2019-2020学年浙江省嘉兴市七校高二上学期期中联考数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省嘉兴市七校高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．圆心在(2)1-，上，半径为3的圆的标准方程为（ ） A ．22(2)(1)3x y -++= B ．22(2)(1)9x y -++= C ．22(2)(1)3x y -+-= D ．22(2)(1)9x y -+-=【答案】B【解析】根据定义即可求解 【详解】圆心在(2)1-，上，半径为3的圆的标准方程为：22(2)(1)9x y -++= 故选： B 【点睛】本题考查圆的标准方程的写法，属于基础题2．如图O A B '''V 是水平放置的OAB V的直观图，则OAB V 的面积为（ ）A ．12B ．6C ．10D ．24【答案】B【解析】结合斜二测法的画法原理求出2''OA O A =，''OB O B =，再结合面积公式求解即可 【详解】由斜二测画法特点得2''4''3OA O A OB O B ⎧==⎪⎨==⎪⎩，OAB ∆为直角三角形，13462OAB S ∆=⨯⨯= 故选：B 【点睛】本题考查由直观图求平面图的面积，属于基础题3．正方体的体积是64，则其表面积是( ) A ．64 B ．16 C ．96 D ．无法确定 【答案】C【解析】试题分析：由正方体的体积是64，能求出正方体的边长为4，由此能求出正方体的表面积．解：∵正方体的体积是64，∴正方体的边长为4，∴它的表面积S=6×42=96．故选C【考点】正方体的体积和表面积点评：本题考查正方体的体积和表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．4．若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ）A ．3±B ．C ．2±D ．【答案】C【解析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径即可求解. 【详解】由题得圆的圆心坐标为（0,0）， 1,2b =∴=±. 故选C 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5．若1l 、2l 为异面直线，直线31//l l ，则3l 与2l 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面C ．平行D ．异面或相交【答案】D【解析】解：因为12l l 、为异面直线，直线31//l l ，则3l 与2l 的位置关系是异面或相交，选D6．（2014秋•湖南期末）两圆x 2+y 2=9和x 2+y 2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．内切 D ．外切 【答案】B【解析】试题分析：分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R 和r ，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．解：把x2+y2﹣8x+6y+9=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d==5，因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选B．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．7．已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】试题分析：A中，由线面垂直的判定定理可知，需满足：是两条相交直线，结论才成立，故A项错误；B中，因为，所以. 又，所以，故B项正确；C中，由线面平行的判定定理可知，需满足：在平面外，结论才成立，故C项错误；D中，与还可以相交或异面，故D项错误，故选B.【考点】空间中直线与平面的平行与垂直关系.8．正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正切值是( )A．22B．23C.23D．63【答案】A【解析】解：BB1与平面ACD1所成角即∠DD1O（O为下底面的中心）．设正方体的棱长为1，在直角三角形DD1O中，DO=22，DD1=1∴tan∠DD1O=2 29．如图，一个晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都为1，且它们彼此的夹角都是60°，设1AA 与面ABCD 所成角为α， 二面角1D AD B --为β，1AC 的长度为a ，则（ ）A ．αβ>，且3a =B ．αβ>，且6a =C ．b a >，且3a =D ．b a >，且6a =【答案】D【解析】可判断1A 在底面的投影一定在AC 上，设1A O ⊥底面于点O ，则1A AO α=?，设AD 的中点为E ，连接11,,A E BE A B ，则1A EB β=∠，结合三角函数的性质即可比较,αβ大小，而a 可通过()2111AC AC AB BC CC ==++u u u u ru u u r u u u r u u u u r 进行求解【详解】由题可知，1A 在底面的投影一定在AC 上，设1A O ⊥底面于点O ，则1A AO α=?，设AD 的中点为E ，连接11,,A E BE A B ，可判断1A AD ∆为等边三角形，1A E AD ⊥，同理CE AD ⊥，则1A EB β=∠，因为,αβ都为锐角，111111sin ,sin ,sin sin AO AO AA A E AA A Eαβαβ==>∴<Q ，αβ∴<， ()2111a AC AC AB BC CC ===++u u u u ru u u r u u u r u u u u r()22211126AB BC CC AB BC BC CC CC AB =+++⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r【点睛】本题考查由线面角的定义、面面角的定义比较大小，向量法在立体几何中求长度的应用，属于中档题10．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形， Q 为BC 的中点，PQ ⊥面ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动，点M 在面ABCD 内运动，且PM 5=，则MN 长度的最小值为（ ）A ．352-B ．23-C ．25-+D ．332-【答案】C【解析】若要使MN 最短，点N 必须落在平面ABCD 内，且一定在DN 的连线上，此时应满足,,,D N M Q 四点共线，通过几何关系即可求解 【详解】如图，当点N 落在平面ABCD 内，且,,,D N M Q 四点共线时，MN 距离应该最小，由PM 5=1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得5DQ =1DN MQ ==，故552NM DN MQ =-=故答案选：C本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题二、填空题11．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是 .【答案】32cm 【解析】略12．已知向量(1,5,5)a =-r ，(2,1,7)b =r ，则a b +=r r _______________，⋅=r ra b _____________.【答案】()3,4,12- 32【解析】结合空间向量的加法和数量积公式对应的坐标运算即可 【详解】(1,5,5)a =-r ，(2,1,7)b =r ，()3,4,12a b +=-rr ，()12515732a b ⋅=⨯+-⨯+⨯=r r故答案为：()3,4,12-；32 【点睛】本题考查空间向量的加法和数量积对应的坐标公式，属于基础题13．已知相交两圆221:4C x y +=，圆222,(2)4C x y -+=，公共弦所在直线方程为___________，公共弦的长度为___________. 【答案】1x = 3【解析】直接由两圆方程作差可得1x =，将1x =代入224x y +=可解得3y = 结合12l y y =-即可求解 【详解】联立2222(24)4x y x y ⎧+=⎨⎩-+=作差可得1x =，将1x =代入224x y +=可解得3y =±，1223l y y =-=故答案为：1x =；23 【点睛】本题考查两圆的相交弦、弦长的求法，考查了直观想象，数学运算的核心素养，属于基础题14．棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D - 中，则异面直线1AD 与11A C 所成角的大小为____________，此正方体外接球的表面积为_____________.【答案】60︒ 23a π【解析】连接AC ，1CD ，则1D AC ∠即为异面直线1AD 与11A C 所成角，再结合正方体的外接球半径公式即可求解对应表面积 【详解】如图，连接AC ，1CD ，11AC AC Q P ，∴异面直线1AD 与11A C 所成角即为1D AC ∠，又11AD AC DC ==Q ，160D AC ∴∠=︒；正方体外接球半径为：2r a =，则正方体外接球的表面积为： 22234434S r a a πππ==⨯=故答案为：60︒；23a π 【点睛】本题考查异面直线夹角的求法，正方体的外接球表面积求解，考查了数形结合，直观想象，数学运算的核心素养15．已知圆22C 9x y +=：，过定点(2,2)P 的动直线l 与圆C 交于,M N 两点， 则PM PN ⋅=u u u u r u u u r______________.【答案】1-【解析】可分为直线斜率存在和不存在两种情况具体讨论，当直线斜率存在时，联立直线和圆，结合韦达定理即可求解 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：2x =，将2x =代入229x y +=得y =设点()(2,5,2,M N，则)()221PM PN ⋅=⨯=-u u u u r u u u r；当直线斜率存在时，设直线方程为：()22y k x =-+，()()1122,,,M x y N x y联立()()()()2222221444190 229k x k k x y k y x x k ⎧⎪⇒++-+--=⎨=+=-+⎪⎩ ()212221224414191k k x x k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⇒⎨--⎪⋅=⎪+⎩，则()()11222,2,2,2PM x y PM x y =--=--u u u u r u u u u r ， ()()()()()()()21212122222122PM PN x x y y k x x ⋅=--+--=+--u u u u r u u u r()()()()()2222212122224194411241241111k k k k k x x x x k k k k ⎡⎤---+=+-++=+-⋅+⋅=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦综上所述，1PM PN ⋅=-u u u u r u u u r故答案为：1-【点睛】本题考查由直线与圆的位置关系求解向量数量积的定值问题，解题过程中易遗漏斜率不存在的情况，考查了数形结合思想，数学运算的核心素养，属于中档题 16．已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面积是_______【答案】2S【解析】由已知中圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S ，我们易确定圆锥的母线长l 与底面半径R 之间的关系，进而求出底面面积即可得到结论． 【详解】如图：设圆锥的母线长为l ，底面半径为R若圆锥的侧面展开图为半圆 则2πR ＝πl ， 即l ＝2R ，又∵圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S ， 则圆锥的底面面积是2S． 故答案为2S ． 【点睛】本题考查的知识点是圆锥的表面积，根据圆锥的侧面展开图为半圆，确定圆锥的母线长与底面的关系是解答本题的关键．17．己知动点(,)P m n 在圆221O x y +=：上，则31n m --的取值范围是____________，若点1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，点(1,1)B ，则2||||PA PB +的最小值为____________. 【答案】4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10【解析】（1）令31nkm-=-，则所求问题转化为求圆上任意一点到()1,3的斜率范围，数形结合确定边界即可求解；（2）分析2||||PA PB+特点可知，两线段前的系数并不统一，如果要转化成最值问题，需将2PA转化，画出图像，结合相似三角形，可得2PA PQ=，点Q为()2,0-，则所求问题转化为求||||PQ PB+距离最值，当点P在BQ连线与圆的交点上时，有最小值【详解】（1）如图，令31nkm-=-，所求问题等价于求圆上动点与()1,3连线的斜率范围，当斜线斜率不存在时，相切于右边界，当直线斜率存在时，若相切于第二象限，设直线方程为()13y k x=-+，则2311kdk-==+，解得43k=，则31nm--的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）如图所示，当P在x轴上时，()()121,0,1,0P P-，21112||||212152P A PB+=⨯+=2232||||2142P A P B+=⨯+=；当P不在x轴上时，11,2PO OA==，作点Q为()2,0-，则有12OA OPOP OQ==，则OAP OPQ∆∆:，则有12APPQ=，即2PA PQ=，则2||||||||PA PB PQ PB+=+，当点P 在BQ =综上所述，2||||PA PB +故答案为：4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查由点与圆的位置关系求斜率范围，求动点到两定点间距离最值问题，分类讨论、数形结合思想，转化与化归思想，综合性强，属于难题三、解答题18．已知圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标为(2,1)-，且过点(0,3). （1）求D ，E ，F 的值；（2）判断直线20x y --=的位置关系.【答案】（1）4,2,3D D F ==-=-（2）相离【解析】（1）将一般式化成标准式，采用待定系数法即可求解；（2）由圆心到直线距离d 与r 的关系判断即可；【详解】（1）22222240224D E D E F x y Dx Ey F x y +-⎛⎫⎛⎫++++=⇒+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，Q 圆心坐标为(2,1)-，∴4,2D E ==-，又Q 过点(0,3)，3F ∴=-（2）由（1）知，圆的标准方程为：()()22218x y ++-=，r =距离2d ==>，所以直线与圆相离 【点睛】本题考查圆的一般式到标准式的配方过程，判断直线与圆的位置关系，属于基础题 19．如图四棱锥P ABCD -， //AB CD ， AD DC ⊥，PD ⊥平面ABCD ，且1AB AD PD ===，2DC =.（1） 求证：//AB 平面PDC ；（2） 求PB 与平面PDC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）3 【解析】（1）由//AB CD ，CD ⊂平面PDC 易证；（2）设CD 中点为E ，连接BE ，PE ，则PB 与平面PDC 所成角为BPE ∠，通过几何关系即可求解；【详解】（1）//,AB CD AB ⊄Q 平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，AB ∴P 平面PDC ； （2）设CD 中点为E ，连接BE ，PE ，1,2,AB AD PD DC AD DC ===⊥=Q ，,,AB DE AB DE ∴=P BE CD ⊥，又Q PD ⊥平面ABCD ，PD BE ∴⊥，CD PD D =I ，BE ∴⊥平面PCD ，则PB 与平面PDC 所成角为BPE ∠， 2PE =，1BE =，2tan 22BE BPE PE ∠===，则3sin BPE ∠=【点睛】 本题考查线面平行的证明，求线面角问题，数形结合思想，考查了直观想象和数学计算的核心素养，属于中档题20．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，120BCD ∠=︒，PC ⊥平面ABCD ，PC a =，E 为PA 的中点，O 为底面对角线的交点；（1）求证：AC ⊥平面EDB ；（2）求二面角P AB C --的正切值.【答案】（1）证明见详解（2）23 【解析】（1）连接EO ，通过求证,AC BD AC EO ⊥⊥即可求证；（2）设AB 中点为F ，连接,CF PF ，可证PFC ∠即为二面角P AB C --的平面角，再结合几何关系求解即可；【详解】（1）如图，连接EO ，Q E 为PA 的中点，O 为菱形对角线的交点，O ∴为AC 中点，EO PC ∴P ，又PC ⊥Q 平面ABCD ，,PC AC EO AC ∴⊥∴⊥，又Q 菱形的对角线互相垂直平分，AC BD ∴⊥，又EO BD O =I ，∴AC ⊥平面EDB ； （2）如图，设AB 中点为F ，由底面ABCD 为菱形可知，ABC V 为等边三角形，CF AB ∴⊥，又Q PC ⊥平面ABCD ，PC AB ∴⊥，AB ∴⊥平面PCF ，AB PF ∴⊥，PFC ∴∠为二面角P AB C --的平面角，3,2CF a PC a ==，故23tan PC PFC CF ∠== 【点睛】 本题考查线面垂直的证明，求二面角的正切值，属于中档题 21．已知直线60l x y +-=：，过直线上一点P 作圆224x y +=的切线，切点分别为A B ， ，求：（1）四边形PAOB 面积的最小值.（2）此时四边形PAOB 外接圆的方程·【答案】（1）214（2）22339222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】（1）12222PAOB PAO S S OA AP OA AP r AP AP ∆==⨯⨯⨯=⨯=⨯=，要求四边形PAOB 面积的最小值即求AP 最小值，当OP l k k ⊥时取到，结合点到直线距离即可求解；（2）由（1）可得32OP =，故外接圆半径为12r OP =且在线段OP 中点，求出直线方程，即可确定圆心和半径，进而求解【详解】（1）12222PAOB PAO S S OA AP OA AP r AP AP ∆==⨯⨯⨯=⨯=⨯=， 2224AP OP OA OP =-=-Q ，要使AP 最小，即求OP 最小值，由圆心到直线距离公式可求min 322OP d ===，故2414AP OP =-=，[]min 214PAOB S ∴=（2）由（1）知，32OP =OP 中点，设为()',O a a ，则外接圆半径322R =，此时直线斜率1OP k =，直线OP 的方程为：y x =， 则22323'222OO a a a a =+==⇒=， 故圆心为33',22O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，外接圆方程为：22339222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查由直线与圆的位置关系求解切线最值问题，四边形外接圆标准方程的求法，数形结合思想，属于中档题22．如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，22BC CD AB ===，PAD △是等边三角形，M N ，分别为BC ，PD 的中点．（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）若二面角P AD C --的大小为 3π，求直线MN 与平面PAD 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】（1）由//AB CD ，AB Ì平面PAB 易证；（2）作AD 的中点O ，连接,MO OP ，PM ，再作PO 中点Q ，连接QN ，可证明二面角P AD C --的平面角为POM ∠，直线MN 与平面PAD 所成角为MNQ ∠，通过几何关系可进一步求解；【详解】（1）//AB CD Q ，AB Ì平面PAB ，CD ⊄平面PAB ，∴//CD 平面PAB ； （2）如图，作AD 的中点O ，连接,MO OP ，PM ，再作PO 中点Q ，连接QN ， PAD QV 是等边三角形，PO AD ∴⊥，又//AB CD ，AB AD ⊥，,O M 分别为,AD BC 中点，OM AB ∴P ，OM AD ∴⊥，二面角P AD C --的平面角为POM ∠， 又22BC CD AB ===，设CD 中点为F ，则1CF =，3BF AD ==故33322PO=⨯=，又()1322MO AB CD=+=，3POMπ∠=，故POM∆为等边三角形，33332QM=⨯=，134QN AD==，故MQ PO⊥，由面面垂直的性质可知，MQ⊥平面PAD，故直线MN与平面PAD所成角为MNQ∠，334tan33MQNMQQN∠===【点睛】本题考查线面平行的证明，线面角的正切值的求解，考查了直观想象，数学计算，逻辑推理的核心素养，属于中档题。
浙江省嘉兴市高二数学上学期期中联考试题 文 新人教A版
考生须知：全卷分试卷和答卷两部分。
试卷共4页，有三大题，24小题，满分100分，考试时间120分钟。
参考公式：侧面积：S 体积：V圆柱：2S rl π= 柱体：V sh =圆锥： S rl π= 锥体：13V sh =圆台： )S r R l π=+（ 圆台：1()3V S S S S h =++上上下下 球： 24S R π= 球：343V R π=一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
（1）若直线的倾斜角为︒120，则直线的斜率为（ ▲ ）A. 3-B. 3C. 33-D. 33 （2）若a ,b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 和α的位置关系是（ ▲ ）A ．平行B ．相交C ．b 在α内D ．平行、相交或b 在α内 （3）下列命题正确的是（ ▲ ）Ａ．经过三点确定一个平面 Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面Ｃ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 Ｄ．四边形确定一个平面 （4）点P 在直线x +y –4=0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值是( ▲ ) A ．2 B. 22 C. 6 D.10 （5）若某空间几何体的三视图如右图所示，则 该几何体的体积是（ ▲ ）A. 1B. 2C.13 D. 23（6）设l 、m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ▲ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m //（7）两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ▲ ）A ．4B ．21313 C ．71020 D ．51326（8）如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD 在原正方体中的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ． 异面 D ．相交成60°（9）长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（ ）A ．50πB ．252πC ．200πD ．202π（10）直线xsinα+ycosα+1=0与直线xcosα－ysinα+2=0的位置关系是（ ▲ ） A 平行 B 相交但不垂直 C 相交垂直 D 视α的取值而定（11）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ▲ ） A 、32 B 、54 C 、67D 、65（12）将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，给出下列三个命题：① ∆DBC 是等边三角形； ② AC BD ⊥； ③三棱锥D ABC -的体积是26. 其中正确命题的序号是（ ▲ ）A ．①③B ．①②C ．②③D ．①②③二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
浙江省浙东北联盟(ZDB)2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)
浙江省浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，则k的值为()A. 1B. 3C. 9D. 812.直线x+y=5和圆O：x2+y2−4y=0的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交不过圆心D. 相交过圆心3.如图，正方体ABCD−EFGH中，M为BG的中点，则直线DM与平面ABCD所成角的正切值为()A. √56B. √55C. √5D. √24.下列三视图表示的几何体是()A. 正六棱柱B. 正六棱锥C. 正六棱台D. 正六边形5.l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是()A. 如果l1//α，l2//α，则一定有l1//l2B. 如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC. 如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1//αD. 如果l1⊥α，l2//α，则一定有l1⊥l26.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点F，G分别是棱BC，BB1的中点，则AC与GF所成的角的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，若AB1⊥BC1，则下列关于直线A1C和AB1，BC1的关系的判断正确的为()A. A1C和AB1，BC1都垂直B. A1C和AB1垂直，和BC1不垂直C. A1C和AB1，BC1都不垂直D. A1C和AB1不垂直，和BC1垂直8.下列说法正确的是()A. 单位向量都相等B. 模长相等的两个平行向量是相等向量C. 若a→ =b→ ，则|a→ |=|b→ |D. 若a→ //b→ ,b→ //c→ 则a→ //c→ 9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在A、B两点恰好关于直线l:x−y−1=0对称，且直线AB与直线l的交点的横坐标为2，则椭圆C的离心率为()A. 13B. √33C. √22D. 1210.已知AB是平面α的斜线段，A为斜足，若AB与平面α成60°角，过定点B的动直线l与斜线AB成60°角，且交α于点P，则动点P的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.方程x2+y2+2ax−by+c=0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a=________，b=________，c=________．12.设F1、F2是椭圆3x2+4y2=48的左、右焦点，点P在椭圆上，满足sin∠PF1F2=35，△PF1F2的面积为6，则|PF2|=______．13.若过点M( 0，2 )作圆x2+y2−2x−1=0的切线，则切线长为______．14.已知球的直径为4，则该球的表面积为__________．15.已知经过椭圆x236+y216=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为______ ．16.已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为1.点E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值是_________．17.在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为DC的三等分点(靠近C处)，F为线段EC上一动点(包括端点)，现将△AFD沿AF折起，使D点在平面内的射影恰好落在边AB上，则当F运动时，二面角D−AF−B平面角余弦值的变化范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在正三棱柱ABC−A′B′C′中，D、E、F分别为棱BC，A′A，AC的中点．(1)求证：平面AB′D⊥平面BCC′B′；(2)求证：EF//平面AB′D．19.已知△ABC的顶点坐标是A(8,0)，B(0,6)，O(0,0)．(1)求△ABC外接圆C的方程．(2)过点P(−1,5)作圆C的切线l，求切线l的方程．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为√22，短轴的两个端点分别为A，B，S△ABF=1．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)过点D(2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(M在D，N之间)，求S△ODMS△ODN(O为坐标原点)的取值范围．21.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，且∠BAD=60∘，△PAB是等边三角形．(Ⅰ)证明：AB⊥PD；(Ⅱ)若平面PAB⊥平面ABCD，求二面角A−PB−C的余弦值．22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−√22,√32)，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P,Q，且OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】利用椭圆的方程，通过焦点坐标为(2,0)，求解k即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．【解答】解：椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，可得√k−5=2，解得k=9．故选C．2.答案：A解析：解：将圆O的方程化为标准方程得：x2+(y−2)2=4，可得：圆心O(0,2)，半径r=2，∵圆心O到直线x+y=5的距离d=√2=3√22>2=r，∴直线与圆O的位置关系是相离．故选A将圆O的方程化为标准方程，找出圆心O坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线x+y=5的距离d，判断d与r的大小关系，即可得出直线与圆O的位置关系．此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离(d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径)．3.答案：B解析：【分析】本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题．过M作MN⊥BC，交BC于N，连接DN，则∠MDN为直线DM与平面ABCD所成角，由此能求出直线与平面所成角的正切值．【解答】解：过M作MN⊥BC，交BC于N，连接DN，∵正方体ABCD−EFGH中，M为BG的中点，∴MN//CG，∵CG⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MDN为直线DM与平面ABCD所成角，设正方体ABCD−EFGH的棱长为a，则MN=12a，DN=√a2+(12a)2=√52a，∴tan∠MDN=MNDN =12a√52a=√55．故选：B．4.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是由三视图判断几何体的形状，属于基础题．由题目中的三视图中，正视图和侧视图为矩形，易得这是一个柱体，又由俯视图即可判断几何体的形状．【解答】解：∵正视图、侧视图是矩形，俯视图是正六边形，∴该几何体是六棱柱，故选：A．5.答案：D解析：【分析】本题考查空间中的线面关系，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1//α，l2//α，则有l1//l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1//α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2//α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2//a，∴l1⊥l2，故D正确．故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．连接B1C，AB1，因为F，G分别为BC，BB1的中点，则∠B1CA为异面直线FG与AC所成的角，由此解答即可．【解答】解：连接B1C，AB1，因为F，G分别为BC，BB1的中点，所以FG//B1C，所以∠B1CA为异面直线FG与AC所成的角，在正方体中易证AC=B1C=AB1，所以△ACB1为等边三角形，所以∠B1CA=60°．故选C．7.答案：A解析：解：设D 为BC 的中点，连结AD 、B 1D ，设E 为AB 的中点，连结CE 、A 1E ，∵△ABC 是正三角形，∴AD ⊥BC ，由正三棱柱的性质可知，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， 又平面ABC ∩平面BB 1C 1C =BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴B 1D 是AB 1在平面BB 1C 1C 上的射影， 同理，A 1E 是A 1C 在平面AA 1B 1B 上的射影， ∵AB 1⊥BC 1，由三垂线逆定理可知，B 1D ⊥BC 1，∵长方形AA 1B 1B≌长方形BB 1C 1，∴A 1E ⊥AB 1，由三垂线定理可知，AB 1⊥A 1C ； 取AC 中点F ，连结BF 、C 1F ，∵△ABC 是等边三角形，∴BF ⊥AC ，∵AA 1⊥平面ABC ，∴BF ⊥AA 1， ∵AA 1∩AC =A ，∴BF ⊥平面ACC 1A 1，∵A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴BF ⊥A 1C ，∵长方形AA 1B 1B≌长方形BB 1C 1≌长方形AA 1C 1C ，∴A 1C ⊥C 1F ，由三垂线定理可知，BC 1⊥A 1C . ∴A 1C 和AB 1，BC 1都垂直． 故选：A ．设D 为BC 的中点，连结AD 、B 1D ，设E 为AB 的中点，连结CE 、A 1E ，由射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理能推导出A 1C 和AB 1，BC 1都垂直．本题考查线线关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理的合理运用．8.答案：C解析： 【分析】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，属于基础题．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可． 【解答】解：单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故A 错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B 错误； 由向量的定义可知C 正确；b → =0→ 时，a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 不一定平行，D 错误； 故选C ．9.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的几何意义及直线与椭圆的位置关系，属于一般题． 利用直线AB 与椭圆交点的中点为(2,1)建立关系式，即可得解． 【解答】解：由题知AB 中点坐标为(2,1)，直线AB 斜率为−1， 则直线AB 方程为y −1=−(x −2)， 即y =−x +3，由{y =−x +3x 2a 2+y 2b 2=1消去y 得，(a 2+b 2)x 2−6a 2x +9a 2−a 2b 2=0，所以6a 2a 2+b 2=2×2，有a 2=2b 2，则a 2=2b 2=2(a 2−c 2)，所以e =c a=√12=√22， 故选C ．10.答案：D解析：解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆； 把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题AB 与平面α成60°角，过定点B 的动直线l 与斜线AB 成60°角，且交α于点P ， 故可知动点P 的轨迹是抛物线． 故选：D ．用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．本题考查点的轨迹方程的判断，考查圆锥曲线的定义及性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．11.答案：−2；4；4解析： 【分析】本题考查圆的标准方程及一般方程，属于基础题．利用圆心与半径可写出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解． 【解答】解：由于圆心为C(2,2)，半径为2，故圆方程为：(x−2)2+(y−2)2=22，即x2+y2−4x−4y+4=0，故2a=−4，−b=−4，c=4，故a=−2，b=4，c=4，故答案为−2；4；4．12.答案：3解析：解：椭圆方程3x2+4y2=48可化为，x2 16+y212=1，∴a=4,b=2√3．∴c=2，∴|F1F2|=4，∵△PF1F2的面积为6，∴12|F1P|⋅|F1F2|⋅sin∠PF1F2=6，又∵sin∠PF1F2=35，∴|PF1|=5，根据椭圆定义易知，|PF2|=3．故答案为：3．将椭圆方程化为标准方程，易得a=4，b=2√3，然后根据三角形面积公式和椭圆的定义求解即可．本题主要考查椭圆的定义三角形面积公式等基础知识，属于中档题．13.答案：√3解析：解：把圆的方程化为标准方程得：(x−1)2+y2=2，∴圆心A坐标(1,0)，半径|AN|=√2，又M(0,2)，∴|AM|=√(1−0)2+(0−2)2=√5，则切线长|MN|=√|AM|2−|AN|2=√3．故答案为：√3把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，根据题意画出相应的图形，根据切线的性质得到三角形AMN为直角三角形，利用两点间的距离公式求出|AM|的长，再由半径|AN|，利用勾股定理即可求出切线长|MN|的长．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，切线的性质，以及勾股定理，利用了数形结合的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即直线与圆只有一个交点，熟练掌握切线性质是解本题的关键．14.答案：16π解析：球的直径为4，球的半径为：2，球的表面积为：S=4πR2=16π．故答案为：16π．15.答案：24解析：解：∵F1，F2为椭圆x236+y216=1的两个焦点，∴由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，∴△AF2B的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=24，故答案为：24．△AF1B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF1B的周长．本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化．16.答案：√1010解析：【分析】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，将线面夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键，属于中档题．取AB 的中点F ，连接B 1F ，过点F 作FG ⊥BD ，垂足为G ，连接B 1G ，根据FG ⊥平面BDD 1B 1，可知∠FB 1G 为B 1F 与平面BDD 1B 1所成角，在Rt △FB 1G 中求解即可，而AE//B 1F ，从而求出所求．【解答】解：取AB 的中点F ，连接B 1F ，过点F 作FG ⊥BD ，垂足为G ，连接B 1G ，由正方体性质易知BB 1⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥FG ，又FG ⊥BD ，BD ∩BB 1=B ，BD ⊂平面BDD 1B 1，BB 1⊂平面BDD 1B 1, ∴FG ⊥平面BDD 1B 1,∴∠FB 1G 为B 1F 与平面平面BDD 1B 1所成角，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为1，∴FG =√24，B 1F =√52， ∴sin∠FB 1G =√24√52=√1010， 而AE//B 1F ，所以直线AE 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为√1010． 故答案为√1010．17.答案：[19,14] 解析：解：如图，过点D 作DM ⊥AF 于点O ，交AB于点M ，不妨设二面角D −AF −B 的平面角为θ， 则cosθ=OMOD ，设DF =x ，2≤x ≤3，由勾股定理，OD =√x 2+1，OF =√x 4x 2+1，OA =√1x 2+1，∴cosθ=OM OD =OAOF =1x 2在[2,3]上是减函数，∴19≤cosθ≤14．故答案为：[19,14].过点D 作DM ⊥AF 于点O ，交AB 于点M ，不妨设二面角D −AF −B 的平面角为θ，则cosθ=OM OD =OAOF =1x 2，从而求其取值范围． 本题考查了学生的作图能力及空间想象力，注意折起前后的等量关系是本题解决的关键，属于中档题．18.答案：证明：(1)∵BB′⊥平面ABC ，BB′⊂平面B′C′CB ，∴平面B′C′CB ⊥平面ABC ，∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，又平面B′C′CB ⊥平面ABC ，平面B′C′CB ∩平面ABC =BC ，∴AD ⊥平面B′C′CB ，∵AD ⊂平面AB′D ，∴平面AB′D ⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M ，连接EM ，DM ，DF ．∵D 、E 、F 、M 分别为棱BC ，A′A ，AC ，AB′的中点，∴DF=//12AB，EM=//12A′B′，∵AB=//A′B′，∴DF=//EM，∴四边形DFEM是平行四边形，∴EF//DM，又EF⊄平面AB′D，DM⊂平面AB′D．∴EF//平面AB′D．解析：本题考查了线面平行，面面垂直的判定，构造平行线是证明的关键，属于中档题．(1)由BB′⊥平面ABC可得BB′⊥AD，由正三角形ABC得出BC⊥AD，于是AD⊥平面BCC′B′，从而有平面AB′D⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF，则利用中位线定理可证四边形DFEM是平行四边形，于是EF//DM，于是EF//平面AB′D．19.答案：解：(1)∵△ABC的顶点坐标是A(8,0)，B(0,6)，O(0,0)，显然，故其外接圆圆圆心为斜边的中点即AB中点，其外接圆直径的长度为斜边的长度．∴△ABC外接圆C的直径为|AB|=√82+62=10，圆心为(4,3)，∴△ABC外接圆C的方程为：(x−4)2+(y−3)2=25；(2)当直线l的斜率不存在时，x=−1，圆心(4,3)到直线x=−1的距离为4−(−1)=5，故直线x=−1为该圆的一条切线；当直线l的斜率存在时，设为k，则过点P(−1,5)的l的方程为y−5=k(x+1)，即kx−y+k+5=0，依题意，圆心(4,3)到直线l的距离d=2=2=5，解得：k=2120，∴l的方程为：21x−20y+121=0，综上所述，过点P(−1,5)作圆C的切线l的方程为：x=−1或21x−20y+121=0．解析：(1)依题意，易知ABC外接圆C的直径为|AB|=√82+62=10，圆心为(4,3)，从而可得△ABC 外接圆C的方程．(2)分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在时，设为k两种情况讨论，分别利用圆心到直线的距离等于半径去解决问题即可．本题考查圆的一般方程与圆的切线方程的求法，利用圆心到直线的距离等于半径是求切线斜率(存在时)的关键，考查转化思想．20.答案：解：(Ⅰ)S△ABF=1，则bc=1，又e =c a =√22，a 2=b 2+c 2，∴a =√2，b =1，∴椭圆C 的标准方程x 22+y 2=1．(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +2，由{x =my +2x 22+y 2=1，得(2+m 2)y 2+4my +2=0， ∴△=16m 2−8(2+m 2)>0，解得m 2>2，∴y 1+y 2=−4m m 2+2，y 1y 2=2m 2+2，令， ∵|y 1|<|y 2|，∴0<t <1，则(y 1+y 2)2y 1y 2=t +1t +2=8m 2m 2+2=81+2m 2∈(4,8)，∴3−2√2<t <1，故为坐标原点)的取值范围为(3−2√2,1)．解析：(Ⅰ)由S △ABF =1，则bc =1，又e =c a =√22，a 2=b 2+c 2，解得即可求出椭圆的方程， (Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +2.由此利用韦达定理得到为坐标原点)的取值范围(O 为坐标原点)．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形的取值范围的求法，解题时要认真审题． 21.答案：(Ⅰ)证明：取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD ，∵△PAB 是等边三角形，∴PO ⊥AB ，又∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴DO ⊥AB ，∵PO ∩DO =O ，PO ，DO ⊂平面POD ，∴AB ⊥平面POD ，∵PD ⊂平面POD ，∴AB ⊥PD ．(Ⅱ)∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面BCD =AB ，PO ⊥AB ，PO ⊂平面PAB ，∴PO ⊥平面ABCD∴PO ⊥DO ，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设AB =2，平面PAB 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)， P(0,0,√3)，B(1,0，0)，C(2,√3,0)，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,−√3)， 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{x −√3z =02x +√3y −√3z =0, 令z =1，得x =√3，y =−1，∴n ⃗ =(√3,−1,1)，设二面角A −PB −C 的平面角为θ，θ为钝角，∴cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5=−√55．解析：本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD ，证明PO ⊥AB ，DO ⊥AB ，推出AB ⊥平面POD ，然后证明AB ⊥PD ．(Ⅱ)以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设AB =2，求出平面PAB 的一个法向量，平面PBC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A −PB −C 的平面角的余弦函数值即可．22.答案：解：(1)由题意得：a =√2b,12a 2+34b 2=1⇒b =1,a =√2，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1;(2)假设满足条件的圆存在，其方程为：x 2+y 2=r 2(0<r <1)，当直线P,Q 的斜率存在时，设直线方程为y =kx +m ，由{y =kx +m x 2+2y 2=2得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 令P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则有：x 1+x 2=−4km 1+2k ，x 1x 2=2m 2−21+2k 2， ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由x 1x 2+y 1y 2=0，得(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0，∴(1+k 2)(2m 2−2)1+2k 2−4k 2m 21+2k 2+m 2=0， ∴3m 2=2k 2+2，因为直线PQ 与圆相切，∴r 2=m 21+k 2=23，所以存在圆x 2+y 2=23， 当直线PQ 的斜率不存在时，也适合x 2+y 2=23，综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=23满足题意．解析：本题考查椭圆的方程的求法，圆与椭圆以及直线的综合应用，考查分类讨论思想、转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)由短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形，推出a =√2b ，利用椭圆经过的点的坐标，代入椭圆方程，求出a 、b ，即可得到椭圆C 方程；(2)假设满足条件的圆存在，其方程为：x 2+y 2=r 2(0<r <1)，当直线PQ 的斜率存在时，设直线方程为y =kx +b ，联立方程组，令P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合x 1x 2+y 1y 2=0，推出3m 2=2k 2+2，利用直线PQ 与圆相切，求出圆的半径，得到圆的方程，判断当直线PQ 的斜率不存在时的圆的方程，即可得到结果．。
2019-2020学年浙江省浙东北联盟(ZBD)高二(上)期中数学试卷试题及答案
2019-2020学年浙江省浙东北联盟（ZDB ）高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆22143x y +=的焦点坐标为( )A ．(1,0)-，(1,0)B ．(C ．(0,1)-，(0,1)D ．(0,2．圆22:(1)1O x y -+=和直线:10l x y -+=的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1D B 与平面11BB C C 所成角的余弦值为( )A B C D 4．某几何体的三视图如图，则它的体积是( )A ．6B ．4π+C ．22π+D ．2π+5．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A ．a α⊂，b α⊂B ．a α⊂，//b αC ．a α⊥，b α⊥D ．a α⊂，b α⊥6．正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( ) A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π7．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE 与11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E8．如图，60︒的二面角的棱上有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为( )A ．B ．C ．D ．9．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，斜率为1-的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形(OAMB O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为( )A B C D ．2310．斜线段PA 与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 与直线PA 成()ββα<角，交平面M于点B ，动点B 的轨迹图形为( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个半圆D ．一个椭圆二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．圆224480x y x y +---=的圆心坐标为 ，半径为 ．12．已知椭圆22143x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，则椭圆的离心率为 ，过2F 且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则1||F A = ．13．已知圆22(2)5x y ++=外点(0,3)P ，过P 点作直线l 与圆相切交于点Q ，则切线长||PQ = ．14．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为 ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．15．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的左、右焦点，点B 为上顶点，延长2BF 交椭圆于M 点，且△1F BM 是腰长为3的等腰三角形，则a = ．16．已知三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，若点P 为AC 中点，则直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为 ，若点Q 在棱AC 所在直线上运动，则直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为 ．17．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，则二面角D AF B --的平面角余弦值的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D ，E ，F 分别是棱BC ，1CC ，11B C 的中点．求证：（1）直线1//A F 平面ADE ； （2）平面ADE ⊥平面11BCC B ．19．已知关于x ，y 的方程22440x y x y m +-++=表示一个圆． （1）求实数m 的取值范围；（2）若4m =，过点(0,2)P 的直线l 与圆相切，求出直线l 的方程．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为12，且点3(1,)2P 在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点(0,2)M -且与椭圆C 相交于A ，B 两点，且(OAB O ∆为坐标原点）的面l 的方程．21．如图，在四棱锥P ABCD-中，四边形ABCD是直角梯形，且//AD BC，AD CD⊥，60ABC∠=︒，22BC AD==，3PC=，PAB∆是正三角形．（1）求证：AB PC⊥；（2）求二面角P CD B--的平面角的正切值．22．已知椭圆222:1(1)xC y aa+=>．（1）若过点P的直线l与椭圆C恒有公共点，求实数a的取值范围；（2）若存在以点(0,2)B为圆心的圆与椭圆C有四个公共点，求实数a的取值范围．2019-2020学年浙江省浙东北联盟（ZDB ）高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆22143x y +=的焦点坐标为( )A ．(1,0)-，(1,0)B ．(C ．(0,1)-，(0,1)D ．(0,【解答】解：椭圆22143x y +=，可得2a =，b =，所以1c =，椭圆的焦点坐标为：(1,0)-，(1,0)．故选：A ．2．圆22:(1)1O x y -+=和直线:10l x y -+=的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【解答】解：圆22:(1)1O x y -+=，圆心坐标为(1,0)，半径为1．∴圆心到直线10x y -+=1=>，∴直线与圆相离．故选：C ．3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1D B 与平面11BB C C 所成角的余弦值为( )A B C D 【解答】解：连结1BC ， 11D C ⊥平面11BCC B ，11D BC ∴∠是直线1BD 与平面11BB C C 所成角，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为a ，则1BD =，1111cos BC D BC BD ∴∠===． 故直线1D B 与平面11BB C C故选：D ．4．某几何体的三视图如图，则它的体积是( )A ．6B ．4π+C ．22π+D ．2π+【解答】解：根据三视图知，该几何体是左边为长方体，右边为半圆柱体的组合体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积是211121222V V V ππ=+=⨯⨯+⋅⋅=+长方体半圆柱体．故选：D ．5．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A ．a α⊂，b α⊂B ．a α⊂，//b αC ．a α⊥，b α⊥D ．a α⊂，b α⊥【解答】解：两条不相交的空间直线a 和b ，有//a b 或a 与b 是异面直线， ∴一定存在平面α，使得：a α⊂，//b α．故选：B ．6．正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( ) A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【解答】解：取BD 中点O ，连结EO 、FO ， 设正四面体的棱长为a ，则//OF CD ，//OE AB ，且2a OF OE ==， EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角，取CD 中点G ，连结BG 、AG ， 则AG CD ⊥，BG CD ⊥， BGAG G =，CD ∴⊥平面ABG ，AB ⊂平面ABG ，CD AB ∴⊥， OF OE ∴⊥，4EFO π∴∠=．∴异面直线EF 与CD 所成的角为4π．故选：B ．7．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE 与11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E【解答】解：A 不正确，因为1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC ⊥平面11ABB A ； C 正确，因为AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D 不正确，因为11A C 所在的平面与平面1ABE 相交，且11A C 与交线有公共点，故11//A C 平面1AB E 不正确； 故选：C ．8．如图，60︒的二面角的棱上有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：CA AB ⊥，BD AB ⊥，∴0CA AB BD AB ==，,60AC BD <>=︒，∴,120CA BD <>=︒．CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++2226480268cos1200=++++⨯⨯⨯︒+ 68=．∴||217CD =．故选：A ．9．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，斜率为1-的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形(OAMB O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为()ABCD ．23【解答】解：设AB l 方程y x m =-+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，由22221y x m x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：22222222()20a b x ma x a m a b +-+-=， 则2012222ma x x x a b =+=+，20222mb y a b =+， 得202013OMy b k x a ===，所以离心率c e a ===，故选：B ．10．斜线段PA 与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 与直线PA 成()ββα<角，交平面M 于点B ，动点B 的轨迹图形为( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个半圆D ．一个椭圆【解答】解：由题意，PA 看作定直线，PB 与PA 所成角是定值，看作PB 绕PA 旋转一周，得到圆锥型图形，因为PA 看作是定直线，则平面M 也是定平面，如图，动点B 的轨迹图形为椭圆． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．圆224480x y x y +---=的圆心坐标为 (2,2) ，半径为 ． 【解答】解：圆224480x y x y +---=，即22(2)(2)16x y -+-=，故它的圆心坐标为(2,2)4=， 故答案为：(2,2)；4．12．已知椭圆22143x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，则椭圆的离心率为 2 ，过2F 且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则1||F A = ．【解答】解：椭圆22143x y +=，可得2a =，b =，则1c =，所以椭圆的离心率为：12c e a ==．过2F 且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，所以223||2b AF a ==， 由椭圆的定义可知：1235||2||422F A a AF =-=-=．故答案为：12；52．13．已知圆22(2)5x y ++=外点(0,3)P ，过P 点作直线l 与圆相切交于点Q ，则切线长||PQ =【解答】解：圆22(2)5x y ++=的圆心为(2,0)C -，半径为r =； 且222||(20)(03)13PC =--+-=，所以切线长||PQ ===．故答案为：14．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为 2，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．【解答】解：由题意，圆柱底面半径r =球的半径R ， 圆柱的高2h R =，则 343V R π=球，22322V r h R R R πππ==⋅⋅=柱． ∴3323423V R V R ππ==柱球． 24S R π=球，222222226S r rh R R R R πππππ=+=+⋅=柱． ∴226342S R S R ππ==柱球． 故答案为：32；32．15．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的左、右焦点，点B 为上顶点，延长2BF 交椭圆于M 点，且△1F BM 是腰长为3的等腰三角形，则a = 2 ．【解答】解：根据椭圆的定义，△1F BM 的周长为4a ，所以466a a ==+，所以36a =，2a =，故答案为：2．16．已知三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，若点P 为AC 中点，则直线PE 与平面BCD 若点Q 在棱AC 所在直线上运动，则直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为 ．【解答】解：连结BE ，AE ，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连结OD ， 则ADO ∠是直线PE 与平面BCD 所成角，设三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，设棱长为2，则23DO BO BE ====AO ==，sin AO ADO AD ∴∠===∴直线PE 与平面BCD 当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值，此时直线QE 与平面BCD 所成角为AEO ∠，AE == ∴直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为：sin AO AEO AE ∠===．17．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，则二面角D AF B --的平面角余弦值的取值范围是 1(,1)4．【解答】解：作DK AB ⊥，则DK ⊥平面ABCF ，作DO AF ⊥，则OK AF ⊥， 则DOK ∠为所求二面角的平面角，cos OKDOK OD∠=，设DF x =，AF =2AD AO AF =，则AO =OD =由平面图形ABCD 知，90DAF FAB ∠=︒-∠， 故1tan cot OK FAB DAF OA x∠==∠=， 所以1OK OA x=，所以21cos OK DOK OD x ∠==，(1,2)x ∈， 故1cos (4DOK ∠∈，1)．故答案为：1(4，1)．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D ，E ，F 分别是棱BC ，1CC ，11B C 的中点．求证：（1）直线1//A F 平面ADE ；（2）平面ADE ⊥平面11BCC B ．【解答】证明：（1）连结DF ，D ，F 为中点，∴11////DF BB AA ，∴四边形1ADFA 为平行四边形，1//A F AD ∴，AD ⊂平面ADE ，1A F ⊂/平面ADE ，1//A F ∴平面ADE ．（2）1BB ⊥平面ABC ，1BB AD ∴⊥，BC AD ⊥（三线合一）， AD ∴⊥平面11BCC B ，AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B ．19．已知关于x ，y 的方程22440x y x y m +-++=表示一个圆． （1）求实数m 的取值范围；（2）若4m =，过点(0,2)P 的直线l 与圆相切，求出直线l 的方程．【解答】解：（1）方程22440x y x y m +-++=可化为22(2)(2)8x y m -++=-， 令80m ->，解得8m <；所以方程表示圆时m 的取值范围是8m <．（2）4m =时，圆的方程为22(2)(2)4x y -++=， 则圆心为(2,2)C -，半径为2r =，当直线l 的斜率k 存在时，设l 的方程为：2y kx =+， 化为20kx y -+=，则圆心C 到直线l的距离为2d ==，解得34k =-，所以直线l 的方程为324y x =-+；当直线l 的斜率k 不存在时，直线0x =也为圆C 的切线； 综上，直线l 的方程为324y x =-+和0x =．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为12，且点3(1,)2P 在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点(0,2)M -且与椭圆C 相交于A ，B 两点，且(OAB O ∆为坐标原点）的面l 的方程．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为12，且点3(1,)2P 在椭圆上，可得2222219142121a b a c b a c a b c⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设直线:2l y kx =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 2222341234(2)122x y x kx y kx ⎧+=⇒+-=⎨=-⎩， 22(43)1640k x kx ∴+-+=，121222164,4343k x x x x k k +==++，12||x x -===121||||2OABS OM x x ∆=-==解得k =，直线l 的方程为2y =-． 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，AD CD ⊥，60ABC ∠=︒，22BC AD ==，3PC =，PAB ∆是正三角形．（1）求证：AB PC ⊥；（2）求二面角P CD B --的平面角的正切值．【解答】（1）证明：取AB 中点E ，连结PE ，CE ， 易证ABC ∆为正三角形，E 为AB 中点，CE AB ∴⊥， ABP ∆为正三角形，E 为AB 中点，PE AB ∴⊥， AB ∴⊥平面PCE ， AB PC ∴⊥．（2）解：过P 点作PO CE ⊥，PH CD ⊥，连结OH ， AB ⊥平面PCE ，∴平面ABCD ⊥平面PCE ， PO CE ⊥，PO ∴⊥平面ABCD ， PH CD ⊥，OH CD ∴⊥，PHO ∴∠为二面角P CD B --的平面角，四边形ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，AD CD ⊥， 60ABC ∠=︒，22BC AD ==，3PC =，PAB ∆是正三角形．2AB =，2PA PB ==，PE CE ==，30PCE ∠=︒，所以32PO =，OC =60ECD ∠=︒，94OH ==，三角形POH 是直角三角形，90POH ∠=︒， ∴2tan 3PO PHO OH ∠==． ∴二面角P CD B --的平面角的正切值：23．22．已知椭圆222:1(1)xC y a a+=>．（1）若过点P 的直线l 与椭圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围； （2）若存在以点(0,2)B 为圆心的圆与椭圆C 有四个公共点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）要使得直线l 与椭圆C 恒有公共点，则点P 要在椭圆上或者椭圆内，∴22221a +…，∴a …． （2）法一：要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，所以在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到B 点的距离相等， 设动点0(Q x ，0)y 在椭圆上，||BQ ===令222000()(1)44f y a y y a =--++，使得0()f y 在0(1,1)y ∈-上不单调， ∴22111a -<<-，∴a >法二：设圆222:(2)B x y r +-=，222222222222(2)(2)x y r a a y y r x a y a⎧+-=⇒-+-=⎨+=⎩， 整理得：2222(1)440a y y a r --++-=，所以存在r ，使得方程2222(1)440a y y a r --++-=在(1,1)-上有两解，令函数2222()(1)44f y a y y a r =--++-，对称轴221y a=-， 只需22111a -<<-即可，∴a >。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
2019-2020学年浙江省浙北G12联盟高二上学期期中联考试题 数学答案
浙北G2期中联考2019学年第一学期高二数学参考答案命题：嘉兴一中 审题：湖州中学一．选择题ACCDD CBDCC 二．填空题11. 12；8． 12．；83． 13．2-；2． 14. x ﹣y +1＝0．15．． 16．． 17．三．解答题 18．解：（1）如图所示，设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，且∠ASO ＝30°.在Rt △SO ′A ′中，sin 30rSA '︒＝，∴SA ′＝2r . 在Rt △SOA 中，sin 302rSA︒＝，∴SA ＝4r .∴SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，r ＝a . 故圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a .（2）过点B 作AO BH ⊥于点H ，连接H A ', ⊥'O O 面AOB ,BH O O ⊥'∴,⊥∴BH 面A O AO '',H A B '∠∴为B A '与平面A O AO ''所成的角， a BH a OH a OB AOB o 3,,2120==∴==∠，，a H A 7='，='='∠∴='BA BHH A B a B A sin ,101030 19．证明：（1）,E F 分别是,AC BC 的中点，//EF AB ∴。
又EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，//EF ∴平面PAB .（2）在三角形PAC 中，PA PC =，E 为AC 中点， PE AC ∴⊥。
平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =， PE ∴⊥平面ABC 。
PE BC ∴⊥。
又//,90EF AB ABC ∠=︒，EF BC ∴⊥，又EF PE E ⋂=， BC ∴⊥平面PEF 。
∴平面PEF ⊥平面PBC 。
20. 解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.2=，解得34k ＝∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有2|24|21a a -+=+，解得a ＝0或43a ＝.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为2|2|1a a ++，∴222|2|23()()421a a ++=+，解得34a ＝－.21．（1）证明：折叠前，,BE EC BA AD ⊥⊥， 折叠后,BA A C BA A D ''''⊥⊥又A C A D A '''⋂=，所以BA '⊥平面A CD '， 因此BA CD '⊥。
浙江省嘉兴市南湖区第一中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题含解析.doc
浙江省嘉兴市南湖区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若直线经过()(1,0),4,3A B 两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A. 30︒ B. 45︒C. 60︒D. 120︒【答案】A 【解析】【详解】试题分析：设直线AB 的倾斜角为(0180)αα︒≤<︒，由两点斜率公式的直线AB 的斜率303,AB k -==所以330tan ,αα=∴=︒，故选A ． 考点：1、直线的斜率公式；2、直线的倾斜角．2.如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ） A. 平行 B. 相交C. 平行或相交D. 垂直相交【答案】C 【解析】在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行,当两个平面相交时,在这两个平面内存在直线,使得这两条直线互相平行,当两个平面平行时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行，故这两个平面有可能相交或平行，所以这两个平面的位置关系是相交或平行，故选C.3.如图，扇形OAB 的圆心角为90︒，半径为1，则该扇形绕OB 所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（ ）A.34π B. 2π C. 3π D. 4π【答案】C 【解析】 【分析】以OB 所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得．【详解】由已知可得：以OB 所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，其中半球的半径为1，故半球的表面积为：22223r r πππππ+=+= 故答案为C【点睛】本题主要考查了旋转体的概念，以及球的表面积的计算，其中解答中熟记旋转体的定义，以及球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若//,//m n αα，则//m nB. 若,αγβγ⊥⊥，则//αβC. 若//,//m n αα，且,m n ββ⊂⊂，则//αβ D .若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项，,,A B C 均可举出反例；D 可证明得出.【详解】若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 异面或m 与n 相交，故选项A 错误； 若αγ⊥，βγ⊥，则α与β可能相交，故选项B 错误；若直线,m n 不相交，则平面,αβ不一定平行，故选项C 错误；αβ⊥，m α⊥ //m β∴或m β⊂，又n β⊥ m n ∴⊥，故选项D 正确.本题正确选项：D【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度.5.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直 【答案】D 【解析】解：利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D6.已知圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：（x ﹣3）2+（x+4）2=16，则圆O 1与圆O 2的位置关系为（ ） A. 外切 B. 内切C. 相交D. 相离【答案】A 【解析】 【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切. 【详解】圆1O 的圆心为()0,0，半径等于1，圆2O 的圆心为()3,4-，半径等于4， ()()2203045-++=，等于半径之和，∴两个圆相外切.故选A.【点睛】判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．7.若实数,x y 满足222210x y x y +--+=，则42y x --的取值范围为（ ） A. 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 4,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】已知等式变形后得到圆方程，找出圆心与半径，令42-=-y t x ，得到240--+=tx y t ；求出圆心(1,1)到直线240--+=tx y t的距离1=≤d ，即可得出所求式子的范围．【详解】令42-=-y t x ，即240--+=tx y t ，表示一条直线； 又方程222210x y x y +--+=可化为22(1)(1)1x y -+-=，表示圆心为(1,1)，半径1的圆； 由题意直线与圆有公共点，∴圆心(1,1)到直线240--+=tx y t的距离1=≤d ，∴43≥t ，即42y x --的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 故选B【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，由直线与圆的位置关系求参数，熟记直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.8.已知点P 是直线l ：3x 4y 70+-=上的动点，过点P 引圆C ：222(x 1)y r (r 0)++=>的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点，当MPN ∠的最大值为π3时，则r 的值为( ) A. 4 B. 3 C. 2D. 1【答案】D 【解析】 分析】结合题意，找出该角取最大值的时候PC 的长度，建立方程，计算结果，即可。
浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2019_2020学年高二数学上学期期中联考试题(含解析)
浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（）A. B. C. D.2.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（）A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. 垂直相交3.如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A.B.C.D.4.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若,,则B. 若,,则C. 若,,且,,则D. 若,,且,则5.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（）A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直6.已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x-3）2+（x+4）2=16，则圆O1与圆O2的位置关系为（）A. 外切B. 内切C. 相交D. 相离7.若实数x，y满足x2+y2-2x-2y+1=0，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知点P是直线l：3x+4y-7=0上的动点，过点P引圆C：（x+1）2+y2=r2（r＞0）的两条切线PM，PN，M，N为切点，当∠MPN的最大值为时，则r的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 19.对于直角坐标平面内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“新距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．给出下列三个命题：①若点C在线段AB上．则∥AC∥+∥BC∥=∥AB∥；②在△ABC中，若∠C=90°，则∥AC∥2+∥BC∥2=∥AB∥2；③在△ABC中，∥AC∥+∥BC∥＞∥AB∥．其中的真命题为（）A. B. C. D.10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将△ABD沿对角线BD翻折，使二面角A-BD-C的在大小为120°，则异面直线图BE与CF所成角的余弦值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.在直观图（如图）中，四边形为O′A′B′C′菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO周长为______cm，面积为______cm2．12.如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为______，体积为______．13.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根，若l1⊥l2，则m=______；若l1∥l2，则m=______．14.如果平面直角坐标系中的两点A（a-1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为______．15.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为______，CE和该截面所成角的正弦值为______．16.已知实数x、y满足x2+（y-2）2=1，则的取值范围是______．17.四面体A-BCD的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，△BCD是等边三角形．若侧面△ABD的面积为1，则球O的表面积的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．（1）求圆台两底面的半径；（2）如图，点B为下底面圆周上的点，且∠AOB=120°，求A'B与平面AOO'A'所成角的正弦值．19.如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC．20.已知点M（3，1），直线ax-y+4=0及圆（x-1）2+（y-2）2=4．（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线ax-y+4=0与圆相切，求a的值；（3）若直线ax-y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值．21.如图（1），边长为2的正方形ABEF中，D，C分别为EF，AF上的点，且ED=CF，现沿DC把△CDF剪切、拼接成如图（2）的图形，再将△BEC，△CDF，△ABD沿BC，CD，BD 折起，使EFA三点重合于点A'．（1）求证：BA'⊥CD；（2）求二面角B-CD-A'的正切值的最小值．22.如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴的正半轴相交于A，B两点（A在B的上方），且AB=3．（1）求圆C的方程；（2）直线BT上是否存在点P满足PA2+PB2+PT2=12，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分∠EAF，求证：直线EF的斜率为定值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：若直线经过两点，则直线的斜率等于=．设直线的倾斜角等于θ，则有tanθ=．再由 0≤θ＜π可得θ=，即θ=30°，故选：A．先根据直线的斜率公式求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值．本题主要考查直线的斜率公式，倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，当两个平面相交时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行．当两个平面平行时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行．故这两个平面有可能相交或平行．∴这两个平面的位置关系是相交或平行．故选：C．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查两个平面的位置关系的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3.【答案】C【解析】解：如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体，∴该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积：S==3π．故选：C．该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体，由此能求出该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积．本题考查几何体的表面积的求法，考查旋转体、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选：D．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查立体几何中的空间中直线与直线的位置关系，考查异面直线的概念，异面直线所成角的概念及求法，以及由正方体的平面展开图可以画出它对应的直观图，属于基础题.根据该正方体的平面展开图画出对应的直观图，即可判断AB，CD的位置关系，并求得所成的角．【解答】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出AB与CD异面；如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则AB∥CE；∴∠DCE为异面直线AB，CD的夹角，并且该角为60°；∴AB，CD异面但不垂直．故选D．6.【答案】A【解析】解：圆O1的圆心为O（0，0），半径等于1，圆O2的圆心为（3，-4），半径等于4，它们的圆心距等于=5，等于半径之和，故两个圆相外切，故选：A．先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切．本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系的判定方法，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：令=t，即tx-y-2t+4=0，表示一条直线；又方程x2+y2-2x-2y+1=0可化为（x-1）2+（y-1）2=1，表示圆心为（1，1），半径1的圆；由题意直线与圆有公共点，∴圆心（1，1）到直线tx-y-2t+4=0的距离d=≤1，∴t≥，即的取值范围为[，+∞）．故选B．已知等式变形后得到圆方程，找出圆心与半径，求出圆心（1，1）到直线tx-y-2t+4=0的距离d=≤1，即可得出所求式子的范围．此题考查了直线与圆的位置关系，利用了数形结合的思想，熟练运用数形结合思想是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：因为点P在直线l：3x+4y-7=0上，连接PC，当PC⊥l时，∠MPN最大，由题意知，此时∠MPN=，所以∠CPM=，所以|PC|=2r，又因为C到l的距离d=2，所以r=1，故选：D．因为点P在直线l：3x+4y-7=0上，连接PC，当PC⊥l时，∠MPN最大，再利用点到直线的距离公式可得．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．9.【答案】C【解析】解：①若点C在线段AB上，设点C（x0，y0），那么x0在x1，x2之间．y0在y1，y2之间，∴||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||，故①正确；②平方后不能消除x0，y0，命题不成立，故②不正确；③在△ABC中，||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|x0-x1+y0-y1+x2-x0+y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|= ||AB||，故③不正确．故选：C．首先分析题目任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|，对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0）然后代入验证显然|AC||+||CB||=||AB||成立．成立故正确．对于②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于③在△ABC中，用坐标表示||AC||+||CB||然后根据绝对值不等式可得到大于等于||AB||．不成立，故可得到答案．本题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求．属于中档题目．10.【答案】C【解析】解：如图，取ED中点M连接FM，AF，设菱形ABCD的边长为4，因为∠BAD=60°，∴AF⊥BD，CF⊥BD，则∠MFC（或补角）为BE与CF所成角．∴AF=BE=CF=2，在△AFC中，∠AFC=120°，可得在△ACD中，cos∠ADC=．在△DMC中，CD==3．在△MFC中，cos∠MFC==．故选：C．取ED中点M连接FM，AF，设菱形ABCD的边长为4，可得∠MFC（或补角）为BE与CF所成角．在△MFC中，cos∠MFC=即可．本题考查了空间线线角的求法，考查了计算能力，属于中档题．11.【答案】12 8【解析】解：在直观图中，四边形为O′A′B′C′菱形且边长为2cm，∴由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形ABCO是矩形，其中OA=2cm，OC=4cm，∴四边形ABCO的周长为：2×（2+4）=12（cm），面积为S=2×4=8（cm2）．故答案为：12，8．由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形ABCO是矩形，其中OA=2cm，OC=4cm，由此能求出四边形ABCO的周长和面积．本题考查四边形的周长和面积的求法，考查斜二测法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．12.【答案】【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，则该几何体最长棱的长度为；故答案为：；．由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，则四棱锥的最长棱长与体积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．13.【答案】-2 2【解析】解：直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根，∴k1+k2=2，k1k2=．①若l1⊥l2，∴k1k2==-1，解得m=-2．②若l1∥l2，则k1=k2，又k1+k2=2，k1k2=．联立解得m=2．故答案为：-2，2．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根，利用根与系数的关系可得：k1+k2=2，k1k2=．再利用根据相互垂直、平行与斜率之间的关系即可得出．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、相互垂直及平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】x-y+1=0【解析】解：∵k AB==-1，线段AB的中点为，两点A（a-1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，∴k L=1，其准线方程为：y-=x-，化为：x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．利用垂直平分线的性质即可得出．本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：取A1D1中点G，BC中点P，CD中点H，连结GM、GN、MN、PE、PH、PF，∵MG∥EF，NG∥EP，MG∩NG=G，EF∩EP=E，∴平面MNG∥平面PEFH，∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH，∵PE=2，EF==，四边形PEFH是矩形，∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为：S矩形PEFH=2．以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，E（1，2，0），F（0，1，0），H（0，1，2），C（0，2，2），=（-1，0，2），=（-1，-1，0），=（-1，-1，2），设平面EFHP的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，0），设CE和该截面所成角为θ，则sinθ===．∴CE和该截面所成角的正弦值为．故答案为：2，．取A1D1中点G，BC中点P，CD中点H，连结GM、GN、MN、PE、PH、PF，推导出平面MNG∥平面PEFH，过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH，由此能求出过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积；以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE和该截面所成角的正弦值．本题考查截面面积的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.【答案】[0，]【解析】解：P（x，y）为圆x2+（y-2）2=1上的任意一点，则P到直线x+y=0的距离PM==x+，∴==sin∠POM，设圆x2+（y-2）2=1与直线y=kx相切，则=1，解得k=±，∴∠POM的最小值为0°，最大值为60°，∴0≤sin∠POM≤，故答案为：[0，]．构造直线x+=0，过圆上一点P作直线的垂线PM，则==sin∠POM，求出∠POM的范围即可得到答案．本题考查了直线与圆的位置关系，属难题．17.【答案】【解析】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，设△BCD是边长为a的等边三角形．AB•BD=2，即AB=，∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R==．（当且仅当a2=时取等号）．四面体ABCD外接球O的表面积为S=4πR2=4π×=．故答案为：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，设△BCD是边长为a的等边三角形，可得AB=△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，R==．（当且仅当a2=时取等号），即可求出表面积最小值．本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．18.【答案】解：（1）如图所示，设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，且∠ASO=30°．在Rt△SO′A′中，=sin30°，∴SA′=2r．在Rt△SOA中，，∴SA=4r．∴SA-SA′=AA′，即4r-2r=2a，r=a．故圆台上底面半径为a，下底面半径为2a．（2）过点B作BH⊥AO于点H，连接A′H，∵O′O⊥面AOB，∴O′O⊥BH，∴BH⊥面AOO′A′，∴∠BA′H为A′B与平面AOO′A′所成的角，∵∠AOB=120°，OB=2a，∴OH=a，BH=，A′H=，A′B=a，∴sin∠BA′H==，∴A'B与平面AOO'A'所成角的正弦值为．【解析】（1）设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，且∠ASO=30°．推导出SA′=2r．SA=4r．从而r=a．由此能求出圆台上底面半径和下底面半径．（2）过点B作BH⊥AO于点H，连接A′H，推导出O′O⊥BH，BH⊥面AOO′A′，从而∠BA′H为A′B 与平面AOO′A′所成的角，由此能求出A'B与平面AOO'A'所成角的正弦值．本题考查圆台两底面的半径、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】证明：（1）∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB．又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．（2）在三角形PAC中，∵PA=PC，E为AC中点，∴PE⊥AC．∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴PE⊥平面ABC．∴PE⊥BC．又EF∥AB，∠ABC=90°，∴EF⊥BC，又EF∩PE=E，∴BC⊥平面PEF．∴平面PEF⊥平面PBC．【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的性质定理，考查空间想象能力，逻辑推理能力．（1）利用E，F分别是AC，BC的中点，说明EF∥AB，通过直线与平面平行的判定定理直接证明EF∥平面PAB．（2）证明PE⊥AC，利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABC，通过证明PE⊥BC．EF⊥BC，EF∩PE=E，证明BC⊥平面PEF，然后推出平面PEF⊥平面PBC．20.【答案】解：（1）∵点M（3，1）到圆心（1，2）的距离d==＞2=圆半径r，∴点M在圆（x-1）2+（y-2）2=4外，∴当x=3时满足与M相切，当斜率存在时设为y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，由，∴k=．∴所求的切线方程为x=3或3x-4y-5=0．（5分）（2）由ax-y+4=0与圆相切，知=2，（7分）解得a=0或a=．（9分）（3）圆心到直线的距离d=，（10分）又l=2，r=2，∴由r2=d2+（）2，解得a=-．（12分）【解析】（1）点M（3，1）在圆（x-1）2+（y-2）2=4外，故当x=3时满足与M相切，由此能求出切线方程．（2）由ax-y+4=0与圆相切知=2，由此能求出a．（3）圆心到直线的距离d=，l=2，r=2，由r2=d2+（）2，能求出a．本题考查圆的切线方程的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离、两点间距离等知识点的合理运用．21.【答案】解：（1）证明：折叠前，BE⊥EC，BA⊥AD，折叠后BA'⊥A'C，BA'⊥A'D又A'C∩A'D=A'，所以BA'⊥平面A'CD，因此BA'⊥CD．（2）作A′E⊥CD交CD于点E，连结BE．∵BA'⊥CD．∴∠A'EB为二面角B-CD-A'的平面角．令A'C=a，A'D=b，a+b=2易得图3中，CA′⊥A′D∴∴二面角B-CD-A'的正切值的最小值为2．【解析】（1）可得折叠后BA'⊥A'C，BA'⊥A'D，即可证明BA'⊥CD．（2）作A′E⊥CD交CD于点E，连结BE．可得∠A'EB为二面角B-CD-A'的平面角．令A'C=a，A'D=b，a+b=2，易得图3中，tanθ=2，利用a+b=2即可求解．本题考查了空间线线垂直判定，二面角的大小求解，考查了计算能力，属于中档题，22.【答案】解：（1）由题知，圆心C到直线AB的距离为2，则圆C的半径为r==．因为圆C与x轴相切于点T（2，0），所以圆心C的坐标为C（2，），故圆C的方程为．（2）因为圆C的方程为，所以A（0，4），B（0，1）．设P（x，y），则由PA2+PB2+PC2=12得x2+（y-1）2+x2+（y-4）2+（x-2）2+y2=12，化简得，所以点P在以（）为圆心，为半径的圆上，又因为B（0，1），T（2，0），所以得直线BT的方程为x+2y-2=0．圆心（）到直线x+2y-2=0的距离d=，即直线x+2y-2=0与圆相离，所以直线BT上不存在点P满足PA2+PB2+PC2=12．（3）因为圆C上存在E、F两点，使得射线AB平分∠EAF，所以∠EAB=∠FAB，得到直线AE斜率和直线AF斜率互为相反数．设直线AE斜率为k且k≠0，则直线AE的方程为y=kx+4，联立得，消去x化简得（k2+1）x2+（3k-4）x=0，解得x=0或x=，所以E（），用-k替换点E坐标中的k得F（），由k≠0得x E≠x F，则k EF==，所以直线EF的斜率为定值．【解析】（1）由圆心C到直线AB的距离为2，则圆C的半径为r==．因为圆C与x轴相切于点T（2，0），所以圆心C的坐标为C（2，），继而写出方程即可；（2）用反证法，假设P点存在，根据已知推出矛盾即可；（3）因为圆C上存在E、F两点，使得射线AB平分∠EAF，所以∠EAB=∠FAB，得到直线AE 斜率和直线AF斜率互为相反数．设直线AE斜率为k且k≠0，则直线AE的方程为y=kx+4，联立得，解得E点坐标，根据对称写出F点坐标，继而可得EF的斜率．本题考查了直线与圆的关系，涉及了直线的斜率公式，点到直线的距离公式，对称知识等，属于综合性题目，难度中等．。
2019-2020学年浙江省嘉兴市七校高一(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)
2019-2020学年浙江省嘉兴市七校高一（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知集合{0A =，1，2}，那么()A ．0A⊆B ．0A∈C ．{1}A ∈D ．{0，1，2}AÜ2．下列各组表示同一函数的是()A ．2()1,()1x f x x g x x=-=-B ．()1f x =，0()g x x =C．()()f x g x ==D ．,0()||,(),0x x f x x g x x x ⎧==⎨-<⎩ 3．三个数0.37a =，70.3b =，0.3c ln =大小的顺序是()A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c a b>>4．下列函数既是奇函数又在(0,)+∞上为增函数的是()A ．2y x =B ．1x y x-=C ．1y x x=+D ．1y x x=-5．已知点1(3，27)在幂函数()(2)a f x t x =-的图象上，则(t a +=)A ．1-B ．0C ．1D ．26．若函数()f x 的定义域为[0，3)，则函数(21)f x +的定义域是()A ．[1，7)B ．1[,7)2-C ．1[,1)2-D ．[0，3)7．设函数21,2()(2),2x x f x f x x ⎧-=⎨->⎩，则(f f （2）)的值为()A ．0B ．3C ．1-D ．28．函数1()(0,1)x f x a a a a=->≠的图象可能是()A ．B ．C．D．9．函数22()log (4)f x x ax a =-+在区间[2，)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，4]B ．(-∞，2]C ．(2-，4]D ．(2-，2]10．设函数21()(1||)1f x ln x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(13⋃，)+∞B ．1(3，1)C ．11(,)33-D ．(-∞，11)(,)33-+∞ 二.填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．计算：12(3)2-+-=；7log 22547lg lg ++=．12．已知函数21log (),0()2,0x x x f x x --<⎧=⎨⎩，则f （1）=；若f （a ）2=，则a =．13．若函数3()(21)2x f x a -=--，则()y f x =的图象恒过定点，又()f x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是．14．已知函数22()2xxf x -=，则()f x 的单调递增区间是，值域是．15．已知()f x 是奇函数，当0x <时，32()2f x x x =-，则当0x >时，()f x =．16．已知函数(12),1()1log ,13x aa x f x x x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩，当12x x ≠时，1212()()0f x f x x x -<-，则a 的取值范围是．17．已知函数24,0()22,0x x x f x x +⎧=⎨->⎩，若函数(())y f f x m =+有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是．三．解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.18．设全集U R =，集合{|2A x x =>或1}x <-，{|20}B x x =-<<，{|4}C x a x a =+ ．（1）求A B ，U A B ð；（2）若U C B ⊆ð，求实数a 的取值范围．19．已知函数()mf x x x=+的图象过点(1,2)P ．（1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（3）用函数的单调性定义证明函数()f x 在区间(1,)+∞上是增函数．20．设函数2()41f x x tx t =++-．（1）当1t =时，求函数()f x 在区间[3-，1]中的值域；（2）若[1x ∈，2]时，()0f x >恒成立，求t 的取值范围．21．已知函数2()(4)f x ln x ax =-+．（1）若()f x 定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）当4a =时，解不等式()x f e x ．22．已知函数()||1f x x a =--，(a 为常数）．（1）若()f x 在[0x ∈，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知()()g x x f x a m =+- ，若存在实数(1a ∈-，2]，使得函数()g x 有三个零点，求实数m 的取值范围．2019-2020学年浙江省嘉兴市七校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知集合{0A =，1，2}，那么()A ．0A⊆B ．0A∈C ．{1}A ∈D ．{0，1，2}AÜ【解答】解：因为集合{0A =，1，2}，所以0A ∈，选项A 不正确，选项B 正确，选项C 是集合与集合之间的关系，错用元素与集合关系，选项D ；两个集合相等，所以D 错误．故选：B ．2．下列各组表示同一函数的是()A ．2()1,()1x f x x g x x=-=-B ．()1f x =，0()g x x =C．()()f x g x ==D ．,0()||,(),0x x f x x g x x x ⎧==⎨-<⎩ 【解答】解：若两个函数是同一个函数，则两个函数必须具有相同的定义域、值域、对应关系．函数()1f x x =-的定义域为{|}x x R ∈，而函数2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，故它们不是同一个函数，故排除A ；函数()1f x =的定义域为R ，0()1g x x ==的定义域为{|0}x x ≠，故它们不是同一个函数，故排除B ；函数()f x =的值域为[0，)+∞，函数()g x =的值域为R ，故它们不是同一个函数，故排除C ，函数,0()||,0x x f x x x x ⎧==⎨-<⎩ 与函数,0(),0x x g x x x ⎧=⎨-<⎩，具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数，故选：D ．3．三个数0.37a =，70.3b =，0.3c ln =大小的顺序是()A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b a c >>D ．c a b>>【解答】解：由指数函数和对数函数的图象可知：0.371>，700.31<<，0.30ln <，所以70.30.30.37ln <<故选：A ．4．下列函数既是奇函数又在(0,)+∞上为增函数的是()A ．2y x =B ．1x y x-=C ．1y x x=+D ．1y x x=-【解答】解：由奇函数的性质可知，2:A y x =为偶函数，不符合条件；11:()1x B y f x x x-===-为非奇非偶函数，不符合题意；1:C y x x=+为奇函数，但在(0,1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增，不符合题意；1:D y x x =-，1()()f x x f x x -=-+=-，为奇函数，而1y x x=-在(0,)+∞上单调递增，故选：D ．5．已知点1(3，27)在幂函数()(2)a f x t x =-的图象上，则(t a +=)A ．1-B ．0C ．1D ．2【解答】解： 点1(3，27)在幂函数()(2)a f x t x =-的图象上，11()(2)(2733a f t ∴=-=，且21t -=，解得3t =，3a =-，330t a ∴+=-=．故选：B ．6．若函数()f x 的定义域为[0，3)，则函数(21)f x +的定义域是()A ．[1，7)B ．1[,7)2-C ．1[,1)2-D ．[0，3)【解答】解：()f x 的定义域为[0，3)，∴由0213x +< 得112x -< ，即函数(21)f x +的定义域是1[2-，1)，故选：C ．7．设函数21,2()(2),2x x f x f x x ⎧-=⎨->⎩，则(f f （2）)的值为()A ．0B ．3C ．1-D ．2【解答】解：根据题意，函数21,2()(2),2x x f x f x x ⎧-=⎨->⎩，则f （2）2213=-=，则(f f （2）)f =（3）f =（1）110=-=；故选：A ．8．函数1()(0,1)x f x a a a a=->≠的图象可能是()A ．B ．C．D．【解答】解：若1a >，则函数()f x 为增函数，此时，C ，D 不成立，1(0)1(0,1)f a=-∈，则A ，B 不成立，若01a <<，则函数()f x 为减函数，此时A ，B 不成立，1(0)10f a=-<，则D 不成立，故C 有可能，故选：C ．9．函数22()log (4)f x x ax a =-+在区间[2，)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，4]B ．(-∞，2]C ．(2-，4]D ．(2-，2]【解答】解： 函数22()log (4)f x x ax a =-+在区间[2，)+∞上是增函数，240y x ax a ∴=-+>区间[2，)+∞上恒成立，且是增函数，∴224240a a a ⎧⎪⎨⎪-+>⎩ ，解得24a -< ，故选：C ．10．设函数21()(1||)1f x ln x x=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(13⋃，)+∞B ．1(3，1)C ．11(,)33-D ．(-∞，11)(,)33-+∞ 【解答】解： 函数21()(1||)1f x ln x x =+-+为偶函数，且在0x 时，21()(1)1f x ln x x =+-+，导数为2212()01(1)x f x x x '=+>++，即有函数()f x 在[0，)+∞单调递增，()(21)f x f x ∴>-等价为(||)(|21|)f x f x >-，即|||21|x x >-，平方得23410x x -+<，解得：113x <<，所求x 的取值范围是1(3，1)．故选：B ．二.填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．计算：102(3)2-+-=0；7log 22547lg lg ++=．【解答】解：102(3)2110-+=--=，722547252222(52)24log lg lg lg lg lg lg ++=++=++=．故答案为：0，4．12．已知函数21log (),0()2,0x x x f x x --<⎧=⎨⎩ ，则f （1）=1；若f （a ）2=，则a =．【解答】解：21log (),0()2,0x x x f x x --<⎧=⎨⎩ ，f ∴（1）1121-==f （a ）2=，∴20()2a log a <⎧⎨-=⎩或1022a x -⎧⎨=⎩ ，解得4a =-或2a =故答案为：1；4-或213．若函数3()(21)2x f x a -=--，则()y f x =的图象恒过定点(3,1)-，又()f x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是．【解答】解：对于函数3()(21)2x f x a -=--，令30x -=，求得3x =，()1f x =-，可得()y f x =的图象恒过定点(3,1)-．再根据函数3()(21)2x f x a -=--在R 上是减函数，故有0211a <-<，求得112a <<，故答案为：(3,1)-；1(2，1)．14．已知函数22()2xxf x -=，则()f x 的单调递增区间是[1，)+∞，值域是．【解答】解： 函数22()2xxf x -=，则()f x 的单调递增区间，即22y x x =-的增区间．22y x x =- 的增区间为[1，)+∞，故()f x 的增区间为[1，)+∞．222(1)11y x x x =-=--- ，故11()22f x -=，故函数()f x 的值域为1[2，)+∞，故答案为：[1，)+∞；1[2，)+∞．15．已知()f x 是奇函数，当0x <时，32()2f x x x =-，则当0x >时，()f x =322x x +．【解答】解：根据题意，设0x >，则0x -<，则3232()()2()2f x x x x x -=---=--，又由()f x 为奇函数，则32()()2f x f x x x =--=+，故答案为：322x x +16．已知函数(12),1()1log ,13x a a x f x x x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩ ，当12x x ≠时，1212()()0f x f x x x -<-，则a 的取值范围是(0，1]3．【解答】解：由题意得函数()f x 在R 递减，故0121112301a a a <-<⎧⎪⎪-⎨⎪<<⎪⎩ ，解得：103a < ，故答案为：(0，13．17．已知函数24,0()22,0x x x f x x +⎧=⎨->⎩，若函数(())y f f x m =+有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是31m -<- ．【解答】解：(())0y f f x m =+=，令()t f x m =+，即()0f t =，当0t 时，240t +=，得2t =-，即()2f x m +=-即()2f x m =--；当0t >时，220x -=，得1t =，即()1f x m +=即()1f x m =-；∴题目转化为()f x 和2y m =--，1y m =-各有两个交点．画出()f x的图象如下：由图可知：124114m m -<--⎧⎨-<-+⎩ 解得31m -<- ，故答案为：31m -<- ．三．解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.18．设全集U R =，集合{|2A x x =>或1}x <-，{|20}B x x =-<<，{|4}C x a x a =+ ．（1）求A B ，U A B ð；（2）若U C B ⊆ð，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）{|2A x x => 或1}x <-，{|20}B x x =-<<，{|2A B x x ∴=> 或0}x <，{|2U B x x =- ð或0}x ，{|2U A B x x =- ð或2}x >；（2）U C B ⊆ ð，42a ∴+- 或0a ，即6a - 或0a ，∴实数a 的取值范围为{|6a a - 或0}a ．19．已知函数()mf x x x=+的图象过点(1,2)P ．（1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（3）用函数的单调性定义证明函数()f x 在区间(1,)+∞上是增函数．【解答】解：（1）根据题意，函数()m f x x x =+的图象过点(1,2)P ，则有(1)121mf =+=，解可得1m =；（2）函数()f x 为奇函数，证明如下：函数1()f x x x=+，其定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，又11()()()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--，所以1()f x x x=+是奇函数；（3）设任意1x ，2(1,)x ∈+∞，且12x x <，则122121212112111()()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-，因为12x x <，则210x x ->；又1x ，2(1,)x ∈+∞，则121x x >于是21()()0f x f x ->，所以函数()f x 在区间(1,)+∞上是增函数．20．设函数2()41f x x tx t =++-．（1）当1t =时，求函数()f x 在区间[3-，1]中的值域；（2）若[1x ∈，2]时，()0f x >恒成立，求t 的取值范围．【解答】解：（1）当1t =时，22()4(2)4f x x x x =+=+-，()f x ∴在区间[3-，2]-上单调递减，在[2-，1]上单调递增，(3)3f -=- ，f （1）5=，(2)4min f f ∴=-=-；max f f =（1）5=，故值域为[4-，5]．（2）222()41(2)41f x x tx t x t t t =++-=+-+-，当21t - ，即12t - 时，fmin f =（1）50t =>，0t ∴>；当122t <-<，即112t -<<-时，2(2)410fmin f t t t =-=-+->，无解；当22t - ，即1t - 时，fmin f =（2）930t =+>，13t >-，不符应舍去；综上，t 的取值范围为(0,)+∞．21．已知函数2()(4)f x ln x ax =-+．（1）若()f x 定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）当4a =时，解不等式()x f e x ．【解答】解：（1）由已知得240x ax -+>解集为R ，∴△2160a =-<，解得44a -<<；（2）4a =时，2()(44)f x ln x x =-+，2()[()44]x x x f e ln e e x =-+ ，2()44x x x e e e -+ ，2()540x x e e -+ ，令x e t =，则2540t t -+ ，4t 或1t ，4x ln ∴ 或0x ，又2440x x -+>，2x ∴≠，综上，x 的解集为{|0x x 或4x ln 且2}x ≠．22．已知函数()||1f x x a =--，(a 为常数）．（1）若()f x 在[0x ∈，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知()()g x x f x a m =+- ，若存在实数(1a ∈-，2]，使得函数()g x 有三个零点，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）1,()1,x a x a f x x a x a --⎧=⎨-+-<⎩，当1a 时，()(0)3max f x f ==，4a ∴=；当1a <时，()max f x f =（2）3=，2a ∴=-；综上：4a =或2-．（2）()||0g x x x a x a m =--+-=有三个零点，等价于()||h x x x a x a =--+和y m =有三个不同的交点，22,(),x ax x a x a h x x ax x a x a ⎧--+=⎨-+-+<⎩，当12a 时，()h x 在1(,)2a --∞上递增，在1(2a -，12a +递减，在1(2a +，)+∞递增；10()2a m h -∴<<，即2(1)0(14a m +<<∈，9]4，904m ∴<<．当11a -<<时，()h x 在1(2a -，12a +上递减，在(-∞，11)(22a a -+，)+∞上递增；11(()(22a a h m h +-∴<<即22(1)(1)44a a m -+-<<，914m ∴-<<．。
浙江省嘉兴市2019-2020年度数学高二上学期文数期中考试试卷C卷
浙江省嘉兴市2019-2020年度数学高二上学期文数期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2016高一下·湖南期中) 在1000个有机会中奖的号码（编号为000～999）中，按照随机抽取的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（）A . 简单随机抽样B . 系统抽样C . 分层抽样D . 抽签法2. （1分）一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，采取有放回地每次摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行3次，则至少摸到一次红球的概率是（）A .B .C .D .3. （1分） (2016高一下·郑州期末) 从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲， m 乙，则（）A . ， m甲＞m乙B . ， m甲＜m乙C . ， m甲＞m乙D . ， m甲＜m乙4. （1分） (2018高二上·广州期中) 为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（）A .B .C .D .5. （1分）已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）A .B .C .D .6. （1分）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于（）A . 45B . 757. （1分） (2019高一上·沈阳月考) 甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是（）A .B .C .D .8. （1分） (2017高二上·绍兴期末) 已知直线l1：y=﹣ x﹣1，l2：y=k2x﹣2，则“k=2”是“l1⊥l2”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （1分）(2019高二上·邵阳期中) 在各项均为正数的等比数列中，若 ,则的值为（）A . 12B . 10C . 8D .10. （1分） (2016高二上·翔安期中) 边长分别为1，，2 的三角形的最大角与最小角的和是（）C . 135°D . 150°11. （1分）执行如图所示的程序框图，若输出的值为15，则输入的n值可能为（）A . 2B . 4C . 6D . 812. （1分）在△ABC中，A= ，b=2，其面积S=2 ，则△ABC的外接圆的直径为（）A . 8B . 4C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2018高二下·晋江期末) 已知某运动员每次投篮命中的概率等于.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．14. （1分）已知实数a＞b，当a、b满足________ 条件时，不等式＜成立．15. （1分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[3000，3500）（元）月收入段应抽出________人．16. （1分）(2019·汕头模拟) 设满足约束条件，则的最大值为________．17. （1分） (2018高一下·双鸭山期末) 已知，若恒成立，则实数的取值范围________；18. （1分） (2018高三上·沈阳期末) 在中，面积为，则________．三、解答题 (共5题；共10分)19. （2分）(2020·秦淮模拟) 如图，在△ABC中，已知B ，AB＝3，AD为边BC上的中线，设∠BAD＝α，若cosα ．（1）求AD的长；（2）求sinC的值．20. （1分） (2016高二上·宣化期中) 某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组（0，10]，第2组（10，20]，第3组（20，30]，第4组（30，40]，第5组（40，50]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）根据图中数据求a的值；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，5组各抽取多少名新生？（3）在（2）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．21. （2分） (2020高二上·榆树期末) 设等差数列满足（1）求的通项公式；（2）求的前n项和及使得最小的序号n的值.22. （3分） (2019高一上·郏县期中) 近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入（万元）满足，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？23. （2分）(2018·益阳模拟) 已知等差数列的公差为，且方程的两个根分别为， .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共10分) 19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、第11 页共11 页。
浙江省2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题(含解析)
浙江省2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1.设集合A={x|x-1≤0}，B={x|x2-x-6＜0}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知lg2=a，lg3=b，则lg120=（）A. B. C. D.3.若实数x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值是（）A. 11B. 10C. 5D. 94.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C，A，B成等差数列，a=3，c=2b，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.5.若α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A. 若,,则B. 若,,,则C. 若,,则D. 若,,,则6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，则=（）A. B. 5 C. D. 257.已知{a n}是等比数列，a2=2，，则a1a3+a2a4+…+a n a n+2=（）A. B. C. D.8.在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为α，直线AB与平面BCD所成的角为β，二面角C-AB-D的平面角为γ，则α，β，γ的大小关系为（）A. B. C. D.9.设函数f（x）满足f（-x）=f（x），当x1，x2∈[0，+∞）时都有，且对任意的，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知平面向量，满足，则对任意共面的单位向量，的最大值是（）A. B. C. 3 D. 2二、填空题（本大题共7小题）11.在等差数列{a n}中，若a3+a6+a9=24，则a6=______，S11=______．12.几何体的三视图如图，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，则几何体的体积为______，几何体的外接球的直径为______．13.若直线l的倾斜角α是直线x-2y-6=0的倾斜角的2倍，则tanα=______，=______．14.已知a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，则ab的最小值是______，a+b的最小值是______．15.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若b2=ac，且a=b cos A，则cos B=______．16.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论：①异面直线AB与CD所成的角为60°；②AC⊥BD；③△ACD是等边三角形；④二面角A-BC-D的平面角正切值是；其中正确结论是______．（写出你认为正确的所有结论的序号）17.已知a是实数，若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则a的值为______．三、解答题（本大题共5小题）18.已知函数．（1）求函数的最小正周期和对称轴；（2）当时，求函数f（x）的值域．19.如图，矩形ABCD所在的平面垂直于△BCE所在的平面，BC=CE，F为CE的中点．（1）证明：AE∥平面BDF；（2）若P、M分别为线段AE、CD的动点．当BE⊥PM时，试确定点P的位置，并加以证明．20.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2，∠CAA1=60°，A1B=3，D，D1分别是AC，A1B1的中点．（1）证明：DD1∥平面BCC1B1；（2）求直线CC1与平面ABC所成角的正弦值．221.已知数列{a n}满足a1=1，数列是公比为3的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当n≥2时，证明：；（3）设数列的前n项和为S n，证明：．22.已知函数f（x）=x2+ax+b．（1）若b=3时，不等式f（x）≤x对x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点，求a-2b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由A={x|x-1≤0}={x|x≤1}，B={x|x2-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，则A∩B={x|-2＜x≤1}，故选：B．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵lg2=a，lg3=b，∴lg120=lg（10×3×4）=lg10+lg3+2lg2=1+b+2a．故选：C．由已知结合对数的运算性质求解lg120．本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．3.【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），令z=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×1+3×3=11．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4.【答案】B【解析】解：△ABC中，因C，A，B成等差数列，C+B=2A，又A+B+C=π，∴A=，由余弦定理知：a2=b2+c2-2bc×cos A，又a=3，c=2b，∴32=b2+（2b）2-2b×2b×cos，得b=，∴c=2b=2，∴△ABC的面积为b×c×sin A=．故选：B．由C，A，B成等差数列及三角形内角和求出角A，再利用已知条件和余弦定理求出b和c，然后由三角形面积公式b×c×sin A，计算出答案．本题结合三角形考查了余弦定理，三角形面积，等差数列等知识运用，考查了学生计算4化简技巧与能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在A中，若m⊥n，n∥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；在B中，若n⊥β，n⊥α，可得α∥β，由m⊥β，由线面垂直的判定定理得m⊥α，故B正确；在C中，若m∥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故C错误；在D中，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：B．在A中，m与α相交、平行或m⊂α；在B中，由线面垂直的判定定理得m⊥α；在C 中，m与α相交、平行或m⊂α；在D中，m与α相交、平行或m⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．6.【答案】C【解析】解：如图，∵∠C=90°，∴，∴，且BC=5，∴=．故选：C．根据∠C=90°即可得出，从而带入进行数量积的运算即可求出．本题考查了向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：因为{a n}是等比数列，a2=2，，所以公比q=，因为，a1a3=4，所以a1a3+a2a4+…+a n a n+2=，故选：D．由知{a n}是等比数列可得{a n a n+2}为等比数列，根据等比数列的求和公式即可求和．本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：过A作A在底面的射影O，∵A-BCD是正四面体，∴O是底面的中心，取BC的中点E，连结OB，OE，AE，则∠ABO是侧棱AB与底面BCD所成的角，即β=∠ABO二面角C-AB-D的平面角和侧面ABC与底面BCD所成的角相等，又侧面ABC与底面BCD所成的角为∠AEO，∴γ=∠AEO，在正四面体A-BCD中，AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成的角为α=90°，∵sinβ=sin∠ABO=，sinγ=sin∠AEO=，∵AB＞AE，∴＜，即sinβ＜sinγ，则β＜γ＜90°，即β＜γ＜α，故选：D．分别根据异面直线所成角的定义，线面角的定义，以及二面角的定义确定α，β，γ的大小即可得到结论．本题考查空间角大小计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】A【解析】解：由题意得：f（x）是偶函数且f（x）在（0，+∞）递增，故f（x）在（-∞，0）递减，时，x-2∈[-，-1]，故f（x-2）≥f（1），若任意的，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，则时，|ax+1|≤1恒成立，故-1≤ax+1≤1，x∈[，1]，故-2≤ax≤0，x∈[，1]，故-≤a≤0，x∈[，1]，而a≥（-）max=-2，故-2≤a≤0，故选：A．根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查函数恒成立以及转化思想，是一道常规题．10.【答案】B【解析】解：根据题意，cos＜，＞==，不妨设=（4，0），=（1，），=（cosθ，sinθ），则=|4cosθ|-|cosθ+sinθ|=3cosθ-sinθ=sin（θ-），所以最大值为2，故选：B．由条件可知，夹角为，用特殊值法表示出，，列出即可求出其最大值．本题考查平面向量数量积及其运算，用特殊值法进行运算是关键，属于中档题．11.【答案】8 88【解析】解：在等差数列{a n}中，若a3+a6+a9=3a6=24，则a6=8，故S11==11a6=88，故答案为：8；88．由题意利用等差数列的性质求出a6的值，再利用等差数列的求和公式求出S11的值．本题主要考查等差数列的性质、等差数列的求和公式，属于基础题．12.【答案】 2【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图，是列出为2的正方体的一部分，是四棱锥P-ABCD，几何体的体积为：=．四棱锥的外接球就是正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，可得外接球的直径：=2．故答案为：；2．6画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积，求出外接球的半径，然后求解直径即可．本题考查三视图求解几何体的体积，外接球的直径的求法，是中档题．13.【答案】【解析】解：由题意可得：tan=．∴tanα==．∴=====．故答案为：，．由题意可得：tan=．理念倍角公式可得tanα．利用倍角公式、同角三角函数基本关系式化简，代入tanα即可得出．本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：①因为a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，所以3ab=a+2b≥，所以或（舍），所以ab≥，所以ab的最小值为；②由a，b是正实数，且a+2b-3ab=0，可得，所以a+b==≥=，当且仅当，即a=，b=，所以a+b的最小值为．故答案为：；．①根据条件可得3ab=a+2b≥，解不等式可得ab的最小值；②根据条件可得，然后由a+b=，利用基本不等式求出最小值即可．本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题．15.【答案】【解析】解：∵b2=ac，且a=b cos A，∴a=b•，∴b2+c2-a2=2ac=2b2，∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．由余弦定理，有cos B=，∴cos B====cos2A=sin2B=1-cos2B，∴cos2B+cos B-1=0，∴cos B=或（舍），故答案为：．根据条件可知△ABC为直角三角形，然后用余弦定理经过转化得到关于cos B的一元二次方程，再求出cos B即可．本题考查了勾股定理的逆定理，余弦定理和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想和计算能力，属中档题．16.【答案】①②③④【解析】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，∴以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设OC=1，则A（0，0，1），B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），=（0，-1，-1），=（-1，1，0），cos＜，＞===-，∴异面直线AB与CD所成的角为60°，故①正确；=（1，0，-1），=（0，2，0），∵=0，∴AC⊥BD，故②正确；∵OA=OC=OD=1，OA，OC，OD两两垂直，∴AC=CD=AD=，∴△ACD是等边三角形，故③正确；平面BCD的法向量=（0，0，1），=（0，1，1），=（1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，1），cos＜＞=，∴sin＜＞==．∴二面角A-BC-D的平面角正切值是：=，故④正确．故答案为：①②③④．取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】【解析】解：设y=（4a-2）x+，y=x2+ax-，由△=a2+＞0，可得y=x2+ax-的图象与x轴有两个交点，分别作出y=（4a-2）x+，y=x2+ax-的图象，可得4a-2≥0，不满足题意；则4a-2＜0，即a＜，且y=（4a-2）x+经过二次函数y=x2+ax-图象的B（x2，0），即有（4a-2）x2+=0，即x2=，代入x2+ax-=0，化为48a2-40a+7=0，解得a=或a=＞（舍去），故答案为：．设y=（4a-2）x+，y=x2+ax-，分别作出y=（4a-2）x+，y=x2+ax-的图象，讨论4a-2≥0，不符题意；4a-2＜0，且y=（4a-2）x+经过二次函数y=x2+ax-图象的B（x2，0），将B 的坐标分别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a，检验可得所求值．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用一次函数和二次函数的图象，考查转化思想8和方程思想、以及数形结合思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵，=4cos x（+sin x），=4cos x（）=6sin x cosx-2cos2x，=3sin2x-（1+cos2x）=2sin（2x-）-，∴T=π，由2x-=可得对称轴x=，k∈Z，（2）由，可得，∴sin（2x-），2sin（2x-）-，∴2sin（2x-）-，函数f（x）的值域为[-3-，]．【解析】（1）结合两角差的正弦公式，二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后根据正弦函数的性质可求；（2）由，可求，结合正弦函数的性质可求值域．本题主要考查了利用和差角，二倍角，辅助角公式对三角函数化简，及正弦函数性质的综合应用，属于中档试题．19.【答案】解：（1）证明：连结AC，交BD于点O，连结OF，∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC的中点，又F为EC的中点，∴OF∥AE，∵OF⊂面BDF，AE⊄面BDF，∴AE∥面BDF．（2）解：当PM⊥BE时，点P为AE的中点．证明如下：取BE的中点H，连结DP，PH，CH，∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB．又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面，∵面ABCD⊥面BCE，且面ABC∩面BCE=BC，CD⊥BC，CD⊂面ABCD，∴CD⊥面BCE，又BE⊂面BCE，∴CD⊥BE，∵BC=CE，且H为BE的中点，∴CH⊥面BCE，又CH∩CD=C，且CH，CD⊂面DPHC，∴BE⊥平面DPHC，又PM⊂平面DPHC，∴PM⊥BE．【解析】（1）连结AC，交BD于点O，连结OF，推导出OF∥AE，由此能证明AE∥面BDF．（2）取BE的中点H，连结DP，PH，CH，推导出PH∥AB．PH∥CD，从而P，H，C，D四点共面，推导出CD⊥面BCE，CD⊥BE，从而CH⊥面BCE，进而BE⊥平面DPHC，由此能证明PM⊥BE．本题考查线面平行的证明，考查满足线线垂直的条件是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．20.【答案】解：（1）证明：取A1C1中点M，连结DM，D1M，∵D1M是A△A1B1C1的中位线，∴D1M∥B1C1，∵D1M⊄平面BCC1B1，∴DM∥平面BCC1B1，又DD1⊂平面DMD1，∴DD1∥平面BCC1B1．（2）解：CC1∥AA1，∴直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值，连结DB，DA1，作A1H⊥BD于H，连结AH，由条件知△AA1C是正三角形，∴AC⊥DA1，同理，AC⊥DB，又∵DB∩DA1=D，∴AC⊥平面BDA1，∵A1H⊂平面BDA1，且A1H⊥BD，∴A1H⊥平面ABC，∴∠A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角，由条件知DB=DA1=，∴cos∠BDA1=-，∴∠BDA1=120°，∴∠A1DH=60°，A1H=，∵AA1=2，∴sin∠A1AH==，∴直线CC1与平面ABC所成角的正弦值为．【解析】（1）取A1C1中点M，连结DM，D1M，推导出D1M∥B1C1，由此能证明DD1∥平面BCC1B1．（2）由CC1∥AA1，得直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值，连结DB，DA1，作A1H⊥BD于H，连结AH，推导出AC⊥DA1，AC⊥DB，从而AC⊥平面BDA1，进而A1H⊥平面ABC，∠A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角，由此能求出直线CC1与平面ABC所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（1）数列是公比为3，首项为的等比数列，所以，即．（2）证明：当n≥2时，，所以原式成立．（3）证明：当n=1时，，当n≥2时，=，所以成立．【解析】（1）考察等比数列求通项公式；（2）放缩法证明不等式；（3）先写出数列的前n项和为S n，构造等比数列证明不等式．（1）求等比数列通项公式，基础题；（2）放缩法证明不等式，这里用糖水不等式解决了问题；（3）利用放缩法证明不等式，关键是根据（2）变成等比数列求和，中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得，f（x）=x2+ax+3≤x对x∈[1，4]恒成立，变形可得：ax≤-x2+x-3对x∈[1，4]恒成立，则a≤-x-+1对x∈[1，4]恒成立，设g（x）=-（x+）+1，x∈[1，4]，则g（x）在[1，]上单调递增，[，4]上单调递减，又由g（1）=-3，g（4）=-，则g（1）＞g（4），故g（x）min=g（4）=-，∴必有a，∴a的取值范围是（-∞，]；（2）根据题意，若f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点，则有，即，由线性规划，画出约束条件表示的可行域，以a为横轴，b为纵轴，如图，黑色为可行10域，A（-4，4）∴-12＜a-2b＜0，∴a-2b的取值范围是（-12，0）．【解析】（1）由题意可得，ax≤-x2+x-3对x∈[1，4]恒成立，变形化为a≤-x-+1对x∈[1，4]恒成立，构造函数g（x）=-（x+）+1，x∈[1，4]，根据对勾函数的图象性质知g（x）在[1，]上单调递增，[，4]上单调递减，又由g（1）＞g（4），求出a的取值范围；（2）根据题意，找到f（x）在区间[0，2]上有两个不同的零点所满足的条件，利用线性规划来解决．本题考查了利用参变分离、对勾函数的图象性质来解决恒成立问题，利用线性规划来解决取值范围，属于难题．。