2015年全国初中数学邀请赛详解

P O
M Q
x
y
M
Q
∵ OP OQ ； ∴ ab 1； ∴直线 PQ 的解析式为 y a b x 1； ∴直线 PQ 必过定点 M 0,1 ；
P O
x
∴当 PQ∥ x 轴时， O 点到 PQ 的距离的最大值为 1。 12. 解： x2 5 2x 1 2 p n 显示 x 2 5＞2 x 1, 2 x 1 为奇数； ∴ x2 5 为整数； 2x 1
x 2 ∴ y 5 ，∴ x y z 0． z 3
9. 120 解：∵ AD CD BC ； ∴设 DAC DCA x ， CDB CBD y ； 则 ADC 180 2x ， DCB 180 2y ； ∵ ADB ACB 180 2x y 180 2y x 180 ； ∴ x y 60 ；
1
6.
3 2 2 解： an n 3n n 1 3 n 1 3n 3n 2； 3 2
1 1 1 1 1 1 2 ； an 2 3n 3n 3n n 1 3 n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1007 原式= ． 3 2 3 3 4 2015 2016 6048
4
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DAB CBA 360 ADC DCB 2 x y 120 ；
∴ CBA 120 ． 10. 8
1 解： Sn n (n 1) ， 对于 2015 的任意一个正约数 d ，易知在 1 2015 中， 2 2015 恰有一个 n 满足 n 是 d 的倍数，且 n 1是 的倍数. 即 2015 的每个约数都会 d
2
1 x2 x 5 21 4 1 21 1 ∴ 2x 1 2x 1 2x 1 4 2x 1 4 2x 1 ∴ x 可取 1,3,10；
3
x 1 x 3 验证得： n 2 或 n 2 ； p 3 p 7 ∴x n p 6 或 12． 13. 解：延长 I1 I 2 分别与 BD、AC 交于点 E、F ，设 BD、AC 相交于点 G ； 1 1 ∵ DI 1C 90 DAC 90 DAC DI 2C ； 2 2 ∴ D、 I1、I2、 C 四点共圆； ∴ DI 1E 180 DI1F DCI 2 ， CI2 F 180 CI2 E CDI1 ； ∴ GEF EDI 1 DI 1E ADI1 ADB DCI 2 1 B ADC BCD ADB ； A 2 I3 GFE FCI 2 FI 2C G BCI 2 BCA CDI1 F E I 2 1 I1 ADC BCD ADB ； 2 D C ∴ GEF GFE ； ∴ GE GF ； ∵ GI 3 平分 AGB ； ∴ GI 3 EF 。 14. 解：如果一共有 13 个数，则可排列如下： a1 , a 2 , a 3 , , a8 , a 9 , a1 , a 2 , a 3 , , a8 , a 9 , a2 , a3 , a4 , , a9 , a10 , a2 , a3 , a4 , , a9 , a10 , a3 , a4 , a5 , , a10 , a11 , a3 , a4 , a5 , , a10 , a11 , a4 , a5 , a6 , , a11 , a12 , a4 , a5 , a6 , , a11 , a12 , a5 , a6 , a7 , , a12 , a13 . a5 , a6 , a7 , , a12 , a13 .
平方整理得
a 2b 2 a 2b ab 2 2ab 0； 4
∵ a ,b , c 均为正整数； ∴
ab a b 2 0 ，即 a 4 b 4 8； 4
符合条件的 a ,b , c 为 6,8,10 和 5,12,13 ； 故共有 2 个符合条件的直角三角形． 4. C
2
产生一个 n ，使得 S n 是 2015 的倍数. 由于 2015 5 13 31 ，因此 2015 共有 8 个 约数，故所求结果为 8．
11. 解：(1)当 PQ∥x 轴时，点 P 与点 Q 关于 y 轴对称；
OPQ 为等腰直角三角形， OM MQ ；
y
设Q m, m ，代入 y x2 可得， m 1； ∴ OM m 1； ∴ O 点到 PQ 的距离为 1； (2)设 P a, a 2 ,Q b , b2 ； 则直线 PQ 的解析式为 y a b x ab ； 直线 OP 的解析式为 y ax ； 直线 OQ 的解析式为 y bx ；
7. 3 解：由题意可得原方程若仅有唯一的实数解，则 x 0 ；. 将x 0 代入原方程可得 a 3 ；其中 a 3 不符合题意，故舍去； ∴ a 3 ． 8. 0
2 2 2 解：原式= 2 x 2 3 y 5 4 3 z 3 5 60 ．
3 4 8 解：设 GH x ，则 HB x ， FG 2 x ， AF FG x . 故 4 3 3 8 3 77 60 5 AB AF FG GH HB x 2x x x x ，解得 x ． 3 4 12 77
5. D 解：共 9 个，可能值分别为：5、7、9、11、13、17、19、21、23．
由已知，其中每行数之和为正，从而表中所有数之和为正；另一方面，表中 每列数之和为负，从而表中所有数之和为负，矛盾。这说明满足要求的数串至多 有 12 项。
考察如下的一串数字：
4、 4 、 4 、 15 、 4 、 4、 4、 4 、 15 、 4、 4 、 4
这一串数满足题中要求且有 12 项，故知满足题中要求的 n 的最大值为 12．
2015 年初中数学邀请赛— 正式试卷答案
1. C
5 ＜ a 3 ． 2
解： 0 ＜ x ＜ 2 a 2 ，由题意的 3 ＜ 2a 2 4 ，解得 2．B 解：如图，15 个．
y
O
x
3.
B
解：设三角形三边分别为 a ,b , c ，其中 c 为斜边；
ab a2 b2 c2 , a b c ; 2 ab 2 2 a b a b ; 2