数学建模复习题--西北农林科大学计算机系讲课稿

数学建模复习题--西北农林科大学计算机

系

10级计算机《数学模型》复习资料

西北农林科大学计算机专业

相信这些都是重点的东西，大家一定要认真复习，争取考好数模，祝大家考试顺利

第一部分（简答题）

1．叙述模型和数学模型的概念，并举例说明.

（1）模型是指为了某个特定的目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。

（2）对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这

一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型.

2．写出数学建模过程流程图;

数学建模过程流程图为：

3．建立数学模型的基本步骤有哪些？

1．模型准备(背景、目的、现象、数据、特征)

2．模型假设(合理性、简化性.但过份简单、过份详细都不对,或反映不

了原问题或无法表达模型,要充分发挥想象力、洞察力、判断力,不断修

改或补充假设)

3．模型构成(建立数学结构)

4． 模型求解(包括推理、证明、数学地或数值地求解)

5． 模型分析(数学意义分析、合理性分析、误差分析、灵敏性分析)

6． 模型检验(接受实际检验、往往在假设上)

7． 模型应用(取决于建模的目的)

4．写出5个数学模型按照应用领域分类的模型名称.

按模型的应用领域分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧再生资源利用模型

水资源模型城镇规划模型生态模型环境模型（污染模型）交通模型

人口模型

5．写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称.

按建模的数学方法分类数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧规划论模型

概率模型组合数学模型图论模型微分方程模型几何模型

初等数学模型

6．写出5个数学模型按照建模目的分类的模型名称.

按建模目的来分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧控制模型

决策模型优化模型

预报模型分析模型

描述模型

7. 长方形椅子摆放问题、人口问题（习题8）、习题9.{这些以小题形式出现}

（1）椅子摆放问题认真看书，要知道模型的假设和模型。（6-7页）

（2）人口问题也要知道模型是怎么建的，两种模型，指数增长和阻滞增长（9-13页）

（3）习题8和习题9的解答过程如下（考小题，这里大家要理解是如何做的）（23页）

8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为)(t x ,单位时间内人口的增量与)(t x x m -成正比（其中m x 为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较.

解：现考察某地区的人口数，记时刻t 的人口数为()t x （一般()t x 是很大的整数）,且设()t x 为连续可微函数.又设()00|x t x t ==.任给时刻t 及时间增量t ∆,因为单位时间内人口增长量与)(t x x m -成正比, 假设其比例系数为常数r .则t 到t t ∆+内人口的增量为：

()()()t t x x r t x t t x m ∆-=-∆+)(.

两边除以t ∆,并令0→∆t ,得到

⎪⎩⎪⎨⎧=-=0

)0()(x x x x r dt dx m 解为rt m m e x x x t x ---=)()(0

如图实线所示，

x

当t 充分大时 m x 它与Logistic 模型相近 0x o t

9．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常

需要从侧面

或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题：

（1） 某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达

山顶并留宿.

次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经

过路径中的同一地点.为什么？

（2） 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者

及轮空者

进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n 支球队比赛呢？

解：（1）方法一：以时间t 为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x 为纵坐标，

第一天的行程)(t x 可用曲线（I ）表示 ，第二天的行程)(t x 可用曲线（I I ）表示，（I ）（I I ）是连续曲线必有交点),(000d t p ,

两天都在0t 时刻经过0d 地点方法二：设想有两个人， 一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径,必定相遇

早8 0t 晚5

方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为)(t f (即t 时刻走的路程为)(t f ),同样设从山顶到山下旅店的路函数为)(t g ,并设山下旅店到山顶的距离为a (a >0).由题意知：

,0)8(=f a f =)17(,a g =)8(,0)17(=g .令)()()(t g t f t h -=,则有

0)8()8()8(<-=-=a g f h ，0)17()17()17(>=-=a g f h ，由于)(t f ,)(t g 都是时间t 的连续函数,因此)(t h 也是时间t 的连续函数,由连续函数的介值定理,]17,8[0∈∃t ,使0)(0=t h ,即)()(00t g t f =.

（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n 队需赛1-n 场，若k k n 221≤-π，则需赛k 轮.

8．传染病模型、战争模型、房室模型、军备竞赛模型.

注：这几个模型大家要能够理解模型是如何建立的要写得出相应的模型，一定要记得住写得出。

传染病模型（三个）见课本【136页（5）式，137页（9）式，139页（14）式】

战争模型见课本【148页（1）式，149页（3）式150页（8）（9）式】 房室模型见课本【154页（3）式】

军备竞赛模型见课本【181页（1）式，军备竞赛模型要能够计算它的平衡点所以181页（2）式-182页（3）（4）（5）式都要明白。

9．层次分析模型（写出层次结构图、层次分析步骤等）.

这里给出两个例子：层次分析模型大家要能够根据题目的已知条件画出层次结构，【课本231页】几个基本步骤要知道，【课本235页】那些图作为参考大家要理解是怎么构造的。