图论讲义12 (1)

第八章独立集和团

§8.1 独立集

°独立集：设S是V的一个子集，若S中任意两个顶点在G中均不相邻，则称S为G的一个独立集。

°最大独立集：G的一个独立集S称为G的最大独立集，是说：G不包含适合S′>S的独立集S′。

°例子：(见图8.1)

°覆盖：G的一个覆盖是指V的子集K，使得G的每条边都至少有一个端点属于K。

°例子：在图8.1中，两个独立集都是覆盖的补集。

定理8.1：设S⊆V，则S是G的独立集当且仅当V\S是G的覆盖。证：按定义，S是G的独立集当且仅当G中每条边的两个端点都不同时属于S，即当且仅当G的每条边至少有一个端点属于V\S，亦即当且仅当V\S是G的覆盖。∎

°独立数：G的最大独立集的顶点数称为G的独立数，记为α(G)。°覆盖数：G的最小覆盖的顶点数称为G的覆盖数，记为β(G)。

推论8.1：α+β=υ。

证：设S是G的一个最大独立集，K是G的一个最小覆盖。由定理8.1，V\K是独立集，而V\S是覆盖。因此

υ−β=V\K≤α (8.1)

υ−α=V\S≥β (8.2)

结合8.1式和(8.2)式，即得α+β=υ。∎

°边覆盖：G的一个边覆盖是指E的一个子集L，使得G的每个顶点都是L中某条边的端点。

°边独立集：即对集。

*注意：边覆盖并不总是存在的，G有边覆盖，当且仅当δ>0。

°边独立数和边覆盖数：最大对集的边数称为边独立数，记作α′G;最小边覆盖的边数称为边覆盖数，记作β′(G)。

*注意：对集的补集不一定是边覆盖，边覆盖的补集也不一定是对集。定理8.2 (Gallai)：若δ>0,则α′+β′=υ。

证：设M是G的一个最大对集，U是M非饱和顶点集。由于δ>0且M是最大对集，所以存在|U|条边的一个集E′，它的每条边都和U 的每个顶点相关联。显然，M∪E′是G的边覆盖，因而

β′≤M∪E′=α′+υ−2α′=υ−α′

即α′+β′≤υ (8.3)

再设L是G的一个最小边覆盖，置H=G[L]，并且设M是H的一个最大对集。用U记H中的M非饱和顶点集。由于M是最大对集，所以H[U]没有连杆，从而

L−M=L\M≥U=υ−2|M|

又因为H是G的子图，所以M也是G的对集，从而

α′+β′≥M+L≥υ (8.4)

综合(8.3)式和(8.4)式，即得α′+β′=υ。∎

定理8.3：在δ>0的偶图G中，最大独立集的顶点数等于最小边覆盖的边数。

证：设G是δ>0的偶图。由推论8.1和定理8.2，有

α+β=α′+β′

由于G是偶图，从定理6.3推知α′=β,于是α=β′。∎

§8.2 Ramsey定理

例8.1：证明：任意6个人中，一定有3个人互相认识或有3个人互相不认识。

证明：作一个图G，有6个顶点，每个顶点代表一个人。任意两个顶点u和v之间有边，当且仅当u和v互相认识。本题即是要证明：G 中或者有3个顶点的团，或者有3个顶点的独立集。

我们构造6个顶点的完全图，两顶点u和v之间连红边表示u和v 认识，连蓝边表示u和v互相不认识。本题要证G中或者存在一个红色的三角形，或者存在一个蓝色的三角形。

由于在一个完全图K6中，每个顶点的度数为5，任取一点u，u或者至少与三条红色的边相关联，或者至少与三条蓝色的边相关联。不失一般性，设u与u1,u2,u3通过红色的边相邻。若u1,u2,u3中至少有两个顶点通过红色的边相邻(不妨设u1u2是红色边)，那么uu1u2u是一个红色三角形。否则，u1,u2,u3任意两点之间没有红色边，则u1,u2,u3构成一个蓝色三角形。证毕。

*本节仅讨论简单图。

·团：简单图G的一个团是指V中的一个子集S，使得G[S]是完全图。显然，S是G的团，当且仅当S是G c的独立集。G c是G的补图。*团和独立集的概念是互补的。若G没有大的团，则可以料想G有大的独立集。

Ramsey(1930)证明：给定任意正整数k和l后，总存在一个最小正整数r(k, l)，使得每个有r(k, l)个顶点的图，或者包含一个有k个顶点的团，或者包含一个有l个顶点的独立集。

容易看出：r1,l=r k,1=1 (8.5)

r2,l=l, r k,2=k (8.6)

·Ramsey数：r(k, l)称为Ramsey数。

定理8.4：对于任意两个整数k≥2和l≥2，有

r k,l≤r k,l−1+r k−1,l (8.7)

并且，若r k,l−1和r(k−1,l)都是偶数，则(8.7)式中的不等式严格成立。

证明：设G是有r k,l−1+r(k−1,l)个顶点的图，并设v∈V。以下分两种情形讨论：

(i)v和至少有r(k,l−1)个顶点的集S不相邻；或

(ii)v和至少有r(k−1,l)个顶点的集T相邻。

注意：情形(i)或(ii)中必有一个成立，因为与v不相邻的顶点数加上与v相邻的顶点数等于r k,l−1+r k−1,l−1。

在情形(i)中，G[S]包含k个顶点的团或是包含(l−1)个顶点的独立

集，所以G[S∪v]包含k个顶点的团或是包含l个顶点的独立集。类似地，在情形(ii)中，G[T∪v]中包含k个顶点的团或是包含l个顶点的独立集。由于情形(i)和(ii)必有一个成立，因此推出G包含k个顶点的团或是包含l个顶点的独立集。这就证明了(8.7)式。

现在假设r k,l−1和r k−1,l都是偶数，并且设G是有r k,l−1 +r k−1,l−1个顶点的图。由于G有奇数个顶点，由定理1.1的推论知，存在一个偶点v；特别地，v不能恰好与r k−1,l−1个顶点相邻。所以，不管情形(i)或情形(ii)哪个成立，G都包含k个顶点的团或是包含l个顶点的独立集。于是

r k,l≤r k,l−1+r k−1,l−1

成立。∎

*一般说来，确定Ramsey数是一个非常困难的尚未解决的问题，通过构作适当的图可以得到它的下界。(见图8.2)

由图8.2可知：

r3,3≥6 (8.8)

r3,4≥9 (8.9)

r3,5≥14 (8.10)

r4,4≥18 (8.11)

借助定理8.4和方程(8.6)，可以证明(8.8)式，(8.9)式，(8.10)式和(8.11)式的等式成立。由(8.7)式和(8.6)式，有