高中数学教师说课讲稿--互为反函数的函数图象间的关系(王洪军)
高中数学必修一《互为反函数的函数图象间的关系》优秀教学设计
归纳总结:函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称.
教学软件演示两函数图象关于直线y=x对称.
求反函数,画图.
观察思考并作出猜想
求反函数,画图.
观看动画演示,总结得出互为反函数的函数图象间的关系.
通过设疑,创设问题情境,激发学生学习兴趣.
采用动画演示功能创设生动、形象、直观的教学情景，来帮助同学理解和掌握，降低教学难度,使学生充分完成感性认识到理性认识的过渡.
教学环节
课
堂
练
习
教师活动
引导学生运用所学知识解题,板书解题思路.
点评学生解题情况
媒体运用
微机操作和演示
学生活动
练习1:已知函数y=f(x)(定义域为D,值域为A)有反函数y=f-1(x)，则方程f(x)=0有解x=a，且f(x)>x(x∈D)的充要条件是y=f-1(x)满足( )
A.f-1(a)=0且f-1(x)<x,x∈A
B.f-1(0)=a且f-1(x)>x,x∈A
C.f-1(0)=a且f-1(x)<x,x∈A
D.f-1(a)=0且f-1(x)>x,x∈A
练习2:若点A(1,2)既在函数
f(x)=的图象上，又在y=f(x)的反函数的图象上，求a,b的值.
练习3:已知函数
教学设计
课题：互为反函数的函数图象间的关系
教材分析：
这一节与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，了解互为反函数的函数图象间的关系并应用其解题，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后指、对函数的教学做好准备 , 起到承上启下的重要作用。
互为反函数的函数图像之间的关系
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REPORTING
• 引言 • 互为反函数的函数图像特点 • 互为反函数的函数图像变换 • 互为反函数的函数在实际中的应用 • 结论
目RTING
WENKU DESIGN
什么是反函数
反函数：如果对于函数y=f(x)来说，其反函数存在的话，那么对于y的每一个值，x都有唯一 确定的值与之对应，那么此时y就是x的函数，我们称x为自变量，y为因变量，称f为x的反函 数。
01
互为反函数的函数图像在数学中常用于解决方程问题，例如求
解一元二次方程的根。
证明定理
02
利用互为反函数的函数图像，可以证明一些数学定理，例如函
数的单调性定理。
函数性质研究
03
通过研究互为反函数的函数图像，可以深入了解函数的性质，
例如函数的奇偶性、周期性等。
在物理领域的应用
描述物理现象
在物理学中，有些物理现象可以用互为反函数的 函数图像来表示，例如振动和波动现象。
PART 03
互为反函数的函数图像变 换
REPORTING
WENKU DESIGN
图像平移
总结词
互为反函数的函数图像在平移时具有对称性。
详细描述
当一个函数与其反函数在平面上进行平移时，它们的图像会以原点为中心对称。 例如，函数y=x^2与其反函数y=sqrt(x)在平移时，一个向左或向右移动，另一 个则以相反的方向移动，保持对称性。
反函数与机器学习的关系
在机器学习中，许多算法涉及到优化问题，而优化问题常常需要求解反函数。因此，进一步研究反函数 与机器学习之间的关系，有助于提高机器学习算法的效率和准确性。
THANKS
高中数学说课稿高中数学《反函数》说课稿_0647文档
2020高中数学说课稿高中数学《反函数》说课稿_0647文档EDUCATION WORD高中数学说课稿高中数学《反函数》说课稿_0647文档前言语料：温馨提醒，教育，就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。
其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。
本文内容如下：【下载该文档后使用Word打开】我担任高职单招辅导班的数学科教学，可以说每节课都是复习课。
今天，我说的是复习课这种课型。
内容是《函数》这一章中的“反函数”这一节。
一、教材分析：反函数这一节在《函数》这章中是一个难点，篇幅不多（课时少），在高考考纲中的要求也比较简单。
但我个人这样认为，复习课应尽量把与本节内容相关的新旧知识系统地串在一起，所以在备课时要找一条能把知识点连在一起的线索。
这线索就是函数的三要素：（一）教学目标：①使学生掌握反函数的概念并能求出简单函数的反函数（考纲要求）。
②互为反函数的两个函数具有的性质，以及这些性质在解题中的运用。
③通过知识的系统性，培养学生的逆向思维能力和逻辑思维能力。
（二）重点、难点：①重点：使学生能求出简单函数的反函数。
②难点：反函数概念的理解。
二、教学方法：整节课采用传统的讲解法。
首先要认识反函数应先有函数的概念这知识，用例子来说明反函数的求法以及让学生来完成一题没有反函数的函数，从而得出一个不满足函数定义的关系式，通过分析来得到一个函数具有反函数的条件。
这里是用“欲擒故纵”的手法，加深对概念的理解，也是突破难点的关键。
三、学生学习方法：学生认识了反函数的求法（步骤）,在老师的引导下得出三个结论，并运用这些结论来解题。
希望能达到提高学生性质的解题能力和思维能力的目标。
四、教学过程：（一）温故：函数的概念、三要素（二）新课：例1：求y=2x+1的反函数解：即（x∈R）注意步骤，新关系式满足从R到R是一个函数关系式。
互为反函数的两个函数图像之间的关系
互为反函数的两个函数图象之间的关系我们先来看两个函数：指数函数y 2 x与对数函数y log 2 x .我们知道对数来源于指数，即指数与对数两者之间可以进行相互转换。
指数函数 y 2 x，若将之转化为用y 来表示 x 即：x log 2y ，将其中y作为自变量，x作为R 中与之对应的唯一的值，我们就可以把函数xlog2y（y(0,)）叫做指数函数y 2x x log y（ y (0,)）y log x（ x (0, )）的反函数，习惯上我们把函数22，记作，即底数同为 2 的指数函数与对数函数互为反函数。
根据指数与对数的性质，我们也可以知道所有同底的指数函数与对数函数均互为反函数，即指数函数y a x (a0, a1) 与对数函数y log a x (a0, a1) 互为反函数。
通常我们将原函数记作y f ( x)，反函数记作y f1(x)。
因为原函数与反函数本质是将x 与 y 互换，所以我们就可以得到：原函数的定义域就是它的反函数的值域，原函数的值域就是它的反函数的定义域。
现在请你应用所学的数学知识，通过下面几个问题来探究一下互为反函数的两个函数图象之间的关系，让我们亲自来发现其中的奥秘吧！问题 1 在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度单位一致）中，画出指数函数y 2 x及其反函数 y log 2 x 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？问题 2 取y 2x图象上的几个点，如P1( 1,1), P2 (0,1), P3. (1,2).P1, P2 , P3关于直线y x 的2对称点的坐标是什么？它们在的图象上吗？为什么？问题 3 如果点P（x, y ）x的图象上，那么P（ x , y ）x 的对称点000在函数y 20 0 0 关于直线y在函数 y log 2 x 的图象上吗？为什么？问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论？问题 5 上述结论对于指数函数y a x (a 0, a 1) 及其反函数 y log a x (a0, a 1) 也成立吗？为什么？通过上面的问题的探究我们可以知道互为反函数的两个函数，函数 y f ( x) 图象上的点关 于 yx 的 对称 点 一 定 是 在 yf 1 (x) 有 图 象 上 ，并 且 函 数 y f ( x) 图象 与 反 函 数yf 1 (x) 的图象关于 y x 对称 .例 1 求下列函数的反函数（ 1） yx1( x1)2x 1（ 2） y3x 解：（ 1）由 yx 1 解出 x ( y1) 2 又写成： y (x 1) 2函数 yx 1( x 1)的值域为 [ 0, )所求的反函数为 y ( x 1)2( x[ 0, )) .注意：如果不注明反函数定义域，得出y ( x1)2 是错误的 .（ 2 ） 由 y2x 1（ x 3） y 2 x 1x( y 2) 3 y 1 x3 y 1 ，改写成x3y 2y3x 1即为所求 .x 2说明：一般地，求分式函数 yaxb(c 0, ad bc) 的反函数时，直接解出 x f 1 ( y) ，cx d再改写成 y f 1 (x) 即可 .因为使所求出的解析式有意义的x 的范围，已知函数的值域 .例 2 已知函数 yax b( xb) 的图象过点 (1， 2)，它的反函数图象也过此点，求函a数 f ( x) 的解析式 .解法一：由 yaxb 得 x y 2 ba∴当 xb时， ya∴函数 yax b (xb) 的反函数是 f1( x) x2b( x 0)aa又∵点 (1，2)既在函数 f (x) 上，也在函数f1( x ) 上2a b∴有1 b 解得： a 3, b 72a∴函数 f (x) ＝ 3x7(x7 )3解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线 y x 的对点为 (2，1)，可以得到函数 f ( x) 的图象还过点 (2， 1)∴得到2 a b1 2 ab解得： a3, b7∴函数 f (x) ＝3x 7 (x7 )3巩固练习：1．函数 yx 2 2 x( x 0) 的反函数的定义域是（）A 、, 0B 、 0,1C 、,1 D 、[0,)2．设 f ( x)2 x 1 ( x R,x 3),则 f 1( 2) 的值等于（）4x 34A 、5 B 、2C 、2D 、5655113．设 a 0, a 1 ，函数 ylog a x 的反函数和 y log 1 x 的反函数的图象关于（）a[ 来源 :][ 来源 :]( A) x 轴对称(B) y 轴对称(C ) y x 轴对称(D ) 原点对称4．点 (a, b) 在 yf ( x)的图象上，则下列的点在其反函数图象上的是（）A. P(a, f1(a )) B. P( f1(b), b)C. P( f1(a), a)D. P(b, f 1(b))5．已知 函数 f (x) ( 1) x1 ，则 f 1( x) 的图象只可能是（）y2yyyxx1 x 2xO 11O2O1 O( A)( B)(C )( D )6．设 f ( x)x21(0x 1)，则 f 1 ( 5 )．2x ( 1 x0)47．若 y ax 6 与 y 1 x b 的图象关于直线y x对称，且点(b, a)在指数函数 f (x) 的图象3上，则 f ( x)．x1x R,且 x 18．给定实数 a，a≠0，且 a≠1，设函数y1．试证明：这个函数ax a 的图象关于直线y=x成轴对称图形．参考答案：1． A ，2． A ， 3． B， 4． D， 5．C，6．1． 7． f (x)( 3 ) x．28．证明：先求所给函数的反函数:由yx1ax1( x R, x1 ),a得y(ax－1)=x－1，即 (ay－ 1)x=y－ 1．假如 ay 10,则 y 1,代入所给函数的解析式, 得1x1 a a ax1即 ax－ a=ax－ 1，由此得 a=1，与已知矛盾，所以ay－ 1≠ 0．因此得到xy 1,其中 y1 , ay1a这表明函数 yx 1 ( x R,且 x 1)的反函数是ax 1ayx 1,( x R,且 x 1).ax1a由于函数 y=f(x) 的图象和它的反函数 y=f － 1(x) 的图象关于直线 y=x 对称，所以函数yx 1 R, 且 x1ax(x ) 的图象关于直线 y=x 成轴对称图形 .1a。
互为反函数图像之间的关系课件
什么样的函数存在反函数？
一一映射确定的函数
❖求反函数的一般步骤：
y= f (x)
x = f -1(y)
y= f -1(x)
注：标明反函数的定义域（即原函数 的值域）
互为反函数图像之间的关系课件
例1：求函数y=3x-2(x∈R)的反函数， 并画出原函数和它的反函数的图象。
解：由y=3x-2,
y=x²(x≥0)的反函数是
y = x(x ≥0)
互为反函数图像之间的关系课件
y=x²(x≥0) 1
y= x(x≥0) x
练习 ①画出函数y=√x(x∈[0,+∞))的图象.
好画吗? 怎样转化,用我们学过的知识来画?
先画y=x2 (x∈[0,+∞))这个我们熟悉!
y
yx
y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y=x²+1(x≥0) y
y= x-1(x≥1)
o
x
y = x3 y
y=3 x
o
x
互为反函数图像之间的关系课件
y=x²+1(x≥0)
y
y=x
y= x-1(x≥1)
o
x
y = x3
y
y=x
y=3 x
o
x
互为反函数图像之间的关系课件
猜想
❖函数 y= f (x) 的图象和它的 反函数 y= f -1(x) 的图象关 于直线y=x对称
y x
x
x
0
1
4 9…
y
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2 3…
互为反函数图像之间的关系课件
y
y=3x-2
互为反函数的函数图象间的关系
互为反函数的函数图象间的关系1. 引言在数学中，函数是一个关系，它将一组输入值映射到一组输出值。
互为反函数的函数是指两个函数之间存在着一种特殊的关系，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入时，两个函数所得的结果可以彼此对应，互相抵消，使得最终结果回到原先的输入。
本文将探讨互为反函数的函数图象之间的关系以及该关系的一些特点。
2. 互为反函数的定义设函数 f 和 g 为两个定义在数域 D 上的函数，如果对于任意x∈D有 g(f(x))=x和 f(g(x))=x，那么函数 f 和 g 互为反函数。
简单来说，互为反函数的函数可以互相撤销对方的操作，使得最终结果回到原先的输入。
3. 互为反函数的图象如果两个函数 f 和 g 互为反函数，那么它们的图象之间存在一些特殊的关系。
具体可以分为以下几种情况：3.1 图象对称如果函数 f 的图象关于直线 y=x 对称，则函数 g 的图象与函数 f 的图象重合。
这是因为对称性保证了将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相同的结果，从而形成图象重合。
3.2 倒置关系当函数 f 的图象关于直线 y=x 倒置时，函数 g 的图象与函数 f 的图象相互倒置。
这是因为通过倒置关系，将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相反的结果，从而形成图象相互倒置。
3.3 对称轴为直线 y=x如果函数 f 和 g 的图象关于直线 y=x 对称，则它们的图象在该直线上对应。
这是因为对称轴为直线 y=x 时，函数 f 和 g 可以互相抵消对方的操作，使得最终结果回到原先的输入，并保持图象在该直线上的对应关系。
4. 互为反函数的例子4.1 幂函数与对数函数幂函数和对数函数是互为反函数的经典例子。
定义在正实数集合上的幂函数f(x) = a^x 和对数函数 g(x) = loga(x) 具有以下关系：f(g(x)) = loga(a^x) = x，g(f(x)) = loga(a^x) = x。
2024《函数的图象》说课稿范文
2024《函数的图象》说课稿范文明年我将要讲授的内容是《函数的图象》，下面我将从以下几个方面进行阐述。
一、说教材1、《函数的图象》是人教版高中数学选修1教材中的一部分。
它是在学生已经学习了函数基本概念和函数图像的基础上进行教学的，是高中数学领域中的重要知识点，而且函数的图象在实际问题中有着广泛的应用。
2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的认知结构，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解函数图象的基本特征，掌握函数图象与函数关系的变化规律。
②能力目标：在函数图象的绘制和分析中，培养学生观察、推理和问题解决的能力。
③情感目标：在函数图象的学习中，让学生体会数学在实际问题中的应用和意义。
3、教学重难点在深入研究教材的基础上，我确定了本节课的重点是：理解函数图象的基本特征，掌握函数图象与函数关系的变化规律。
难点是：能够准确地绘制函数的图象，能够通过观察函数图象来推断函数关系的性质。
二、说教法学法根据学生的特点和教学目标，我将采用探究式教学法和问题解决法。
通过引导学生自主探索和思考，培养学生解决问题的能力。
学法是：自主学习法，合作学习法。
三、说教学准备在教学过程中，我将使用多媒体辅助教学，以图像和实例的形式呈现教学素材。
同时，准备了足够的绘图工具和实例问题，以便学生进行练习和探究。
四、说教学过程新课标要求教学活动是师生互动的过程，为了落实这一要求，我设计了如下教学环节。
环节一、谈话引入，导入新课。
课堂伊始，我会通过展示几张函数图象的问题给学生，让学生观察和分析这些图象的特点。
我会适时追问：你们从这些图象中能得到什么信息？这里运用了什么知识？让学生感知函数图象是函数关系的可视化表达方式。
由此引入今天的课题：函数的图象。
设计意图：以问题引入的方式，既激发了学生的好奇心，又调动了学生主动思考的欲望。
环节二、检验课前自学成果。
在课前我会布置一道问题让学生自主学习。
问题是：如何根据函数的表达式绘制函数的图象？我会在课堂上让学生交流和讨论他们的学习成果。
互为反函数的函数图像之间的关系及应用省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第1页
一、复习提问：
1.叙述反函数定义： 普通地，函数y=f(x)(xA )中,设它值域为C,我们依 据这个函数中x,y关系, 用y把x表示出来得到x = (y). 假如对于y在C中任何一个值,经过x = (y)在A中都有唯 一值和它对应，那么, x = (y)就表示y是自变量,x是自
令 x=0得
5 5 m
解法二：令x=0
∴m=-1
则(0,
5 m5
)在f(x)图象上
m
由已知f(x)反函数是本身∴(5 m Nhomakorabea,
0)在f(x)图象上， ∴m=-1
-55=0 m
第15页
三、课堂小结
1、函数 y = f ( x ) 图象与它反函数 y = f －1 ( x ) 图象关于 直线 y = x 对称。
第6页
注：1）这个结论是由特殊到普通归纳出来，并未经过
严格证实，为不增加难度，现在不作证实。 2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x轴）与纵轴
（y轴）长度单位一致情况下得出。
3）函数y=f(x)与函数y=f－1(x)互为
反函数，图像关于直线y = x对称；
函数y=f(x)与函数x=f－1(y)互为 反函数，图像相同。
用对称性画出它反函数图象.
yx
y y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y x
x
x 0 1 4 9…
y 0 1 2 3…
第9页
然后我们利用互为反函数函数图像间 关系来处理对应问题
例3、若点P（1，2）在函数 y ax b 图象上， 又在它反函数图象上，求a，b值。
解：由题意知，P（1，2）在函数 y ax b 反函数
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课题：互为反函数的函数图像间的关系
●引导设问3若连结BG，则BG与y=x什么关系？点B与点
再换一个位置行吗？
〇学生活动学生根据图形很容易得出y=x垂直平分BG，点B
法可能有OB=OG,BD=GD等。
▲教师引导教师用几何花板，就上面的问题追随学生的思路演示当
变化时(y0,x0)也随之变化但始终有两点关于y=x对称。
●引导设问4若不求反函数，你能画出y=3x-2)
x∈的反函数的图像吗？怎么画？
(R
〇学生活动由上题学生不难得出做y=x 的对称图像（教师配合动画演示）●引导设问8通过上面的两个问题我们可以得出原函数图像与反函数图像有什么关系？▲ 学生总结，教师补充 结论（1）一个函数若存在反函数则原函数和反函数的图像关于
y=x 这条直线对称。
（2）一个函数若存在反函数则这两个函数许违反寒暑，个图像当作原函数图像则另一个图象便是反函数图像。
习题精炼，深化概念
●引导设问9根据图像判断函数x y 2
=有没有反函数？为什么？对自变量加上什么条件才
能有反函数？
〇学生活动由上面结论很容易做出通过图形的样式使学生进一步认识到原函数的定义域值域是反函数的值域定义域。
总结反思，纳入系统： 内容总结：
1、
()y x 0
,在原函数图像上，那么(y 0
,x 0
)在反函数图像上。
2、()y x 00
,与(y 0
,x 0
)关于y=x 对称。
3、原函数和反函数的图像关于y=x 这条直线对称。
思想总结：
由特殊到一般的思想，数形结合的思想 个特殊的函数图像得出一般结论的。
我认为这样处理虽然可以使学生得出并记住这个结论，但学生对这个结论理解并不深刻。
这样处理也不利于培养学生严密的数学思维。
而我
对这节课的处理是在不增加教材难度的情况下（不严密证明）利用
()y x 0
,在原函数图像
上，那么(y 0
,x 0)在反函数图像上这一性质，从图形上充分研究
()y x 0
,与(y 0
,x 0
)的关系。
经讨论研究可得出结论“
()y x 0
,与(y 0
,x 0
)关于y=x 对称”。
进而通过任意点的对称得出
原函数和反函数的图像关于y=x 这条直线对称，另外利用任意点来研究图像也是以后数学中经常用到的方法。
具体操作大致如下：首先请学生画出y=3x-2)(R x ∈的图像，并求出反函数，然后提出问题1：原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？学生很容易得出原函数与反函数中的自变量，函数值正好对调即：原函数y =3x-2中
y:函数x ：自变量，反函数32+=y x 中x:函数y ：自变量。
问题2：在原函数定义域
内任给定一个x 0都有唯一的一个
y
与之对应，即()y x 0
0,在原函数图像上，那么哪一点在
反函数图像上？对于这个问题有了上题的铺垫，学生不难得出(y 0
,x 0)在反函数图像上。
问题3：若连结B
()y x 0
,，G (y 0
,x 0
)，则BG 与y=x 什么关系？点B 与点G 什么关系？为什
么？点B 再换一个位置行吗？对于这个问题的设计重在帮助学生理解()y x 0
,与(y 0
,x 0
)
为什么关于y=x 对称，突出本课重点和难点。
其它环节具体见教案。