第7章 稳态热传导问题的有限元法

)dΒιβλιοθήκη 0(8-18)14
采度用分布Ga函ler数ki和n方换法热，边选界择条权件函代数入为(8，-w181 )式N，i 单将元单的元加内权的积温
分公式为
e
[ Ni x
(x
[N ]) Ni x y
( y
[N ])]{T}e d y
e
e
NiQ d 2 Ni qs d
(8-19)
e 3
Ni h[N ]{T}e d
一点上都满足边界条件（8-11）。对于复杂的工程问
题，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似
解。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数
，一般表示为:
n
u u Ni ai Na
（8-12）
i 1
其中 ai为待定系数，为 Ni已知函数，称为试探函数。试探
函数要取完全的函数序列，是线性独立的。由于试探函数
T
0
t
5
这类问题称为稳态（Steady state）热传导问题。 稳态热传导问题并不是温度场不随时间变化，而是指 温度分布稳定后的状态。
若我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态 过渡到最后的稳定温度场，那么随时间变化的瞬态（ Transient）热传导方程就退化为稳态热传导方程，三 维问题的稳态热传导方程为
，取： W j N j W j N j
下面用求解二阶常微分方程为例，说明Galerkin 法（参见，王勖成编著“有限元法基本原理和数值 方法”的1.2.3节）。
12
以二维问题为例，说明用Galerkin法建立稳态温度场 的一般有限元格式的过程。二维问题的稳态热传导方程：
x
x
T x
y
y
1 x j
y
j
T
1 xm ym
20
T 2A
单元内的温度分布用结点上的温度值表示为
T [Ni
Nj
N
m
]TTij
Tm 复合求导法则
在三角形单元上，采用Galerkin法,可得
A
[
N
]T
[
x
(
x
T x
)
y
( y
T ) Q ]dA 0 y
[N ]T
x
(
x
T ) x
x
([
N
]T
x
e 3
Ni hT f d 0
换热边界条件代入后，在(8-19)式内相应出现了第二
类换热边界项
e
Γ2 Ni qs d
第三类换热边界项
e 3
Ni h[N ]{T}e d
e 3
Ni hT f d
但没有出现与第一类换热边界对应的项。这是因
为。，写采成用矩阵N形i 作式为，权有函数，第一类换热边界被自动满15 足
W
T j
Rd
0
(8-15)
W j和W j 称为权函数，通过公式（8-15）可以选择待定 的参数。
11
这种采用使余量的加权积分为零来求得微分方程 近似解的方法称为加权余量法。对权函数的不同选择 就得到了不同的加权余量法，常用的方法包括配点法 、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法（ Galerkin method）。在很多情况下，采用Galerkin法得 到的方程组的系数矩阵是对称的，在这里也采用 Galerkin法建立稳态温度场分析的一般有限元列式。 在Galerkin法中，直接采用试探函数序列作为权函数
e
e
[(
[ N x
])
T
(
x
[ N x
]
)
(
[ N y
])T
(
y
[N ])]{T}e d y
e [N ]T Q d
e
[
2
N
]T
qs
d
e
e
e h[N ]T [N ]{T}e d 3
e 3
[N ]T hT f d 0
17
e
e
根据单元结点的局部编号与整体编号的关系， 直接求和得到整体刚度矩阵，整体方程组为
8
8.2 稳态温度场分析的一般有限元列式
在前面我们已经介绍了有限元方法可以用来分析 场问题，稳态温度场计算是一个典型的场问题。我们 可以采用虚功方程建立弹性力学问题分析的有限元格 式，推导出的单元刚度矩阵有明确的力学含义。在这 里，介绍如何用加权余量法（Weighted Residual Method ）建立稳态温度场分析的有限元列式。
A
[N ]T Q dA Q
A
N N
i j
N m
dA
QA 3
1 1 1
由Green公式，可得
A
[
x
([
N
]T
x
T x
)
y
([ N
]T
y
T ]dA y
s
([N ]T
x
T x
nx
[N ]T
y
T y
ny
)dS
24
为方便起见，把换热边界统一表示为第三类换热 边界，可得
A
[
x
([
N
]T
x
c
2 m
Tm
NT
N
T
x
x
单元的刚度矩阵为
[K ]e
x
4
bi2
bi b j
bibm
bi b j
b
2 j
b j bm
bib
j
bjbm
bm2
y
4
ci2 cic
j
ci cm
cic j
c
2 j
c j cm
cicm c j cm
cm2 23
显然地，单元的导热矩阵是对称的。 如果单元的内部热源为常数，由内部热源产生的 温度载荷项为 -- 与体力载荷移置类似
T x
)
y
([ N
]T
y
T ]dA y
s h[N ]T (T f Ts )dS s h[N ]T T f dS s h[N ]T [N ]{T}e dS
N j x
y
N i y
N j )d y
e 3
hNi N j d
e
e
e
Pi 2 Ni qs d 3 Ni hTf d NiQ d
如果某个单元完全处于物体的内部，则
K ij
e
(x
N i x
N j x
y
N i y
N j )d y
e
Pi NiQ d
在整个物体上的加权积分方程是单元积分方程的和，即
(x
T~ ) x
w1
x
(x
T~ ) x
y
(w1 y
T~ ) y
w1 y
( y
T~ ) y
w1
y
( y
T~ ) y
应用Green定理，一个单元内的加权积分公式可写为
面积积分-> 边界积分
e
[ w1 x
(x
T~ x
)
w1 y
( y
T~ y ) w1Q ]d
e
w1 (x
T~ x
nx
y
T~ y
ny
N
T
x
x
[N ]T
y
(
y
T ) y
y
([
N
]T
y
T y
)
y
[N ]T y
T y
复合求导法则
22
A
y
[N ]T y
T y
dA
x
A
1 4A2
ci cj
cm
[ci
cj
cm
]TTij
dA
Tm
x
4A
ci2 ci c
j
ci cm
cic j
c
2 j
c jcm
ci cm c jcm
TTij
c T 2T 2T 2T Q
t
x 2
y 2
z 2
除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还 需要指定初始条件和边界条件。初始条件是指物体最 初的温度分布情况，即
T t0 T0 x, y, z
边界条件是指物体外表面与周围环境的热交换 情况。在传热学中一般把边界条件分为三类。
3
1）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件。 物体表面上的温度或温度函数为已知，
[K ]{T} {P}
18
8.3 三角形单元的有限元列式
回顾已经学过的内容可以发现，与计算弹性力学 平面问题时所采用的方法一样，二维温度场问题计算 中所采用的三角形单元可以使用相同的形函数：
19
Ni
1 2A
(ai
bi x ci y)
1
N j 2A (a j bj x c j y)
Nm
x
x
T x
y
y
T y
z
z
T z
Q
0
（8-7）
6
对于各向同性的材料，可以得到以下的方程， 称为Poisson方程
2T 2T 2T Q 0
x 2 y2 z 2
（8-8）
考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料 中的温度场满足Laplace方程
2T 2T 2T 0 x 2 y2 z 2
或
T s Ts
（8-4)
T s Ts (x, y, z,t)
2）给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类 边界条件。
已知物体表面上热流密度，
(x
T x
nx
y
T y
ny
z
T z