2020学年上海中学高二(上)期末数学试卷(附详解)

2020学年上海中学高二（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. “k <−1”是“方程

x 2k+3

+

y 22k+4

=1表示焦点在x 轴上的椭圆“的( )条件

A. 充分非必要

B. 必要非充分

C. 充分必要

D. 既非充分又非必要

2. 双曲线kx 2−y 2=1的一条渐近线与直线2x +y +1=0垂直，则此双曲线的离心

率是( )

A. √52

B. √32

C. 4√3

D. √5

3. 给出下列四个命题：

①若复数z 1，z 2满足|z 1−z 2|=0，则z 1=z 2；

②若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1⋅z 2=0； ③若复数z 满足z 2=−|z|2，则z 是纯虚数； ④若复数z 满足|z|=z ，则z 是实数， 其中真命题的个数是( )

A. 1个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4

4. 已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )

A. 2

B. 3

C. 17√2

8

D. √10

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 若复数(1+2i)z =3i −1，则|z|=______． 6. 抛物线y 2=x 的准线方程为______． 7. 椭圆x 2+3y 2=6的焦距是______．

8. 已知复数a ，b 满足集合{−a,b}={a 2,b +1}，则ab =______ 9. 计算：1+2i +3i 2+4i 3+⋯+10i 9=______．

10. 已知抛物线C ：y 2=4x ，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则|PQ|的

取值范围是______．

11. 已知P 为双曲线x 2−y 2=1右支上的一个动点，若点P 到直线y =x +2的距离大

12.平面上一台机器人在运行中始终保持到点P(−2,0)的距离比到点Q(2,0)的距离大2，

若机器人接触不到过点M(√3,3)且斜率为k的直线，则k的取值范围是______．

13.已知椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一

点，且∠F1PF2=π

3

，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为______．

14.已知一族双曲线E n：x2−y2=n

2019

(n∈N∗，且n≤2019)，设直线x=2与E n在第一象限内的交点为A n，点A n在E n的两条渐近线上的射影分别为B n，C n，记△A n B n C n 的面积为a n，则a1+a2+a3+⋯+a2019=______．

15.已知点P(0,1)，椭圆x2

4

+y2=m(m>1)上两点A，B满足，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．

16.已知椭圆G：x2

6+y2

b2

=1(0

分别为B1，B2，点P在椭圆C上，且满足|PF1|+|PF2|=|PB1|+|PB2|，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③|OP|的最小值为2；④|OP|最大值为√6，其中正确命题的序号是

______．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17.已知复数数z满足|z|2−2z−=7+4i，求z．

18.已知复数z=(2+i)m+2i

i−1

(其中i是虚数单位，m∈R)．

(1)若复数z是纯虚数，求m的值；

(2)求|z−1|的取值范围．

19. 假定一个弹珠(设为质点P ，半径忽略不计)的运行轨迹是以小球(半径R =1)的中心

F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5．

(1)求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；

(2)弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O 的距离是√13时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会发生碰撞．

20. 已知曲线C 的参数方程是{x =√2t

2+

√2

4t y =t −1

2t

(参数t ∈R)． (1)曲线C 的普通方程；

(2)过点A (2,1)的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

21.如图，由半圆x2+y2=1(y≤0)和部分抛物线y=a(x2−

1)(y≥0,a>0)合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲

线C经过点(2,3)．

(1)求a的值；

(2)设A(1,0)，B(−1,0)，过A且斜率为k的直线l与“羽

毛球形”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k使得

∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

22.已知椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)经过点M(1,√2

2

)，N(0,−1)，直线l：y=kx+m

与椭圆C相交于A，B两点，与圆x2+y2=2

3

相切与点T．

(1)求椭圆C的方程；

(2)以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点Q在椭圆C上，且满足OP

⃗⃗⃗⃗⃗ =λOQ

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O是坐标原点)，求实数λ的取值范围；

(3)线段|AT|⋅|BT|是否为定值，如果是，求|AT|⋅|BT|的值；如果不是，求|AT|⋅|BT|的取值范围．