第3课椭圆的几何性质
第3课 椭圆的几何性质
教学目标
1．掌握椭圆的简单的几何性质；
2．感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法；
3．能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题． 教学重点
椭圆的几何性质及其应用 教学过程 一、建构数学 椭圆的几何性质 1．范围
由方程x 2a 2+y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）可知，椭圆上的点的坐标(x ，y )满足x 2a 2＝1－y 2
b 2≤1，即x 2≤a 2，故|x |≤a ．
同理可得|y |≤b ．
这说明椭圆位于x =±a 和y =±b 所围成的矩形内．（基本矩形） 注意：画椭圆先画基本矩形！ 2．对称性
在椭圆的标准方程中，把x 换成－x ，或把y 换成－y ，或同时把x ，y 分别换成－x ，－y 时方程不变．所以椭圆关于y 轴，x 轴和原点对称．坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 3．顶点
在椭圆的标准方程中，令x =0，得y =±b ，说明点B 1(0，－b )，B 2(0，b )是椭圆与y 轴的两个交点.同理，点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)是椭圆与x 轴的两个交点．这四个点是椭圆与对称轴的交点，成为椭圆的顶点．
线段A 1A 2，B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长．
思考：已知椭圆的长轴A 1A 2和短轴B 1B 2，怎样确定椭圆的焦点位置？ 4．离心率
我们把焦距与长轴长的比c a 叫做椭圆的离心率．用e 表示．即e ＝c
a ．且e ∈(0，1)．
分析离心率是用来刻画椭圆扁平程度的依据的道理（略）． 对于焦点在x 轴上的椭圆的性质，可类比研究． 二、数学应用
例1 求椭圆x 225+y 2
9＝1的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
例2（1）设P 为椭圆x 2a 2+y 2
b
2=1(a ＞b ＞0)上任意一点，F 1为其左焦点，求PF 1的最大值和最小值．
（课本练习题变式）
（2）在椭圆x 225+y 2
5=1上求一点，使这点与两焦点的连线互相垂直．
提示：（1）设P (x 1，y 1)，则PF 1＝…＝a +c
a
x 1＝a +ex 1；
（2）设P (x 1，y 1)，则(a +c a x 1)2＋(a －c a x 1)2＝4c 2，… ，所求点的坐标为(±532，±5
2
)．
练习：椭圆x 29+y 2
4
＝1的焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上运动．
（1）求证：当点P 横坐标为0时，∠F 1P F 2最大．
（2）当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的变化范围为 ． (－355，35
5
)
例3 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）F 2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最远的点）距地面2384km ，AB 是椭圆的长轴，地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程．（课本33页例2）
例4 设动点P 到点F (1，0)的距离与到直线x =9的距离的比为1
3，求点P 的轨迹方程．
答案： x 29+y 2
8=1
说明：
（1）本题的椭圆中，a =3，b =22，c =1，从而e =1
3，F (1，0)恰为椭圆的右焦点，而直线x ＝9
可写成x = a 2
c
，这条直线称为椭圆的（相应于右焦点的右）准线．
（2）本题说明，椭圆上的点到焦点距离与到相应的准线距离之比为离心率．
（3）一般地，椭圆x 2a 2+y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）准线方程为x ＝±a 2c ．椭圆y 2a 2+x 2
b 2＝1（a ＞b ＞0）准线方
程为y =±a 2
c
．
（4）动点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e （0＜e ＜1）时，动点的轨迹为椭圆． 例5 根据下列条件求出椭圆的标准方程：
（1）长轴是短轴长的2倍，一条准线方程是x =-4；
（2）以短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形是正三角形，且焦点到椭圆的最短距离为3．
答案：（1）x 212+y 23=1；（2）x 212+y 29=1或x 29+y 2
12
=1
例6 已知椭圆x 24+y 2
3＝1内有一点P (1，－1)，F
例7 P 是椭圆x 2a 2+y 2
b 2＝1（a ＞b ＞0）的第一象限内的弧AB 上的点，当四边形OAPB 面积最大时，P
点的坐标是 ．
提示：设P (a cos θ，b sin θ)，且0＜θ＜π
2，则S OAPB =12ab ( cos θ+sin θ)， P (22a ，22b )．
例8 已知P 在椭圆4x 2+9y 2＝36上，求点P 到直线l ：x +2y +15=0的距离的最大值和最小值． 答案：d min =25，d max ＝45
例9 M 为椭圆x 2a 2+y 2
b 2＝1（a ＞b ＞0）上的任意一点（非短轴端点），若M 与短轴的两个端点B ，B '的
连线分别交x 轴与P ，Q ，求证：OP ?OQ 为定值．
提示：设M (a cos θ，b sin θ)，θ≠k π+π
2
，……
例10 在椭圆x 28+y 2
4
=1上求一点P ，使它到定点Q (0，1)的距离最大．
例11已知椭圆x 216+y 2
9＝1的上顶点为C ，右顶点为A ，点B ，D 分别是椭圆上第一象限和非第一象限
的动点，求四边形ABCD 面积的最大值． 提示：（两种方法：参数法，平行线间距离） 例12 （一组求离心率题）
（1）已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取
值范围是 ． （2）在平面直角坐标系中，椭圆22
22x y a b +=1（a b >>0）的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的
圆，过点2
(,0)a c
作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．2
（3）已知椭圆22
22x y a b
+=1（a b >>0）的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是 ．
解：对于椭圆，因为2AP PB =，则OA ＝2OF ，∴a ＝2c ，∴e ＝
1
2
． （4）过椭圆22
22x y a b
+=1（a b >>0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2
＝60?，则椭圆的离心率为 ．
解：因为P (－c ，±2b a )，再由∠F 1PF 2＝60?有2
32b a a
=，从而可得e ． （5）已知椭圆22
22x y a b
+=1（a b >>0）的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上存在
一点P 使
1221
sin sin a c
PF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
答案：－1，1)
解：因为在△F 1PF 2中，由正弦定理得
211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，∴21
a c
PF PF =
，即aPF 1＝cPF 2， 设点P (x 0，y 0)由焦点半径公式，得PF 1＝a+ex 0，PF 2＝a －ex 0则a (a+ex 0)＝c (a －ex 0)，∴x 0＝
(1)
(1)
a e e e -+，
∵x 0＞－a ，∴
(1)
(1)
a e e e -+＞－a ，∴e 2+2e －1＞0，∴2－1＜e ＜1．
（6）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆22
22x y a b
+=1（a b >>0）的四个顶
点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 . 解：直线A 1B 2的方程为：
1x y a b +=-，直线B 1F 的方程为：1x y
c b
+=-． 二者联立解得T (2ac a c -，()b a c a c +-)，则M (ac
a c -，()2()
b a
c a c +-)在椭圆2
2
22x y a b
+=1（a b >>0）上，
∴22
22
()1()4()
c a c a c a c ++=--，即c 2+10ac －3a 2＝0，∴e 2+10e －3＝0，∴e ＝7－5． 例13设椭圆C ：x 2a 2+y 2
b 2＝1（a ＞b ＞0）的长轴两端点为A '，A ，若椭圆上存在一点M ，使∠A 'MA ＝
120?，试求椭圆的离心率e 的取值范围．
分析：本题即为存在椭圆与⊿A 'MA 外接圆⊙C 有交点．
解：根据对称性不妨设M 在x 轴上方.设⊿A 'MA 外接圆⊙C 与y 轴交点为D ，则∠A 'DA ＝120?，∴⊿ACD
为正三角形．⊙C ：x 2+(y +
3a 3)2＝4a 2
3
， 与椭圆方程联立，消去x 得(y +3a 3)2－a 2y 2=1
3
a 2
b 2
即：233 a b 2y ＝c 2y 2，∴y ＝23ab 2
3c 2，∵y ≤b ，即2
3ab 2
3c 2≤b ， ∴4a 2b 2≤3c 4，即：4 a 2(a 2－c 2)≤3c 4， ∴4(1－e 2) ≤3e 4，∴e 2≥23，∴e ∈[6
3
，1)．
法二：椭圆与⊿A 'MA 外接圆⊙C 有交点，当且仅当∠A 'BA ≥120?（B 为短轴的一端点）， ∴
3a
a
≥e 2≥23，∴e ∈[63，1)． 例14 已知椭圆x 22
+y 2
＝1，求：
（1）斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
（2）过A (2，1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （3）过点P (12，1
2
)且被P 平分的弦所在的直线方程．
? x
y M
A
A '
C O
D
解：设弦的两端点为M (x 1
，y 1
)，N (x 2
，y 2
)，MN 的中点P (x ，y )则有?
??
?
?x 12+2y 12=2， ①x 22+2y 22=2， ②x 1+x 2=2x ， ③
y 1+y 2=2y ， ④y 2- y 1
x 2- x 1
=2 ⑤
（1）由②－①得(x 2－x 1) (x 2+x 1)+2(y 2－y 1) (y 2+y 1)=0，⑥
由③、④得y 2－y 1x 2－x 1
＝－x
2 y ，由⑤得所求轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分）．
（2）由y 2－y 1x 2－x 1＝y －1x －2，又y 2－y 1x 2－x 1
＝－x 2 y ，∴－x 2 y ＝y －1
x －2．
∴所求轨迹方程为x 2+2y 2－2x －2y =0（椭圆内部分）．
（3）由题意???x 1+x 2=1，y 1+y 2=1代入⑥得y 2－y 1x 2－x 1
＝－12．∴所求的直线方程为y －12=－12 (x －1
2)，
即2x +4y －3=0．
例15若椭圆3x 2+4y 2＝12上有不同的两点关于直线y ＝4x +m 对称，求m 的取值范围．
解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)线段AB 的中点P (x 0，y 0)．则有?
??3x 12+4y 12=12， ①
3x 22+4y 22=12， ②
x 1+x 2=2x 0， ③y 1+y 2=2y 0， ④
，
②－①得，3(x 1－x 2) (x 1+x 2)+4(y 1－y 2)(y 1+y 2)=0，③、④代入得y 1-y 2 x 1-x 2＝－34?x 0
y 0
．
又由的中垂线y ＝4x +m 知，k AB ＝－1
4，∴y 0＝3x 0代入y 0＝4x 0+m 得???x 0＝－m ，y 0＝－3m
，
又P (－m ，－3m )在椭圆内部，∴3(－m )2+4(－3m )2＜12，∴－21313＜m ＜213
13．
解法二：设椭圆上关于直线y =4x +m 对称的两点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
则可设AB 的方程为y =－1
4
x +t ，由???y =－14x +t ，3x 2+4y 2=12
得13x 2－8tx +16t 2－48=0，
∴△＝(－8t )2－4×13×(16t 2－48)＞0，即12 t 2＜39 ①，且 12(x 1+x 2)＝4
13t ．
∵ 12(y 1+y 2)＝(－14x 1 +t －14x 2 +t )＝t －18(x 1+x 2)＝12
13
t ， ∵AB 的中点(12(x 1+x 2)，12(y 1+y 2))即(413t ，12
13t )在直线y =4x +m 上，
∴1213t ＝4×413t +m 即t ＝－13
4
m ． ② ②代入①得12(－134m )2＜39，解得m 2＜413，即－21313＜m ＜21313．
一组课本习题
1．求下列椭圆的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标：
（1）16x 2+25y 2=400；（2）4x 2+y 2=16． 2．根据下列条件，求椭圆的方程：
（1）中心在原点，焦点在x 轴上，长轴、短轴的长分别为8和6； （2）中心在原点，一个焦点的坐标为(0，5)，短轴长为4； （3）对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率为0.6；
（4）中心在原点，焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1； 3．下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？
（1） 4x 2
+9y 2
=36；（2）x 225+y 220=1；（3）9x 2+4y 2
=36；（4）x 212+y 2
16
=1．
4．若椭圆x 2a 2+y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）过点（3，－2），离心率为3
3，求a ，b 的值．
5．设F 是椭圆的一个焦点，B 1B 是短轴，∠B 1FB ＝60?，求椭圆的离心率． 6．讨论下列椭圆的范围，并描点画出图形：
（1）x 24+y 2
3
=1；（2）4x 2+y 2=1．
7．判断下列方程所表示的曲线是否关于x 轴，y 轴或原点对称：
（1）3x 2+8y 2=20；（2）x 2
－y 2
3＝1；（3）x 2＋2y =0；（4）x 2＋2xy +y =0．
8．已知椭圆的方程为x 29－k +y 2
k －1
＝1，求满足下列条件的k 的取值范围：
（1）椭圆的焦点在x 轴上； （2）椭圆的焦点在y 轴上．
9．已知椭圆中心在原点，长轴在坐标轴上，离心率为
5
3
，短轴长为4，求椭圆的方程． 10．已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，求椭圆的离心率． 11．已知点M 与椭圆x 2132+y 2
122=1的左焦点和右焦点的距离之比为2︰3，求点M 的轨迹方程．
12．如图，A ，A '，B 分别是椭圆顶点，从椭圆上一点P 向x 轴作垂线，垂足为焦点F ，且AB ∥OP ，F A '＝10－5，求椭圆的方程．
13．把矩形的各边n 等份，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？
1．椭圆的右焦点将长轴分成3︰2两段，则椭圆的离心率为 ．
2．椭圆的两焦点和中心将两准线间的距离四等份，则一焦点与它的短轴两端点连线的夹角是 ．
3．椭圆x 2m 2+y 2
(m-1)2＝1的准线平行于x 轴，则m 的取值范围是 ．
4．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =
2
2
，一个顶点为(0，5)，则适合上述条件的椭圆有 ． 5．椭圆x 2k +8+y 29＝1的离心率e =1
2
，则k = ．
6．椭圆x 225+y 29＝1上有一点，它到左准线的距离等于5
2 ，则P 到右焦点的距离为 ．
7．直线y =kx+1与椭圆x 25+y 2
m
＝1恒有交点，则m 的取值范围为 ．
8．若椭圆
221(,0)x y m n m n
+=>的离心率为12，一个焦点恰好是抛物线28y x =的焦点，则椭圆的标准方程为 ．x 216+y 2
12
＝1
9．椭圆x 2a 2+y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率e ＝1
2，右焦点F (c ，0)，方程ax 2+bx +c ＝0的两个根分别为x 1，
x 2，则点P (x 1，x 2)与圆x 2+y 2＝2的位置关系是 ．点P 在圆内
10．椭圆x 2a 2+y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22
3)，且a=3b ，则a ＝ ；b ＝ ．3；1
11．α∈(0，π
2)，方程sin α?x 2+cos α?y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为 ．
(0，π4
)
12．如果椭圆的两个焦点为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，P 是椭圆上的一点，且PF 1，F 1F 2，PF 成等差数
列，则椭圆的方程为 ．x 24+y 2
3
＝1
13．若椭圆x 2a 2+y 2
b
2＝1（a ＞b ＞0）中的基本量b ，c 是方程x 2－7x +12=0的两根，则该椭圆方程为 ．
x 225+y 216＝1或 x 225+y 2
9
＝1 14．设P 是椭圆x 25+y 2
25 =1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1与PF 2的差的
绝对值是 ．215
15．已知点P (3，4)在椭圆x 2a 2+y 2
b 2＝1（a ＞b ＞0）上，则以P 为顶点的椭圆的内接矩形P ABC 的面积
为 ．48 16．已知椭圆的两个焦点为F 1(-22，0)，(22，0)，过F 1且不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于M ，N 点，如果⊿MNF 2 的周长为12，求这个椭圆的方程．
17．设点M (m ，0)在椭圆x 216+y 2
12＝1的长轴上，点P 是椭圆上任意一点. 当MP 的模最小时，点P 恰
好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．
解：设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216+y 2
12
＝1，故－4≤x ≤4．
∵MP ＝(x －m ，y )，
∴MP 2
＝(x －m )2
+y 2
=(x －m )2
+12×(1－x 2
16
)
2222312)4(4
1
12241m m x m mx x -+-=++-=
． 依题意可知，当4=x 时，MP 2取得最小值．而[]4,4x ∈-， 故有44≥m ，解得1≥m ．
又点M 在椭圆的长轴上，即44≤≤-m . 故实数m 的取值范围是]4,1[∈m ．
18．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的焦距为2，两准线间的距离为10．设A (5，0)，B (1，0)．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点A 作直线与椭圆C 只有一个公共点D ，求过B ，D 两点，且以AD 为切线的圆的方程； （3）过点A 作直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点S ． 若→AP =t →AQ （t ＞1），求证：→SB =t →
BQ ．
（1）设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）．依题意得：222,
210,c a c
=???=??，得1,
5,c a =???=??
∴2
4b = 所以，椭圆的标准方程为22
154
x y +=．
（2）设过点A 的直线方程为：(5)y k x =-，代入椭圆方程22
154
x y +=得：
2222
(45)50125200k x k x k +-+-= （*）
依题意得：△＝0，即(50k )2－4(4+50k 2)(125k 2－20)=0得k 5，且方程的根为x ＝1， ∴D (1±45
)． 当点D 位于x 轴上方时，过点D 与AD 垂直的直线与x 轴交于点E ，直线DE 的方程是y 45
5(x －1)，∴E (
1
5
，0)， 所求圆即为以线段DE 为直径的圆，故方程为(x －
35)2+( y 25)2＝2425
．
同理可得：当点D 位于x 轴下方时，圆的方程为：(x －
35)2+( y 25)2＝2425
．
（3）设11(,)P x y ，22(,)Q x y 由AP =t AQ 得：12125(5)x t x y ty -=-??=?，代入22
1122
221,54
1
5
4x y x y ?+=????+=?? 1223
32
x t t x t =-+??
∴?-=??
（﹡﹡） 要证SB =tBQ ，即证12121(1)(2)
x t x y ty -=-(1)??=?
由方程组（**）可知方程组（1）成立，(2)显然成立．∴→SB =t →BQ ．
19．设椭圆x 2a 2+y 2
b 2＝1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，椭圆C 上两点P ，Q 在x 轴上的射影分别为左焦点
F 1和右焦点F 2，直线PQ 的斜率为3
2
，过点A 且与AF 1垂直的直线与x 轴交于点B ，△AF 1B 的外接圆为圆M ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线与圆M 相交于E ，F 两点，且212
ME MF a ?=-，求椭圆方程；
（3）设点N (0，3)在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于62，求椭圆C
的短轴长的取值范围．
解：（1）由条件可知P (－c ，－2b a )，Q (c ，2b a )，因为23
=PQ k ，所以=e 12
．
（2）由（1）可知，c b c a 3,2==，所以()
()()0,3,0,,3,01c B c F c A -，从而()0,c M ．半径为a ， 因为212ME MF a ?=-，所以∠EMF ＝120?，可得：M 到直线距离为2
a ． ∴c ＝2，所以椭圆方程为：x 216+y 2
12
＝1；
（3）因为点N 在椭圆内部，所以b ＞3，设椭圆上任意一点为K (x ，y )． 则KN 2＝x 2+(y －3)2 ≤(62)2．
由条件可得：y 2+18y －4b 2+189≥0对任意y ∈[－b ，b ]（b ＞3）恒成立， ∴22
9,
()18()41890
b b b b -≤-??
-+--+≥?或22
9,
(9)18(9)41890
b b ->-??
-+--+≥?，
解之得2b ∈(6，122－6]．
20．如图，F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的一个焦点，A,B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为1
2．点
C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线l 1：330x y ++=相切． （1）求椭圆的方程；
（2）过点A 的直线l 2与圆M 交于PQ 两点，且
2MP MQ ?=-，求直线l 2的方程．
解：（1）F (-c ，0)，B (0,a 3)，∵k BF =3，k B C =-3
3
， C (3c ，0)，且圆M 的方程为(x -c )2+y 2＝4c 2， 圆M 与直线l 1：x +3u +3＝0相切， ∴
1303
213
c c ?+?+=+，解得c =1，
∴所求的椭圆方程为22
143
x y +=．
（2）的坐标为(-2，0)，圆M 的方程为(x -1)2+y 2＝4，
过点A 斜率不存在的直线与圆不相交，设直线l 2的方程为y ＝k (x +2)，
∵2MP MQ ?=-，又2MP MQ ==，∴cos
12MP MQ
MP MQ
?=-?
∴∠PMQ =120°，圆心M 到直线l 2的距离d ＝121=r 1=，∴k =． 所求直线的方程为x ×2y 2+2＝0．
21．平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1， 0)、B (1，0)，动点C 满足条件△ABC 的周长为2＋22．动点C 的轨迹为曲线W ．
（1）W 的方程；
（2）(0, 2)且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围； （3）M （2，0），N （0, 1），在（2）的条件下，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与MN 共
线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）设C (x , y )，∵ 2AC BC AB +=+＋2AB =，∴ 2AC BC +=>．
∴ 由定义知，动点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x 轴的两个交点． ∴a ＝
2，c ＝1，∴ b 2＝a 2－c 2＝1．∴ W ：
2
212
x y +=（y ≠0) ．
（2）设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入椭圆方程，得2
2(12
x kx ++=．
整理，得(
12
+k 2)x 2
+22kx +1＝0． ① 因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于
2221
84()4202
k k k ?=-+=->，解得k
∴ 满足条件的k 的取值范围为 2,(,)22
k ∈
-∞-+∞（ （3）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP OQ +＝(x 1+x 2，y 1+y 2)，
由①得12x x += ②
又1212()y y k x x +=++ ③
因为(2, 0)M ，(0, 1)N ， 所以( 1)MN =-
所以OP OQ +与MN 共线等价于1212)x x y y ++．
将②③代入上式，解得k =
所以不存在常数k ，使得向量OP OQ +与MN 共线．
22．设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，
，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（1）若6ED DF =，求k 的值； （2）求四边形AEBF 面积的最大值．
（1）解：依题设得椭圆的方程为2
214
x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且
12x x ，满足方程2
2
(14)4k x +=，故21x x =-=
．①
由6ED DF =知
01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；
由D 在AB 上知0022x kx +=，得02
12x k
=+． 所以
212k =+，化简得2
242560k k -+=，解得23k =或38
k =．
（2）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为
1h =
=
， 2h =
又AB =
=，所以四边形AEBF 的面积为
121()2S AB h h =+15
2
5(14k =
+=
=≤
当21k =，即当1
2
k =
时，上式取等号．所以S 的最大值为 解法二：由题设，1BO =，2AO =．
设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为
BEF AEF S S S =+△△222x y =+===
当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为．
椭圆的参数方程(教案)
学习好资料欢迎下载 8.2椭圆的几何性质（5） ——椭圆的参数方程（教案） 齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25 一.目的要求： 1?了解椭圆参数方程，了解系数a b、「含义。 2. 进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。 3. 培养理解能力、知识应用能力。 二.教学目标： 1. 知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方 程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。 2. 能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参 数方程解决相关问题。 3. 德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性 认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。 三.重点难点： 1. 重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。 2. 难点：椭圆参数方程的推导及应用。 四.教学方法： 引导启发，计算机辅助，讲练结合。 五.教学过程： （一）引言（意义） 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。（二）预备知识（复习相关） 1. 求曲线方程常用哪几种方法？ 答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。 2. 举例：含参数的方程与参数方程
2 “ x = 2t 例如：y =kx+1 （k 参数）含参方程'而I 十1 （t 参数） 3 ?直线及圆的参数方程？各系数意义? （三）推导椭圆参数方程 1. 提出问题（教科书例5） 例题.如图，以原点为圆心，分别以 a b （a>b>0）为半径作两个圆。 点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点 A 作AN _0x ,垂足为N ，过 点B 作BM _AN ，垂足为M 。求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹 的参数方程。 2. 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题，但动点较多，不易把握。故采用 间接法 --- 参数法。 引导学生阅读题目，回答问题： （1） 动点M 是怎样产生的？ M 与A 、B 的坐标有何联系？ （2） 如何设出恰当参数？ 设/ AOX=:为参数较恰当。 3. 解决问题（板演） 解：设点M 的坐标（x,y ），是以Ox 为始边，OA 为终边的正角, 取为参数，那么 x=ON=|OA|cos 「， y=NM=|OB|sin 「即 4. 更进一步（板演：化普通方程） -=cos? 分别将方程组①的两个方程变形，得t a 两式平方后相加, '=si n? 是参数方程。 J 5 *實 x = a cos? y =bsin ①引为点M 的轨迹参数方程，「为参数。
椭圆几何性质教学设计流程图
篇一：教学设计-椭圆的简单几何性质 《椭圆的简单几何性质》说教学设计 一. 教材分析 1. 地位和作用 本节课是普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-1）第二章第2节，椭圆的简单几何性质。在此之前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数”的转化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了数学的对称美，受到了数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。 2. 教材的内容安排和处理 考虑到椭圆的性质有较多拓展，我将本节内容分为两课时来完成，本课为第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）及其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因此可根据学生实际情况及认知特点，改变了教材中原有研究顺序，引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手，按照通过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，循序渐近进行探究。在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用，而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透，通过教师合理的情境创设，师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生真正意义上理解在解析几何中，怎样用代数方法研究曲线的性质，巩固数形结合思想的应用，达到切实地用数学分析解决问题的能力。 3. 重点、难点： 教学重点：知识上，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；学生的体验上， 需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。 教学难点；利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。 二. 学生的学情心理分析 我的任教班是普班,大多数学生的数学基础较为薄弱, 独立分析问题，解决问题的能力不是很强, 但是他们的思维活跃，参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，因此依据以上特点,在教学设计方面，我打算借助多媒体手段，创设问题情境，结合图形启发引导，组织学生合作探究等形式，都符合我班学生的认知特点，为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。 三. 教学目标 本着新课程标准的贯彻原则,结合我的学生的实际情况，我制定本节课的教学目标如下： 知识与技能： 掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题。 过程与方法： 通过学生亲身的实践体验，利用椭圆的方程讨论椭圆的几何性质，经历由形到数,由数到形的 思想跨越，感知用代数的方法探究几何性质的过程，感受“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的数学真谛，进一步体会“数形结合”思想在数学中的重要地位。 情感、态度与价值观： 在自然和谐的教学氛围中，通过师生间的、生生间的平等交流，塑造学生团结协作，钻研探究的品质和态度，培养学生研究问题的能力；通过对椭圆几何性质的发现，学生得到美的感受，体验到探究之后的成功与喜悦。
高中数学椭圆的简单几何性质教案
课题：椭圆的简单几何性质 设计意图：本节内容是椭圆的简单几何性质，是在学习了椭圆的定义和标准方程之后展开的，它是继续学习双曲线、抛物线的几何性质的基础。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。本教案的设计遵循启发式的教学原则，以培养学生的数形结合的思想方法，培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。 教学目标：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．培养学生的数形结合的思想方法。 教学重点：椭圆的简单几何性质的应用。 教学难点：椭圆的简单几何性质的应用。 二过程与方法目标 （1）复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率． 〖板书〗椭圆的简单几何性质． （2）新课讲授过程 （i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）椭圆的简单几何性质 ①范围：由椭圆的标准方程可得， 22 22 10 y x b a =-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可
《椭圆的简单几何性质》教学设计
《椭圆的简单几何性质》教学 一.教材分析 1. 教材的地位和作用 本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第二章2.1.2第1课时：椭圆的简单几何性质。 在此之前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。 而这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数” 的转化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了学数学的乐趣，受到了数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。 2. 教材的内容安排和处理 本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因此可根据学生实际情况及认知特点，改变了教材中原有研究顺序，引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手，按照通过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，循序渐近进行探究。在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用，而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透，通过教师合理的情境创设，师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生真正意义上理解在解析几何中，怎样用代数方法研究曲线的性质，巩固数形结合思想的应用，达到切实地用数学分析解决问题的能力。 3. 重点、难点： 教学重点：掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题,体会数形结合思想方法在数学中的应用 教学难点；利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。 二.学生的学情心理分析 我的任教班是普班,大多数学生的数学基础较为薄弱, 独立分析问题，解决问题的能力不是很强, 但是他们的思维活跃，参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，因此依据以上特点,在教学设计方面，我打算借助多媒体手段，创设问题情境，结合图形启发引导，组织学生合作探究等形式，都符合我班学生的认知特点，为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。 三.教学目标 本着新课程标准的贯彻原则,结合我的学生的实际情况，我制定本节课的教学目标如下： 知识与技能： 掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题。 过程与方法： 通过学生亲身的实践体验，利用椭圆的方程讨论椭圆的几何性质，经历由形到数,由数到形，的思想跨越，感知用代数的方法探究几何性质的过程，感受“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”
椭圆的简单几何性质一教案
椭圆的简单几何性质（一） 教学目标 （一）教学知识点 椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点 . （二）能力训练要求 1. 使学生了解并掌握椭圆的范围 . 2 使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心 . 3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及 a 、b 、c 的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆 的截距 . 4. 使学生掌握离心率的定义及其几何意义 . 教学重点 椭圆的简单几何性质 . 教学难点 椭圆的简单几何性质 . （这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的） 教学方法 师生共同讨论法 . 通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的 研究方法，加强对性质 的理解，掌握椭圆的几何性质 . 教学过程 Ⅰ. 课题导入 那么我们研究椭圆的标准方程有什么实际作用呢？ 同学们知道， 2008年的 8月，中国为世界奉献了一个空前盛况的奥运会，一个多月后的 9 月 25 日，世界的目光再次投向中国，同学们知道是什么事吗？ （出示神七发射画片并解说） ：2008年9月 25日21时， “神舟七号”载人飞船顺利升空，实现 多人多天飞行和宇航员太空行走等多项先进技术，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请 问： “神舟七号 ”载人飞船的运行轨道是什么？――对，是椭圆。 据有关资料报道，飞船发射升空后，进入的是以地球的地心为一个焦点，距地球表面近地 点高度约２００公里、远地点约３４６公里的椭圆轨道。 我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程，请同学们回忆椭圆是标准方程是怎样的？它 们有几种形 池州第六中学 王超 师］前面，我们研究讨论椭圆的标准方程 22 a x 2 b y 2 1（a b 0），（焦点在 x 轴上）或 22 a y 2 b x 2 1(a ab b 0） （焦点在 y 轴上）（板书）
2.2.2椭圆的几何性质(教案)
２.２.２椭圆的几何性质（教案） 教学目标： 1、理解椭圆的几何性质，掌握a、b、c、e的几何意义及相互关系； 2、掌握由曲线方程研究曲线性质的一般方法； 3、培养学生探究问题的能力。 教学重点：椭圆的几何性质。 复习: 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 讲授新课: 1、范围： 2、对称性：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心。 3、顶点：、、、 线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； a、b的几何意义：a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 思考：已知椭圆的长轴和短轴，怎样确定椭圆焦点的位置？ 4、离心率： 离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0 (2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少。 练习： 一、下列各组椭圆中，哪个更接近于圆？ 二、求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标： 三、(理)根据下列条件，求椭圆的标准方程： （1）中心在原点，焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别是8和6； （2）中心在原点，一个焦点坐标为（0，5）短轴长是4； （3）对称轴都在坐标轴上，长轴的长为10，离心率是0.6； （4）中心在原点焦点在x轴上，右焦点到短轴的距离为2，到右顶点的距离为1。 四、(理)设F是椭圆的一个焦点，是短轴，求这个椭圆的离心率。小结： 圆锥曲线教案椭圆的几何性质教案 教学目标 1．使学生理解并掌握从椭圆的两个定义及标准方程和图形出发研究椭圆的几何性质的思路；能根据椭圆的标准方程求出其焦点、顶点的坐标、离心率以及准线方程，并能根据其性质画出椭圆的图形． 2．使学生会初步利用待定系数法和椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程． 3．培养学生观察、发现问题和解决问题的能力，为今后学习其它圆锥曲线的几何性质作好方法上的准备． 教学重点与难点 椭圆的几何性质、第二定义及其应用是教学的重点，难点是对离心率的理解． 教学过程 一、复习提问 师：在上节课中我们学习了椭圆的两个定义，请同学们回答其具体内容．(教师指定学生回答，并引导其他学生进行更正．) 师：我们还学习了焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程，请分别说出各是什么形式？ 生：当焦点在x轴上时方程为： 当焦点在y轴上时方程为： 师：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？ 生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质． 师：由于方程f(x，y)=0与函数y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，而方程中x、y的关系则较为复杂．)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质． 师：好，现在我们有3个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质． 二、讲授新课 (一)从定义方面研究 1．焦点 通过椭圆第一定义我们知道两个定点叫焦点，分别是： 当焦点在x轴上时方程为： 左焦点：F1(-c，0)，右焦点；F1(c，0)． 当焦点在y轴上时方程为： 下焦点：F1(0，-c)，上焦点：F1(0，c)． 2．椭圆的第二定义、准线方程及离心率 椭圆的简单几何性质 编写：罗万能审核：高二数学组 一、教学目标 1.知识与技能：掌握椭圆的简单几何性质，学会由椭圆的标准方程探索椭圆的简单几何性质的方法与步骤。 2.过程与方法： （1）通过探究，掌握椭圆的简单几何性质，培养猜想能力，合情推理能力，养成发现问题，提出问题的意识； （2）通过探究活动培养学生观察、发现、归纳的能力；培养分析、抽象、概括的能力，加强数形结合等数学思想的培养。 3.情感态度与价值观： （1）在民主开放的课堂气氛中，培养学生敢想、敢说、敢于探索、发现、创新的精神； （2）通过探究，体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情；通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。 二、教学重点与难点： 【重点】椭圆的简单几何性质. 【难点】椭圆的简单几何性质. 电脑，课件，几何画板，三角板，圆规。 三、教学方法： 讲授法、启发法、讨论法、情境教学法。 四、教学过程设计： （一）复习引入 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 3.椭圆中a,b,c 的关系 （二）探究问题，观察发现 1. 椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的范围 引导学生观察椭圆的图形得出椭圆的范围，进而用代数的方法，由椭圆的标 准方程22 221(0)x y a b a b +=>>得出椭圆的范围。 教师推导出横坐标x 的范围，由学生类比得出纵坐标y 的范围 结论：椭圆在直线x=±a 和直线y=±b 所围成的矩形里(如图)． 形依于数，数寓于形，数形相互依存，数形结合的思想是研究数学问题常用到的思想，也是一个重要的方法 【师生活动】 教师：引导学生通过观察椭圆的图形得出椭圆的范围并通过代数的方法，由 椭圆的标准方程22 221x y a b +=得出椭圆的范围。 学生：在老师的引导下，观察、推导出椭圆的范围，并独立完成练习1以加深对椭圆范围的理解。 【学情预设】 在《椭圆的定义及其标准方程》中，学生已由椭圆的定义探究过|1OA |=a ，|1OB |=|2OB |=b ，因而本节课在引导学生从观察椭圆的图形得出椭圆的范围应 1 A 2 A 1 B 2 B 2.2.2 椭圆的简单几何性质 教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）； 2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响. 教学重、难点：目标1；数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质. 教学过程： （一）复习： 1．椭圆的标准方程. （二）新课讲解： 1．范围： 由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22 221,1x y a b ≤≤， ∴2 2 x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤， 说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里. 2．对称性： 在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称. 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3．顶点： 确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点. 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中， 2||OB b =，1A 2A 2B 2A O x y F 椭圆的简单几何性质 教学目标： 1.掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率。 2.能根据几何性质解决一些简单的问题，进一步体会数形结合的思想。 重点：椭圆的简单几何性质 难点：椭圆的离心率与椭圆关系。 学情分析 学习解析几何以来，利用方程讨论和研究曲线的几何性质尚属首次，学生有着强烈的求知欲望，迫切希望掌握利用方程研究曲线几 何性质的方法. 学生在学习了直线和圆的方程之后，对直线和圆方程的特点比较熟悉，通过类比能够掌握椭圆标准方程的结构特征。同时，在函数和不等式的学习过程中已经储备了利用等量关系寻找不等关系、图象的对称性、顶点的概念等基本能力。学生的思维方式和思维层次有所积累，因此，学生已经初步具备了一定的利用方程自主探究曲线性质的能力。 学生整体素质较高，独立分析问题，解决问题的能力很强,他们思维活跃，参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，因此依据以上特点,在教学设计方面，我打算借助多媒体手段，创设问题情境，结合图形启发引导，组织学生合作探究等形式，符合我班学生的认知特点，为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。 效果分析 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2—1第二章第二节的内容，它是在学完椭圆的标准方程的基础上，通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质。利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务。通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程，同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫。 通过本节课的学习，绝大多数的同学都能掌握椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，特别是对于本节的重难点离心 高中数学《椭圆的简单几何性质》教案 课题：8．2椭圆的简单几何性质（一） 教学目的： 1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶 2．掌握标准方程中c b a,,的几何意义，以及e c b a,,,的相互关系 3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 教学重点：椭圆的几何性质 教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据 第 2页（共12页） 曲线的方程研究它的性质、画图就是解析 怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位 通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本 通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力 本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的 第 3页（共12页） 第 4页（共12页） 思路与方法；椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性 根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用 教学过程： 一、复习引入： 1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距 2．标准方程： 12 2 22=+b y a x ， 12 2 22=+b x a y （0>>b a ） 椭圆（高三复习课） 恩平市第一中学张雪梅 一、教学内容分析 圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算，并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础。 二、学生学习情况分析 本班是普通文科班，此课之前，学生已经在人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学选修1—1》（A版）第二章《圆锥曲线与方程》中学习过相关内容。此时，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上来讲，由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，分析问题不透彻，知识体系不完整，使得学生在对椭圆定义的理解及其标准方程的灵活运用上有一定的难度。因此根据尝试教学法，教学过程中遵循“练习探索——自主复习——课堂研究——巩固运用”的四个要素，侧重学生的“练”、“思”、“究”的自主学习。通过学生的“练”、“思”、“究”，再到教师的“讲”，使学生的学习达到“探索有所得，研究获本质”。 三、教学目标 1、知识与能力：能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。 2、过程与方法：通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；理 解数形结合的思想，并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。 3、情感、态度与价值观：通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 四、教学重点与难点 教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。 2、了解椭圆的简单应用。 教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。 五、教学过程 课 题：8．2椭圆的简单几何性质（一） 教学目的： 1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系 3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 教学重点：椭圆的几何性质 教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的 怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位 通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解 通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性 根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用 教学过程： 一、复习引入： 1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹 2．标准方程：12222=+b y a x ，122 22=+b x a y （0>>b a ） 《椭圆的简单几何性质》听课实录 在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。 在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。 在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始 第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0，32 B.??? ?0，34 C.?? ?? ??32，1 D.??? ?3 4，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2 ＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－??? ?b a 2 ＝ 1－? ?? ??132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2－ b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的 椭圆的简单几何性质（第一课时）教学设计 教学目标： （1）知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握c b a ,,几何意义以及c b a ,,的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。 （2）过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。 （3）情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。 教学重点、难点： 重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。 难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。 教学策略与学法指导： 教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案。 学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。 教学媒体选择与应用： 使用实物投影及多媒体辅助教学。借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次。 教学过程： 创设问题情景，学生自主探究： 方程221625400x y +=表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？ 学生活动过程： 情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题； 情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形； 情形3：方程变形，求出c b a ,,，联想椭圆画法，利用绳子做图； 2.1.2《椭圆的简单几何性质》 第一课时 科目：高二数学 授课教师：张晶晶 指导教师：韩学奎 完成时间：2017年4月6日 课工具课型：新授课 教学工具：多媒体设备 ◆知识与技能目标 通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质，用方程的方法研究图形的对称 性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念. ◆过程与方法目标 能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图.引导学生复习由函 数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中要通过对椭圆的标准方程的讨论，研 究椭圆的几何性质的理解,而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实 数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的 P的思考问题，探究椭圆概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过39 的扁平程度量椭圆的离心率． ◆情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究， 教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观， 激励学生创新．培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备. 必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、 对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则， ①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能． ◆能力目标 （1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题 和解决问题的能力． （2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生 的辩证思维能力． （3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力． （4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决 问题的一般的思想、方法和途径． 教学过程设计 椭圆的简单几何性质教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 课题：椭圆的简单几何性质 设计意图：本节内容是椭圆的简单几何性质，是在学习了椭圆的定义和标准方程之后展开的，它是继续学习双曲线、抛物线的几何性质的基础。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。本教案的设计遵循启发式的教学原则，以培养学生的数形结合的思想方法，培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。 教学目标：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义． 培养学生的数形结合的思想方法。 教学重点：椭圆的简单几何性质的应用。 教学难点：椭圆的简单几何性质的应用。 二过程与方法目标 （1）复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率． 〖板书〗椭圆的简单几何性质． （2）新课讲授过程 （i ）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义从哪些方面来研究 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii ）椭圆的简单几何性质 ①范围：由椭圆的标准方程可得，22 2210y x b a =-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里； ②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴； ④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比a c e = 叫做椭圆的离心率（10< 课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 教学重点：双曲线的渐近线、离心率 教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．范围、对称性 由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方 向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭 圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线 过双曲线122 22=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的 平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ± =（ 0=±b y a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e x y Q B 1 B 2A 1A 2N M O 课题： 椭圆的简单几何性质（一） 教材：全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上） 课堂设计理念： 授人于鱼不如授人于渔。通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位。 教学目标： （1）知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握c b a ,,几何意义以及c b a ,,的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。 （2）过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。 （3）情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。 教学重点、难点： 重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。 难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。 教学策略与学法指导： 教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案。 学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。 教学媒体选择与应用： 使用实物投影及多媒体辅助教学。借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次。 教学过程： 创设问题情景，学生自主探究： 方程221625400x y +=表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它九年级数学椭圆的几何性质教案
罗老师椭圆的简单几何性质教案
2.2.2 椭圆的简单几何性质 教案(人教A版选修2-1)
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椭圆的简单几何性质(第一课时)教学设计
2.1.2《椭圆的简单几何性质》教学设计
椭圆的简单几何性质教案
双曲线的简单几何性质 (第二课时) 教案 2
高中数学椭圆的简单几何性质(说课稿)