交通分配及其算法
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第八章_交通分配
在交通分配理论中，以 Wardrop第一原理为基本 指导思想的分配方法比较多。国际上通常将交通 分配方法分为平衡分配和非平衡分配两大类。
对于完全满足Wardrop原理定义的平衡状态，则称 为平衡分配方法；
对于采用启发式方法或其他近似方法的分配模型 ，则称为非平衡分配方法。
【例题】
设OD之间交通量为q=2000辆，有两条径路a与b。径 路a行驶时间短，但是通过通行能力小，径路b行驶 时间长，但通行能力大。假设各自的行驶时间（ min）与流量的关系：
ta t0[1 (Va / ca ) ]
零流阻抗
实际通行能力
2.节点处的阻抗
节点处的阻抗是指车辆在交通网络节点处主要指在交叉口处的 阻抗。交叉口阻抗与交叉口的形式、信号控制系统的配时、交 叉口的通过能力等因素有关。在城市交通网络的实际出行时间 中，除路段行驶时间外，交叉口延误占有较大的比重，特别是 在高峰期间，交叉口拥挤比较严重时，交叉口延误可能会超过 路段行驶时间。
1、交通小区划分 交通调查和规划前，需要先将规划区域划
分成若干交通小区。是进行现状OD调查和 未来OD预测的基础。 2、交通网络的组成 在城市交通规划中，主要对快速路、主干 道、次干转换
交通小区和网络确定后，需要将小区间OD量作用点转移到与该 小区质心比较靠近的交通网络节点上。
当饱和度较大 x>0.67 时，该公式不再适用
已有的城市道路交通分配理论一直忽略节 点阻抗这个问题，借用从城市间公路上获 得的行驶时间的BPR函数作为城市道路网上 的阻抗，只计算路段上的阻抗。
三、路径与最短径路
1.路段 交通网络上相邻两个节点之间的交通线路称作“路段”。
2.路径 交通网络上任意一OD点对之间，从发生点到吸引点一串连 通的路段的有序排列叫做这一OD点对之间的路径。一个OD 点对点之间可以有多条路径。
交通流分配
源于资源分配的研究
• 在1940年到1954年期间， Cowles Commission 是当时在数 理经济学以及运用数学规划来分析经济问题等方面最领先 的学术研究中心。Cowles的经济学家在经济科学方面共有 12名Nobel获得者，其中8位在1940～1954期间从事研究。
• “资源分配理论(Theory of Resources Allocation)‖研究开 始于1951年，由兰德公司(Rand Corporation )提供支持. • 研究小组在进行道路网络的有效性研究时，提出了“网络 均衡”。
• Duffin (1947) 表明一个半线性传导体的电 路网络有稳定的电流状态的关键在于定义 在每条导线上“传导体函数”的积分。 • Nash (1951) 提出了非合作关系下的博弈 论，UE可看作是它的一个特例。 • Wardrop (1952) 提出了两条准则，但没 有给出数学描述。
其它有关网络均衡研究 (Studies出版之后)
交通运输规划与设计
刘杨 liuyangits@
交通流分配
• 将预测获得机动车OD交通量，根据 已知的道路网描述，按照一定的规则， 符合实际地分配到，并据此对城市交通网 络的使用状况做出分析和评价。
第八章 交通流分配 (Traffic Assignment)
• 1955年12月27日，McGuire和Beckmann收到来信，信 上建议Studies将付印， 售价4美元。该书同时也被 Oxford大学出版社出版，售价32先令。到1959为止，该 书已被3次印刷。1959年，该书的西班牙版问世。
• 2005年9月， WorldCat List of Records 的研究表明，全 世界373个图书馆收藏了Studies ，13个图书馆拥有该书 的兰德版本。7个图书馆拥有该书的西班牙版本。 • 2005年10月通过Web of Science 搜索发现，321篇文章引 用了Studies
第六章 交通分配与0-D反推
3.非平衡分配算法
• Beckmann模型在理论上结构严谨、思路明确，但 它作为一个维数大、约束多的非线性规划问题， 对这类问题的算法设计在数学上是一个难度较大 的问题。因此，在1975年由LeBlanc等将FW算法 用于求解Beckmann变换式获得成功之前，很多学 者一直在探讨用模拟和近似的方法求解交通平衡 分配问题；即是在此之后，由于受到庞大的问题 规模和当时相对落后的计算机技术，研究UE分配 的近似算法是交通分配中一个重要的课题，通常 将这类近似算法称为非平衡分配算法。常用的非 平衡分配算法主要有以下几种：
• 一般的交通网络中，每一O-D对之间有很多条路 径，如何将O-D量正确、合理地分配到这些路径 上是交通分配问题的核心。正确的交通分配方法 应能较好地再现实际交通状态，这种交通状态时 出行者路径选择的结果。因此，出行者路径选择 准则称为交通分配问题建模和求解的前提。
• Wardrop(1952)提出了两个著名的有关出行者路 径选择行为准则的原理，分别是用户平衡（简称 UE）原理和系统最优（SO）原理。
一、基本原理与方法
1.基本概念
• 交通分配可以归纳为如下问题形式——已知：① 交通网络的有向图表示形式；②路段阻抗函数； ③O-D矩阵；求解：网络中各路段的交通量及阻 抗值。其中，交通网络的有向图形式是交通网络 的数学化描述，是进行交通分配等交通分析的基 础；各种方式的O-D矩阵一般由交通方式划分预 测获取，或者从实际O-D调查中得到；路段的阻 抗函数应能反映实际道路路段上行程时间与路段 流量之间的关系(流量越大，车速越低，行程时间 也就越长)。
第六章 交通分配与OD反推
交通分配与O-D反推
• 交通分配是交通需求预测四阶段法的最后一个阶 段，其目的是将各种出行方式的O-D矩阵按照一 定的路径选择原则分配到交通网络中的各条道路 上，求出各路段上的流量及相关的交通指标。而 交通分配的反过程则是O-D矩阵反推，它可以通 过路段观察交通量快速获取O-D矩阵。下面首先 简要回顾交通分配与O-D反推的基本原理与方法， 然后结合实例分别讲解在TransCAD中进行交通 分配和O-D反推的操作步骤。
交通规划 第七章 交通分配
• Smock函数
• Overguard函数
• 英国交通部函数
• ……
（3） 交叉口阻抗延误函数
公路交叉口：阻抗比重较小，可以忽略； 城市道路交口：由于比重大，必须考虑。
•不分流向类：交叉口各个流向的阻抗基本相同，或
没有明显规律性流向差别，交叉口阻抗为常数。
tw
0 .9
T (1 -λ )2 2 (1 -λ X )
第七章 交通分配
主要内容
概述 非均衡模型 均衡模型 其他模型 思考与回顾
主题一
概述
主要内容
基本概念 交通网络的计算机表示 交通分配基本原理
一、基本概念
P202-
交通分配 交通阻抗 交通路径
1、交通分配
定义 基本数据 分配过程 分类
（1） 定义
交通分配（Traffic Assignment），又称交通 流分配，是把i、j交通区间的分布（OD）交 通量，按照一定规则，分配到道路网上各条 道路上，并计算各路段交通流量的过程。
3、路径
路段（Link）
交通网络图上，任何两个相邻节点间的交通连线。
路径（Route/Path）
任一OD对之间，出行者选择的一系列连通的有序路 段。（一对OD点之间可能有多条路径）
最短路径（The Shortest Path）
某OD对之间的所有路径中，总阻抗最小的那条路径。 （一个OD对之间可能有多条最短路径）
A:按照路网状态（是否均衡）分类
——平衡模型：用户平衡法、系统平衡法。 ——非平衡模型：最短路、概率多路径法等。
B:按照出行线路是否固定：
——线路固定：公交网、轨道网等。 ——线路不固定：道路网、公路网等。
C:按照分配目的分类
第九章-基本交通分配模型1
Step 3 用加权平均法计算各路段当前交通量
（8-1）
Step 4 如果
相差不大，则停止计算。即
为最终分配结果。否则返回 Step1 。
实践中 Step 4停止计算的判断即可用误差大小，也可以用循环次数的多少来进 行运算的控制 ；用的比较多的是循环次数。在 Step 3中权重系数 a由计算者给 定。a即可定为常数，也可定为变数。通常定为常数时a=0.5；定为变数时a=1/n， n是循环次数。
◦ 原理理论上合理，实际求解非常困难。
◦ Beckmann（1956）等价数理最优化模型（有约束非线性最优 化问题）
◦ 其中：
，表示路段a上的交通流量；
◦ ：路段 - 径路相关变量，即 0-1 变量。如果路段a属于从
出发地为r目的地为s的OD间的第k 径路 ，则其值为1 ，否则 为0 ；
◦ f；krs ：出发地为r ，目的地为s的 OD 间的第k条径路上的流量
一、用户平衡分配模型及其求解算法
◦ （1） 模型化
◦ 其中，hkrs：OD对rs间第k条径路的交通量。 tkrs ：OD对rs间第k条径路的行驶时间。 trs：OD对rs间最短径路的行驶时间。 qrs ：OD对rs的分布交通量。
【例9-3】 如图表示了一对由两条可选路径连接的起终点， t1,t2分别表示路段1,2上的交通时间，用x1, x2表示相应的交通流 量，q表示总的OD流量，则q=x1+x2。
◦ 对于完全满足Wardrop原理定义的平衡状态，则称为平衡 分配方法；对于采用启发式方法或其他近似方法的分配模 型，则称为非平衡分配方法。
交通分配模型
均衡模型 非均衡模型
用户均衡模型扩展 标准用户均衡模型 系统优化均衡模型
交通规划07-2分配
步3：向前计算路段流量 从r点开始，按s(i)的下降顺序依次考虑每个节点i，计算 进入它的所有路段流量，对路段(i，j)，进入它的流量为：
第四节
非均衡分配方法
若i r
w(i, j ) q rs w(i, m) m O j x(i, j ) x(l , i ) w(i, j ) l w(i, m) I j mO j
a
第四节
其他分配方法
r, s
平衡分配过程中应该满足交通流守恒的条件，用公式 可以表示为：
kWrs rs f k qrs
径路交通量和路段交通量之间应该满足如下的条件：
xa f krs ars ,k
r s k rs ck ta xa ars ,k a
a L
1-d
1
1-d
1
图a、b，三条路径的阻抗都是1，由Logit模型，这三条路径 被选中的概率均为1/3，它们分配的流量也相同。 但图b，当d很大，接近1时，1、2路径重叠路段很长，极限 情况下，认为合成一条路径。则它与路径3的选择概率各为1/2， 上面两条路径各为1/4。 模型反映不出图b的情况：1、2路径的相关性(重合路径)。
⑨
8
9
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
0
∞
2
0
运用矩阵迭代法求最小阻抗
设Oi为离开节点i的路段另一端点的集合 设Ii为进入点i的路段的另一个端点的集合
1 , j) 1 w(i② ③ 若L(i,j) q js rs w ( m , j ) m I j r=3,s=3 r=2,s=4 r=4,s=2 0.368 1 0 x(i, j ) １ ⑤ w(i１ , j) ⑥ 若i r L(i, j ) ④ x ( j , m ) 其它情况 i I m w(i, j ) L(i, j ) w(m,ji) w ( m , j ) 其它情况 o W(i,j) j r=5,s=2 r=6,s=0 mI r=4,s=4 0 1 mI j 1 0.368 0.368 1 1 ⑦ ⑧ ⑨
交通流分配
第十四页，编辑于星期二：十一点 四十九分。
交通阻抗（交通费用）
交通阻抗或者称为路阻是交通流分配中经常提到的概念，也是一项重 要指标，它直接影响到交通流路径的选择和流量的分配。
道路阻抗在交通流分配中可以通过路阻函数来描述。 所谓路阻函数是指路段行驶时间与路段交通负荷，交叉口延误与交
叉口负荷之间的关系。
第二十八页，编辑于星期二：十一点 四十九分。
非平衡分配方法
第二十九页，编辑于星期二：十一点 四十九分。
非平衡分配方法按其分配方式可分为变化路阻和固定路阻两类，按分 配形态可分为单路径与多路径两类。
分配形态\分配方式 单路径 多路径
固定路阻 全有全无方法 静态多路径方法
变化路阻 容量限制方法 容量限制多路径方法
交通流分配 （Traffic Assignment）
第一页，编辑于星期二：十一点 四十九分。
交通流分配是本课程的重点和难点之一。最优化理论、图论、计算机技 术的发展，为交通流分配模型和算法的研究及开发提供了坚实的基础， 通过几十年的发展，交通流分配是交通规划诸问题中被国内外学者研究 得最深入、取得研究成果最多的部分。
第3步：将O、D间的OD交通量全部分配到相应 的最短径路上。
第三十一页，编辑于星期二：十一点 四十九分。
增量分配法（incremental assignment method）
该方法是在全有全无分配方法的基础上，考虑了路段交通 流量对阻抗的影响，进而根据道路阻抗的变化来调整路网 交通量的分配，是一种“变化路阻”的交通量分配方法。
T：信号周期长度； ：进口道有效绿灯时间与信号周期长度之比，即绿信比； Q：进口道的交通流量； X：饱和度，X=Q/S ，S为进口道通过能力。
第二十页，编辑于星期二：十一点 四十九分。
交通阻抗（交通费用）
交通阻抗或者称为路阻是交通流分配中经常提到的概念，也是一项重 要指标，它直接影响到交通流路径的选择和流量的分配。
道路阻抗在交通流分配中可以通过路阻函数来描述。 所谓路阻函数是指路段行驶时间与路段交通负荷，交叉口延误与交
叉口负荷之间的关系。
第二十八页，编辑于星期二：十一点 四十九分。
非平衡分配方法
第二十九页，编辑于星期二：十一点 四十九分。
非平衡分配方法按其分配方式可分为变化路阻和固定路阻两类，按分 配形态可分为单路径与多路径两类。
分配形态\分配方式 单路径 多路径
固定路阻 全有全无方法 静态多路径方法
变化路阻 容量限制方法 容量限制多路径方法
交通流分配 （Traffic Assignment）
第一页，编辑于星期二：十一点 四十九分。
交通流分配是本课程的重点和难点之一。最优化理论、图论、计算机技 术的发展，为交通流分配模型和算法的研究及开发提供了坚实的基础， 通过几十年的发展，交通流分配是交通规划诸问题中被国内外学者研究 得最深入、取得研究成果最多的部分。
第3步：将O、D间的OD交通量全部分配到相应 的最短径路上。
第三十一页，编辑于星期二：十一点 四十九分。
增量分配法（incremental assignment method）
该方法是在全有全无分配方法的基础上，考虑了路段交通 流量对阻抗的影响，进而根据道路阻抗的变化来调整路网 交通量的分配，是一种“变化路阻”的交通量分配方法。
T：信号周期长度； ：进口道有效绿灯时间与信号周期长度之比，即绿信比； Q：进口道的交通流量； X：饱和度，X=Q/S ，S为进口道通过能力。
第二十页，编辑于星期二：十一点 四十九分。
交通规划 第八章分配交通量
5
一、基本概念
交通阻抗 阻抗：路段上或节点处的运行时间或广义费用 路阻函数：交通阻抗与交通量的关系 路段上：流量与行驶时间的关系 节点处：交叉口的负荷与延误的关系 路段阻抗： 轨道交通：阻抗与客流量无关 (flow independent) 道路：阻抗与交通量曲线关系 (flow dependent) Q-V特性 或 路阻函数
q1
0
t1 ( )d t2 ( )d min
0
q2
E
s. t. q1 q2 q, q1 0, q2 0
q1
q2
21
三、平衡分配方法
Beckmann交通平衡模型：
min Z ( x) t a ( )d
xa a 0
各路段阻抗函数积分和最小化 交通流守恒：
19
三、平衡分配方法
c1 min(c1 , c2 ) c1 min(c1 , c2 )
if f1 0 if f1 0
c2 min(c1 , c2 ) c2 min(c1 , c2 )
if f k 0 if f k 0
if f 2 0 if f 2 0
f 2 100 f1
解联立方程 c1 c2 5 0.1 f1 (10 0.025f 2 ) 5 0.1 f1 [10 0.025(100 f1 )] 0.125f1 7.5 因为 c1 c2 ，即 c1 c2 0 ，
c1 c2 11 所以 f1 60 ，f 2 40 ，
9
一、基本概念
最短路径算法：Dijkstra法 初始化：给起点标上P标号0，其他节点标上T标号∞。 重复以下步骤，直到全部节点都得到P标号 →从刚得到P标号的节点出发，计算P标号与相连路段阻 抗之和，作为相邻节点的T标号备选； →如果备选T标号小于节点原有的T标号，则以备选T标 (s,5) 号作为该节点的T标号； a →对T标号最小的节点，将其 (s,0) (d,10) T标号定为P标号。 (s,4) b →需辨识最短路径时，P标号 中应附带路径信息。 c 最短路径辨识：按P标号及其路 d (s,2) 径信息，从终点反推。 (b,6)
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V 为网络节点集，即：道路交叉点；A 为路段集，即：道路
交通量—人的个数—OD 矩阵
,a C a A ∈：路段a 的通行能力
()a a t x ：路段a 的阻抗，a x 为流量，通常以时间记，假设仅与路段a 有关
系统最优是系统规划者所期望得到的一种平衡状态，其前提是所有网络用户必须互相协作，遵从网络管理者的统一调度，所以是计划指向型分配准则。
出行者的出行决策过程是相互独立的，路网上的交通流的状态是出行者独立选择的结果。
出行者必然转向费用较小的路径.其结果，路网上的交通量分布最终必然趋于用户平衡状态。
所以，用户平衡状态最接近实际的交通状态。
Wardrop 准则的提出标志着网络流平衡分配概念从描述转为严格刻画，不但假设司机都力图选择阻抗最小的路径，而且还假设司机随时掌握整个网络的状态，精确计算每条路径的阻抗，还假设了司机的计算能力与水平是相同的。
在这些假设条件下进行的配流被称为确定性配流，得到的用户平衡条件被称为确定性平衡条件，简称UE 条件。
User Equilibrium System Optimal rs k rs a f q ∑=且0rs
k f ≥（rs k f —O-D 对r-s 之间路径k 上的流量）rs q 等于连接rs 之间
各路径上的路段的交通量的总和。
,rs rs a k a k r s k x f σ=∑∑∑（,rs a k σ—如果弧a 在连接O-D 对r-s 的路径k 上，其值为1，否则为0）路段a 上的流量等于通过a 的路径上分配到a 上的交通量的总和。
1.
目标函数本身并没有什么直观的经济含义或行为含义。
2. 没必要直接求解用户平衡条件方程组，平衡状态可以由求解等价都极小值问题得到。
3.
模型的解关于路段流量唯一，关于路径流不唯一 4. 等价性与唯一性证明略
Frank-Wolfe 算法
对f(X)在X 0处的一阶泰勒展开得
(0)(0)(0)()()()()T f X f X f X X X =+∇-
将f(X)近似表达成线性函数，则规划模型可近似化为下列线性规划模型: (0)(0)(0)min ()min ()()()()
T Z X f X f X f X X X AX B ==+∇-=
等价于线性规划 (0)m i n ()()T Z X f X X
A X B
=∇= 由上式可求得一组最优解X -，该方法认为(0)X 与X -的连线为最速下降方向，然
后根据下列一维极值间题
(0)(0)min [()]f X X X λ-+- 求得的0λ为最优步长。
令 (1)(0)(()X X X X
λ-=+-，得到下一步迭代的起点。
如此循环，直到(1)n X +与()
n X 十分接近为止。
特点：每一步迭代都必须求解一组线性规划问题；只是在近似的线性规划模型易于求解时，该方法才有应用价值，而交通分配模型正好具有这一特点。
缺陷：迭代后期收敛速度较慢，出现震荡现象，原因是采用了最速下降方向，当趋于问题的最优解时，搜索方向将近似垂直于目标函数下{}a x 的梯度方向。
对于模型的改进：
修正UE 基本模型的各种假设条件得到
1.()a a t x ，不仅与a x 有关--路段相互影响的用户平衡配流
2. 含能力约束的交通分配模型
3. 弹性需求分配模型，O-D 交通量的大小是受网络运行状况影响的。
4. 考虑出行者对阻抗估计不确定性的随机用户平衡。