互为反函数的两个函数图象之间的关系
探究与发现互为反函数的两个函数图象之间的关系
例1：求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并 画出原函数和它的反函数的图象。
解：由y=3x-2,
得 x= y+2 。 3
因此，函数y=3x-2
y
y=3x-2
x+2 y=
3
o
x
(x∈R)的反函数是
y = x+2 (x∈R)
3
例2：求函数y=x²(x≥0)的反函数，并
C´
A´
x
B´(0,1) C´(-1,-2) D´(-1,0)
点A（a，b）在函数y=f(x)的
图象上
点B(b，a)在其反
函数f -1（x）的图象上。
2、在同一坐标系内画出函数 y （x>-3）及其反函数的图象。
=
x
1 +
3
y f(x) y=x
o
x
f-1(x)
由几何性质可直接做一个函数的反 函数图象，而不必先求出其反函数。
函数 y = f (x) 的图象和它的 反函数 y = f -1(x) 的图象关于 直线y=x对称。
1、在直角坐标系内，画出直线y=x,然 后找出下面这些点关于直线y=x的对称点， 并写出它们的坐标。
A（2，3），B（1，0），C（-2，-1），D（0，-1）
y
A
y=x
A´(3,2)
B´
D C
oB D´
画出原函数和它的反函数的图象。
y
y=x²(x≥0)
解：由y=x²，得 x =± y。
y = x (x ≥0)
由于 x≥0，故得
-1
o
1
x
x = y 。因此，函数
y=x²(x≥0)的反函数是 y = x (x ≥0)
互为反函数的 两个函数图像间的关系
引导设问3
请画一画指数函数y 2x
的图像,并画出指数函数
和对数函数
和 ( y = (1)x 2
y = log
y
1x )
2
log
x 2
对数函数，它们的函数图像有什么关系？
y 2x的反函数是y log2 x
y
1 2
Hale Waihona Puke x 的反函数是y
log 1
2
x
有点(a,b)，那么它的反函数y=f-1(x)的图像上
必然有点(b,a)。
练习
应用 例3 函数f (x) =
ax + b (x ≥
b -)
的图象
过点（1，2），它的反函数的a 图象也过此
点， 求函数f(x)的解析式。
解： 点（1，2）关于直线y=x的对称
点为（2，1），可得函数f(x)的图象还 过（2，1）。
y
log
x 2
的图
像上吗？为什么？
引导设问5
动态演示
引导设问6
动态演示
引导设问7
由上述探究过程可以得到什么结 论？
结论
函数 y = f (x) 的图象和它的 反函数 y = f -1(x) 的图象关于 直线y=x对称。
在直角坐标系内，画出直线y=x,然后找 出下面这些点关于直线y=x的对称点，并 写出它们的坐标。
得到 2 a b，解得a=-3,b=7.
1 2a b
因此，函数的解析为 f (x) =
-3x +7(x ≥ 7)。
3
例4在同一坐标系内画出函数y （x>-3）及其反函数的图象。
互为反函数的函数图象间的关系
互为反函数的函数图象间的关系1. 引言在数学中，函数是一个关系，它将一组输入值映射到一组输出值。
互为反函数的函数是指两个函数之间存在着一种特殊的关系，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入时，两个函数所得的结果可以彼此对应，互相抵消，使得最终结果回到原先的输入。
本文将探讨互为反函数的函数图象之间的关系以及该关系的一些特点。
2. 互为反函数的定义设函数 f 和 g 为两个定义在数域 D 上的函数，如果对于任意x∈D有 g(f(x))=x和 f(g(x))=x，那么函数 f 和 g 互为反函数。
简单来说，互为反函数的函数可以互相撤销对方的操作，使得最终结果回到原先的输入。
3. 互为反函数的图象如果两个函数 f 和 g 互为反函数，那么它们的图象之间存在一些特殊的关系。
具体可以分为以下几种情况：3.1 图象对称如果函数 f 的图象关于直线 y=x 对称，则函数 g 的图象与函数 f 的图象重合。
这是因为对称性保证了将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相同的结果，从而形成图象重合。
3.2 倒置关系当函数 f 的图象关于直线 y=x 倒置时，函数 g 的图象与函数 f 的图象相互倒置。
这是因为通过倒置关系，将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相反的结果，从而形成图象相互倒置。
3.3 对称轴为直线 y=x如果函数 f 和 g 的图象关于直线 y=x 对称，则它们的图象在该直线上对应。
这是因为对称轴为直线 y=x 时，函数 f 和 g 可以互相抵消对方的操作，使得最终结果回到原先的输入，并保持图象在该直线上的对应关系。
4. 互为反函数的例子4.1 幂函数与对数函数幂函数和对数函数是互为反函数的经典例子。
定义在正实数集合上的幂函数f(x) = a^x 和对数函数 g(x) = loga(x) 具有以下关系：f(g(x)) = loga(a^x) = x，g(f(x)) = loga(a^x) = x。
高中数学 互为反函数的两个函数图象之间的关系
课件5 互为反函数的两个函数图象之间的关系课件编号： AB Ⅰ-2-2-3.课件名称：互为反函数的两个函数图象之间的关系.课件运行环境：几何画板4.0以上版本.课件主要功能：利用几何画板绘制函数图象的功能，动态演示互为反函数的两个图象之间的关系，配合教科书“探究与发现 互为反函数的两个图象之间的关系”的教学．问题1课件制作过程：（1）新建画板窗口．单击【Graph 】（图表）菜单中的【Define CoordinateSystem 】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl ＋K ，给原点加注标签A ，并用【文本】工具把标签改为O ．（2）单击【Graph 】菜单的【Plot New Function 】（绘制函数图象），弹出“New Function ”函数式编辑器，编辑函数f （x ）＝x 2，单击【OK 】后画出函数f （x ）＝x 2的图象．同法编辑函数2ln ln x ，画出g （x ）=2ln ln x 的图象（即x x g 2log )(=）．选中所有函数图象，单击【Display 】（显示）菜单、单击【Line Width 】（线型）中的【Thick 】（粗线），把上述图象都设置成粗线．（3）选中函数f （x ）＝x 2的图象，单击【Display 】菜单【Color 】（颜色），把该图象的颜色设置成红色．同样把函数x x g 2log )(=的图象设置成蓝色．（4）单击【Graph 】菜单的【Plot Points 】（绘制点），绘制点（1，1）．选中该点与原点单击【Construct 】（构造）菜单中的【Line 】（直线），把这点与原点用直线连结起来，并把直线设置成粗线．（5）用【文本】工具编辑文本f （x ）=2x ，x x g 2log )(=，y ＝x （图1）．课件使用说明：让学生观察上述图象，发现它们的对称关系．问题2课件制作过程：（1）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项），弹出“Document Options ”对话框．把页面1的名称改为“看图象”．单击【Add Page 】（增加页）选项卡，单击【Duplicate 】（复制页面）、【看图象】，将这页面的名称改为“对称点”．（2）单击【Graph 】菜单中的【Plot Points 】（绘制点），如图2所示，弹出“Plot Points ”对话框，绘制固定点P 1（－1，0.5），P 2（0，1），P 3（1，2）.图1 图2（3）双击直线y ＝x ，将直线y ＝x 标记镜面，同时选中P 1，P 2，P 3，单击【Transform 】（变换）菜单的【Reflect 】（反射），屏幕上出现它们的对称点P 1'，P 2'，P 3'．（4）同时选中P 1，P 2，P 3，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点P 1，P 2，P 3的坐标；同时选中P 1'，P 2'，P 3'单击【Measure 】菜单的【Coordinates 】，屏幕上出现P 1'，P 2'，P 3'的坐标．课件使用说明：先让学生观察点P 1'，P 2'，P 3'是否落在函数x y 2log =的图象上；再利用测量出来的点的坐标验证点P 1'，P 2'，P 3'均落在函数x y 2log =的图象上．问题3课件制作过程：（1）选中函数f （x ）＝2x 的图象，单击【Construct 】（构造）菜单的【PointOn Function Plot 】（对象上的点），用文本工具给点标签为P 0，再用【选择】工具选中点P 0，单击【Measure 】（度量）菜单的【Coordinates 】（坐标），屏幕上出现点P 0的坐标．（2）同上作法画出点P 0关于直线y ＝x 的对称点P 0'，并度量出它的坐标．（3）单击【Edit 】（编辑）菜单的【Action Buttons 】（操作类按钮） 中的【Animation 】（动画），屏幕上出现操作类按钮【Animation Point 】（运动点），选择文本工具将按钮名称【Animation Point 】改为【运动点P 0】，如（图3）所示．图3课件使用说明：1．单击按钮，则点P 0与P 0/同时在各自的曲线上运动或停止．学生可以清楚得看到P 0'始终落在函数x y 2log =的图象上．2．可以先将函数x y 2log =的图象隐藏，将P 0'点设置追踪点（单击【Display 】菜单中的【Trace 】（追踪点）．当点P 0/随点P 0的运动而运动时会留下痕迹；再显示x y 2log =的图象，发现点P 0/的痕迹与x y 2log =的图象重合．3．或同时选中P 0与P 0'，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Locus 】（轨迹），立刻得到点P 0'的轨迹与x y 2log =的图象重合．问题4由上述探究过程都可以得到以下结论：函数x y 2=及其反函数x y 2log =的图象关于直线y ＝x 对称．（问题2、3、4详见页面2——“对称点”）问题5（页面3——“a 变化”）课件制作过程：（1）单击【File 】（文件）菜单的【Document Options 】（文档选项）对话框，单击【Add Page 】（增加页），单击【Blank Page 】（空白页），将此页面命名为“a 变化”．（2）单击【Graph 】菜单中的【Define Coordinate System 】（定义坐标系），屏幕上出现一个平面直角坐标系，用【画线段】工具画一条过原点和（15，0）点的线段，用【选择】工具选择线段，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Point On Function Plot 】（对象上的点），在线段上出现一个点，点的标签为A ，用【选择】工具单击【Measure 】（度量）菜单的【Abscissa 】（横坐标），屏幕上出现x A =3.36,用【文本】工具将x A 改为a ．（3）单击【Graph 】菜单中的【Plot New Function 】（绘制新函数），在“新建函数”对话框内依次单击a ，^，x ，其中^，x 在函数编辑器上，a 在屏幕上，单击【OK 】（确定）后立即出现函数x a y =的图象，把上述图象设置成粗线，并选择一种颜色．（选中曲线，单击【显示】菜单中的【线型】中的粗线．）（4）单击【Graph 】菜单中的【Plot New Function 】（绘制新函数），在“新建函数”对话框内依次单击ln ，（，x ，），/，ln ，（， a ，），ln 在函数编辑器的函数选择菜单上，a 在屏幕上，其他在函数编辑器上，单击【OK 】（确定）立即出现函数x y a log =的图象．把上述图象设置成粗线，并选择一种颜色．（选中曲线，单击【显示】菜单中的【线型】中的粗线．）（5）用【选择】工具选中点A ，单击【Edit 】（编辑）菜单的【Action Buttons 】（操作类按钮） 中的【Animation 】（动画），屏幕上出现操作类按钮【Animation Point 】（运动点），用【文本】工具将按钮名称【Animation Point 】改为【改变底数a 】，选中线段端点A ，单击【Display 】（显示）中的【Hide Objects 】（隐藏），隐藏线段及点A ．单击按钮，两个函数图象随a 的变动而跟着变动．再画直线y ＝x ，让学生观察上述图象，发现它们的对称关系．（6）任取f （x ）= a x 图象上的一个点P ，度量出P 的横坐标和纵坐标B B y x ,，再依次点击B B x y ,，单击【Graph 】菜单中的【Plot Points 】（绘制点），即绘制点P 关于y ＝x 的对称点 P ''，单击【Display 】菜单中的【Trace 】（追踪点），可以发现点P /的轨迹与x a y =的反函数x y a log =的图象重合．画出过点P 与点P /的线段，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Midpoint 】（线段的中点），用【文本】工具将将中点的标签记为点M ，单击【Construct 】（构造）菜单中的【Locus 】（轨迹），当P 运动时，发现M 在直线x y =上运动，如（图4）所示．图4课件使用说明：1．单击【运动点P 】，让学生观察，点P 与点P '的坐标的变化情况，从而进一步验证了上述结论对于（a >0，a ≠1）的情况下仍然成立．2．上述作图过程一般是随堂进行，若事先作好上课时直接应用，则可以制作一些隐藏与显示按钮（具体见课件）．。
巧用互为反函数间关系
巧用互为反函数间关系一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f （x）。
则y=f（x）的反函数为y=f^-1（x）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(即唯一的x对应唯一的y)。
反函数的性质：1、互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称。
2、函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。
3、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。
4、一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。
若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
1、反函数的定义。
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=(y)。
若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y)。
反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
说明：1、在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。
2、反函数也是函数，因为它符合函数的定义。
从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数。
3、从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域。
互为反函数的函数图像之间的关系及应用
mx 5 x 5 解法一：由 f ( x) 得反函数 y 2 x 1 2x m
x 5 练习5：已知函数 f ( x) 2x m 的图象关于直线y=x对称，求m的值.
x 5 mx 5 2x m 2x 1
由
令 x=0得
5 ∴m=-1 5 解法二：令x=0 则(0, m )在f(x)的图象上
-1 （x）
∴
a = －3
练习2：如果y=f（x）的图象过点（1，2），那么 y=f-1(x)–1的图象过点__________ (2,0)
分析：由y=f（x）的图象过点（1，2），知y=f (x)的 -1 -1 图像过点（2，1），而y=f (x)–1的图像是由y=f (x) -1 的图像向下平移1个单位得到的，故y=f (x)–1的图象 过点（2,0)
（1，3），且它的反函数f (x)的图像过点 （2，0），求f(x).
解： ∵f(x)的图像过点（1，3）
-1
∴a+b=3 ①
由f(x)的反函数f (x)的图像过点（2，0），可知 f(x)的图像过点（0，2） ∴1+b=2 ② 由②得b=1,将b=1代入①中得a=2
-1
f ( x) 2x 1
y x2 3
x y x y
0 -2 -2 0
0
2 3
x
0
2 3
问题：
互为反函数的两个函数的图象之间是否 具有某种对称关系? 回答：
它们的两个函数图象是以直线y=x为对 称轴的对称图形。 给出定理：
函数 y = f ( x ) 的图象与它的 反函数 y = f －1 ( x ) 的图象关于直 线 y = x 对称。
1
O
互为反函数的两个函数图像间的关系
2.如果一次函数
y
ax
1
3与
y
4x
b
的图象关于直
线 y x对称,则 a 4 ,b 12 .
3.方程 x lg x 3 和 x 10x 3 的根分别为、 , 则 α+β 为 3 .
（八）课时小结人教A版必修1第二 基本初等函数（Ⅰ） 探究与发现
互为反函数的两个函数图象 之间的关系
复习回顾 下列函数互为反函数的是：
1y x 2与y x 2
1
2y x3与y x 3
3y x2与y x
4y log 2 x与y 2x
（一）观察实例
问题1. 在同一平面直角坐标系(横、纵轴长度单位一致)
问题5. 上述结论对于指数函数 y a x a 0,且a 1
及其反函数 y log a xa 0,且a 1 也成立吗？
（六）升华提高
⇒ 两个函数互为反函数 图象关于直线 y x 对称
⇔
⇔ 两个函数互为反函数 图象关于直线 y x 对称
（七）跟踪练习
1.设点a,b 在函数 y f x的图象上,则点 b, a 一
设 P0关于直线 y x的对称点为P0 ' ，则：P0 '( y0 , x0 )
y0 2x0 log 2 y0 x0 所以：P0 关于直线 y x的对称点在函数 y log 2 x
的图象上。
y = 2x 图象上任意一点关于直线 y x
的对称点都在y log2 x 的图象上 .
它们在 y log2 x的图象上吗？为什么？
P1
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数 2.2 对数函数 互为反函数的两个函数图象之间的关系》示范课件_3
的值.
点评：
利用互反函数的图象关于 直线y=x对称.
2019/10/20
作业： P75 习题2.2B组:1，4，5.
2019/10/20
y=x对称.
方法：
结合这个函数的单
在PQ((m函n,,mn数)),y也证=f在明(x函P)的关数图于y调在=象直f性反(上x线数)可函任的y是=以数取图它x的说，一象自对明 且点上己称它 反.. 点存 函
举例:(1)y=x+c,
(2)y=kx－1.
2019/10/20
例3 若点P（1，2）同时在函数y＝
图象上任意一点，点Q（n，m）在哪
个函数的图象上？
将点P的坐标代入y=logax得：
n=logam 化成指数式 m=an
所以，点Q（n，m）在函数y=ax的
图像上.
2019/10/20
探究3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样 的位置关系？由此说明对数函数y=logax
的图象与指数函数y＝ax的图象有怎样
2019/10/20
探究（二）：反函数的存在性
问题1:在函数y＝x2中，若将y作自变量， 那么x与y的对应关系是函数吗？为什 么？
对比： 下列函数哪些存在反函数：
(1)y=x2(x>0);
(2)y=x2(x<－2)；
(3)y=x2(x>－2);
2019/10/20
(4)y=x3(x∈R).
探究（二）：反函数的存在性 问题2:一个函数在其对应形式上有一 对一和多对一两种，那么在哪种对应 下的函数才存在反函数？ 结论：
探究（一）：反函数的概念 一般地，由函数y=f(x)解得x=f－1(y)， 且x是y的函数(即对于每一个y值，都 有唯一的x与之对应)，那么，我们把 函数x=f－1(y)叫做函数y=f(x)的反函数.
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互为反函数的两个函数图象之间的关系
问题1（祥见页面1——“画图象”）
在同一平面直角坐标系中，画出函数x
y 2=及其反函数x y 2log =的图象。
操作步骤：
1． 打开新绘图，单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，
在“新建函数”对话框内依次单击2,^,x ，这些均
在函数编辑器上，单击[确定]后立即出现函数x y 2=的图象。
把上述图象设置成粗线，并选择
一种颜色。
（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]
中的粗线。
）
2． 单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”
对话框内依次单击ln,(,x,),/,ln,(,2,),ln 在函数编辑
器的函数选择菜单上，如图1，单击[确定]后立即
出现函数x y
2log =的图象。
把上述图
象设置为粗线 ，并选择一种颜色。
（选
中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的
粗线。
）
3． 屏幕上出现图象2。
让学生观察上述图
象，发现它们的对称关系。
问题2
操作步骤：
4． 单击[图表]菜单中的[绘制点]，出现绘制点对
话框，如图3。
在直角坐标处分别输入-1，0.5，
单击[绘制]，就在屏幕上出现一个点。
再分别
输入0，1，单击[绘制]，屏幕上又出现一个点，
再分别输入1，2，单击[绘制]，屏幕上又出现
一个点，单击[完成]。
在x y 2=的图象上出现了
三个点，选择[文本工具]，将上述三个点的标签
分别改为P 1，P 2，P 3。
如图4。
5． 绘制点（1，1），选择[直线工具]，过原点和（1，
1）点绘制直线，选择[文本工具]，将直线标签
为“x y =”，并双击直线x y =，即将直线
x y =[标记镜面]，用[选择箭头工具]同时选中
P 1，P 2，P 3，单击[变换]菜单中的[反射]，屏幕上出现它们的对称点，用[文本工具]分别将它们P 1/，P 2/，P 3/。
6． 用[选择箭头]同时选中P 1，P 2，P 3，单击[度量] 菜单中的[坐标]，屏幕上出现图5；用[选择箭头工具]同时选中P 1/， P 2/，P 3/单击[度量]菜单中的[坐标]，屏幕上出现图6。
P 3: (1.00， 2.00)P 2: (0.00， 1.00)P 1: (-1.00， 0.50)P'3: (2.00， 1.00)P'2: (1.00， 0.00)P'1: (0.50， -1.00)
7． 学生既可以从点的位置上形象的看到点P 1/， P 2/，P 3/均落在函数x y 2log =的图象上；
也可以利用点的坐标验证点P 1/， P 2/，P 3/均落在函数x y 2log =的图象上。
问题3
8． 用[选择箭头工具]选中x
y 2=
的图象，单击[构造]菜单中的[对
象上的点]，用[文本工具]给点标
签为P 0，再用[选择箭头工具]选
中点P 0，单击[度量]菜单中的[坐
标]，屏幕上出现P 0的坐标。
9． 画出点P 0关于直线x y =的对
称点P 0/，并度量出它的坐标。
发现点P 0/也在函数x
y 2log =的图象上。
10． 单击[编辑]菜单中的[操作
类按扭]，单击[动画]，出现图7，
单击[确定]。
屏幕上出现[运动点]
按扭，单击按扭点P 0与P 0/同时在各自的曲线上运动或停止。
可以清楚得看到P 0/始终落在函数x y 2log =的图象上。
11． 可以先将函数x y 2log =的图象隐藏，将P 0/点设置追踪点（单击[显示]菜单中的[追
踪点]）。
当点P 0/随点P 0的运动而运动时会留下痕迹；再显示x y 2log =的图象，发现点P 0/的痕迹与x y 2log =的图象重合。
12． 或同时选中P 0与P 0/，单击[构造]菜单中的[轨迹]，立刻得到点P 0/的轨迹与
x y 2log =的图象重合。
问题4
由上述探究过程都可以得到以下结论：函数x
y 2=及其反函数x y 2log =的图象关于直线x y =对称。
（问题2、3、4祥见页面2——“对称点”）
问题5（祥见页面3——“a 变化”）
13． 单击[图表]菜单中的[建立坐标系]，屏幕上出现一个平面直角坐标系，用[直线工具]
画一条过原点和（5，0）点的线段，用[选择箭头工具]选择线段，单击[构造]菜单中的[射线上的点]，在线段上出现一个点，点的标签为A ，单击[度量]菜单中的[横坐标]，屏幕上出现x A =3.36,利用[文本工具]将标签改为a 。
14． 单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”对话框内依次单击a ,^,x ，其中
^,x 在函数编辑器上，a 在屏幕上，单击[确定]后立即出现函数x
a y =的图象。
把上述图
象设置成粗线，并选择一种颜色。
（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的粗线。
）
15． 单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”对话框内依次单击ln,(,x,),/,ln,(,
a ,),ln 在函数编辑器的函数选择菜单上，a 在屏幕上，其他在函数编辑器上，单击[确定]后立即出现函数x y a log =的图象。
把上述图象设置成粗线 ，并选择一种颜色。
（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的粗线。
）
16． 选中点A ，单击[编辑]菜单中的[操作类按扭]中的[动画]，出现对话框，单击[确定]，
出现[运动点]按扭，选择[文本工
具]，将按扭标签改为“运动点A ”，
单击按扭，点A 在线段上运动，
函数图象也跟着动。
再画直线
x y =，让学生观察上述图象，发
现它们的对称关系。
17． 重复上述第8，第9，第10
三个步骤，得到图8，单击[运动
点A]或单击[运动点B]按扭，也可
同时单击这两个按扭，让学生观
察，点B 与点B /的坐标的变化情
况。
从而进一步验证了上述结论对
于（1,0≠>a a ）的情况下仍然成立。
18． 验证两个互为反函数的图象关于x y =对称
任取x y =图象上的一个点B ，在度量出 B 的横坐标和纵坐标B B y x ,，再依次点击B B x y ,，再单击[图表]菜单中的[绘制点]，即绘制点B 关于 x y =的对称点C ，单击[显示]菜单中的[追踪点]，让点B 在x y =上运动，可以发现点C 的轨迹与x a y =的反函数x y a log =的图象重合。
画出过点B 与点C 的线段，单击[构造]菜单中的[线段的中点]，单击[文本工具]，将中点的标签记为点M ，单击[度量]菜单中的[坐标]，得点M 的坐标，单击[构造]菜单中的[轨迹]，当B 运动时，发现M 在直线x y =上运动。
上述作图过程一般是随堂进行，若事先作好上课时直接应用，则可以制作一些隐藏与显示按扭（具体见课件）。