互为反函数的函数图像之间的关系
互反函数图像的交点不一定在直线y=x上
互反函数图像的交点不一定在直线y=x上互反函数是指两个函数互为反函数关系，即一个函数的自变量和因变量与另一个函数的因变量和自变量互换位置后能够相等。
我们来看一个简单的例子：考虑函数$f(x) = \frac{1}{x}$，其反函数是$g(y) = \frac{1}{y}$。
这两个函数互为反函数关系，因为对于任意的$x$和$y$，$f(g(y)) = \frac{1}{\frac{1}{y}} = y$，$g(f(x)) =\frac{1}{\frac{1}{x}} = x$。
现在我们来研究互反函数图像的交点。
考虑函数$f(x)$和函数$g(y)$，它们的图像分别是曲线$C$和曲线$D$。
我们假设曲线C和曲线D有两个交点$P$和$Q$，坐标分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。
对于点$P(x_1,y_1)$，由于$P$在曲线$C$上，所以有$y_1=f(x_1)$。
同时，根据反函数的性质，点$P$也在曲线$D$上，所以有$x_1=g(y_1)=g(f(x_1))$。
由此可见，点$P$满足方程$x_1=g(f(x_1))$。
同样地，对于点$Q(x_2,y_2)$，可以得到方程$x_2=g(f(x_2))$。
我们现在假设点$P$和点$Q$不在直线$y = x$上，即$x_1 \neqy_1$和$x_2 \neq y_2$。
根据上面的推导，我们有$x_1 = g(f(x_1))$和$x_2 = g(f(x_2))$，这意味着$x_1$和$x_2$分别是函数$f(x)$和$g(y)$的两个交点。
但是由于我们假设它们不在直线$y = x$上，所以这与互反函数的性质相矛盾。
因此，我们得出结论：互反函数的图像的交点一定在直线$y = x$上。
这个结论可以通过图像来直观地理解。
考虑函数$f(x) =\frac{1}{x}$的图像，即曲线$C$。
我们可以看到，在曲线$C$上的任意一点$(x, f(x))$，其在直线$y = x$上对应的点$(f(x), x)$，也在函数$g(y) = \frac{1}{y}$的图像上，即曲线$D$上。
互为反函数的函数图像之间的关系
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REPORTING
• 引言 • 互为反函数的函数图像特点 • 互为反函数的函数图像变换 • 互为反函数的函数在实际中的应用 • 结论
目RTING
WENKU DESIGN
什么是反函数
反函数：如果对于函数y=f(x)来说，其反函数存在的话，那么对于y的每一个值，x都有唯一 确定的值与之对应，那么此时y就是x的函数，我们称x为自变量，y为因变量，称f为x的反函 数。
01
互为反函数的函数图像在数学中常用于解决方程问题，例如求
解一元二次方程的根。
证明定理
02
利用互为反函数的函数图像，可以证明一些数学定理，例如函
数的单调性定理。
函数性质研究
03
通过研究互为反函数的函数图像，可以深入了解函数的性质，
例如函数的奇偶性、周期性等。
在物理领域的应用
描述物理现象
在物理学中，有些物理现象可以用互为反函数的 函数图像来表示，例如振动和波动现象。
PART 03
互为反函数的函数图像变 换
REPORTING
WENKU DESIGN
图像平移
总结词
互为反函数的函数图像在平移时具有对称性。
详细描述
当一个函数与其反函数在平面上进行平移时，它们的图像会以原点为中心对称。 例如，函数y=x^2与其反函数y=sqrt(x)在平移时，一个向左或向右移动，另一 个则以相反的方向移动，保持对称性。
反函数与机器学习的关系
在机器学习中，许多算法涉及到优化问题，而优化问题常常需要求解反函数。因此，进一步研究反函数 与机器学习之间的关系，有助于提高机器学习算法的效率和准确性。
THANKS
互为反函数的两个函数图像之间的关系
互为反函数的两个函数图象之间的关系我们先来看两个函数：指数函数y 2 x与对数函数y log 2 x .我们知道对数来源于指数，即指数与对数两者之间可以进行相互转换。
指数函数 y 2 x，若将之转化为用y 来表示 x 即：x log 2y ，将其中y作为自变量，x作为R 中与之对应的唯一的值，我们就可以把函数xlog2y（y(0,)）叫做指数函数y 2x x log y（ y (0,)）y log x（ x (0, )）的反函数，习惯上我们把函数22，记作，即底数同为 2 的指数函数与对数函数互为反函数。
根据指数与对数的性质，我们也可以知道所有同底的指数函数与对数函数均互为反函数，即指数函数y a x (a0, a1) 与对数函数y log a x (a0, a1) 互为反函数。
通常我们将原函数记作y f ( x)，反函数记作y f1(x)。
因为原函数与反函数本质是将x 与 y 互换，所以我们就可以得到：原函数的定义域就是它的反函数的值域，原函数的值域就是它的反函数的定义域。
现在请你应用所学的数学知识，通过下面几个问题来探究一下互为反函数的两个函数图象之间的关系，让我们亲自来发现其中的奥秘吧！问题 1 在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度单位一致）中，画出指数函数y 2 x及其反函数 y log 2 x 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？问题 2 取y 2x图象上的几个点，如P1( 1,1), P2 (0,1), P3. (1,2).P1, P2 , P3关于直线y x 的2对称点的坐标是什么？它们在的图象上吗？为什么？问题 3 如果点P（x, y ）x的图象上，那么P（ x , y ）x 的对称点000在函数y 20 0 0 关于直线y在函数 y log 2 x 的图象上吗？为什么？问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论？问题 5 上述结论对于指数函数y a x (a 0, a 1) 及其反函数 y log a x (a0, a 1) 也成立吗？为什么？通过上面的问题的探究我们可以知道互为反函数的两个函数，函数 y f ( x) 图象上的点关 于 yx 的 对称 点 一 定 是 在 yf 1 (x) 有 图 象 上 ，并 且 函 数 y f ( x) 图象 与 反 函 数yf 1 (x) 的图象关于 y x 对称 .例 1 求下列函数的反函数（ 1） yx1( x1)2x 1（ 2） y3x 解：（ 1）由 yx 1 解出 x ( y1) 2 又写成： y (x 1) 2函数 yx 1( x 1)的值域为 [ 0, )所求的反函数为 y ( x 1)2( x[ 0, )) .注意：如果不注明反函数定义域，得出y ( x1)2 是错误的 .（ 2 ） 由 y2x 1（ x 3） y 2 x 1x( y 2) 3 y 1 x3 y 1 ，改写成x3y 2y3x 1即为所求 .x 2说明：一般地，求分式函数 yaxb(c 0, ad bc) 的反函数时，直接解出 x f 1 ( y) ，cx d再改写成 y f 1 (x) 即可 .因为使所求出的解析式有意义的x 的范围，已知函数的值域 .例 2 已知函数 yax b( xb) 的图象过点 (1， 2)，它的反函数图象也过此点，求函a数 f ( x) 的解析式 .解法一：由 yaxb 得 x y 2 ba∴当 xb时， ya∴函数 yax b (xb) 的反函数是 f1( x) x2b( x 0)aa又∵点 (1，2)既在函数 f (x) 上，也在函数f1( x ) 上2a b∴有1 b 解得： a 3, b 72a∴函数 f (x) ＝ 3x7(x7 )3解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线 y x 的对点为 (2，1)，可以得到函数 f ( x) 的图象还过点 (2， 1)∴得到2 a b1 2 ab解得： a3, b7∴函数 f (x) ＝3x 7 (x7 )3巩固练习：1．函数 yx 2 2 x( x 0) 的反函数的定义域是（）A 、, 0B 、 0,1C 、,1 D 、[0,)2．设 f ( x)2 x 1 ( x R,x 3),则 f 1( 2) 的值等于（）4x 34A 、5 B 、2C 、2D 、5655113．设 a 0, a 1 ，函数 ylog a x 的反函数和 y log 1 x 的反函数的图象关于（）a[ 来源 :][ 来源 :]( A) x 轴对称(B) y 轴对称(C ) y x 轴对称(D ) 原点对称4．点 (a, b) 在 yf ( x)的图象上，则下列的点在其反函数图象上的是（）A. P(a, f1(a )) B. P( f1(b), b)C. P( f1(a), a)D. P(b, f 1(b))5．已知 函数 f (x) ( 1) x1 ，则 f 1( x) 的图象只可能是（）y2yyyxx1 x 2xO 11O2O1 O( A)( B)(C )( D )6．设 f ( x)x21(0x 1)，则 f 1 ( 5 )．2x ( 1 x0)47．若 y ax 6 与 y 1 x b 的图象关于直线y x对称，且点(b, a)在指数函数 f (x) 的图象3上，则 f ( x)．x1x R,且 x 18．给定实数 a，a≠0，且 a≠1，设函数y1．试证明：这个函数ax a 的图象关于直线y=x成轴对称图形．参考答案：1． A ，2． A ， 3． B， 4． D， 5．C，6．1． 7． f (x)( 3 ) x．28．证明：先求所给函数的反函数:由yx1ax1( x R, x1 ),a得y(ax－1)=x－1，即 (ay－ 1)x=y－ 1．假如 ay 10,则 y 1,代入所给函数的解析式, 得1x1 a a ax1即 ax－ a=ax－ 1，由此得 a=1，与已知矛盾，所以ay－ 1≠ 0．因此得到xy 1,其中 y1 , ay1a这表明函数 yx 1 ( x R,且 x 1)的反函数是ax 1ayx 1,( x R,且 x 1).ax1a由于函数 y=f(x) 的图象和它的反函数 y=f － 1(x) 的图象关于直线 y=x 对称，所以函数yx 1 R, 且 x1ax(x ) 的图象关于直线 y=x 成轴对称图形 .1a。
互为反函数图像之间的关系课件
什么样的函数存在反函数？
一一映射确定的函数
❖求反函数的一般步骤：
y= f (x)
x = f -1(y)
y= f -1(x)
注：标明反函数的定义域（即原函数 的值域）
互为反函数图像之间的关系课件
例1：求函数y=3x-2(x∈R)的反函数， 并画出原函数和它的反函数的图象。
解：由y=3x-2,
y=x²(x≥0)的反函数是
y = x(x ≥0)
互为反函数图像之间的关系课件
y=x²(x≥0) 1
y= x(x≥0) x
练习 ①画出函数y=√x(x∈[0,+∞))的图象.
好画吗? 怎样转化,用我们学过的知识来画?
先画y=x2 (x∈[0,+∞))这个我们熟悉!
y
yx
y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y=x²+1(x≥0) y
y= x-1(x≥1)
o
x
y = x3 y
y=3 x
o
x
互为反函数图像之间的关系课件
y=x²+1(x≥0)
y
y=x
y= x-1(x≥1)
o
x
y = x3
y
y=x
y=3 x
o
x
互为反函数图像之间的关系课件
猜想
❖函数 y= f (x) 的图象和它的 反函数 y= f -1(x) 的图象关 于直线y=x对称
y x
x
x
0
1
4 9…
y
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2 3…
互为反函数图像之间的关系课件
y
y=3x-2
指数函数与对数函数的图像关系
指数函数与对数函数的图像关系指数函数与对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将探讨指数函数与对数函数的图像关系，并介绍它们在实际生活中的应用。
一、指数函数的定义和性质指数函数是以指数为自变量的函数，一般形式为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1。
指数函数的图像特点如下：1. 当0 < a < 1时，函数图像递减，呈现下降趋势；2. 当a > 1时，函数图像递增，呈现上升趋势；3. 当a = 1时，函数图像为一条水平直线，表示常值函数；4. 当a < 0时，函数图像不存在实数解。
指数函数的图像可以通过表格或者计算机绘图软件进行绘制，通过绘制图像可以更直观地理解指数函数的性质。
二、对数函数的定义和性质对数函数是指数函数的反函数，一般形式为f(x) = logₐ(x)，其中a是一个正实数且不等于1。
对数函数的图像特点如下：1. 对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合；2. 当0 < a < 1时，函数图像递减，呈现下降趋势；3. 当a > 1时，函数图像递增，呈现上升趋势；4. 当a = 1时，函数图像为一条水平直线，表示常值函数；5. 对数函数的图像在x轴上有一个垂直渐近线。
对数函数的图像也可以通过表格或者计算机绘图软件进行绘制，通过观察图像可以更好地理解对数函数的性质。
三、指数函数与对数函数的图像关系指数函数与对数函数是互为反函数的关系，它们的图像关系可以通过以下几个方面来说明：1. 对数函数的图像是指数函数图像的镜像：对于指数函数f(x) = a^x，其对数函数为f⁻¹(x) = logₐ(x)，对数函数的图像是指数函数图像关于直线y = x的镜像；2. 指数函数和对数函数的图像都经过点(1, 0)：对于指数函数f(x) = a^x和对数函数f⁻¹(x) = logₐ(x)，它们的图像都会经过点(1, 0)；3. 指数函数和对数函数的图像是关于y = x对称的：指数函数和对数函数的图像在直线y = x上对称，即对于点(x, y)，其关于y = x的对称点为(y, x)。
反函数与函数的图像变换
反函数与函数的图像变换一、反函数当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。
比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。
函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。
设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ϕ=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ϕ=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ϕ=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。
1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。
1f -表示的对应是f 的逆对应，11()()f x f x -≠。
()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。
只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。
特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=，一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。
例1 求下列函数的反函数：（1）21xy -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-⎧+=⎨>--+⎩。
二、互为反函数的两个函数的性质：指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。
根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。
互为反函数的 两个函数图像间的关系
引导设问3
请画一画指数函数y 2x
的图像,并画出指数函数
和对数函数
和 ( y = (1)x 2
y = log
y
1x )
2
log
x 2
对数函数，它们的函数图像有什么关系？
y 2x的反函数是y log2 x
y
1 2
Hale Waihona Puke x 的反函数是y
log 1
2
x
有点(a,b)，那么它的反函数y=f-1(x)的图像上
必然有点(b,a)。
练习
应用 例3 函数f (x) =
ax + b (x ≥
b -)
的图象
过点（1，2），它的反函数的a 图象也过此
点， 求函数f(x)的解析式。
解： 点（1，2）关于直线y=x的对称
点为（2，1），可得函数f(x)的图象还 过（2，1）。
y
log
x 2
的图
像上吗？为什么？
引导设问5
动态演示
引导设问6
动态演示
引导设问7
由上述探究过程可以得到什么结 论？
结论
函数 y = f (x) 的图象和它的 反函数 y = f -1(x) 的图象关于 直线y=x对称。
在直角坐标系内，画出直线y=x,然后找 出下面这些点关于直线y=x的对称点，并 写出它们的坐标。
得到 2 a b，解得a=-3,b=7.
1 2a b
因此，函数的解析为 f (x) =
-3x +7(x ≥ 7)。
3
例4在同一坐标系内画出函数y （x>-3）及其反函数的图象。
互为反函数的函数图象间的关系
互为反函数的函数图象间的关系1. 引言在数学中，函数是一个关系，它将一组输入值映射到一组输出值。
互为反函数的函数是指两个函数之间存在着一种特殊的关系，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入时，两个函数所得的结果可以彼此对应，互相抵消，使得最终结果回到原先的输入。
本文将探讨互为反函数的函数图象之间的关系以及该关系的一些特点。
2. 互为反函数的定义设函数 f 和 g 为两个定义在数域 D 上的函数，如果对于任意x∈D有 g(f(x))=x和 f(g(x))=x，那么函数 f 和 g 互为反函数。
简单来说，互为反函数的函数可以互相撤销对方的操作，使得最终结果回到原先的输入。
3. 互为反函数的图象如果两个函数 f 和 g 互为反函数，那么它们的图象之间存在一些特殊的关系。
具体可以分为以下几种情况：3.1 图象对称如果函数 f 的图象关于直线 y=x 对称，则函数 g 的图象与函数 f 的图象重合。
这是因为对称性保证了将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相同的结果，从而形成图象重合。
3.2 倒置关系当函数 f 的图象关于直线 y=x 倒置时，函数 g 的图象与函数 f 的图象相互倒置。
这是因为通过倒置关系，将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相反的结果，从而形成图象相互倒置。
3.3 对称轴为直线 y=x如果函数 f 和 g 的图象关于直线 y=x 对称，则它们的图象在该直线上对应。
这是因为对称轴为直线 y=x 时，函数 f 和 g 可以互相抵消对方的操作，使得最终结果回到原先的输入，并保持图象在该直线上的对应关系。
4. 互为反函数的例子4.1 幂函数与对数函数幂函数和对数函数是互为反函数的经典例子。
定义在正实数集合上的幂函数f(x) = a^x 和对数函数 g(x) = loga(x) 具有以下关系：f(g(x)) = loga(a^x) = x，g(f(x)) = loga(a^x) = x。
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二、讲授新课
首先我们来研究互为反函数的函数图像间的关系 例1 、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画 出原来的函数和它的反函数的图象。 y=3x-2 解： ∵y=3x-2 yx
∴x=
y 2 3
y
函数y=3x-2(x∈R)的反函数为y=
x2 （x∈R) 3
1 -2 -1 -1 -2 1
y x2 3
x y x y
0 -2 -2 0
0
2 3
x
0
2 3
问题：
互为反函数的两个函数的图象之间是否 具有某种对称关系? 回答：
它们的两个函数图象是以直线y=x为对 称轴的对称图形。 给出定理：
函数 y = f ( x ) 的图象与它的 反函数 y = f －1 ( x ) 的图象关于直 线 y = x 对称。
mx 5 x 5 解法一：由 f ( x) 得反函数 y 2 x 1 2x m
x 5 练习5：已知函数 f ( x) 2x m 的图象关于直线y=x对称，求m的值.
x 5 mx 5 2x m 2x 1
由
令 x=0得
5 ∴m=-1 5 解法二：令x=0 则(0, m )在f(x)的图象上
（1，3），且它的反函数f (x)的图像过点 （2，0），求f(x).
解： ∵f(x)的图像过点（1，3）
-1
∴a+b=3 ①
由f(x)的反函数f (x)的图像过点（2，0），可知 f(x)的图像过点（0，2） ∴1+b=2 ② 由②得b=1,将b=1代入①中得a=2
-1
f ( x) 2x 1
-1
练习3：如果一次函数y=ax+2与y=3x-b的图象关于 直线y=x对称，求a,b的值
解：据题意， y=ax+2与y=3x-b互为反函数，
xb y=3x-b的反函数为： y ( x R ), 3
xb ax 2 , 3
1 比较系数得： a , b 6 3
x f ( x ) a b 的图像经过点 练习4：已知函数
4、如果两个函数的图象关于y = x 对称，那么这两个函数 互为反函数； 5、如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的 图象关于y = x 对称；反之，如果一个函数的图象关于y = x 对称，那么这个函数的反函数就是它本身。
－1
四、布置作业：课本：习题2.4 3,4,5
2004年10月21日
3( x a ) 1 3a 1 3a 又y 3 xa xa 1 ax 1 f ( x) ( x 3) x3
≠3
2）由题 函数图象关于 y = x 对称 可知 f（x）的反函数是它本身即
3 x 1 1 ax xa x3
f （x） = f
1
O
1
－1
x
即：函数 y
注：如果一个函数的反函 数就是它本身，那么这个函 的反函数是该函数自身 数的图象关于y = x 对称； ∴函数 y x (x 1) 反之，如果一个函数的图象 x 1 关于y = x 对称，那么这个 的图象关于直线y=x对称 函数的反函数就是它本身。
x (x 1) x 1
注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经
过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。 2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x轴）与纵轴
（y轴）长度单位一致的情况下得出的。
3）函数y=f(x)与函数y=f－1(x)互为 反函数，图像关于直线y = x对称； 函数y=f(x)与函数x=f－1(y)互为 反函数，图像相同。 函数y=f-1(x)与函数x=f-1(y)是 同一函数，图像关于直线y=x对称 4）如果两个函数的图象 关于y = x 对称，那么 这两个函数互为反函数；
高一数学多媒体演示课
让梦想腾飞的余江一中
互为反函数的函数图像之间的 关系及应用
余 江 一 中 新 校 园 ︱ 学 生 餐 厅
授课教师：余江一中
寿青文
一、复习提问：
1.叙述反函数的定义：
一般地，函数y=f(x)(xA )中,设它的值域为C,我们 根据这个函数中x,y的关系, 用y把x表示出来得到x = (y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x = (y)在A中 都有唯一的值和它对应，那么, x = (y)就表示y是自变 量,x是自变量y的函数，这样的函数x = (y),(yC)叫 做函数y=f(x) ,(xA)的反函数，记作 x = f 1(y) -1 字母x、y互换，得 y=f (x)
y+1 例如：函数x= 是函数y=3x-1的反函数。 3
2、求反函数有哪些基本步骤？
求反函数的基本步骤：
⑴.由y=f(x)出发，用y表示x,解出x = f1(y);
⑵.将x，y互换得到y = f1(x);
⑶.指出反函数的定义域（即原函数的值域).
反解
互换
写出定义域
3、点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P′的 （b, a.） 坐标为 （即横坐标与纵坐标对换位置） 4、函数y=2x2-3(x∈R)有没有反函数？为什 么？如何改写定义域才能使其有反函数？ 解：函数y=2x2-3(x∈R)没有反函数； 因为它不是由一一映射构成的函数； 当把定义域改写为[0,+∞)或(-∞,0]时 它才有反函数.
-1 （x）
∴
a = －3
练习2：如果y=f（x）的图象过点（1，2），那么 y=f-1(x)–1的图象过点__________ (2,0)
分析：由y=f（x）的图象过点（1，2），知y=f (x)的 -1 -1 图像过点（2，1），而y=f (x)–1的图像是由y=f (x) -1 的图像向下平移1个单位得到的，故y=f (x)–1的图象 过点（2,0)
2 a b 1 2a b
解得，a=－3，b=7
例4、求证：函数 y x (x 1) 的图 象关于直线y=x对称. x 1
x 证明： y x 1
yx
∴yx-y=x
y
－1
y x (y-1)x=y y 1 x ∴函数 y (x 1) x 1 x (x 1) 的反函数为 y x 1
m
由已知f(x)的反函数是自身
5 5 m
5 5 ∴( , 0)在f(x)的图象上， -5=0 m m ∴m=-1
三、课堂小结
1、函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f ( x ) 的图 象关于直线 y = x 对称。 2、函数y=f(x)与函数y=f -1(x)互为反函数，图像关于直线 -1 y = x对称；函数y=f(x)与函数x=f (y)为互为反函数，图 -1 -1 像相同。函数y=f (x)与函数x=f (y)是同一函数，图像 关于直线y=x对称 3、利用对称性画出已知图象的函数的反函数的图象
(x R)的反函数是：
y 3 x ( x R)
注：当已知函数y=f（x）
的图象时，利用所学定理，
作出它关于直线y=x对称的 图象，就是反函数y=f－1（x） 的图象。
3 y x
x
练习1： 画出函数y=x2(x∈[0,+∞))的图象，再 利用对称性画出它的反函数的图象. yx 2 y yx
x
y
0
0
1
1
2
4
3 …
9 …
y x
x
x y
0 0
1 1
4 2
9 … 3 …
然后我们利用互为反函数的函数图像间 的关系来解决相应问题
例3、若点P（1，2）在函数 y ax b 的图象 上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。 解：由题意知，P（1，2）在函数 y ax b 的反函 数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线 y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数 y ax b 的图象上。因此，得
-2 -1 1 -1 -2 1
y f 1 ( x) x2 3
y=f(x)=3x-2
y2 x f 1 ( y ) 3 y
yx
x
例2 、求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画 出原来的函数和它的反函数的图象. 3 3 (x R) ， y x 由函数 解： yx y x y 3 得 x y 3 所以函数 y x
例5、已知函数 f ( x ) = 1）求 f ( x ) 的反函数；
3x 1 1 ( x a, a ) xa 3
2）若这个函数图象关于 y = x a yx ay 3 x 1 x y 3