中科院矩阵分析课件

矩阵分析及其应用3.1 矩阵序列定义3.1 设矩阵序列{A (k)},其中A (k)=()(k ij a )∈C m ⨯n ,当k →∞，)(k ija →a ij 时，称矩阵序列{A (k)}收敛，并称矩阵A=(a ij )为矩 阵序列{A (k)}的极限，或称{A (k)}收敛于A, 记为A A k k =∞→)(lim 或 A (k)→ A 不收敛的矩阵序列称为发散的。

由定义，矩阵序列A (k) 发散的充要条件为存在ij 使得数列)(k ij a 发散。

类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy 定义定义3.1' 矩阵序列{A (k)}收敛的充要条件为对任给ε>0 存在N(ε), 当 k , l ≥ N(ε) 时有||A (k)-A (l )|| < ε其中||.||为任意的广义矩阵范数。

例1 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=-n k n n k k e n n 12)()sin()1sin(11A 如果直接按定义我们因为求不出A (n )的极限从而很难应用定义3.1证明收敛。

相反，由于∑∑∑+=+=+=-≤≤nm k n m k n m k k k k k k 11212)1(11)sin( < 1/m从而只要l 充分大，则当m, n > l 时就有ε≤∑+=nm k k k 12)sin( 这样A (l ) 收敛。

定理3.1 A (k)→ A 的充要条件为||A (k) -A||→0证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对∞范数可以证明。

即 c 1 ||A (k) -A||∞ ≤ ||A (k) -A||≤ c 2 ||A (k) -A||∞性质0 若A (k)→ A ， 则 ||A (k)|| → ||A|| 成立。

性质1. 设A(k)→ A m⨯n，B(k)→ B m⨯n, 则α⋅ A(k)+β⋅ B(k)→α⋅ A+β⋅ B，∀α,β∈C性质2. 设A(k)→ A m⨯n，B(k)→ B n⨯l, 则A(k)⋅B(k)→ A⋅B证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的矩阵范数。

||A(k)⋅B(k)-A⋅B|| ≤ || A(k)⋅B(k)-A⋅B(k)||+||AB(k)- A⋅B||≤ || A(k)-A||⋅||B(k)||+||A||⋅||B(k)-B||注意||B(k)||→||B||，则结论可得。

特别地有性质2’. A(k)→ A的充要条件为A(k) x→Ax, 对任意x成立或者y H A(k) x→ y H Ax, 对任意x,y成立.（在无穷维空间中称为弱收敛，但在有限维空间中和一般收敛性定义是等价的)对于Hermite(对称)矩阵我们有如下的定理：设A(k)，k=1,2,…,和A都为Hermite矩阵，那么A(k)→ A的充要条件为x H A(k) x→x H Ax, 对任意x成立推论：设A(k)，k=1,2,…, 为半正定的Hermite矩阵，且单调减少，即A(k)和A(k)-A(k+1)为半正定Hermite矩阵，那么A(k)有极限.性质3设A(k)和A都为可逆矩阵，且A(k)→A，则(A(k))-1→A-1证明：因为A-1⋅ (A(k)) →I. 所以存在K,当k >K时有||I- A-1⋅ (A(k))||<1/2我们有(A(k))-1= A-1+( I- A-1⋅ (A(k))) (A(k))-1从而||(A(k))-1||≤||A-1||+||( I- A-1⋅ (A(k)))||⋅|| (A(k))-1||当k>K时，有||(A(k))-1||≤||A-1||+1/2⋅|| (A(k))-1||即||(A(k))-1||≤2⋅||A-1||因为A-1- (A(k))-1= A-1 (A(k)- A) (A(k))-1从而|| A-1- (A(k))-1||≤||A-1||⋅||A(k)- A||⋅||(A(k))-1||(当k>K时) ≤||A-1||⋅||A(k)- A||⋅2||A-1||(当k→∞时) →0由定理3.1有(A(k))-1→ A-1定义3.2矩阵序列{A(k)}称为有界的，如果存在常数M>0，使得对一切k都有a|<M 或等价的|| A(k)||<M’|)(kij定理：有界的矩阵序列{A (k)}一定有收敛的子列。

定义3.3 设A 为方阵，且当k →∞时有A k →0，则称A 为收敛矩阵。

定理3.2(迭代法基本定理) A k →0的充要条件为谱半径ρ(A)<1.证明：必要性：设A k →0，证明ρ(A)<1.对A 的任意特征值λ和相应的特征向量x 有λx =Ax .这样我们有A k x =λk x从而有|λ|k ⋅||x||=||A k x||≤||A k ||⋅||x||从而有|λ|k ≤||A k ||→0这样有|λ|<1， 由于λ为A 的任意特征值，所以ρ(A)<1, 即必要性得证。

充分性。

已知ρ(A)<1，证明A k →0.取ε=(1-ρ(A))/2 >0,由定理2.10有,存在某种相容的 矩阵范数||.||M 使得 ||A||M < ρ(A)+ ε <1从而||A k || M ≤(||A||M )k <(ρ(A)+ ε)k所以当k →∞有||A k || M →0, 从而A k →0.定理3.3 A k →0的充分条件为存在矩阵范数||.||M 使得||A||M <13.2矩阵级数定义3.4设矩阵序列{A (k)},其中A (k)=()(k ij a )∈C n ⨯n ,由它们 形成的无穷和 A (0)+A (1)+…+A (k)+…称为矩阵级数， 记为 ()0k k A∞=∑，即有 ()0k k A∞=∑= A (0)+A (1)+…+A (k)+…定义3.5 记S (N )=()0N k k A=∑,称其为矩阵级数()0k k A ∞=∑的部分和.如果矩阵序列{S (N)}收敛，且有极限S, 即有S (N)→S那么称矩阵级数()0k k A∞=∑收敛，且和为S, 记为S=()0k k A∞=∑不收敛的矩阵级数称为发散的。

显然()0k k A∞=∑=S 是指()0k ij ij k a s ∞==∑，∀ i ,j即矩阵级数收敛是指它的每个分量所构成的数项级数收敛。

性质：矩阵级数()0k k A∞=∑收敛的充要条件为对任意向量x, 向量级数()0k k Ax ∞=∑收敛。

定义3.6 设矩阵级数()0k k A∞=∑的每个分量)(k ij a 所构成的数项级数()0k ij k a∞=∑绝对收敛，则称矩阵级数()0k k A ∞=∑绝对收敛。

关于绝对收敛，我们有如下的定理：性质1. 绝对收敛的()0k k A∞=∑交换求和次序不改变其绝对收敛性和极限值。

性质2. 矩阵级数()0k k A∞=∑绝对收敛的充要条件为正项级数()0||||k k A∞=∑收敛。

性质3. 如果矩阵级数()0k k A ∞=∑(绝对)收敛,那么()0k k PA Q ∞=∑也是(绝对)收敛,且有 ()0k k PAQ ∞=∑=P (()0k k A ∞=∑)Q 性质4. 设C n ⨯n 的两个矩阵级数S 1: A (1)+A (2)+…+A (k)+…S 2: B (1)+B (2)+…+B (k)+…都绝对收敛，其和分别为A 和B.则矩阵级数S 3: A (1) B (1)+ [A (1) B (2)+ A (2) B (1)]+…+[ A (1) B (k)+ A (2) B (k -1) +…+A (k) B (1)]+…绝对收敛且和为AB.证明：由于S 1: A (1)+A (2)+…+A (k)+…绝对收敛的充要条件为 正项级数||A (1)||+||A (2)||+…+||A (k)||+…收敛且与排列无关。

我们证明的思路是证明正项级数：||A (1) B (1)||+ ||A (1) B (2)+ A (2) B (1)||+…+||A (1) B (k)+ A (2) B (k -1) +…+A (k) B (1)||+…收敛。

引用魏氏定理，我们仅需验证下列正项级数： ||A (1)||⋅||B (1)||+ { ||A (1) ||⋅||B (2)||+ ||A (2) ||⋅||B (1)||}+…+{||A (1) ||⋅||B (k)||+ ||A (2) ||⋅||B (k -1) ||+…+||A (k) ||⋅||B (1)||}+… 收敛。

这由题设正项级数||A (1)||+||A (2)||+…+||A (k)||+…和正项级数 ||B (1)||+||B (2)||+…+||B (k)||+…的收敛性可得。

定理3.4 幂级数 I+A+A 2+…+A k +…收敛的充要条件为 A 的谱半径ρ(A)<1, 收敛时其和为(I -A)-1。

若有矩阵范数||.||使得||A||<1,则||(I -A)-1- (I+A+A 2+…+A k )||≤||A||k+1/(1-||A||)证明： 必要性. 由于I+A+A 2+…+A k +…收敛，从而 S (k)= I+A+A 2+…+A k 收敛。

记T (k)= I+A+A 2+…+A k+1, A k+1=T (k)- S (k)收敛，且T (k)- S (k) →0，这样我们有A k →0，从而ρ(A)<1.充分性：设ρ(A)<1，(I -A)-1存在，由于I+A+A 2+…+A k =(I -A)-1 -(I -A)-1 A k+1因A k →0，所以I+A+A 2+…+A k +…→ (I -A)-1.又因为(I -A)-1 - (I+A+A 2+…+A k )= (I -A)-1 A k+1从而||(I -A)-1 - (I+A+A 2+…+A k )||=|| (I -A)-1 A k+1||设B=(I -A)-1A k+1,从而(I -A)B=A k+1即B=AB+ A k+1,从而||B||≤ ||A||⋅||B||+ ||A k+1||≤ ||A||⋅||B||+ ||A||k+1因为矩阵范数||.||使得||A||<1,所以||B||≤||A||k+1/(1-||A||)成立。

定理3.6 设幂级数 ∑∞==0)(k k k z cz f 的收敛半径为r ,如果方阵A 满足ρ(A)< r , 则矩阵幂级数∑∞==0)(k k k A c A f 是绝对收敛的；如果ρ(A) > r ,∑∞=0k k kA c 是发散的。