高三数学函数的极限
高三数学函数的极限(201911整理)
的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关
（x0可以不属于f(x)的定义域）
（2）lim f (x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
而
x
lim f
x(0x)、
lim
极限， xx0
x x0
f (x)
都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单侧
显然 lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处
的右极限，记作 lim f (x) a 。 x x0
4．常数函数f(x)0
注意：
（1）lim f (x) x x0
中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即
x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
时，函数f(x)的极限是a，记作 lim f (x) a 或当x→x0时
f(x)→a。
xx0
2．当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数
f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的
左极限，记作 lim f (x) a。
x
x
0
3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时，
1. 对于函数极限有如下的运算法则：
如果 lim f (x) A, lim g(x) B
xxo
xxo
那么
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
f (x) A
lim
(B 0)
xxo g ( x) B
高中数学中的极限运算知识点总结
高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。
本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。
一、极限的概念1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。
即极限是函数在某一点附近的局部性质。
2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。
3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。
二、极限的性质1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。
2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。
3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。
4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。
三、极限的计算方法1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。
2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。
四、常用的极限运算知识点1. 常用极限：- sinx/x的极限lim(x→0) = 1；- a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。
2. 极限的四则运算：- 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）；- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积；- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。
3. 极限的复合运算：- 实数函数与数列的极限运算；- 函数的函数与数列的极限运算。
五、极限的实际应用极限在数学、物理、经济等学科中具有广泛的应用，常见应用包括：1. 利用极限的概念和性质，推导出数学中的重要定理和公式；2. 在物理学中，通过极限，可以计算出物体在某一瞬间的速度、加速度等相关信息；3. 在经济学中，通过极限，可以计算出市场需求、供应等相关指标。
高考数学中的极限及相关概念
高考数学中的极限及相关概念在高考数学中，极限是一项非常重要的概念。
极限的定义是指当自变量无限接近某一固定值时，函数的取值趋近于某一固定值，这个固定值即为极限。
为了更好地理解极限及其相关概念，本文将从以下几个方面进行分析。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值趋近于某一特定值。
例如，当x趋近于1时，y趋近于2。
在高考数学中，函数的极限是非常重要的，因为它可以帮助我们确定函数的性质，从而更好地处理一些复杂的问题。
二、左极限和右极限左极限和右极限是指在函数存在极限的情况下，自变量趋近于这个极限时，函数的取值分别从左侧和右侧趋近于极限。
例如，当x趋近于2时，y趋近于3，此时左极限为3，右极限也为3。
在实际问题中，左极限和右极限的概念经常被用来描述物理或经济现象中的变化规律。
三、连续性连续性是指当自变量在某一固定点上发生微小变化时，函数的取值也随之发生微小变化。
具体来说，如果函数在某一固定点上的极限存在，并且等于函数在这一点上的取值，那么这个函数就是连续的。
连续性是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地研究函数的变化规律。
四、无穷大与无穷小无穷大与无穷小是指当自变量趋近于某一固定值时，函数的取值趋近于无穷大或无穷小。
在实际问题中，我们经常需要讨论物理或经济现象中的最大值或最小值，因此无穷大与无穷小的概念也是非常重要的。
结语本文从四个方面论述了高考数学中的极限及其相关概念。
在实际应用中，极限与微积分、微分方程等数学学科密切相关，掌握极限及其相关概念是现代数学研究的基础。
希望读者在阅读本文后能够更好地理解极限及其相关概念，从而更好地应对高考数学考试。
《高数13函数的极限》PPT课件
若当xx0时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫
做函数f(x)当xx0时的左极限 记为
•精确定义
lim
x x0
f (x) A 或f(x0)A
.
lim
x x0
f
(x)
Ae
0
d
0
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
注: xx0 有时也记为 x x0 ,
xx0+ 有时也记为x+x0.
x0
x0
x0 x
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
类似地可定义右极限:
lim
x x0
f (x)
A或f ( x0 )
A.
•结论
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
14
下页
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
1
sin
lim n
1 n 1,
n
同理
lim
n
n sin
1 1, n
lim
n
n2 n
1
sin
n n2
1
1
27
注: 1. 可利用函数的极限,求数列的极限;
2. 由 子 列 极 限 不 存 在 或 不相 等 函数极限不存在.
例10 证明 limsin 1 不存在.
x0
x
分析:
limsin 1 a
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
播放
17
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
高中数学函数的极限与连续性
高中数学函数的极限与连续性函数的极限与连续性是高中数学中重要的概念和考点。
极限可以帮助我们研究函数的发展趋势，而连续性则是用来描述函数图像的断点情况。
本文将重点讨论高中数学中函数的极限和连续性的概念及其相关性质。
一、函数的极限在高中数学中，函数的极限可以用来描述自变量趋近于某一个值时，函数值的趋近情况。
具体来说，对于函数 f(x)，当自变量 x 趋近于 a 时，函数值 f(x) 是否趋近于某一个常数 L，即 f(x) 的极限是否存在，可以用下式来表示：lim(x->a) f(x) = L要判断一个函数是否存在极限，我们一般通过计算极限的定义式来进行求解。
也可以利用一些常见的极限公式来简化计算。
例如，对于多项式函数，当 x 趋近于无穷大时，其极限值为无穷大或负无穷大。
而对于指数函数或对数函数，其极限值也有特定的性质。
二、极限的性质函数的极限具有一些重要的性质，我们可以通过这些性质来简化函数极限的计算。
下面是一些常见的极限性质：1. 唯一性：函数的极限只有一个极限值，即不管自变量趋近于某个值的方向如何，函数值都会趋近于同一个常数。
2. 局部有界性：如果函数 f(x) 在某一点 a 的附近有极限存在，则函数在 a 的某个邻域内有界。
3. 保号性：如果函数 f(x) 在某一点 a 的附近有极限存在，而且极限值不为零，那么函数在a 的邻域内要么始终大于零，要么始终小于零。
4. 四则运算：如果 f(x) 和 g(x) 在某一点 a 的附近有极限存在，则f(x) ± g(x)、f(x) × g(x)、f(x)/g(x) 也在 a 的附近有极限存在，并且这些运算的结果等于各自的极限值进行相应的运算。
三、函数的连续性函数的连续性描述了函数图像的断点情况。
如果函数在某一点 a 处连续，则在 a 处的函数值等于函数的极限值。
具体来说，函数 f(x) 在点 a 处连续的条件为：1. 函数 f(x) 在点 a 处存在。
高三数学重点难点函数的极限
第三节 函数的极限一、知识归纳 1、知识精讲：1）当x →∞时函数f(x)的极限:当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+∞→)(lim ,(或x →+∞时,f(x)→a)当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =-∞→)(lim ,(或x →-∞时,f(x)→a)注：自变量x →+∞和x →-∞都是单方向的，而x →∞是双向的，故有以下等价命题=+∞→)(lim x f x a x f x =-∞→)(lim ⇔a x f x =∞→)(lim2）当x →x 0时函数f(x)的极限:当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x ≠x 0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于x 0时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x x =→)(lim 0,(或x →x 0时,f(x)→a)注：a x f x x =→)(lim 0与函数f （x ）在点x 0处是否有定义及是否等于f （x 0）都无关。
3）函数f(x)的左、右极限:如果当x 从点x=x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。
就说a 是函数f(x)的左极限，记作a x f x x =-→)(lim 0。
如果当x 从点x=x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。
就说a 是函数f(x)的右极限，记作a x f x x =+→)(lim 0。
注：=-→)(lim 0x f x x a x f x x =+→)(lim 0⇔a x f x x =→)(lim 0。
并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。
注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限≠-→)(lim 0x f x x )(lim 0x f xx +→； ②0x x→时，()±∞→x f ，③0x x →时，()→x f 的值不唯一。
高等数学 函数的极限课件
无穷小的运算性质
加法性质
两个无穷小的和仍然是无穷小 。
乘法性质
两个无穷小的乘积仍然是无穷 小。
幂运算性质
无穷小的幂仍然是无穷小，但 需要注意其阶数变化。
复合函数的无穷小
复合函数的无穷小可以通过链 式法则进行计算。
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函数极限的运算性质
和差运算性质
如果$lim_{xto x_0} f(x)=A$且 $lim_{xto x_0} g(x)=B$，则 $lim_{xto x_0} [f(x)+g(x)]=A+B$。
乘积运算性质
如果$lim_{xto x_0} f(x)=A$且 $lim_{xto x_0} g(x)=B$，则 $lim_{xto x_0} [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
利用函数极限求某些函数的值
求定积分
通过计算被积函数的上下限在积分区 间的极限，可以求得定积分的值。
求数列的通项公式
通过求解数列的递推公式的极限，可 以求得数列的通项公式。
利用函数极限研究函数的性质
函数的连续性
通过计算函数在某点的极限，可以判断函数在该点是否连续。
函数的可导性
通过计算函数的导数在某点的极限，可以判断函数在该点是否可导。
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) + g(x)] = A + B 。
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) × g(x)] = A × B 。
函数极限的直观定义
如果当$x$趋近于$x_0$时，函数$f(x)$的取值逐渐 接近某个确定的数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在 $xto x_0$时的极限。
高中数学函数极限的概念及相关题目解析
高中数学函数极限的概念及相关题目解析在高中数学中，函数极限是一个重要的概念。
它不仅在高中数学中占有重要地位，而且在大学数学中也是一个基础和重要的概念。
理解和掌握函数极限的概念对于学生们来说至关重要。
本文将从函数极限的定义、性质以及相关题目解析等方面进行讲解，帮助高中学生和家长更好地理解和应用函数极限。
一、函数极限的定义函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体来说，对于函数f(x)，当x趋于无穷大或者某个特定值a时，如果存在一个常数L，使得当x趋于无穷大或者a时，f(x)趋于L，那么我们就称函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限为L。
二、函数极限的性质1. 函数极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是唯一的。
2. 函数极限的有界性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是有界的。
3. 函数极限的保号性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在且大于（或小于）0，那么它的函数值在某个邻域内都大于（或小于）0。
三、函数极限的计算方法在计算函数极限时，我们常常会遇到一些特殊的极限形式，如0/0、无穷大/无穷大等。
下面通过具体的题目来说明函数极限的计算方法。
例题1：计算极限lim(x→0)(sinx/x)。
解析：当x趋于0时，sinx/x的极限形式为0/0，这是一个不定型。
我们可以利用泰勒展开或洛必达法则来计算这个极限。
首先，我们可以使用泰勒展开将sinx 展开成x的幂级数，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...，那么sinx/x=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。
当x趋于0时，高次项的幂都趋于0，因此我们只需要保留x的一次幂的项，即lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(1)=1。
例题2：计算极限lim(x→∞)(x/(x+1))。
解析：当x趋于无穷大时，x/(x+1)的极限形式为∞/∞，这也是一个不定型。
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Hale Waihona Puke