江苏省无锡市大桥实验学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
江苏省2019-2020学年高一(下)期中考试数学试卷
高一（下）期中考试数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共有10小题，每题5分，共50分）1、已知点A （1，0），B （-1，1），则直线AB 的斜率为（ ）A 、21- B 、21C 、2-D 、22、在△ABC 中，︒=∠==60,3,3A b a ，那么∠B 等于（ ）A 、30°B 、60°C 、30°或150°D 、60°或120°3、直线0632=--y x 在y 轴上的截距为（ ）A 、3B 、-3C 、2D 、-24、已知正方体棱长为2，则它的内切球的表面积为（ ）A 、π2B 、π4C 、π8D 、π165、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,，如果7,5,3===c b a ，那么C cos 的值是（ ）A 、21B 、21-C 、1411D 、14136、在△ABC 中，已知2,30,3=︒==c A b ，则=a Asin （ ）A 、41B 、21C 、1D 、27、在△ABC 中，若C B A 222sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定8、设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题:①若γββα⊥⊥,，则γα∥ ②若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥③若αα⊂n m ,∥，则n m ∥ ④若n m ==βγαγβα ,,∥，则n m ∥其中正确命题的序号是（ ）A 、①④B 、①②C 、④D 、②③④9、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则异面直线AC 1与BB 1所成角的正弦值为（）A 、322 B 、42C 、31D 、2210、在锐角△ABC 中，c b a ,,分别为角A ，B ，C 所对的边，若A =2B ，则b a 的取值范围为（ ） A 、[)2,1 B 、()2,1 C 、()3,2 D 、]3,2[ 二、填空题（本大题共有6小题，每题5分，共30分）11、若空间两条直线b a ,没有公共点，则b a ,的位置关系是 .12、直线01=+-y x 的倾斜角是 .13、在△ABC 中，若︒=︒==45,60,2B A b ，则=a .14、过点（3，1），且垂直于x 轴的直线方程是 .15、在△ABC 中，1,3,30==︒=AC AB A ，则△ABC 的面积为 .16、如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论:①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D-ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面ABC.其中正确的是 .三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17、（10分）在△ABC 中，（1）已知33,60,1=︒==c A a ，求C ； （2）已知︒===150,2,33B c a ，求b .18、（12分）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求直线l的方程:（1）l的斜率为-1；（2）l与两条坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16.19、（12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AC为底面ABCD的对角线，E为D1D 的中点.（1）求证: D1B∥平面AEC；（2）求证: 平面DD1B⊥平面AEC.20、（12分）在△ABC 中，bc a c b +=+222.（1）求角A 的大小；（2）求C B cos sin 3-的最大值.21、（12分）扬州市广陵区拟建一主题游乐园，该游乐园为四边形区域ABCD ，其中三角形区域ABC 为主题活动区，其中m AB ABC ACB 612,45,60=︒=∠︒=∠，AD 、CD 为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC =120°，通道AD 、CD 围成三角形区域ADC 为游客休闲中心，供游客休憩.（1）求AC 的长度；（2）记游客通道AD 与CD 的长度和为L ，求L 的最大值.22、（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2.（1）证明: BC⊥平面AMN；（2）求三棱锥N-AMC的体积；（3）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE，若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由.。
江苏省无锡市大桥实验学校2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
A。 若 , ，则 B. 若 , ， ，则
C。 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面平行的性质,面面垂直的性质与判定,即可得出结论．
【详解】解：由 ， 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，知:
(2）由题意可得： ，可得 , 。
所以 ,
因为 ,
所以 ,故 。
【点睛】本题主要考查正弦定理得边化角公式，同时考查了三角函数恒等变换和值域问题,属于中档题.
20。如图，在多面体 中, 是正方形， 平面 ， 平面 ， ,点M为棱 的中点。
（1）求证： ；
（2）求证：平面 平面 ；
(3）若 , ，求E点到平面 的距离.
6.已知直线 与圆 交于 两点，则弦长 ( ）
A。 1B。 C。 2D。
【答案】C
【解析】
【分析】
由圆的方程求出圆心坐标和半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合垂径定理求出弦 的长。
【详解】由 可知圆心坐标为 ，半径 ，
则圆心到直线 的距离 ,
。
故选：C
【点睛】本题考查了几何法求圆的弦长以及点到直线的距离公式，属于基础题.
12。已知 分别为圆 : 与圆 ： 上的动点， 为 轴上的动点，则 的值可能是（ ）
A。 7B. 8C。 9D. 10
【答案】CD
【解析】
【分析】
计算得到 的最小值为 ，得到答案.
【详解】圆 ，关于 轴对称的圆为圆 ,
则 的最小值为 ，又 ,
故选: .
【点睛】本题考查了圆相关长度的最值问题,计算 的最小值为 是解题的关键。
江苏省无锡市2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷(II)卷
江苏省无锡市 2019-2020 学年高一下学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分）中，， 则 B=（ ）A.B. 或C. 或D.2. （2 分） 函数是（ ）A . 周期为 的奇函数B . 周期为 的偶函数C . 周期为 的偶函数D . 周期为 的奇函数3. （2 分） 甲船在岛 B 的正南 A 处，AB＝10 千米。
甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行，同时，乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60o 的方向驶去。
当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A . 分钟B . 小时C . 21.5 分钟D . 2.15 分钟4. （2 分） 设 a，b∈R，“a＝0”是“复数 a＋bi 是纯虚数”的（ ）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件第 1 页 共 11 页C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2 分） (2020 高一下·北京期中) 如果在中，，，，那么 B 等于（ ）A. B.C.D. 6. （2 分） (2020 高一下·北京期中) 下列说法正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则 ∥D.若，则 与 不是共线向量7. （2 分）(2020 高一下·北京期中) 设 的最小值是（ ）是平面上的两个单位向量，.若，则A.B.C.D.8. （2 分） (2020 高一下·北京期中) △ABC 中, 如果, 那么△ABC 是（ ）第 2 页 共 11 页A . 直角三角形B . 等边三角形C . 等腰直角三角形D . 钝角三角形9. （2 分） (2020 高一下·北京期中) 设点 A，B，C 不共线，则“ 与“”的（ ）A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件的夹角为锐角”是10. （2 分） (2020 高一下·北京期中) 对于非零向量 ， ，定义运算“*”： 为 ， 的夹角．有两两不共线的三个向量 ，下列结论正确的是（ ）A.若，则，其中B.C.D.二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11. （1 分） (2015 高二下·福州期中) 复数 z=i（i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是________12. （1 分） 已知 x∈[0，1]，则函数 y=的值域是________．13. （1 分） 若平面向量满足,则向量 与 的夹角为________.14. （1 分） (2020 高一下·北京期中) 如图所示，平面内有三个向量 、 、 ，其中 与第 3 页 共 11 页的夹角为 120°， 与 的夹角为 30°，且| |＝| |＝1，| |＝2 .若 ＝λ ＋ μ (λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值为________．15. （1 分） (2020 高一下·北京期中) 在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，，下列判断：①若，则角 C 有两个解；②若，则边上的高为；③不可能是 9.其中判断正确的序号是________.三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)16. （10 分） (2020 高二下·湖州期末) 已知函数.（1） 求函数的单调区间和极值；（2） 若函数 ）在区间17. （10 分） (2019 高二上·城关月考 ) 在，，且，（1） 求角 的大小；上存在零点，求的最小值.（参考数据：中，角的对边分别为，若向量（2） 若，求的面积的最大值.18. （15 分） (2016 高一下·宜春期中) 如图，四边形 OQRP 为矩形，其中 P，Q 分别是函数 f（x）= （A＞0，w＞0）图象上的一个最高点和最低点，O 为坐标原点，R 为图象与 x 轴的交点．sinwx第 4 页 共 11 页（1） 求 f（x）的解析式（2） 对于 x∈[0，3]，方程 f2（x）﹣af（x）+1=0 恒有四个不同的实数根，求实数 a 的取值范围19. （5 分） (2016 高二上·福州期中) 已知向量 =（cosωx﹣sinωx，sinωx）， =（﹣cosωx﹣sinωx，2 cosωx），设函数 f（x）= 1）+λ（x∈R）的图象关于直线 x=π 对称，其中 ω，λ 为常数，且 ω∈（ ，（1） 求函数 f（x）的最小正周期；（2） 若 y=f（x）的图象经过点（ ，0）求函数 f（x）在区间[0， ]上的取值范围． 20. （5 分） (2017 高一上·鞍山期末) 如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上 有两点 A（ ， ），B（ ， ）． （Ⅰ）求 ， 夹角的余弦值；（Ⅱ）已知 C（1，0），记∠AOC=α，∠BOC=β，求 tan的值．21. （5 分） (2018 高三上·邹城期中) 设 .（Ⅰ）求内角 的大小；分别为第 5 页 共 11 页的三个内角的对边，且（Ⅱ）若，试求面积的最大值.第 6 页 共 11 页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)16-1、16-2、第 8 页 共 11 页17-1、 17-2、 18-1、18-2、第 9 页 共 11 页19-1、19-2、第 10 页 共 11 页20-1、21-1、第11 页共11 页。
江苏省无锡市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷B卷
江苏省无锡市 2019-2020 年度高一下学期数学期中考试试卷 B 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 直线 3x+4y+5=0 的斜率和它在 y 轴上的截距分别为（ ）A. ，B.，C.，D. ，2. （2 分） (2018 高一下·应县期末) 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的 问最小的一份为（ ）等于较小的两份之和，A.B.C.D.3. （2 分） (2019 高二上·兴宁期中) 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）A.B.C.或D.或第 1 页 共 11 页4. （2 分） (2016 高一下·邯郸期中) 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A.B.C.D.5. （2 分） (2018 高二上·湖州月考) 已知直线，，则 与 之间的距离是（ ）A.B. C.1D. 6. （2 分） (2018 高二上·北京月考) 若方程 x2+y2+x+y+k=0 表示一个圆,则 k 的取值范围是（ ） A.第 2 页 共 11 页B.C.D.7. （2 分） 一批灯泡 400 只，其中 20 W、40 W、60 W 的数目之比为 4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个 容量为 40 的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（ ）A . 20 ,10 , 10B . 15 , 20 , 5C . 20, 5, 15D . 20, 15, 58. （2 分） 已知回归方程为，则该方程在样本（10，13）处的残差为（ ）A . 10B.2C.3D.49. （2 分） 一次发行 10000 张福利奖券，其中有 1 张特等奖，2 张一等奖，10 张二等奖，100 张三等奖，其 余的不得奖，则购买 1 张奖券能中奖的概率为（ ）A.B.C.D. 10. （2 分） 把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）第 3 页 共 11 页A . 对立事件 B . 互斥但不对立事件 C . 不可能事件 D . 必然事件11. （2 分） (2016 高一下·鹤壁期末) 若直线 直线 l 的倾斜角的取值范围（ ）与直线 2x+3y﹣6=0 的交点位于第一象限，则A.B.C.D.12. （2 分） (2017·南海模拟) 小李去上班可以搭同事的顺风车，同事经过小李家门口的时间是 8：00 且只 等小李 5 分钟，小李在 7：55 到 8：20 到家门口，小李可以搭上顺风车的概率是（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高二下·温州月考) 已知直线则________；若，则两平行直线间的距离为________．，直线，若，14. （1 分） (2019 高二上·慈溪期中) 圆 C:x2+y2-8x-2y=0 的圆心坐标是________;关于直线 l:y=x-1 对称的圆 C'的方程为________.第 4 页 共 11 页15. （1 分） 如图，圆 O 的弦 AB ， CD 相交于点 E ， 过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P ， 若 PA=6， AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则 BE=________ 。
江苏省无锡市大桥实验学校2019-2020学年高一下学期期中数学试题
【解析】
【分析】
【详解】
连接 ，由于 ，所以 或其补角即为所求， ，满足 ，故 ．
故答案为：90°
16．
【解析】
分析：由题意首先利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理得到不等式，求解不等式即可求得最终结果.
详解：由 结合正弦定理可得： ，且 ， 为锐角，则： ，即 ，据此有： ， ， ， ，即 ， ，据此可得： ，则 的取值范围为 .
A． 平面
B．
C．若E是底面圆周上的动点，则 的最大面积等于 的面积
D．l与平面 所成的角为45°
12．已知 分别为圆 ： 与圆 ： 上的动点， 为 轴上的动点，则 的值可能是（）
A．7B．8C．9D．10
13．已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为________________.
14．如图，为了测量山坡上灯塔 的高度，某人从高为 的楼 的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为 ， ，若山坡高为 ，则灯塔高度是________.
江苏省无锡市大桥实验学校2019-2020学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．直线x y+1=0的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°
C．120°D．150°
2．已知m为实数，直线 ， ，若 ，则实数m的值( )
因为 ，
所以 ，故 .
【点睛】
本题主要考查正弦定理得边化角公式，同时考查了三角函数恒等变换和值域问题，属于中档题.
（Ⅱ）分直线 斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式即可得到答案
【详解】
直线 可化为 ，
由 可得 ，所以点A的坐标为 .
2019-2020学年江苏省无锡一中高一(下)期中数学试卷(有答案解析)
2019-2020学年江苏省无锡一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.两条异面直线是指A. 空间中两条不相交的直线B. 不同在任何一个平面内的两条直线C. 分别在两个平面内的两条直线D. 平面内的一条直线和平面外的一条直线2.如果，，那么直线不通过A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中的真命题为A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则或4.一个球的表面积是，则它的体积是A. B. C. D.5.若三条直线，和相交于一点，则A. B. C. 2 D.6.若三角形三边长分别是4，5，6，则这个三角形的形状是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定7.平行六面体中，既与AB共面也与共面的棱的条数为A. 3B. 4C. 5D. 68.在中，，则是A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 两直角边互不相等的直角三角形9.正四棱锥相邻二侧面形成的二面角为，则的取值范围是A. 一定是锐角B. 一定是钝角C. 可能是直角D. 可能是锐角，钝角，但不是直角10.在中，若，，则角C的取值范围是A. B. C. D.11.从点向圆引切线，则切线长的最小值为A. B. 5 C. D. 312.若的三边为a，b，c，它的面积为，则角C等于A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.用一张长8cm、宽4cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积为______．14.已知在中，，，，若点D在BC上，且，则AD的长为______．15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆：与为圆心的圆相交于，两点，且满足，则实数m的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.直线的倾斜角为______．17.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知．求角B；若，，求sin C的值．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABE，，，F为CE的中点，求证：平面BDF；平面平面ACE．19.已知四棱锥中，底面ABCD，，底面ABCD是边长为的正方形，E是PD的中点．求点A到平面PDC的距离；求异面直线AE与PC所成角的余弦值．20.已知直线l经过点．且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；若直线l被两条相交直线和所截得的线段恰被点P平分，求直线l的方程．21.某人沿一条折线段组成的小路前进，从A到B，方位角从正北方向顺时针转到AB方向所成的角是，距离是1km；从B到C，方位角是，距离是1km；从C到D，方位角是，距离是．求出从A到C的方位角；计算从A到D的距离．22.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在y轴右侧，原点O和点都在圆C上，且圆C在x轴上截得的线段长度为3．求圆C的方程；若M，N为圆C上两点，若四边形MONP的对角线MN的方程为，求四边形MONP面积的最大值；过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率分别为，，且，试判断直线AB的斜率是否为定值，并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：在A中，空间中的两条平行线不是异面直线，故A错误；在B中，由异面直线的定义得不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，故B正确；在C中，分别在两个平面内的直线有可能相交，也有可能平行，故C错误；在D中，平面内的一条直线和平面外的一条直线有可能相交，也有可能平行，故D错误．故选：B．利用异面直线的定义和性质求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意异面直线的性质的合理运用．2.答案：B解析：解：直线化为：．，，假设，则，，则直线不通过第二象限．假设，则，，则直线不通过第二象限．故选：B．直线化为：由，，对C分类讨论即可得出．本题考查了直线斜率与截距的意义、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：由两条直线m，n和平面，知：对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若，，则或，故C错误；对于D，若，，则由线面平行的性质定理得或，故D正确．故选：D．对于A，或；对于B，m与n相交、平行或异面；对于C，或；对于D，由线面平行的性质定理得或．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4.答案：D解析：解：设球的半径为R，则球的表面积，，它的体积故选：D．利用球的表面积公式求出球的半径，代入球的体积公式计算即可．本题考查了球的表面积，体积公式及应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：由得交点为，代入，得．故选：B．先联立已知的两条直线方程求出两直线的交点，然后把交点坐标代入第三条直线中即可求出k的值．考查学生会利用联立两条直线的方程组成方程组求交点坐标，理解直线交点的意义．6.答案：A解析：解：三角形三边长分别是4，5，6，设，，，可得因此，三角形三个角满足，C为最大角，得，而为锐角，从而A、B均为锐角所以三角形ABC的形状是：锐角三角形故选：A．设三角形ABC中，，，，可得，所以满足然后利用余弦定理，计算出角C的余弦为正数，得到角C为锐角，可得三角形的三个角均为锐角，从而证明出为锐角三角形．本题借助于一个三角形形状的证明，着重考查了余弦定理及其应用，和三角函数的定义域、值域等知识点，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】根据平行六面体的结构特征和平面的基本性质进行判断，即找出与AB和平行或相交的棱．本题考查了平行六面体的结构特征和平面的基本性质的应用，找出与AB和平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力．【解答】解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、、、符合条件．故选C．8.答案：C解析：解：在中，，由正弦定理得：，，，，，或，或，为等腰或直角三角形，故选：C．利用正弦定理将中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可．本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题．9.答案：B解析：解：如图，为正四棱锥，设AE、CE垂直于SB，则为二面角的平面角为，且，，在正方形ABCD中，由勾股定理得，，，在中，由余弦定理得，．，则的取值范围是，故选：B．正四棱锥中，设AE、CE垂直于SB，则为二面角的平面角，且，，利用余弦定理，即可求得的取值范围．本题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力，是中档题．10.答案：A解析：解：因为，，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知，根据余弦定理所以故选：A．利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可求得b的范围，进而利用余弦定理表示出cos C的表达式，根据b的范围求得cos C的范围，进而求得C的范围．本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题的基本的推理能力．11.答案：A解析：【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，掌握切线长问题的一般求解思路．因为过P点的圆的切线长，圆半径，以及P点到圆心距离构成直角三角形，又因为圆半径为定值1，所以要求切线长的最小值，只需求P点到圆心距离的最小值即可．【解答】解：设圆心为C，切点为A，连接PC，PA，AC，为圆C的切线，，，当PC最小时，PA有最小值．，，，即，此时，故选A．12.答案：A解析：【分析】利用余弦定理列出关系式，表示出，利用三角形面积公式表示出面积，根据题意列出关系式，求出tan C的值，即可确定出C的度数．此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．【解答】解：由余弦定理得：，即，由三角形面积公式得：，，即，且C为锐角，则角C等于．故选A．13.答案：或解析：解：若圆柱的高为8cm，底面周长为4cm，则圆柱的底面半径为，圆柱的体积；若圆柱的高为4cm，底面周长为8cm，则圆柱的底面半径为，圆柱的体积．故答案为：或．根据圆柱的结构特征分类求得圆柱的底面半径和高，则体积可求．本题考查了圆柱的结构特征，体积计算，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．14.答案：解析：解：因为在中，，，，若点D在BC上，且，利用余弦定理的应用，整理得，解得，在中，设，则，，利用余弦定理，在中，，，，利用余弦定理，由于，所以，解得．故答案为：．首先利用余弦定理的应用求出BC的长，进一步利用余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．15.答案：3解析：解：根据题意，圆：，圆心为，圆的坐标为；两圆相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线为直线，又由A满足，变形可得，则有，即点O在线段AB的垂直平分线上，则有点O在直线上，则有，解可得；故答案为：3．根据题意，由圆与圆相交的性质可得线段AB的垂直平分线为直线，进而由，变形可得，则有，即可得点O在直线上，据此可得，解可得m的值，即可得答案．本题考查圆与圆相交的性质，涉及两圆相交弦的性质，属于中档题．16.答案：解析：解：设直线的倾斜角为．由直线化为，，．故答案为：．把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．本题考查了斜截式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．17.答案：解：在中，由，以及正弦定理可得：，，，，，可得．，，，，，在中，由正弦定理，可得，解得．解析：在中，由以及正弦定理可得，求得cos B的值，结合B的范围可求B的值．由条件利用余弦定理可得c的值，进而根据正弦定理即可求解sin C的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：证明：设，连接FG，易知G是AC的中点，是EC中点，由三角形中位线的性质可得，平面BFD，平面BFD，平面BFD．平面平面ABE，，平面平面平面ABE，又平面ABE，，又，，平面BCE，．在中，，F为CE的中点，，，平面ACE，又平面BDF，平面平面ACE．解析：设，由三角形中位线的性质可得，从而证明平面BFD．利用线面垂直的判定定理平面BCE，得到，由等腰直角三角形的性质证明，从而证明平面ACE，即证平面平面ACE．本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，线面平行的判定、面面垂直的判定，证明是解题的难点．19.答案：解：底面ABCD，，底面ABCD是边长为的正方形，．由底面ABCD，且平面PAD，得平面平面ABCD，又平面平面，且，得平面PAD，，．设A到平面PDC的距离为h，则，即．点A到平面PDC的距离为；取CD的中点F，连接EF，则，是异面直线AE与PC所成角或其补角．连接AF，由知，则，，．．异面直线AE与PC所成角的余弦值为．解析：由已知求出三棱锥的体积，再求出三角形PCD的面积，利用等体积法求点A 到平面PDC的距离；取CD的中点F，连接EF，则，可得是异面直线AE与PC所成角或其补角，然后求解三角形得答案．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用等体积法求点到面的距离，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：当直线斜率不存在时，直线方程为；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，解得；直线l的方程为．综上，所求直线方程为或；设直线l夹在直线，之间的线段为在上，B在上，A，B的坐标分别设为，，被点P平分，，，于是，；由于A在上，B在上，，解得，，即A的坐标是，直线l的方程的斜率为：；直线l的方程，即．解析：当直线斜率不存在时，直线方程为；当直线斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式列式求得k值，则直线方程可求；设直线m夹在直线，之间的线段为在上，B在上，求出点B的坐标用A 的坐标表示，根据A在上，B在上，求得A的坐标，用两点式求得直线l的方程．本题主要考查用待定系数法求直线方程，直线的两点式方程的应用，属于中档题．21.答案：解：连接AC，在中，，又，故，由余弦定理可得，，中，，，由余弦定理可得，，由正弦定理可得，，故，于是AD的方位角为，所以从A到D的方位角为，距离为．解析：结合已知方位角，然后利用余弦定理可求AC，进而可求AD；结合正弦定理可求，即可求解距离．本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解实际问题中的应用，属于中档试题．22.答案：解：由题意，圆C过点，，，设圆C的方程为．则，解得．圆C的方程为，即；由可知，，半径，C到MN的距离．，当且仅当时取等号．由，解得．由O，P在MN的两侧，得，即．O到MN的距离，P到MN的距离．四边形MONP的面积．时，四边形MONP的面积有最大值为；由题意可设PA：．联立，得．设，则，，．，结合，同理．解析：由题意，圆C过点，，，设出圆的一般方程，把三个点的坐标代入可得关于D，E，F的方程组，求得D，E，F的值，则圆的方程可求；由求得圆心坐标与半径，求得C到MN的距离．由垂径定理求弦长，得到弦长最大值．再由题意求出m的范围，然后利用点到直线的距离公式分别求出O到MN的距离，P到MN的距离弦长四边形MONP的面积，可得时，四边形MONP 的面积有最大值为；由题意可设PA：与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求得A的坐标，同理求得B的坐标，结合及两点求斜率公式可得直线AB的斜率为定值．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．。
2020年江苏省无锡市高一(下)期中数学试卷解析版
22. 如图，圆 M：
，点
圆 M 的两条切线，切点分别为 A、B．
为直线 l：
上一动点，过点 P 引
若 ，求切线所在直线方程； 求 的最小值； 若两条切线 PA，PB 与 y 轴分别交于 S、T 两点，求
的最小值．
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1.【答案】D
答案和解析
【解析】解：由题意可得直线的斜率 k= =- ，
A. 相交
B. 外离
C. 内切
D. 外切
7. 直线 m，n 和平面 α，若 m，n 与平面 α 都平行，则直线 m，n 的关系可以是（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 异面
D. 以上都有可能
8. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 sinA=3sinCcosB，且 c=2，则△ABC
11. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=1，则 PC 与 底面 ABC 所成角的正切值为______．
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12. 如果平面直角坐标系中的两点 A（a-1，a+1），B（a，a）关于直线 L 对称，那么 直线 L 的 方程为______．
即 tanα=- ，故 α= ，
故选：D． 由直线的方程易得斜率，进而可得倾斜角． 本题考查直线的倾斜角，由直线方程得出斜率是解决问题的关键，属基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
由已知利用正弦定理 sinC= ，利用大边对大角可求∠C 为锐角，即可利用特殊角的三角
函数值得解． 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用 ，考查了转化思想，属于基础题． 【解答】
江苏省无锡市2019年高一下学期期中数学试卷A卷
江苏省无锡市2019年高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在区间[0,]上随机取一个数x,则事件“sinx cosx”发生的概率为（）A .B .C .D . 12. （2分）点A（sin2016°，cos2016°）在直角坐标平面上位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2019高一上·哈尔滨月考) 已知，则角的终边在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分） (2015高三上·承德期末) 已知α∈（﹣π，﹣），且sinα=﹣，则cosα等于（）A . ﹣B .C . ±D .5. （2分）已知A={锐角}，B={第一象限角}，C={小于90°的角}，那么A，B，C的关系式（）A . A=B∩CB . B⊆CC . A∪C=CD . A=B=C6. （2分）甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·永年期末) 已知sin（π+α）= ，且α是第四象限角，则cos（α﹣2π）的值是（）A . ﹣B .C . ±D .8. （2分） (2016高一上·成都期中) 设f（x）= ，则f（5）的值是（）A . 24B . 21C . 18D . 169. （2分） (2018高一下·商丘期末) 袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A . 至少有一个白球；都是白球B . 至少有一个白球；红、黑球各一个C . 恰有一个白球；一个白球一个黑球D . 至少有一个白球；至少有一个红球10. （2分）本式的值是（）A . 1B . ﹣1C .D .11. （2分）四位二进制数能表示的最大十进制数是（）A . 4B . 15C . 64D . 12712. （2分）如图的程序框图，能判断任意输入的整数x的奇偶性：其中判断框内的条件是（）A . m='0'B . x='0'C . x='1'D . m=1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）855°角的终边在第1 象限．14. （1分） (2016高一下·珠海期末) 从编号为0，1，2，…，89的90件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是9的样本．若编号为36的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．15. （1分）855°转化为弧度数为116. （1分） (2016高一下·汉台期中) 下列说法中正确的有________①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等．②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大．③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响．④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为求：（1）乙至少击中目标2次的概率；（2）乙恰好比甲多击中目标2次的概率．18. （10分）已知tan（π+α）=﹣，tan（α+β）= ．（1）求tan（α+β）的值；（2）求tanβ的值．19. （5分） (2016高二上·玉溪期中) 20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．20. （10分）(2018·兴化模拟) 已知向量，，，若，（1）求的值；（2）若，求角的大小．21. （5分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1﹣0.999104 ．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．22. （10分）(2018·安徽模拟) 近年电子商务蓬勃发展，年某网购平台“双”一天的销售业绩高达亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为，对快递的满意率为，其中对商品和快递都满意的交易为次.附：（其中为样本容量）（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？对快递满意对快递不满意合计对商品满意对商品不满意合计（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这次交易中再随机抽取次进行电话回访，听取购物者意见.求电话回访的次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
江苏省无锡市2020版高一下学期期中数学试卷(II)卷
江苏省无锡市2020版高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·清城期中) 已知：sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ），则sinθcosθ+cos2θ=（）A .B .C .D .2. （2分）在所在的平面内，点满足，且对于任意实数，恒有，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·邹城期中) 如图点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B ，则（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·江西模拟) 函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A . 向左平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向右平移个单位长度5. （2分）已知，且，则的值等于（）A .B . -7C .D . 76. （2分）若均为单位向量，且，则的最大值为（）A . 3B .C . 1D .7. （2分）(2019·大连模拟) 已知向量，则＝（）A . 6B . -6C . -1D . 18. （2分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则的值为（）A . -B .C . -D .9. （2分） =（）A . ﹣1B . 1C .D .10. （2分）已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）A . 1B .C .D . 211. （2分） (2020高一下·焦作期末) 已知函数（，）的部分图像如图所示，若存在，满足，则（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·山东模拟) 如果，，那么等于（）A . ﹣18B . ﹣6C . 0D . 18二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·杭州模拟) 已知向量，满足||=1，2- ·+1=0，则·（2+)的取值范围是________．14. （1分） (2019高一下·上海期中) 已知，在第二象限，则 ________．15. （1分） (2019高一下·凯里月考) 如图，在正方形中，，为上一点，，为的中点，则 ________.16. （1分）给出下列命题：①函数y=sin2x偶函数；②函数y=sin2x的最小正周期为π；③函数y=ln（x+1）没有零点；④函数y=ln（x+1）在区间（﹣1，0）上是增函数．其中正确的命题是________（只填序号）三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分） (2020高一下·句容期中) 如图，已知正三角形的边长为1，设， .（1）若D是的中点，用分别表示向量，；（2）求；（3）求与的夹角.18. （5分）已知角α∈[﹣30°，120°]；（1）写出所有与α终边相同的角β的集合A；并在直角坐标系中，用阴影部分表示集合A中角终边所在区域；（2）在（1）条件下，若，α∈A，求sinα，cosα的值．19. （10分） (2020高一下·怀仁期中) 在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，，且 .（1）求角A；（2）当，时，求边长b和角B的大小.20. （15分） (2016高一下·芒市期中) 已知向量 =（3，0）， =（﹣5，5）， =（2，k）（1）求向量与的夹角；（2）若∥ ，求k的值；（3）若⊥（），求k的值．21. （10分） (2018高一下·瓦房店期末) 在中，，，分别为内角，，的对边，，，且满足 .（1）求角的大小；（2）设函数，求函数的最小正周期和单调递增区间.22. （5分） (2019高一下·南宁期中) 已知函数的在区间的最大值为4 ，求实数的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
江苏省无锡市大桥实验学校2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
江苏省无锡市大桥实验学校2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1.直线x +1=0的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°【答案】D 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】直线x +1=0的斜率k 3==-， 设其倾斜角为θ（0°≤θ<180°）， 则tan 3θ=-， ∴θ=150° 故选：D【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.2.已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，()23220l m x my -+-=：，若12l l //，则实数m 值( ) A. 2 B. 1C. 1或2D. 0或13【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值；【详解】解：当0m =时，两直线方程分别为10y -=和220x --=，不满足条件．当0m ≠时，则12//l l ，∴32211m m m --=≠-， 由321m mm -=得2320m m -+=得1m =或2m =， 由211m -≠-得2m ≠，则1m =， 故选：B【点睛】本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题.3.过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A. ()()22314x y -++= B. ()()22314x y ++-= C. ()()22114x y -+-= D. ()()22114x y +++=【答案】C 【解析】 【分析】直接根据所给信息，利用排除法解题．【详解】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ， 点()1,1B -在圆上，排除A 故选C【点睛】本题考查利用排除法选出圆的标准方程，属于基础题． 4.在ABC 中，cos cos a A b B =，则ABC 的形状为( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理将等式两边a 和b 转化成对应角的正弦，利用二倍角正弦公式化简整理，再由正弦值和角的关系即可得到答案.【详解】cos cos a A b B =，正弦定理可得2sin cos 2sin cos R A A R B B =， 即sin 2sin 2A B =，()20,2A π∈，2(0,2)B π∈，22A B ∴=或22A B π+=.∴A B =或2A B π+=，∴ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D【点睛】本题主要考查三角形形状的判断、正弦定理和二倍角的正弦公式的应用，考查学生转化能力，属于基础题.5.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC. 若αβ⊥，m αβ=，n ⊂α，则n β⊥D. 若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行的性质，面面垂直的性质与判定，即可得出结论．【详解】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 在B 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，若αβ⊥，m αβ=，n ⊂α，则n 与β相交、平行或n β⊂，故C 错误；在D 中，若m α⊥，//m n ，n β⊂，则由面面垂直的判断定理得αβ⊥，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．6.已知直线10x y +-=与圆()()22123x y -+-=交于,A B 两点，则弦长||AB =（ ）A. 1C. 2D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合垂径定理求出弦AB 的长.【详解】由()()22123x y -+-=可知圆心坐标为()1,2，半径r =，则圆心到直线10x y +-=的距离d ==∴||2AB ==.故选：C【点睛】本题考查了几何法求圆的弦长以及点到直线的距离公式，属于基础题.7.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若::4:3:2a b c =，则2sin sin sin 2A BC-=（ ） A.37B.57C.97D.107【答案】D 【解析】 【分析】 由题意2sin sin 2sin sin 2sin 22sin cos 2cos A B A B a bC C C c C---==，再由余弦定理可求出cos C ，即可求出答案. 【详解】由题意2sin sin 2sin sin 2sin 22sin cos 2cos A B A B a bC C C c C---==，::4:3:2a b c =，设4,3,2a k b k c k ===，由余弦定理可得：()2216947cos 2438k C k +-==⨯⨯， 则()832sin sin 107sin 2748k A B C k --==⨯.故选D.【点睛】本题考查了正、余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题.8.已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为433π，则该三棱柱的高为( ) A.32B. 3C. 4D.52【答案】B 【解析】 【分析】设C ，B 分别为三棱柱上、下底面的中心，连接BC ，则三棱柱外接球的球心为BC 的中点O ，设三棱柱外接球的半径为R ，由24343R ππ=求出R ，然后利用22R OA OB AB ==+算出OB 即可.【详解】由题意易知该三棱柱是底面边长为2的正三棱柱. 设C ，B 分别为三棱柱上、下底面的中心，连接BC ， 则三棱柱外接球的球心为BC 的中点O ，如图.设三棱柱外接球的半径为R .∵三棱柱的外接球的表面积为433π，∴24343R ππ=， ∴4312R =.又22222343312R OA OB AB OB ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭∴32OB =，∴该三棱柱的高为23BC OB ==.故选：B【点睛】本题考查的是几何体的外接球的知识，找出球心的位置是解题的关键.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,236A a c π===则角C 的大小是( )A.6π B.3π C.56π D.23π 【答案】BD 【解析】 【分析】 由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案.【详解】由正弦定理可得sin sin a cA C=, ∴sin sin 2c C A a ==,而a c <,∴ A C <, ∴566C ππ<<, 故3C π=或23π.故选:BD.【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.10.若直线过点()1,2A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为（ ） A. 10x y -+= B. 30x y +-= C. 20x y -= D. 10x y --=【答案】ABC 【解析】 【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可． 【详解】当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为y =2x ，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y =k ，把点A （1，2）代入可得1-2=k ，或1+2=k ， 求得k =-1，或k =3，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=；综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．11.如图，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB CD ⊥，若平面SAD ⋂平面SBC l =，以下四个结论中正确的是( )A. //AD 平面SBCB. //l ADC. 若E 是底面圆周上的动点，则SAE △的最大面积等于SAB 的面积D. l 与平面SCD 所成的角为45° 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直线与平面的性质判断直线与平面平行，直线与直线的平行，三角形的面积的最值的求法，直线与平面所成角判断选项的正误即可．【详解】解：已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB CD ⊥，若平面SAD ⋂平面SBC l =，所以ABCD 是正方形．所以//AD BC ，BC ⊂平面SBC ，所以//AD 平面SBC ；A 正确； 因为l ，AD ⊂平面SAD ，l ，BC ⊂平面SBC ，//AD 平面SBC ，所以//l AD ；B 正确； 若E 是底面圆周上的动点，当90ASB ∠︒时，则SAE ∆的最大面积等于SAB ∆的面积； 当90ASB ∠>︒时，SAE ∆的最大面积等于两条母线的夹角为90︒的截面三角形的面积，所以C 不正确；因为//l AD ，l 与平面SCD 所成的角就是AD 与平面所成角，就是45ADB ∠=︒．所以D 正确； 故选：ABD ．【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查，属于中档题．12.已知,P Q 分别为圆M ：22(6)(3)4x y 与圆N ：22(4)(2)1x y ++-=上的动点，A 为x 轴上的动点，则||||AP AQ +的值可能是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】CD 【解析】 【分析】计算得到+AP AQ 的最小值为'12553MN，得到答案.【详解】圆22N (4)(2)1x y ：，关于x 轴对称的圆为圆'22N (4)(2)1x y ：，则+AP AQ 的最小值为'22121053553MN ，又38,9，故选：CD .【点睛】本题考查了圆相关长度的最值问题，计算+AP AQ 的最小值为3是解题的关键.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.已知两点(0,2),(2,2)M N -，以线段MN 为直径的圆的方程为________________. 【答案】22(1)5x y -+= 【解析】 【分析】先求出圆心的坐标和半径,即得圆的方程.【详解】由题得圆心的坐标为（1,0），=所以圆的方程为()2215x y -+=. 故答案为()2215x y -+=【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒，30α=︒，若山坡高为32a =，则灯塔高度是________.【答案】28 【解析】 【分析】作BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则AM BN =，AM DM ⊥，tan DM AM β=，tan DN BN α=，由40DM DN -=求得BN ，从而可得DM ，然后即得DC ．【详解】如图，BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则tan DN BN α=，tan DM AM β=，而BN AM=，所以tan tan BN BN hβα-=，即(tan 60tan 30)40BN ︒-︒=，40203tan 60tan 30BN ==︒-︒，所以tan 60tan 603220333228DC AM CM BN =︒-=︒-=⨯-=． 故答案为：28．【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式．15.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点E ，F ，G 分别是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是________________．【答案】90 【解析】【详解】连接11,B G B F ，由于11//A E B G ，所以1B GF ∠或其补角即为所求，115,2,3B F BG GF ===，满足22211B F B G GF =+，故190B GF ∠=． 故答案为：90°16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足sin 4sin 0a A b C -=，A 为锐角，则sin sin 2sin B CA+的取值范围为__________．【答案】,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】分析：由题意首先利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理得到不等式，求解不等式即可求得最终结果.详解：由40asinA bsinC -=结合正弦定理可得：24a bc =，且sin sin 2sin 2B C b cA a++=，A 为锐角，则：0cos 1A <<，即222012b c a bc +-<<，据此有：224012b c bcbc +-<<，22042b c bc bc <+-<，22628bc b cbc bc <++<，()268b c bc+<<，即()268161616b c bc +<<，()226816416b c a +<<22b c a ++<<，则2sinB sinC sinA +的取值范围为⎝⎭.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知直线310mx y m +--=恒过定点A .（Ⅰ）若直线l 经过点A 且与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程. 【答案】（Ⅰ）210x y --=；（Ⅱ）3x =或43150x y +-=. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出定点A 的坐标，设要求直线的方程为20x y n -+=，将点A 的坐标代入方程可求得n 的值，即可写出直线l 的方程（Ⅱ）分直线l 斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式即可得到答案【详解】直线310mx y m +--=可化为()310m x y -+-=，由3010x y -=⎧⎨-=⎩可得31x y =⎧⎨=⎩，所以点A 的坐标为()3,1.（Ⅰ）设直线l 的方程为20x y n -+=，将点A ()3,1代入方程可得1n =-，所以直线l 的方程为210x y --=, （Ⅱ）①当直线l 斜率不存在时，因为直线过点A ，所以直线方程为3x =， 符合原点到直线l 的距离等于3.②当直线l 斜率不存在时，设直线l 方程为31y kx k =-+，即310kx y k --+=因为原点到直线的距离为3，所以23131k k ，解得43k =-所以直线l 的方程为43150x y +-=综上所以直线l 的方程为3x =或43150x y +-=.【点睛】本题主要考查了直线的垂直关系的应用及直线方程的求法，点到直线的距离公式，主要分斜率存在和不存在两种情况讨论，属于基础题．18.如图，已知点C 是圆心为O 半径为1的半圆弧上从点A 数起的第一个三等分点，AB 是直径，1CD =，直线CD ⊥平面ABC .（1）证明：AC BD ⊥；（2）若M 为BD 的中点，求证：//OM 平面DAC ； （3）求三棱锥D ABC -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）36. 【解析】【分析】（1）由CD ⊥平面ABC ，可得CD AC ⊥.由题意可得AC BC ⊥，又CD BC C ⋂=，即证AC ⊥平面BCD ，即证AC BD ⊥；（2）由题意//OM AD ，根据线面平行的判定定理可得//OM 平面DAC ；（3）求出三角形ABC 的面积，又三棱锥D ABC -的高为线段CD 的长，根据锥体的体积公式，即求三棱锥D ABC -的体积.【详解】（1）证明：∵CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，. ∴CD AC ⊥.∵点C 在圆O 上，AB 是直径， ∴AC BC ⊥.又∵CD BC C ⋂=，∴AC ⊥平面BCD . 又∵BD ⊂平面BCD ，∴AC BD ⊥.（2）证明：∵M ，O 分别为DB ，AB 中点，∴//OM AD ， 又AD ⊂平面DAC ，OM ⊄平面DAC ，∴//OM 平面DAC .（3）点C 是圆心为O 半径为1的半圆弧上从点A 数起的第一个三等分点，60,AOC ∴∠=∴三角形AOC 是等边三角形，C ∴到AB 3∴三角形ABC 的面积1332222S =⨯⨯=，又CD ⊥平面ABC ，∴三棱锥D ABC -的高为1，1331326D ABC V -∴=⨯=三棱锥. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理和求三棱锥的体积，属于中档题.19.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B ；（2）若b =a c +的取值范围.【答案】（1）3π；（2）.【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理边化角公式得到2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，再利用三角恒等变换即可得到答案.（2）首先利用正弦定理得到2sin a A =，2sin c C =，将a c +转化为2sin 2sin a c A C +=+，利用三角恒等变换得到6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再求其取值范围即可.【详解】（1）因为2cos cos cos b B a C c A =+，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2B =， 由()0,B π∈，3B π=.（2）由题意可得：2sin sin a c A C ===，可得2sin a A =，2sin c C =.所以22sin 2sin 2sin 2sin 3a c A C A A π⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭3sin 6A A A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故a c +∈.【点睛】本题主要考查正弦定理得边化角公式，同时考查了三角函数恒等变换和值域问题，属于中档题.20.如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点.（1）求证：//BD EF ；（2）求证：平面//BMD 平面EFC ；（3）若1AB =，2BF =，求E 点到平面ACF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）43. 【解析】 【分析】(1)根据条件证明四边形BFED 为平行四边形即可. (2)设AC 与BD 交于点N ，则N 为AC 的中点，由三角形中位线的性质可得//MN 平面EFC ，由面面垂直的性质定理可得//BD EF ，则//BD 平面EFC .最后利用面面平行的判断定理可得平面//BDM 平面EFC .(3)连接,EN FN .由几何关系可证得AC ⊥平面BDEF ，且垂足为N ， 则11122223323A CEF NEF V AC S -=⋅⋅==△，由23E ACF A CEF V V --==，可求E 点到平面ACF 的距离.【详解】（1）证明：因为BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD 所以//BF DE 因为BFDE =所以四边形BFED 为平行四边形 所以//BD EF （2）证明：设AC 与BD 交于点N ，则N 为AC 的中点，MN 为ACE △的中位线， ∴//MN EC .∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴//MN 平面EFC .∵BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且BF DE =，∴//BF DE ，BFDE =，∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF . ∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴//BD 平面EFC . 又∵MNBD N =，∴平面//BDM 平面EFC ； （3）解：连接EN ，FN . 在正方形ABCD 中，AC BD ⊥， 又∵BF ⊥平面ABCD ，∴BF AC ⊥. ∵BF BD B ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF ，且垂足为N ，BF EF ⊥，1122222NEF S EF BF =⋅⋅==△∴11222333A CEF NEF V AC S -=⋅⋅==△， 由CF AF =，N 是AC 中点知，NF AC ⊥，在Rt FBN △中，2222232222FN BN FB ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭1132322222ACF S AC FN =⋅⋅=⨯⨯=△，因为23E ACF A CEF V V --==， 设E 点到平面ACF 的距离为h ，则11323323ACF S h h ⋅⋅=⨯⨯=△. 所以43h =. 【点睛】考查线线、面面平行的证明以及求点到平面的距离，等体积法是求点到平面距离的常用方法；中档题.21.如图，在某商业区周边有 两条公路1l 和2l ，在点O 处交汇，该商业区为圆心角3π，半径3km 的扇形，现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与1l ，2l 分别交于,A B ，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在1l ，2l 上.（1）设,OA akm OB bkm ==试用,a b 表示新建公路AB 的长度，求出,a b 满足的关系式，并写出,a b 的范围；（2）设AOT α∠=，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定,A B 的位置，使得新建公路AB 的长度最短.【答案】（1）()22221;,3,612a b a b ab a b +=+∈；（2）6πα=时取等号.此时23OA OB km ==时，新建公路AB 的长度最短.【解析】【详解】试题分析：（1）由余弦定理求出AB 的长，建立直角坐标系，写出直线AB 的方程，利用AB 与扇形弧相切d r =，得出,a b 的关系式，再写出,a b 的取值范围；（2）根据OT AB ⊥，求出,AT BT 的值，写出AB 的解析式，利用三角函数与基本不等式求出它的最小值.试题解析：（1）在AOB ∆中，,,3OA akm OB bkm AOB π==∠=；由余弦定理得：2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠ 222cos3a b ab π=+-22a b ab =+-；所以AB ；如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则()1,0,,22A a B b b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以直线AB的方程为()212b y x a b a =--()20a b y +-=；因为AB3=，即()22221;,3,612a b a b ab a b +=+∈. （2）因为OT 是圆O 的切线，所以OT AB ⊥.在Rt OTA ∆中，3tan AT α=，在Rt OTB ∆中，3tan 3BT πα⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以3tan 3tan 3AB AT TB παα⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭ 03πα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以，3tan AB α⎛==⎝， 设()1,1,4u u α=∈，则2422AB u u ⎫==+-≥=⎪⎭当且仅当2u =，即6πα=时取等号.此时OA OB ==时，新建公路AB 的长度最短.22.如图，圆C 与x 轴相切于点()1,0T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且||2AB =.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 作任一条直线与圆O ：221x y +=相交于M ，N 两点. ①求证：||||MA MB 为定值，并求出这个定值； ②求BMN ∆的面积的最大值. 【答案】（1）()(22122x y -+=（221；证明见解析②828【解析】 【分析】（1）由直线与圆相交，利用勾股定理构建方程求得半径，得答案；（2）①分类讨论MN k 是否存在，当MN k 存在时，可联立直线与圆的方程，进而确定1kx 的关系，利用斜率k 分别表示MA k ,MB k ，再利用弦长公式表示||,||MA MB ，作商并化简，得答案；当MN k 不存在时，M 为特殊位置，直接表示||,||MA MB ，作商，得答案；②利用点到直线的距离公式表示点B 到MN l 的距离，利用弦长公式表示MN ，最后表示所求BMN ∆的面积，借助换元法求得函数的最大值即可.【详解】（1）由题可知点()1,0T ，所以可以设圆心()1,C r因为||2AB =，所以由2221||12AB r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得r =(C所以圆C 的标准方程为()(2212x y -+=；（2）①证明：由（1）可得()1A，()1B 当MN k存在时，设:1MN l y kx =将直线和圆的方程联立：2211x y y kx ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得())2212120kxkx +++-=——Ⅰ设()11,M x y ，()22,N x y ，且20x >，那么1MA k k ==，112MB k k x ==-所以||||MA MB ====——Ⅱ由Ⅰ得)()222211112112k x k x kx +-+==-，将其代入Ⅱ化简可得||1||MA MB ； 当MN k 不存在时，显然M 为()0,1或()0,1-此时))11211MA MB ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩或))11112MA MB ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩则||1||MA MB- 21 - 综上所述：||||MA MB1②由题可知此时MN k必然存在，仍设:1MN l y kx =-则点B 到MN l 的距离为：d==由①可知Ⅰ式：())2212120kx k x +++-=则()()(22222141248kk k ⎡⎤=-+-=+⎣⎦所以MN=故1122BMN Sd MN ∆======令(]21,0,11t t k =∈+，则BMN S ∆=其内部函数开口向上，对称轴12t ==< 故当1t =时，max 8BMN S ∆==. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，涉及求圆的标准方程，过定点的弦长问题，还考查了平面中三角形面积的最值问题，属于难题.。
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无锡市大桥实验学校2019—2020学年度第二学期期中考试
高一数学试卷
2020．5
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．直线10x ++=的倾斜角是
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
2．已知m 为实数，直线l 1：10mx y +-=，l 2：(32)20m x my -+-=，若l 1∥l 2，则实数m 的值
A ．2
B ．1
C ．1或2
D ．0或13
3．过点A(1，﹣1)、B(﹣1，1)且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是 A ．2
2
(3)(1)4x y -++= B ．2
2
(3)(1)4x y ++-= C ．2
2
(1)(1)4x y -+-= D ．2
2
(1)(1)4x y +++= 4．在△ABC ，已知a cosA ＝b cosB ，则△ABC 的形状是
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若m ∥n ，n ∥α，则m ∥n B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n
C ．若α⊥β＝m ，n ⊂α，则n ⊥β
D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂
β，则α⊥β
6．已知直线10x y +-=与圆C ：2
2
(1)(2)3x y -+-=交于A ，B 两点，则弦AB 的长为
A ．1
B
C ．2
D ． 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ：b ：c ＝4：3：2，则2sin A sin B
sin 2C
-
＝ A ．
37 B ．57 C ．97 D ．107
8．已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积
为
433
π
，则该三棱柱的高为 A ．
32 B ．3 C ．4 D ．52
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项
中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．在△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若A ＝6
π
，2a =，c =，则角C 大小是 A ．
6π B ．3
π
C ．56π
D ．23π
10．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为 A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --= 11．如图，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，若
平面SAD I 平面SBC ＝l ．以下四个结论中正确的是 A ．AD ∥平面SBC B ．l ∥AD
C ．若E 是底面圆周上的动点，则△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积
D ．l 与平面SCD 所成的角为45°
12．P ，Q 分别为圆M ：2
2
(6)(3)4x y -+-=与圆N ：2
2
(4)(2)1x y ++-=上的动点，A
为x 轴上的动点，则AP AQ +的值可能是
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知两点M(0，2)，N(2，﹣2)，以线段MN 为直径的圆的方程为 ．
14．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为h ＝40的楼AB 的底部A 处和楼顶
B 处分别测得仰角为β＝60°，α＝30°，若山坡高为a ＝32，则灯塔高度是 ．
第11题 第14题
15．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、
CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是 ．
16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a sinA ﹣4b sinC ＝0，A 为
锐角，则
sin B sin C
2sin A
+的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
已知直线310mx y m +--=恒过定点A ．
（1）若直线l 经过点A 且与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程； （2）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程． 18．（本小题满分12分）
如图，已知点C 是圆心为O 半径为1的半圆弧上从点A 数起的第一个三等分点，AB 是直径，CD ＝1，直线CD ⊥平面ABC ．
（1）证明：AC ⊥BD ；
（2）若M 为BD 的中点，求证：OM ∥平面DAC ； （3）求三棱锥D —ABC 的体积．
19．（本小题满分12分）
设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b cosB ＝a cosC ＋c cosA ． （1）求B ；
（2）若b ，求a ＋c 的取值范围．
20．（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF ＝DE ，点M 为棱AE 的中点．
（1）求证：BD//EF ；
（2）求证：平面BMD ∥平面EFC ；
（3）若AB ＝1，BF ＝2，求E 点到平面ACF 的距离．
21．（本小题满分12分）
如图，在某商业区周边有两条公路l 1和l 2，在点O 处交汇；该商业区为圆心角
3
π
、半径3km 的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与l 1，l 2分别交于A ，B ，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在l 1，l 2上．
（1）设OA ＝a km ，OB ＝b km 试用a ，b 表示新建公路AB 的长度，求出a ，b 满足的关系式，并写出a ，b 的范围；
（2）设∠AOT ＝α，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定A ，B 的位置，使得新建公路AB 的长度最短．
22．（本小题满分12分）
如图，圆C 与x 轴相切于点T(1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且AB ＝2．
（1）求圆C 的标准方程；
（2）过点A 任作一条直线与圆O ：2
2
1x y +=相交于M ，N 两点．①求证：MA
MB
为定值，并求出这个定值；②求△BMN 的面积最大值．
参考答案
1．D 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．D 8．B 9．BD 10．ABC 11．ABD 12．CD
13．2
2
(1)5x y -+= 14．28 15．2
π
16．(42)
17．
18．
19．
20．
21．
22．。