7.2平面向量的加法、减法和数乘向量
数学教学教案设计
二、讲解新课
§7.2 平面向量的加法、减法和数乘向量 （一）平面向量的加法
1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.三角形法则（“首尾相接，首尾连”） 如图，已知向量a 、b .在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则
向量AC 叫做a 与b 的和，记作b a +，即b a +AC BC AB =+=，规定：
a a +=+00
注：两相向量的和仍是一个向量；
例1、已知向量a 、b ，求作向量a +b
作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=.
3.加法的交换律和结合律
１）向量加法的交换律：a +b =b +a
２）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )
（二）向量的减法
1.用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.
15分
钟
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讲授 讨论
A B
C a +b a +b a
a
b
b a ｂ ｂ
ａa。
平面向量的加减与数乘
平面向量的加减与数乘平面向量是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将讨论平面向量的加减与数乘运算，以及它们的性质和应用。
一、平面向量的表示平面向量可以用有序的数对表示，如向量AB可以表示为(AB)，其中A和B是向量的起点和终点。
另外，向量也可用坐标表示，如向量AB的坐标表示为(AB) = (x2 - x1, y2 - y1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是A和B的坐标。
二、平面向量的加法设有两个平面向量AB和CD，它们的起点分别为A和C，终点分别为B和D。
向量AB和CD的和为向量AD，即(AB) + (CD) = (AD)。
将向量AB平移到向量CD的起点，然后从起点画一条向量，这条向量就是向量AD。
三、平面向量的减法与向量的加法不同，向量的减法是通过减去一个向量得到另一个向量。
设有两个平面向量AB和CD，它们的起点分别为A和C，终点分别为B和D。
向量AB和CD的差为向量AC，即(AB) - (CD) = (AC)。
将向量CD平移到向量AB的起点，然后从起点画一条向量，这条向量就是向量AC。
四、平面向量的数乘平面向量的数乘是将向量的长度与一个实数相乘，从而改变向量的长度和方向。
设有一个平面向量AB和实数k，向量AB的数乘为k(AB)，即k乘以向量的长度。
当k>0时，数乘向量的方向与原向量相同；当k<0时，数乘向量的方向与原向量相反。
五、平面向量运算的性质1. 加法的交换律：对于任意的平面向量AB和CD，有(AB) + (CD) = (CD) + (AB)。
2. 减法的性质：对于任意的平面向量AB和CD，有(AB) - (CD) = (AB) + (-CD)，其中-CD是向量CD的相反向量。
3. 结合律：对于任意的平面向量AB、CD和EF，有(AB) + ((CD) + (EF)) = ((AB) + (CD)) + (EF)。
4. 数乘和加法的分配律：对于任意的实数k和平面向量AB、CD，有k((AB) + (CD)) = k(AB) + k(CD)。
平面向量的运算规则
平面向量的运算规则平面向量是研究平面上有大小和方向的量，常用于解决几何问题和物理问题。
为了对平面向量进行运算，我们需要了解平面向量的运算规则。
本文将介绍平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算规则，以及向量的共线性和平行性。
一、平面向量的加法规则对于平面上的两个向量A和A，它们的加法规则如下：A + A = A + A即向量的加法满足交换律。
二、平面向量的减法规则对于平面上的两个向量A和A，它们的减法规则如下：A - A≠ A - A向量的减法不满足交换律。
减法运算可以通过将减法转化为加法进行计算：A - A = A + (-A)其中，-A表示向量A的反向向量，即大小相等，方向相反。
三、平面向量的数乘规则对于平面上的向量A和一个实数A，它们的数乘规则如下：AA = AA即数乘满足交换律。
数乘后的向量与原向量大小相等，方向与原向量平行或反向。
四、平面向量的数量积规则平面向量的数量积又称为点积或内积。
对于平面上的两个向量A和A，它们的数量积规则如下：A·A = AA cosθ其中，A·A表示向量A和A的数量积，AA为A和A的模的乘积，θ为A和A之间的夹角。
根据数量积的定义，我们可以得到以下结论：1. 若A·A = 0，则A与A垂直，即A和A互相垂直。
2. 若A·A > 0，则A与A夹角为锐角。
3. 若A·A < 0，则A与A夹角为钝角。
五、平面向量的共线性和平行性对于平面上的两个向量A和A，它们的共线性和平行性判断规则如下：1. 共线性判断：若存在一个实数A，使得A = AA，则A与A共线，且方向相同或相反。
2. 平行性判断：若A与A共线且方向相同或相反，则A与A平行。
总结：平面向量的运算规则包括加法、减法、数乘和数量积。
其中，加法满足交换律，减法不满足交换律，数乘满足交换律。
数量积可以判断向量的垂直性和夹角的锐钝性。
同时，共线性和平行性的判断也是平面向量运算中的重要内容。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。
1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。
数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。
点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。
5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。
(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算
注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。
平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。
可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。
二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。
具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。
三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。
对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。
四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。
设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。
设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。
平面向量的加法与减法性质
平面向量的加法与减法性质平面向量是在平面内具有大小和方向的量，可以进行加法和减法运算。
平面向量的加法与减法性质是研究向量运算规律的重要内容。
一、平面向量的表示与加法1. 平面向量的表示平面向量通常用一个有向线段来表示，线段的长度代表向量的大小，箭头方向表示向量的方向。
用大写字母表示向量，例如 A、B、C。
2. 平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。
设有两个平面向量 A 和 B，A 的起点为 O，终点为 P，B 的起点为 P，终点为 Q，则向量 A+B 的起点为 O，终点为 Q，即 A+B 的表示是由 A 和 B 的起点连线和连接 A 的终点和 B 的起点的线段组成。
3. 平面向量的加法性质（1）交换律：A+B = B+A（2）结合律：(A+B)+C = A+(B+C)（3）零向量：对于任意向量 A，有 A+0 = 0+A = A，其中 0 为零向量，零向量的大小为 0，方向可以是任意方向。
二、平面向量的减法平面向量的减法运算可以转化为加法运算。
设有两个平面向量 A 和B，A 的起点为 O，终点为 P，B 的起点为 O，终点为 Q，则向量 A-B可以表示为向量 A 的起点为 O，终点为 Q，再将向量 B 倒转180°，起点为 Q，终点为 P，即 A-B = A+(-B)。
三、平面向量的性质1. 平面向量的加法性质（1）交换律：A+B = B+A（2）结合律：(A+B)+C = A+(B+C)（3）零向量：对于任意向量 A，有 A+0 = 0+A = A2. 平面向量的减法性质（1）减去一个向量等于加上该向量的相反向量：A-B = A+(-B)（2）零向量：对于任意向量 A，有 A-0 = A3. 平面向量的数乘性质平面向量的数乘运算是指将向量的大小和方向同时进行数倍的运算。
设有一个平面向量 A 和一个实数 k，则 kA 的大小为 |k|*|A|，方向与 A的方向相同（当 k>0）或相反（当 k<0）。
平面向量的基本运算知识点总结
平面向量的基本运算知识点总结平面向量是数学中一个重要的概念，它是具有大小和方向的量。
在代数表示中，可以使用向量的分量或坐标表示。
平面向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法和数量除法。
本文将对这些运算进行总结并给出相应的示例。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
设 A 和 B 分别为两个向量，则它们的和向量 C 的分量满足以下关系：Cₓ = Aₓ + BₓCᵧ = Aᵧ + Bᵧ示例：已知向量 A = (2, 3) 和 B = (4, -1)，求其和向量 C = A + B。
解：Cₓ = 2 + 4 = 6Cᵧ = 3 + (-1) = 2因此，C = (6, 2)。
二、向量的减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
向量的减法可以视为向量加法的逆运算。
设 A 和 B 分别为两个向量，则它们的差向量 C 的分量满足以下关系：Cₓ = Aₓ - BₓCᵧ = Aᵧ - Bᵧ示例：已知向量 A = (2, 3) 和 B = (4, -1)，求其差向量 C = A - B。
解：Cₓ = 2 - 4 = -2Cᵧ = 3 - (-1) = 4因此，C = (-2, 4)。
三、数量乘法数量乘法指的是将一个向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设向量 A 为一个向量，k 为一个实数，则数量乘法的结果向量 B 的分量满足以下关系：Bₓ = k * AₓBᵧ = k * Aᵧ示例：已知向量 A = (2, 3)，求其数量乘法的结果向量 B = 2A。
解：Bₓ = 2 * 2 = 4Bᵧ = 2 * 3 = 6因此，B = (4, 6)。
四、数量除法数量除法指的是将一个向量的每个分量都除以一个实数得到一个新的向量。
设向量 A 为一个向量，k 为一个非零实数，则数量除法的结果向量 B 的分量满足以下关系：Bₓ = Aₓ / kBᵧ = Aᵧ / k示例：已知向量 A = (4, 6)，求其数量除法的结果向量 B = A / 2。
向量的加减(4)
如图 7-26（2） ，向量-2 b 的长度是向量 b 的长度的 1.5 倍， 方向与向量 b 相反。 如图 7-26（3） ，以 O 为起点，分别作 OA =2 a， OB =3b， 连接 BA，则 BA = OA - OB =2a-3b。 例 7：计算：
（1） (3) 4a ； （2） 5(a b) 2(a b) ； （3） (a 4b 3c) (2a 3b 5c) 。 解： （1） (3) 4a (3 4)a 12a ； （2） 5(a b) 2(a b) 5a 5b 2a 2b 3a 7b ； （3）(a 4b 3c) (2a 3b 5c) a 4b 3c 2a 3b 5c a 7b 2c 。
老师完 善总结
四. 巩固练习
1、如图，已知向量 a，作向量 b，c，d，使 b=2 a，c=-3 a， d=3 a。
学生独 立 完 成、选 二人板 演
2、如图，点 C，D，E 将线段 AB 四等分，则： （1） AB =________ AD ； （2） AC =________ BD ； （3） AD =________ BC ； （4） AE =________ EB 。
教学重点
向量的数乘运算的定义。 平面向量的数乘运算的几何意义。
教学难点
更新、补 充、删节 内 容
课外作业
课本 48 页 习题 4；5 指导用书：35 页 A 5， ，B。2
教学后记
授课主要内容或板书
7.2 平面向量的加法、减法和数乘向量
3、平面向量的数乘运算 实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下： （1）| a |=| || a |。 （2）当 >0 时， a 与 a 方向相同；当 <0 时， a 与 a 方向相反；当 =0 时， a=0。 向量数乘满足下面的运算律： （1） (a) ( )a ； （2） ( )a a a ； （3） (a b) a b （ ， 为任意实数） 。 例6
向量及其加减法,向量与数的乘法
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
7.2-平面向量的加法、减法和数乘向量
a
交换律：
ab
总结： 向量的加法满足交换律与结合律。
ba
结合律：
a b c a b c
典例分析
例2：如图所示，已知 a， b，用向量加法的三角形 法则 作和向量a b。
a b
（1）
解析： 作AB a， BC b；
A B
C
a b AB BC AC
D O A B
C
练习3
如图所示，已知O是正六边形ABCDEF的中心， 则：
A F O E
（ 1 ） OA OC ______ OB ；
（2） BC EF ______ 0 ；
B
0 ； （ 3） OA FE ______
D C （4） AB BC CD DE EF FA ________ 0 。
（1）用向量加法的平行四边形法则作出 箭尾所受两个方向力F1、F2的合力F。 （2）如果力F1、F2的大小为100N，它 们的夹角为90°，则它们的合力F的大小 是多少？
典例分析
例3：如图所示，已知a， b，用向量加法的平行四边 形法则作和向量a b。
b
a
A
C
D
B
在平面内任取一点 A， 作AB b， AC a， 解： 以AC、AB为邻边作平行四边形 ABDC，
(3)b / / a(a 0)是b a成立的什么条件?
成立 充要
41
向量共线定理：
向量a (a 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1) a 为什么要是非零向量?