高中数学《椭圆的简单几何性质》教案

高中数学《椭圆的简单几何性质》教案
课题：8．2椭圆的简单几何性质（一）
教学目的：
1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶
2．掌握标准方程中c b a,,的几何意义，以及e c b a,,,的相互关系
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法
教学重点：椭圆的几何性质
教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据
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曲线的方程研究它的性质、画图就是解析
怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位
通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本
通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力
本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的
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思路与方法；椭圆的几种画法。

难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性
根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用
教学过程：
一、复习引入：
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距
2．标准方程：
12
2
22=+b y a x ，
12
2
22=+b x a y （0>>b a ）
3．问题：
（1）椭圆曲线的几何意义是什么？
（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的y x,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？
（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？
（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？c b a,,的几何意义各是什么？
（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？
（6）画椭圆草图的方法是怎样的？
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二、讲解新课： 由椭圆方程
122
22=+b
y a x (0>>b a ) 研究
椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致) (1)范围:
从标准方程得出
12
2
≤a x ,
12
2
≤b y ,即有
a
x a ≤≤-,b y b ≤≤-，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组
成的矩形中． (2)对称性:
把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称．
如果曲线具有关于x 轴对称，关于y
轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称
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原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x
轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭
圆的顶点
在椭圆
122
22=+b
y a x 的方程里，令0=y 得
a
x ±=，因此椭圆和x
轴有两个交点
)
0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆
12
2
22=+b y a x 的顶点
令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2
b B b B -，它们也是椭圆
12
2
22=+b y a x 的顶点因此椭圆共有四个顶
点： )0,(),0,(2
a A a A -，,0(),,0(2
b B b B -
加两焦点)0,(),0,(2
1
c F c F -共有六个特殊
点.
2
1A A 叫椭圆的长轴，2
1
B B 叫椭圆的短
轴．长分别为b a 2,2
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b
a ,分别为椭圆的长半轴长和短半
轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.
至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了． (4)离心率:
发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同
这种扁平性质由什么来决定呢？ 概念：椭圆焦距与长轴长之比
定义式：a c e =⇒2
)(1a
b
e -=
范围：10<<e
考察椭圆形状与e 的关系：
,0→→c e ，椭圆变圆，
直至成为极限位置圆，此时
B 2
B 1
A 2
A 1
x
O
y
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也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例
,
,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位
置线段2
1
F F ，此时也可认为圆为椭圆在
1
=e 时的特例
三、讲解范例： 例1 求椭圆400
251622
=+y x
的长轴和短轴的
长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程
14
522
22=+y x 所以，3
45,4,522=-=
==c b a ，
因此，椭圆的长轴的长和短轴的
长分别为82,102==b a ，离心率5
3
==a c e ，两个焦点分别为)0,3(),0,3(2
1
F F -，椭圆的四个顶点
是)0,5(),0,5(2
A A -，)4,0(),4,0(2
B B -
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将已知方程变形为2
2554
x y -±=，根据
2255
4
x y -=
，在50≤≤x 的范围内算出几个点
的坐标),(y x ：
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆
的对称性画出整个椭圆：
例 2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图： （1）
116
252
2=+y x （2）
19
252
2=+y x
答：简图如下：
例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆
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的简图：
（1）
14
92
2=+y x （2）
136
492
2=+y x
答：简图如下：
四、课堂练习：
1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2
解：由题意，)(:)(c a c a -+=3:2
,即2
311=
-+e
e
,
解得 5-=e 2．如图，求椭圆
12
2
22=+b y a x ,(0>>b a )内接正
方形ABCD 的面积 解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE 的面积是所求正方形面积的
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1/4,且B 点横纵坐标相等，故设B （t t ,),代入椭圆方程求得2
2
2
22
b a b a t +=,即正方形ABCD
2
222b a +
五、小结 ：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法
六、课后作业： 七、板书设计（略）
八、课后记：。