平行四边形的专题应用
平行四边形在日常生活中的应用
平行四边形在日常生活中的应用平行四边形，听起来是不是有点儿高深？别担心，其实它在我们的日常生活中可是无处不在呢。
想象一下，你的书桌上，放着一张平行四边形的桌布，四个边都是平行的，真是既美观又实用呀！这桌布的设计不仅让人看着顺眼，吃饭的时候也不会让碗碟滑来滑去，稳稳当当地坐在那里，简直是个小帮手呢。
再说说建筑，很多时候那些高楼大厦的外形其实也有平行四边形的元素。
你有没有注意过那些大玻璃窗，咱们的城市里，那些现代建筑都用上了平行四边形的设计，真是大气得不得了。
建筑师可是花了不少心思，把这些几何形状用得淋漓尽致。
平行四边形不仅让建筑看起来更有层次感，还能有效利用空间，真是设计中的“万里挑一”呢。
说到平行四边形，肯定要提到窗帘。
很多窗帘的剪裁和设计中，也有平行四边形的影子。
你看，窗帘拉开时，那些褶皱就像是平行四边形在舞动一样，增添了房间的层次感。
晚上关上窗帘，外面的灯光透过，形成一幅美丽的画面，真是温馨得让人心醉，谁不想在这样浪漫的环境里小憩呢？再来聊聊咱们日常穿的衣服，嘿！你可能不知道，很多时尚的衣服设计里也用了平行四边形的元素。
比如那些不规则的裙摆，有时就像是被剪成了平行四边形，穿上去立马让人觉得时尚感爆棚。
走在大街上，回头率蹭蹭往上涨，朋友们都忍不住夸赞，你说是不是让人倍儿有面子？咱们常用的手机壳，很多设计师也爱用平行四边形的图案，简单又不失个性。
拿着这样的手机，时不时展示给朋友看，那种感觉简直是“走在时尚的尖端”，谁不想在社交场合中吸引目光呢？再加上那些色彩鲜艳的设计，真是让人眼前一亮。
哎，说到平行四边形，不能忘了咱们吃的披萨。
那种切成八片的披萨，有时就像被分成了几个平行四边形，吃起来真是过瘾！每一口都满满的幸福，仿佛连平行四边形都在为美食助阵。
和朋友们一起分享，一边享受美味，一边聊天，简直是快乐的源泉。
再说运动器材，像是一些健身器械，它们的形状设计里也常常有平行四边形的元素。
你在健身房看到的那些哑铃、杠铃，有些底座就像平行四边形，稳稳当当地放在那里，给人一种安全感，使用起来也很放心。
生活中运用到平行四边形的例子
生活中运用到平行四边形的例子《生活中的平行四边形，妙趣横生的存在》嘿，大家好呀！今天咱就来聊聊生活中那些运用到平行四边形的例子。
这平行四边形啊，可真是无处不在，给我们的生活带来了不少乐趣和便利呢！你说那晾衣架，不就是个活脱脱的平行四边形嘛！把衣服往上面一挂，嘿，齐活！它能伸缩自如，就像个会变魔术的小机灵鬼。
晴天的时候，把它往外一拉，晒晒太阳；雨天了或者晚上不用的时候，再给它收回来，不占地方。
这平行四边形的晾衣架可真是贴心小宝贝，把咱的衣服照顾得好好的。
还有学校的电动伸缩门，那也是平行四边形在大显神威呢！每天早上看着它缓缓打开，就好像在迎接我们进入知识的大门。
晚上又看着它慢慢关上，守护着校园的安全。
它就像个敬业的保安大叔，尽职地站在那里。
有时候我都在想，这平行四边形的伸缩门是不是也有它的小脾气呀，比如开关的时候会哼哼唧唧地抱怨两句。
再说说我们常见的升降梯吧，那也是利用了平行四边形的原理呢！它能带着我们上上下下，就像个会飞的小房子。
坐电梯的时候，我老是会想，要是这电梯突然变成了一个超级大的平行四边形，带着我们在城市的高楼大厦间飞来飞去，那该多好玩呀！虽然这只是我的胡思乱想，但想想也挺有意思的嘛。
其实啊，平行四边形不仅给我们的生活带来了便利，还让我们的生活变得更有趣了呢！记得有一次，我和小伙伴玩游戏，我们用几根小木棍搭了个平行四边形，然后就开始比谁能让它变形得更快。
哈哈，那场面真是欢乐极了。
生活中这些运用平行四边形的例子，真的是充满了智慧和创意。
它们让我们的生活变得更加便捷、丰富多彩。
我想，以后说不定还会有更多更神奇的平行四边形的应用出现呢！到时候，我们的生活又会发生什么样的奇妙变化呀？所以呀，我们可不能小瞧了这些生活中平凡的东西。
它们就像一个个小精灵，用它们的魔法给我们带来惊喜和欢乐。
让我们一起珍惜这些小小的平行四边形，在它们的陪伴下，开开心心地过好每一天！。
平行四边形的性质和识别的应用
平行四边形的性质和识别的应用河北王建立凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．平行四边形的知识运用包括：（1）直接运用平行四边形的性质去解决某些问题，例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍、分等；（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；（3）先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题．例1.在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法：（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（5）如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（6）如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个分析：本题是一道给出结论和部分条件，让学生探索附加条件的各种可能性的开放性题目，解答这类选择题，一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理，认真考查六种说法．说法（1）符合平行四边形的定义；说法（2）符合平行四边形的判定定理4；说法（3）由AB∥CD和∠DAB＝∠DCB，可推断出AB＝CD或AD∥BC，也正确；说法（4）可举出反例；说法（5）能证出BO＝DO，符合平行四边形的判定定理3；说法（6）不符合平行四边形的判定定理．答案：B例2.如图，已知AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AE＝FE．则BF＝A C．说明理由分析：延长AD到N，使DN＝AD，构造出平行四边形ABN C．解：延长AD到N，使DN＝AD，连结BN、CN，则四边形ABNC为平行四边形．∴BN＝AC，BN∥AC，∴∠1＝∠4．∵AE＝FE，∴∠1＝∠2．∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠3＝∠4．∴BN＝BF，∴BF＝A C．说明：当题目中有三角形中线时，常利用加倍中线构造平行四边形，然后再应用平行四边形的知识证题，用这种方法比利用加倍中线构造全等三角形要方便、简捷。
平行四边形和梯形的高级应用问题解决
平行四边形和梯形的高级应用问题解决平行四边形和梯形是几何学中的基本概念，它们不仅具有广泛的应用，还可以用来解决一些高级数学问题。
本文将探讨平行四边形和梯形的一些高级应用问题，并提供解决方法。
一、平行四边形的高级应用问题解决1. 平行四边形的边长比例问题假设有一个平行四边形ABCD，已知其中一条边AD的长度为a，我们需要求出其他各边的长度。
解决方法：由于平行四边形的对边是平行且相等的，我们可以利用这一特性来求解。
根据这个特性，我们知道BC的长度也为a。
此外，平行四边形的对角线互相平分，所以对角线AC和BD的长度是相等的。
因此，我们可以得出以下结论：AB = CD = aAC = BD2. 平行四边形的面积问题已知平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD分别为m和n，我们需要求解平行四边形的面积。
解决方法：我们可以利用平行四边形的面积公式，即S = 底 ×高。
在平行四边形中，对角线AC和BD互相平分，所以可以将平行四边形划分为两个相等的三角形。
设三角形ADC的高为h1，三角形BDC的高为h2，则平行四边形的面积为S = （AD + BC） × h1 或 S = （AB + CD） × h2。
根据勾股定理，我们可以得到以下关系：h1² + （m/2）² = AD²h2² + （n/2）² = BC²通过解这两个方程组，我们可以得到h1和h2的值，进而求出平行四边形的面积S。
二、梯形的高级应用问题解决1. 梯形的面积问题已知梯形ABCD的上底长为a，下底长为b，高为h，我们需要求解梯形的面积。
解决方法：梯形的面积可以通过上底和下底的平均值乘以高来计算，即S = （a + b）/ 2 × h。
2. 梯形的边长比例问题已知梯形ABCD的上底长为a，下底长为b，我们需要求解斜边AD的长度。
解决方法：根据梯形的性质，斜边AD可以表示为斜边两段的和，即AD = AB + DC。
全等平行四边形在实际生活中的应用
全等平行四边形在实际生活中的应用全等平行四边形是指四边形的对边互相平行且对应边相等。
虽然在日常生活中可能并不经常遇到全等平行四边形，但它们在不同领域中有着各种应用。
以下是一些实际生活中应用了全等平行四边形的例子：地质学中的应用全等平行四边形在地质学中有着重要的应用。
地质学家使用全等平行四边形原理来推断地球的构造和历史变化。
例如，当测量地质构造的角度和距离时，地质学家可以应用全等平行四边形的原理进行推导，从而得出地球的地壳运动历史以及岩石进行变形的情况。
建筑学中的应用建筑设计中也应用了全等平行四边形的原理。
建筑师利用全等平行四边形来设计建筑物的外观和内部布局。
通过应用全等平行四边形原理，建筑师可以确保建筑物的各个部分的比例和对称性。
例如，在设计房间的家具布局时，建筑师可以利用全等平行四边形原理确保家具摆放的位置和比例协调一致。
工程学中的应用在工程学领域中，全等平行四边形也有很多应用。
工程师通常使用全等平行四边形原理来解决各种测量和设计问题。
例如，在建设道路或铁路时，工程师可以利用全等平行四边形的原理来确定地面的高度和坡度，以确保道路或铁路的平稳和安全。
数学教育中的应用全等平行四边形在数学教育中也有着重要的应用。
通过教授学生如何应用全等平行四边形原理，教师可以帮助学生发展空间思维和解决问题的能力。
全等平行四边形是几何学中的一个基本概念，通过研究和应用全等平行四边形的原理，学生可以理解和应用更高级的几何概念。
产品设计中的应用全等平行四边形在产品设计中也有着广泛的应用。
设计师可以利用全等平行四边形的原理来设计各种产品的外观和结构。
例如，在设计电子产品时，设计师可以运用全等平行四边形原理确保产品的外观美观且结构稳定。
全等平行四边形的应用可以帮助设计师实现产品的平衡和比例的最佳效果。
全等平行四边形虽然在实际生活中可能不是常见的概念，但它们在地质学、建筑学、工程学、数学教育和产品设计等领域中有着广泛的应用。
通过理解和应用全等平行四边形原理，我们可以更好地解决问题和创造出优秀的设计。
平行四边形生活中的应用
平行四边形生活中的应用
平行四边形在生活中有着广泛的应用，它们可以用来做很多有趣的事情。
首先，平行四边形可以用来做装饰。
它们可以用来装饰房间，比如在墙上画上一些平行四边形，可以给房间增添一些色彩，使房间更加漂亮。
此外，它们还可以用来做装饰品，比如制作一些平行四边形的挂件，可以把它们挂在墙上，也可以把它们放在桌子上，以增加室内的装饰效果。
其次，平行四边形也可以用来做游戏。
比如，可以用它们来玩拼图游戏，把一些平行四边形拼成一个大图案，这样可以让孩子们在玩游戏的同时学习数学知识。
此外，它们还可以用来玩棋类游戏，比如四子棋，这样可以让孩子们在玩游戏的同时学习思考问题的能力。
最后，平行四边形也可以用来做实验。
比如，可以用它们来做光学实验，把一些平行四边形放在一起，观察它们的反射和折射现象，这样可以让孩子们在实验的同时学习物理知识。
此外，它们还可以用来做几何实验，比如观察平行四边形的对称性，这样可以让孩子们在实验的同时学习几何知识。
总之，平行四边形在生活中有着广泛的应用，它们可以用来做装饰、游戏和实验，可以让孩子们在玩游戏和实验的同时学习数学、物理和几何知识，从而提高孩子们的学习兴趣和能力。
平行线与平行四边形的应用
平行线与平行四边形的应用平行线与平行四边形是几何学中非常重要的概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将从不同领域中的具体例子，来说明平行线与平行四边形在实际应用中的作用。
1. 建筑设计领域在建筑设计领域中，平行线与平行四边形的性质经常被用于设计房屋的各种构件。
平行线的性质使得建筑师能够合理地安排各个房间的设计，使其在外观上呈现出均衡和谐的感觉。
而平行四边形的性质则可以应用于墙壁、地板等结构的设计，使其更加稳定和坚固。
2. 地理测量领域在地理测量领域中，平行线与平行四边形的应用尤为广泛。
例如，在测量地球上的经纬度时，经线是平行线，纬线则是平行四边形。
这些平行线和平行四边形的性质，为地理测量提供了便利。
通过测量经纬度，人们能够准确地确定一个地点的位置和方向，这对于导航、航海等活动有着重要的作用。
3. 工程建设领域在工程建设领域中，平行线与平行四边形的应用主要体现在道路、铁路等交通基础设施的设计和施工中。
平行线的性质使得道路和铁路能够按照平行的方式进行规划，保证了交通的顺畅和高效。
而平行四边形的性质则应用于桥梁、隧道等工程结构的设计中，使得这些结构更加稳定和安全。
4. 统计学领域在统计学领域中，平行线与平行四边形的应用主要体现在数据分析和图表绘制中。
例如，在绘制坐标轴时，平行线的性质使得数据的比较和分析更加直观和清晰。
此外，平行四边形的性质还可以应用于统计图表的设计，使其更加美观和易读。
总之，平行线与平行四边形在各个领域的应用是不可忽视的。
无论是建筑设计、地理测量、工程建设还是统计学，平行线与平行四边形的性质都为这些领域中的问题提供了解决方案和优化设计的思路。
因此，深入理解和掌握平行线与平行四边形的知识，将有助于我们更好地应用它们解决实际问题，并推动相关领域的发展与进步。
（字数： 404）。
平行四边形的应用
平行四边形的应用平行四边形是一种特殊的四边形，它具有许多实际应用。
本文将探讨平行四边形在几何学、建筑设计和工程领域中的应用，以及其在解决实际问题中的重要性。
一、几何学中的平行四边形应用在几何学中，平行四边形是研究四边形性质的重要基础。
它具有以下几个应用：1. 平行线判定：利用平行四边形的特性可以方便地判定两条直线是否平行。
当一对对边分别平行且相等时，即可确定两条直线平行。
2. 测量角度：平行四边形的对角线相交处形成的角是等于180度的。
因此，可以利用平行四边形来测量角度并进行准确的角度计算。
3. 计算面积：平行四边形的面积计算简单，可通过底边长度和高度的乘积来计算。
这在计算图形面积时非常实用。
二、建筑设计中的平行四边形应用平行四边形在建筑设计中有广泛的应用，具体包括以下几个方面：1. 地基设计：在房屋或建筑物的地基设计中，平行四边形常用来布置地基块状，以提高地基的稳定性和均匀性。
2. 墙面设计：平行四边形的特殊结构使得其在墙面设计中能够提供相对稳定的支撑，同时具有美观性，常用于建筑物外墙和内部隔墙的设计。
3. 护栏设计：平行四边形可以用于护栏的设计，一方面能够提供有效的防护功能，另一方面也能够赋予护栏更加美观的外观。
三、工程领域中的平行四边形应用平行四边形在工程领域中也具有重要的应用，主要体现在以下几个方面：1. 桥梁设计：在桥梁设计中，平行四边形可用于梁体和支撑结构的设计，能够提高桥梁的承重能力和结构稳定性。
2. 道路规划：平行四边形在道路规划中常用于设计交叉口和平行路段，能够提高交通流畅性和减少车辆拥堵。
3. 水利工程：在水利工程中，平行四边形可用于设计渠道和水坝，配合水流方向优化水流状况，提高水利设施的功能性。
总结：通过以上分析，平行四边形在几何学、建筑设计和工程领域中都有广泛的应用。
对于几何学而言，平行四边形是研究四边形性质的基础；在建筑设计中，平行四边形能够提供稳定的结构和美观的外观；而在工程领域中，平行四边形可以用于桥梁、道路和水利工程的设计，提高各类工程的效能。
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专题平行四边形中的简单证明一、平行四边形的性质∆沿AC对折，使点B落在B’处，AB’和CD相交于点1．在平行四边形ABCD中，将ABCO，求证：OD=OB’。
∠=∠2．如图，在ABCD中，点E、F是AC上两点，且AE=CF，求证：EBF FDE3．如图，在ABCD的纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处。
（1）求证：AE=AF；∆≅∆（2）求证：ABE AGF二、平行四边形的判定4．如图，在ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，且BF=DE，连AF、CE、BE、DF、AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点，求证：四边形FMEN为平行四边形。
5．如图，AF 与BE 互相平分，EC 与DF 互相平分，求证：四边形ABCD 为平行四边形。
6．如图所示，已知E 为ABCD 中DC 边延长线上一点，且CE=DC ，连AE 分别交BC ，BD 于F ，G ，连AC 交BD 于O 点，连OF 。
（1）求证：AF=EF ； （2）DE=4OF专题 平行四边形中的面积问题【方法归纳】：充分利用平行四边形的性质及常用的数学思维方法解决与面积有关的问题一、方程的思想1． 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，已知AE=4，AF=6，ABCD的周长为40，求ABCD 的面积。
2． 如图，E 是ABCD 内任一点，若6ABCD S =，则ABE CDE S S ∆∆+=______二、分类讨论的思想3．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于CD 于点F ，若AB=5，BC=6，则CE+CF 的值为（ ）A ．113112+B ．113112-C ．113112+或113112-D ．113112+或312+三、数形结合的思想4．基本图形：如图，在ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过点O 任作直线分别交AD ，BC于E ，F 。
基本结论：（1）图中的全等三角形有：____________（2）图中相等的线段有：____________（3）与四边形ABEF 周长相等的四边形是_____________（4）过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，即ABFE S =四_____应用：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为平行四边形，A （5,0），C （1,4），过点P （0，-2）的直线分别交于OA ，BC 于M 、N ，且将OABC 的面积分成相等的两部分，求点M 、N 的坐标。
专题 构造三角形中位线【方法归纳】：中点问题的处理方法较多，构造三角形中位线是常用方法之一一、连接两点构造三角形中位线1．如图，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四边的中点，试判断四边形EFGH 的形状并予 以证明。
2．如图，在ABC ∆中，2B A ∠=∠，CD AB ⊥于D ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。
求证：DE=DF 。
3．如图，点P 是四边形ABCD 的对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD=BC ，45CBD ∠=︒，105ADB ∠=︒，探究EF 与PF 之间的数量关系，并证明。
4．如图，点B 为AC 上一点，分别以AB 、BC 为边在AC 同侧作等边ABD ∆和等边BCE ∆，点P 、M 、N 分别为AC 、AD 、CE 的中点。
（1）求证：PM=PN ；（2）求MPN ∠的度数二、利用角平行线+垂直构造中位线5．如图，在ABC ∆中，点M 为BC 的中点，AD 为ABC ∆的外角平分线，且AD BD ⊥，若AB=12，AC=18，求MD 的长。
6．如图，在ABC ∆中，AB=BC ，90ABC ∠=︒，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分ABC ∠，且EF BE ⊥，求证：CF=2ME三、倍长构造三角形中位线7．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BA=BC ，BEF ∆为等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，M 为AF 的中点，求证：ME=12CF 。
四、取中点构造三角形中位线8．如图，四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连BD ，若AB=10，CD=8，求MN 的取值范围。
9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，CA=CB ，E 、F 分别为CA 、CB 上一点，CE=CF ，M 、N 分别为AF 、BE 的中点，求证：AE=2MN 。
10．如图，点P 为ABC ∆的边BC 的中点，分别以AB 、AC 为斜边作Rt ABD ∆和Rt ACE ∆，且BAD CAE ∠=∠，求证：PD=PE 。
专题矩形中的折叠与勾股定理1．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB 上，将DAE∆沿DE折叠，使点A落在BD上的A’处，求AE的长。
2．将一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F 均在BD上），折叠分别为BH、DG。
（1）求证：BHE DGF∆≅∆（2）若AB=6，BC=8，求FG的长。
3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿EF折叠，折痕为EF，使点C落在A点处，点D落在点G处。
（1）求证：AE=AF；（2）求AE的长；（3）求EF的长。
4．（1）操作发现：如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE∆沿BE折叠后得到GBE∆，且点G在矩形ABCD内部，小明将BG延长交DC于边F，认为GF=DF，你同意吗？请说明理由。
（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求ADAB的值；（3）类比探究：保持（1）中的条件不变，若DC=nDF，直接写出ADAB的值：______专题 构造斜边上的中线【方法归纳】：遇到直角三角形斜边中点时，往往连斜边上的中线基本图形：已知ABD ∆和ABC ∆都是Rt ∆，90ADB ACB ∠=∠=︒基本结论：图1中，若OA=OB ，则OA=OB=OD ，若OA=OD ，则OB=OD ，若OB=OD ，则OA=OD 。
图2中，若OA=OB ，则OA=OD=OC=OB ，图3中，若OA=OB ，则OA=OD=OC=OB 。
1．如图，BCD ∆和BCE ∆中，90BDC BEC ∠=∠=︒，O 为BC 的中点，BD ，CE 交于A ，120BAC ∠=︒，求证：DE=OE2．如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，点M 、N 分别是BC ，DE 的中点，（1）求证：MN DE ⊥； （2）连ME ，MD ，若60A ∠=︒，求MN DE 的值。
3．如图，在ABC ∆中，AB=BC ，90ABC ∠=︒，点E 、F 分别在AB ，AC 上，且AE=EF ，点O ，M 分别为AF ，CE 的中点，求证：（1）OM=12CE ；（2）OB=2OM4．如图，CDE ∆中，135CDE ∠=︒，CB DE ⊥于B ，EA CD ⊥于A ，求证：CE=2AB 。
专题 灵活运用菱形的性质1．如图，菱形ABCD 中，点E 为AC 上一点，且DE BE ⊥（1）求证：ADE ABE ∆≅∆（2）若60DAB ∠=︒，AD=23，求DE 的长。
2．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使顶点B 落在边AD 上的一点，折痕的一段G 点在边BC 上，另一端F 在AD 上，AB=8，BG=10.（1）求证：四边形BGEF 为菱形；（2）求FG 的长。
3．如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点EF 在BD 上，已知120BAD ∠=︒，30EAF ∠=︒，求AB AE的值。
4．如图，菱上形ABCD 的边长为2，且120ABC ∠=︒，点E 是BC 的中点，点P 为BD 上一点，且PCE ∆的周长最小、（1）求ADE ∠的度数；（2）在BD 画出点P 的位置，并写出作法；（3）求PCE ∆周长的最小值。
5．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=4，BC=3，D 为AB 上一点，以CD 、CB 为边作菱形CDEB ，求AD 的长。
专题 灵活运用菱形的判定1．如图，在ABCD 中，E 为BC 上一点，连AE 、BD ，且AE=AB ，（1）求证：ABE EAD ∠=∠（2）若2AEB ADB ∠=∠，求证：四边形ABCD 是菱形2．如图，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，AE//BC ，DE//AB ，DE 与AC 交于点O ，连CE.（1）求证：AD=EC ；（2）若90BAC ∠=︒，求证：四边形ADCE 是菱形。
3．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F（1）求证：AFD CFE ∠=∠（2）若AB//CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E 点的位置，使EFD BCD ∠=∠，并说明理由。
4．如图，点E 为AB 上一点，以AE 、BE 为边在AB 同侧作等边AED ∆和等边BEC ∆，点P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。
（1）判断四边形PNMQ 的形状，并证明；（2）NPQ ∠的度数为________（直接写出结果）专题 正方形中的简单证明【方法归纳】：运用正方形的边、角、对角线的性质进行简单的线段关系、角度关系及位置关系的证明。
1．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别在OA 、OB 上，且 OM=ON 。
（1）求证：① BM=CN ；②CN BM ⊥（2）若M 、N 分别在OA 、OB 的延长线上，则（1）中的两个结论仍成立吗？请说明理由。
2．如图，E 是正方形ABCD 中AD 边上的中点，BD ，CE 相交于点F 。
（1）求证：EB=EC ； （2）求证：DAF DCF ∠=∠（3）求证：AF BE ⊥（4）过F 作FG//BE 交BC 于G ，求证：FG=FC 。
3．如图，已知正方形ABCD ，点P 在对角线BD 上，PE PA ⊥交BC 于E ，PF BC ⊥，垂足为F 点。
（1）求证：PEC BAP ∠=∠（2）求证：EF=FC ；（3）求证：DP=2CF ；4．正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A ，将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角DAG α∠=，其中0180α︒≤≤︒，连DF 、BF ，如图。
（1）若0α=︒，则DF=BF ，请加以证明；（2）试画出一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由。
专题 中点四边形【方法归纳】：中点四边形的形状一般通过三角形中位线定理来证明四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点。