三角函数值口诀
初中三角函数值口诀
在初中数学学习中，三角函数是一个重要的知识点，掌握
好三角函数的值可以帮助我们解决许多数学问题。
为了方便记忆，我们可以通过口诀的方式来记住三角函数的特定角度对应的值。
下面就给大家总结了一些常用的初中三角函数值口诀。
正弦函数值口诀
1.0°时正弦为0，小孩又又画零。
2.30°时是1，树仨三角肩。
3.45°里头比树唐，路上斜方根二，树根斜树根，两边
就是一。
4.60度栽草成。
余弦函数值口诀
1.0度余弦不动，短久饭店开，两个开。
2.30度开树三两只猴，树叶三十开开，斜树根。
3.45度是树的根，斜树根两边为一，从根连起。
4.60度是斜的石。
正切函数值口诀
1.0切相，零，十个开。
2.30度开，开，根。
3.45度斜，根，一，二。
4.60斜，开，根。
以上就是初中三角函数值口诀的内容，希望这些口诀可以
帮助大家记忆三角函数的值，更好地应用于数学问题的解答中。
愿大家在学习中取得更多的进步！。
初中数学三角函数基础知识点总结
初中数学三角函数基础知识点总结初中数学三角函数基础知识点总结总结是对某一特定时间段内的学习和工作生活等表现情况加以回顾和分析的一种书面材料，它可以使我们更有效率，因此，让我们写一份总结吧。
我们该怎么去写总结呢？下面是小编为大家整理的初中数学三角函数基础知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
初中数学三角函数基础知识点总结篇1三角和的公式sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)倍角公式tan2A = 2tanA/(1-tan2 A)Sin2A=2SinA?CosACos2A = Cos^2 A--Sin2 A =2Cos2 A-1 =1-2sin^2 A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3;cos3A = 4(cosA)3 -3cosAtan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a)三角函数特殊值α=0° sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞α=15°(π/12) sinα=(√6-√2)/4 cosα=(√6+√2)/4 tαnα=2-√3 cotα=2+√3 secα=√6-√2 cscα=√6+√2α=22.5°(π/8) sinα=√(2-√2)/2 cosα=√(2+√2)/2 tαnα=√2-1 cotα=√2+1 secα=√(4-2√2) cscα=√(4+2√2)a=30°(π/6) sinα=1/2 cosα=√3/2 tαnα=√3/3 cotα=√3 secα=2√3/3 cscα=2α=45°(π/4) sinα=√2/2 cosα=√2/2 tαnα=1 cotα=1 secα=√2 cscα=√2α=60°(π/3) sinα=√3/2 cosα=1/2 tαnα=√3 cotα=√3/3 secα=2 cscα=2√3/3α=67.5°(3π/8) sinα=√(2+√2)/2 cosα=√(2-√2)/2 tαnα=√2+1 cotα=√2-1 secα=√(4+2√2) cscα=√(4-2√2)α=75°(5π/12) sinα=(√6+√2)/4 cosα=(√6-√2)/4 tαnα=2+√3 cotα=2-√3 secα=√6+√2 cscα=√6-√2α=90°(π/2) sinα=1 cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=1α=180°(π) sinα=0 cosα=-1 tαnα=0 cotα→∞ secα=-1 cscα→∞α=270°(3π/2) sinα=-1 cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=-1α=360°(2π) sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞三角函数记忆顺口溜1三角函数记忆口诀“奇、偶”指的是π/2的倍数的`奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
三角函数入门
三角函数入门三角函数是高中数学中的重要内容，也是数学和物理等自然科学中常用的数学工具之一。
它们是用来描述直角三角形中角度和边长之间的关系的函数。
本文将介绍三角函数的基本概念、公式和应用。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，常用符号为sin。
在直角三角形中，对于角度θ，正弦函数的定义为：sinθ = 对边/斜边。
通过对边和斜边的比值，我们可以计算出角度θ的正弦值。
正弦函数的定义域是所有实数，并且它是一个周期函数，其周期为2π。
正弦函数的图像是一条连续的波动曲线，从图像上可以看出正弦函数在0到2π范围内取得最大值1和最小值-1。
正弦函数的周期性使得它在波动、振动和周期性现象的研究中具有广泛的应用。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中另一个重要的函数，常用符号为cos。
在直角三角形中，对于角度θ，余弦函数的定义为：cosθ = 邻边/斜边。
余弦函数也是一个周期函数，其周期同样为2π。
余弦函数的图像是一条波动曲线，与正弦函数的图像相似，但相位差为π/2。
余弦函数在天文学、振动学等领域有广泛的应用。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一常用函数，常用符号为tan。
在直角三角形中，对于角度θ，正切函数的定义为：tanθ = 对边/邻边。
与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的定义域是除去所有余弦函数为零的点之外的所有实数。
正切函数的图像是一条以周期π为单位的波动曲线。
在实际应用中，正切函数广泛用于建筑学、物理学等领域的倾斜角度计算。
四、三角函数的基本关系三角函数之间存在一些基本的关系。
其中最常见的是正弦函数和余弦函数的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1。
这个关系被称为三角恒等式，它表示在直角三角形中，对于任意角度θ，正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1。
利用这个恒等式，我们可以互相推导和计算三角函数的值。
五、三角函数的应用三角函数在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用。
在物理学中，三角函数常用于描述振动和波动的规律。
自学初中数学资料 三角函数 2(资料附答案)
自学资料一、解直角三角形【知识探索】1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形．【说明】（1）知道直角三角形中除直角外的两个元素（至少有一个元素是边），就可以求出这个直角三角形的其它三个元素；（2）求直角三角形的边长和角度时，常会遇到近似计算，如不加说明，则边长保留四个有效数字，角度精确到1′；（3）由三角形的判定定理可知，如果给定直角三角形的一条边和一个锐角，或者给定它的两条边，那么这个直角三角形的形状和大小就完全确定．解直角三角形所需要的条件，与确定一个直角三角形所需要的条件是一致的．第1页共27页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页 共27页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训【错题精练】例1．在Rt△ABC 中，∠C =90∘，若sinA =√55，AB =2，则AC 长是（ ） A. 4√55； B.2√55； C.√55； D. 2．【答案】A例2．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB ＝a ，AD ＝b ，∠BCO ＝x ，则点A 到OC 的距离等于（ ）A. asinx+bsinxB. acosx+bcosxC. asinx+bcosxD. acosx+bsinx【解答】解：作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝90°，∵∠ABC ＝∠AEC ，∠BCO ＝x ， ∴∠EAB ＝x ， ∴∠FBA ＝x ，∵AB ＝a ，AD ＝b ，∴FO ＝FB+BO ＝a•cosx+b•sinx ， 故选：D ．【答案】D例3．在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝【答案】例4．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=13BC，连接AC，若tanB=35，则tan∠CAD的值为______．【解答】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=35，即ADAB=35，∴设AD=3x，则AB=5x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD=90°，∴△CDE∽△BDA，第3页共27页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训∵DC=13BC，∴BD=2DC，∴CEAB =DCBD=DEAD=12，∴CE=52x，DE=32x，∴AE=92x，∴tan∠CAD=CEAE =52x92x=59，故答案为：59．【答案】59例5．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=__________ ，tan∠APD的值=__________ ．第4页共27页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【解答】【答案】3|2例6．（浙江杭州市中考16）如图，在四边形纸片中，，，，．将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则__________ ．第5页共27页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】【答案】或．【举一反三】1．(2013上海闸北一模)如图三，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值是__________ ．【解答】2【答案】2第6页共27页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训2．如图，有一个底面直径与杯高均为15cm的杯子里而盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52°才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面______cm（sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）【解答】解：过最高点作桌面的垂线AD，过流水口B作桌面的垂线BC，作BE⊥AD于点E，如图所示，在Rt△BCF中，有∠BFC=52°，BF=15cm，∴BC=BF•sin52°=15×0.79=11.85（cm），∴DE=BC=11.85cm，∵BE∥CD，∴∠EBF=∠BFC=52°，∴∠ABE=90°-52°=38°，∴∠BAE=90°-38°=52°，在Rt△ABE中，AB=15cm，∴AE=AB•cos52°=15×0.62=9.3（cm），∴AD=AE+DE=9.3+11.85=21.15（cm）．故答案为：21.15．【答案】21.153．（浙江杭州市中考15）在平面直角坐标系中，为坐标原点，设点（1，）在反比例函数的图象上，过点作直线与轴平行，点在直线上，满足．若反比例函数的图象经过点，则__________ ．第7页共27页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】【答案】4．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE：AE=1：5，BE=3，求△ABD的面积．5．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆低端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，如旗杆与教学楼的水平距离CD为9m，则旗杆的高度是多少？（结果保留根号）第8页共27页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【答案】二、解直角三角形的应用（其他）【错题精练】例1．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（）A. 3.25mB. 4.25mC. 4.45mD. 4.75m【解答】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得CBBD =10.8而CB=1.2，∴BD=0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，第9页共27页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得x3.56=10.8，∴x=4.45，∴树高是4.45m．故选：C．【答案】C例2．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD=20m，DE=30m，小明和小华的身高都是1.5m，同一时刻，小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2m，小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1m，则塔高AB是______米．【解答】解：过D点作DF∥AE，交AB于F点，如图所示：设塔影留在坡面DE部分的塔高AF=h1、塔影留在平地BD部分的塔高BF=h2，则铁塔的高为h1+h2．∵h1：30m=1.5m：2m，∴h1=22.5m；∵h2：10m=1.5m：1 m，∴h2=15m．∴AB=22.5+15=37.5（m）．∴铁塔的高度为37.5m．故答案为：37.5．【答案】37.5例3．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）第10页共27页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训A.B.C.D.【答案】B例4．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）A. 2cmB. 4√3cmC. 6cmD. 8cm【解答】解：甲液体的体积等于液体在乙中的体积．设乙杯中水深为xcm，AB=4√3cm，则AP=12则π×（2√3）2×16=π×（4√3）2×x，解得x=4．在直角△ABP中，已知AP=4 √3cm，AB=8 √3cm，∴BP=12cm．根据三角形的面积公式可知直角△ABP斜边上的高是6cm，所以乙杯中的液面与图中点P的距离是16-6-4=6（cm）．故选：C．【答案】C例5．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7m的点E处，然后观测考沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7m，观测者目高CD=1.6m，则树高AB约是______．（精确到0.1m）【解答】解：由题意知∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=90°，∴△CED∽△AEB．∴CDDE=ABBE，∴1.62.7=AB8.7，∴AB≈5.2米．故答案为：5.2m．【答案】5.2m例6．（上海普陀二模21）已知如图，在中，，，点、分别在边、上，，求的正弦值；【解答】【答案】例7．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD=AB，∠ADE=∠C．（1）求证：AB2=AE⋅AC．（2）若D为BC中点，AE=4，EC=6，且tanB=3，求△ABC的面积．【解答】（1）解：可证△ADE∽△ACD，∴ADAC =AEAD．∵AB=AD，∴AB2=AE⋅AC．（2）解：过点A作AH⊥BC，垂足为H，由（1）得AB=2√10，在Rt△ABH中，∠AHB=90∘，tanB=3，∴AH=6，BH=2．三线合一得BH=DH=2，∴BD=4．∵D是中点，∴BC=8．∴S△ABC=24．【答案】见解答．例8．如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B,C,D始终在一直线上，延长DE交MN于点F.已知AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,BD=40cm(1)窗扇完全打开，张角∠CAB=85∘，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数.(2)窗扇部分打开，张角∠CAB=60∘，求此时点A,B之间的距离(精确到0.1cm).【解答】【答案】（1）85∘；（2）34.5cm例9．为了解决停车难问题，交通部门准备沿12米宽60米长的道路边规划停车位，按每辆车长5米、宽2.4米设计停车后道路仍有不少于7米的路宽保证两车可以双向通过，如下图设计方案1：车位长边与路边夹角为45°方案2：车位长边与路边夹角为30°（1）请计算说明，两种方案是否都能保证通行要求？（2）计算符合通行要求的方案中最多可以停多少辆车？（3）请你画示意图设计一个满足通行要求且停车更多的新方案，并计算出最多停放车辆数．【答案】解：（1）方案1：如图，AB=2.4×sin45°=2.4×222≈1.54米，AE=5×sin45°=5×222≈3.5米，BE=AB+AE≈5.04，∵12-5.04=＜7，∴方案1不能保证通行要求；方案2：AB=2.4×cos30°=2.4×332≈2.1米，AE=5×sin30°=5×12=2.5米，BE=AB+AE=2.1+2.5=4.6，∵12-4.6=7.4＞7，∴方案2能保证通行要求；（2）BC=2.4×sin30°=2.4×12=1.2米，MC=5×cos30°=5×332≈4.3米，MB=BC+MC=1.2+4.3=5.5，60÷5.5=10.9（辆）．故方案2中最多可以停10辆车．（3）新方案如图：60÷2.4=25（辆）．故这个方案最多可以停放25辆车．【举一反三】1．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10cm，则树AB的高度是（）m．A. 20√3B. 30C. 30√3D. 40【答案】B2．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）A. 11.5米B. 11.75米C. 11.8米D. 12.25米【解答】解：设树在第一级台阶上面的部分高x米，则10.4=x4.4+0.2，解得x=11.5，∴树高是11.5+0.3=11.8米．故选：C．【答案】C3．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A. 9.3mB. 10.5mC. 12.4mD. 14m【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC =BECD，即 1.61.6+12.4=1.2CD，∴CD=10.5（米）．故选：B．【答案】B4．如图9，矩形ABCD的边长AB=8，AD=4，若将△DCB沿BD所在直线翻折，点C落在点F处，DF与AB交于点E．则cos∠ADE= ．【答案】455．为解决都匀市停车难的问题，计划在一段长为56米的路段规划处如图所示的停车位，已知每个车位是长为5米，宽为2米的矩形，且矩形的宽与路的边缘成45°角，则该路段最多可以划出__________ 个这样的停车位．（取=1.4，结果保留整数）【解答】【答案】196．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB．【答案】解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．由题意得：DFDE =1.62．∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）．∴GF=BD=12CD=6m．又∵AGGF =1.61．∴AG=1.6×6=9.6（m）．∴AB=14.4+9.6=24（m）．答：铁塔的高度为24m7．如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据√3≈1.732）【解答】【答案】（1）20cm（2）43.9cm（3）20cm≤x≤34.6cm8．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【答案】解：（1）如图1，设正方形的边长为xmm ，则PN=PQ=ED=x ，∴AE=AD-ED=80-x ，∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC ，∴PN BC =AE AD ，即x 120=80−x 80， 解得x=48．∴加工成的正方形零件的边长是48mm ；（2）如图2，设PQ=x ，则PN=2x ，AE=80-x ，∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC ，∴PN BC =AE AD ，即2x 120=80−x 80， 解得：x=2407， ∴2x=4807，∴这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm ；（3）如图3，设PN=x （mm ），矩形PQMN 的面积为S （mm 2），由条件可得△APN ∽△ABC ，∴PN BC =AEAD ，即x 120=80−PQ 80， 解得：PQ=80-23x ．则S=PN•PQ=x （80-23x ）=-23x 2+80x=-23（x-60）2+2400，故S 的最大值为2400mm 2，此时PN=60mm ，PQ=80-23×60=40（mm ）．1．如图，已知点A （3，4），点B 为直线x =−2上的动点，点C （x ，0）且−2<x <3，BC ⊥AC 垂足为点C ，连接AB ，若AB 与y 轴正半轴的所夹锐角为α，当tanα的值最大时x 的值为（ ）A. 12；B. 32√3； C. 1； D. 13．【答案】A2．如图2，在△ABC 中，∠C =90∘，AC =8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos∠BOC =35，则BC 的长是（ ）A. 4cm ；B. 6cm ；C. 8cm ；D. 10cm ．【答案】A3．如图8，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为．【答案】134．在“测量物体高度”的活动中，三个小组分别选择测量学校里不同的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，它们分别采集到如下数据：A小组：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4米．B小组：如图①，乙树AB的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，测得墙壁上的影长CD=1.2米，落在地面上的影长AC=2.4米．C小组：如图②，丙树OP的影子除落在地面上外，还有一部分落在一个斜坡上，测得落在地面上的影长OQ=2米，斜坡上的影长QR=4米，且∠OQR=150°．根据以上信息分别求甲、乙、丙三棵树的高．（根式运算的结果保留根号）【答案】解：A小组：∵一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4米，∴甲树的高度为：40.8=5（m ），答：甲树的高度为5m ；B 小组：如图①，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，由题意可得：10.8=BM 2.4，解得：BM=3，故乙树的高度为：3+1.2=4.2（m ），答：乙树的高度为4.2m ； C 小组：如图②，连接PR ，延长OQ ，交PR 于点H ，作MR ⊥OP 于M ， 过点Q 作QN ⊥MR 于点N ，由题意可得：OH 为OP 的影长，则OP OH =10.8，∵∠OQR=150°，∴∠1=30°，则∠2=∠1=30°，∴QN=12QR=2m ，∴RN=2√3m ，∴RM=2+2√3（m ），∵OH ∥RM ，∴△POH ∽△PMR ，∴PO OH =PM MR ，∴PM MR =10.8，∴PM=5+5√32， ∴OP=5+5√32-2=1+5√32（m ）， 答：丙树的高为：1+5√32m ．5．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板OA 所在的水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下垫入散热架sin43°≈0.6820后，电脑转到cos43°≈0.7314位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm ，tan43°≈0.9325于点C ，O′C=12cm ．（1）求∠CAO′的度数；（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？【答案】解：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，O’C=12，∴sin∠CAO′=O′CO′A =O′COA=1224=12．∴∠CAO'=30°．（2）如图，过点B作BD⊥AO交AO的延长线于点D．∵sin∠BOD=BDOB，∴BD=OB•sin∠BOD．∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°．∴BD=OB•sin∠BOD=24×√32=12√3．∴显示屏的顶部B'比原来升高了（36−12√3）cm．（3）显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转30°．理由如下：如图，电脑显示屏O'B’绕点O'按顺时针方向旋转α度至O'E处，O'F∥OA．∵电脑显示屏O'B’与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO'F=120°．∴∠FO'A=∠CAO'=30°．∴∠AO'B'=120°．∴∠EO'B'=∠FO'A=30°，即α=30°．∴显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转30°．。
5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册)(36张PPT)
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：利用三角函数的定义求三角函数值
典例示范
【例 1】 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解：由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9.
cos cos
xx＋ttaann
xx＝－2；
当
x
是第三象限角时，cos
x＝－cos
x，tan
x＝tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0；
当
x
是第四象限角时，cos
x＝cos
x，tan
x＝－tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0. 故所求函数的值域为{－2,0,2}．
类型三：诱导公式一的应用
典例示范
【例 5】计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)sin－116π＋cos152π·tan 4π.
解 ： (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋ cos( －
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ 为第二象限角)． 解：(1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π， ∴3,4,5 分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ 是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.
三角函数知识点总结
三角函数知识点总结一、任意角的三角函数及诱导公式1．任意角的概念角可以看作平面内一条射线绕着端点从一个边线转动至另一个边线阿芒塔的图形。
一条射线由原来的边线oa，绕着它的端点o按逆时针方向转动至中止边线ob，就构成角α。
转动已经开始时的射线oa叫作角的始边，ob叫做终边，射线的端点o叫作叫做α的顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的角是指是某个角α具备同终边的所有角，它们彼此差距2kπ(k∈z)，即为β∈{β|β=2kπ+α，k∈z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都成正比。
区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|π5ππ5π≤α≤}=[，]。
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
角存有正负零角之分后，它的弧度数也必须存有正负零之分后，例如-π，-2π等等，通常地,正角的弧度数就是一个正数，负角的弧度数就是一个负数，零角的弧度数就是0,角的差值主要由角的转动方向去同意。
角α的弧度数的绝对值是：=，其中，l就是圆心角面元的弧长，r就是半径。
r角度制与弧度制的换算主要抓住180=πrad。
弧度与角度交换公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝π≈0.01745（rad）。
弧长公式：l=|α|r（α是圆心角的弧度数），扇形面积公式：s=4．三角函数定义在α的终边上余因子一点p(a,b),它与原点的距离r过p作x轴的垂线,垂足为m,则线段om的长度为a,线段mp的长度为b.11lr=|α|r2。
零基础三角函数入门讲解
零基础三角函数入门讲解三角函数是数学中的一种重要的函数，它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
但是，对于初学者来说，三角函数可能会显得比较抽象和难以理解。
本文将从零基础的角度出发，为大家讲解三角函数的基本概念和应用。
我们需要了解什么是角度。
角度是用来度量角的大小的单位，通常用度（°）或弧度（rad）表示。
在度量角度时，我们通常以一个圆的中心为原点，以圆周上的两个点为端点，连接这两个点和圆心，形成的线段就是角。
角的大小可以用角度或弧度来表示。
接下来，我们来介绍三角函数的概念。
三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。
这里需要注意的是，三角函数的取值范围是[-1,1]，因为正弦值和余弦值的范围是[-1,1]，而正切值的范围是整个实数集。
正弦函数的符号是sin，余弦函数的符号是cos，正切函数的符号是tan。
它们的定义如下：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边其中，θ表示角度，对边表示角度所对应的直角三角形中与角度相对的边，邻边表示角度所对应的直角三角形中与角度相邻的边，斜边表示角度所对应的直角三角形的斜边。
三角函数的应用非常广泛，例如在三角函数的图像中，我们可以看到正弦函数和余弦函数的图像是一条波浪线，而正切函数的图像则是一条直线。
这些图像在物理、工程等领域中都有广泛的应用，例如在电路中，正弦函数和余弦函数可以用来表示交流电的电压和电流，而正切函数可以用来表示物体在斜面上的运动情况。
三角函数是数学中的重要概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
通过本文的介绍，相信大家已经对三角函数有了初步的了解，希望大家能够进一步深入学习和应用三角函数，为自己的学习和工作打下坚实的基础。
常用三角函数公式与口诀
常用三角函数公式与口诀三角函数是数学中的重要概念，它在几何以及物理等领域都有着广泛的应用。
常用的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)以及它们的倒数(cosec、sec、cot)。
在使用三角函数时，我们经常需要记住一些常用的三角函数公式和口诀，以便能够快速计算。
下面就是一些常用的三角函数公式和口诀：一、正弦函数(sin)的特点和公式1. 定义：在直角三角形中，对于给定的角θ，它的对边与斜边的比值称为正弦函数，记作sinθ。
2. 该角的定义域是0≤θ≤π，取值范围是-1≤sinθ≤13.三角恒等式：(1) sin(-θ) = -sinθ；(2) sin(π-θ) = sinθ；(3) sin(θ+2πn) = sinθ (其中n为整数)；(4) sin(90°-θ) = cosθ (其中θ是角度制的角)；(5) sin(θ±φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ。
二、余弦函数(cos)的特点和公式1. 定义：在直角三角形中，对于给定的角θ，它的邻边与斜边的比值称为余弦函数，记作cosθ。
2. 该角的定义域是0≤θ≤π，取值范围是-1≤cosθ≤13.三角恒等式：(1) cos(-θ) = cosθ；(2) cos(π-θ) = -cosθ；(3) cos(θ+2πn) = cosθ (其中n为整数)；(4) cos(90°-θ) = sinθ (其中θ是角度制的角)；(5) cos(θ±φ) = cosθcosφ ± sinθsinφ。
三、正切函数(tan)的特点和公式1. 定义：在直角三角形中，对于给定的角θ，它的对边与邻边的比值称为正切函数，记作tanθ。
2. 该角的定义域是0≤θ＜π，取值范围是负无穷＜tanθ＜正无穷。
3.三角恒等式：(1) tan(-θ) = -tanθ；(2) tan(π-θ) = -tanθ；(3) tan(θ+πn) = tanθ (其中n为整数)；(4) tan(π/2-θ) = cotθ；(5) tan(θ±φ) = (tanθ±tanφ)/(1∓tanθtanφ)。
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三角函数0基础自学
三角函数，指的是正弦、余弦、正切等三个最基本的三角函数。
在数学中，三角函数是一类运算符，主要应用于三角形和正弦波等领域。
虽然听上去有些玄乎，但是实际上，只需要理解基本概念，就可
以轻松掌握了。
一、正弦函数
正弦函数指的是在平面直角坐标系中，以单位圆为轨迹的正弦线
段与x轴之间的欧拉角度。
用符号sin表示。
正弦函数的值域是[-1, 1]，周期是2π，图像是在单位圆上围绕
x轴旋转而成的一个波形曲线。
在三角形中，正弦函数是指一个直角三角形的直角边对斜边的比值。
二、余弦函数
余弦函数指的是在平面直角坐标系中，以单位圆为轨迹的余弦线
段与x轴之间的欧拉角度。
用符号cos表示。
余弦函数的值域是[-1, 1]，周期是2π，图像是在单位圆上围绕
y轴旋转而成的一个波形曲线。
在三角形中，余弦函数是指一个直角三角形的邻边对斜边的比值。
三、正切函数
正切函数指的是在平面直角坐标系中，以单位圆为轨迹的正切线
段与x轴之间的欧拉角度。
用符号tan表示。
正切函数的值域是整个实数集R，周期是π，图像是在单位圆上
围绕x轴旋转而成的一个波形曲线。
在三角形中，正切函数是指一个直角三角形的对边对邻边的比值。
实际上，三角函数在各个领域中都有着广泛的应用。
比如在音乐中，正弦函数可以用来描述音调的波形；在物理学中，正弦函数可以
用来表达物体的振动波动等。
总的来说，学习三角函数需要掌握基本概念和运算法则。
可以通
过看视频、阅读教材、做练习题等多种方式来提升自己的三角函数水平。
同时，也可以结合实际问题，探索三角函数在各个领域中的应用，以更好地理解和掌握这一知识点。