结构力学第五章-2(单位荷载法)
单位荷载法求位移
单位荷载法求位移
单位荷载法是一种常用的结构力学分析方法，其主要应用于线性问题的求解。
其中，
通过对结构物的单位荷载进行分析，可以求解出不同点的位移变化情况，从而得到结构物
在受荷状况下的静力响应。
在使用单位荷载法求位移时，通常需要依次进行以下步骤：
一、选择荷载和受力节点
首先需要根据实际问题，选择合适的荷载和受力节点。
荷载可以是均匀荷载、集中荷载、温度荷载等，受力节点可以是结构物的端点或任意位置点。
二、计算屈曲力
通过受力节点引入单位荷载，并在结构物中构造支点反力，可以得到结构物的受力系统。
在此基础上，通过力的平衡条件，计算出结构物在单位荷载下的屈曲力。
三、求解位移
在计算屈曲力之后，可以得到结构物在受荷状况下的弹性位移。
具体而言，根据杨氏
模量、惯性矩等条件，可以利用弹性力学基本方程求解出位移的表达式。
四、对位移进行叠加
在得到单个节点的位移表达式之后，需要对其进行叠加，得到整个结构物在受荷状况
下的位移变化情况。
具体而言，可以通过矩阵运算将所有节点的位移表达式进行叠加计算，得到结构物的位移变形图。
需要注意的是，在使用单位荷载法求解位移时，应当考虑荷载的类型、节点的位置、
结构物的性质等因素对位移计算的影响。
同时，还需要注意数值计算的精度和有效位数等
问题，以保证计算结果的准确性和可靠性。
单位荷载法公式
单位荷载法公式单位荷载法是结构力学中求解结构位移的一种重要方法。
咱们先来说说啥是单位荷载法。
想象一下，有一座桥，咱们想知道桥在某种外力作用下会产生多大的变形或者位移。
这时候单位荷载法就派上用场啦！单位荷载法的核心公式是：$\Delta = \int \overline{M}M_{P}ds/EI$ 。
这里面的 $\Delta$ 表示所求的位移，$\overline{M}$ 是单位荷载作用下结构内力，$M_{P}$ 是原荷载作用下结构内力，$ds$ 表示微段长度，$EI$ 则是结构的抗弯刚度。
为了让大家更清楚单位荷载法的厉害之处，我给大家讲讲我曾经遇到的一个事儿。
有一次，我带着学生们去参观一个正在建设的大楼工地。
工地上的工程师给我们介绍了他们在计算大楼某个部位位移时遇到的难题。
正好，我就给学生们现场讲解了单位荷载法的应用。
当时，我们站在大楼的框架结构旁边，看着那些密密麻麻的钢梁和钢柱。
工程师说，他们需要知道在某一侧增加了一些临时的施工荷载后，大楼的某个关键节点会产生多大的水平位移。
我就引导学生们一起思考，如果我们把这个实际的荷载情况转化为单位荷载作用下的内力和原荷载作用下的内力，然后利用单位荷载法的公式，是不是就能计算出位移啦？学生们一开始有点迷糊，但是在我逐步的引导和解释下，慢慢开始明白了。
我们一起在纸上画出结构的简图，分析受力情况，确定单位荷载的施加位置和方向。
然后计算出单位荷载作用下的弯矩图$\overline{M}$ ，再根据实际的施工荷载计算出原荷载作用下的弯矩图$M_{P}$ 。
接下来就是代入公式进行积分计算啦。
在这个过程中，有的同学计算出错，有的同学对弯矩图的绘制不太准确。
但是大家相互讨论，互相纠正错误，最终算出了大致的位移值。
虽然这个结果可能和工程师们用专业软件计算出来的有一些小的偏差，但是对于学生们来说，这是一次非常宝贵的实践经验。
通过这次实地的观察和计算，学生们深刻地理解了单位荷载法不是书本上枯燥的公式，而是能真正解决实际工程问题的有力工具。
结构力学中单位荷载法的教学方法设计
＿主 。
曩锄 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ａ
ｆ
ｂ
连 续 协 调 条 件 。对 了二该 原 理 的 证 明， 可 以根 据 实 际的 课 时 量 酌 情作 简单 证 明或 省 略 。
比 较 变 形 体 虚 功 原理 和 刚 体系 虚 功 原 理 ，它 们 有 以下 几点 异 同。
㈨ 实际 状 态 （彳＿ｊ＝移 状 态 ）
关 键 词 ：结构 力学 ；单 位荷 载 法 ；教 学方 法设计 作者简介 ：任剑莹 （１ ９７７一），女，河北平 山人 ，石家庄铁道大学工程力学系，讲师，工学硕士，主要研究方向 ：桥梁结构动力学分 析 ；李韶 华 （１０７３－），女，河北邢 台人 ，石 家庄铁道 大学机械 工程学院，副教授 ，工学博士 ，主要 研 究方 向 ：机 械 工程 、虚拟 工程 。（河北 石家庄 ０５００４５）
分析 ：这是一 个求平衡力系 （包括外力和 支座反力）中某
位 移 原理 ，并 能 利用 虚 位 移 原理 求解 一 些 平衡 问题 ，同时 笔 者 个未知力的问题。要利用虚功原理 求解 ，需要虚设一个位移状态 ，
参阅了一些文献，认为 结构力学 中利用虚 功原理推 导单位荷载 要求沿未知力方 向有一虚位移，但静定结 构在符 合约束的条件
学生对结构位移计算的基 本原理不理解或是一个盲区，导致结
１．刚体 系虚 位移原理 应 用举例
构力学的学 习前后脱节，没有形成一个系统。针对这些 问题 ，笔
例题 １：图 １（ａ）所示为一静定梁，拟求支座 Ａ的反力 。
者 调 查 了学 生 的 学 习 背 景 ，了解 到他 们 在 理 论 力 学 中学 习过 虚
虑 呢？
Ｆ ｈ
二 、刚体系的虚功原理及其应用
结构力学-第五章-力法2
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
D X 1 =1 F E G H
X2=1 F EI1 EI1 H EI 2 EI2 B C G
D E
F
G H
15 kN
EI3
8 A B 8 C
A 11.2
11.2
A
B
C
120 kN m
●
M 1 ( kN m)
M 2 ( kN(e) m)
M P ( kN m)
M1
B
4
A
M2
B
4
4
60 kN
D C
E
240
M p (kN m)
A
B
1 1 2 4800 Δ2 P 5 240 4 ＝ EI 2 3 3EI
Δ1P 1 5 5400 240 ( 2 4 1) ＝ EI 6 3EI
§5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算
4、求多余未知力 将以上所得各位移系数和自由项代入力法典型方程即有
2l l ql 3 X1 X2 0 3EI 6 EI 24 EI l 2l X1 X2 0 思考：荷载作用下，超静定结构的 6 EI 3EI 反力与梁的刚度有关吗？ 解得：
1 2 X 1 ql 15
X2
1 2 ql 60
得两次超静定的力法基本方程
b 基本体系
X1
A
X2
11 X 1 12 X 2 Δ1p 0 21 X 1 22 X 2 Δ2 p 0
ij —— 位移系数，为基本结构在单位力
Xj=1单独作用下沿Xi方向产生的位移；
§5-2 力法的基本概念
力法的典型方程
结构力学 第五章 力法
（2）确定超静定次数的方法——通过去掉多余约束来
确定。（去掉n个多余约束，即为n次超静定）。
（3）去掉（解除）多余约束的方式 a、撤去一个活动铰支座、去掉或切断一根链杆——去
掉1个约束（联系）；
X1
§ 5-1 超静定结构概述和力法基本概念
b、去掉一个单铰或一个固定铰支座—— 去掉2个约束；
X 1 Δ1 p 0 X Δ n np
（3）最后弯矩
M X1 M 1 X 2 M 2 X n M n
§ 3-2 力法的基本原理及典型方程
力法基本思路小结
解除多余约束，转化为静定结构。多余约 束代以多余未知力——基本未知力。 分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法方程。
单独作用于基本结构时，所引起的沿Xi方向的位移，
可为正、负或零，且由位移互等定理：δi j =δj i 自由项ΔiP ——荷载FP单独作用于基本体系时， 所引起Xi方向的位移，可正、可负或为零。
§ 3-2 力法的基本原理及典型方程 （2）典型方程的矩阵表示
δ11 δn1
δ1n δnn
3
0.393ql
0.464ql 0.607ql
§ 3-2 力法的基本原理及典型方程
力法基本原理：把去掉原结构上的多 余联系后所得的静定结构作为基本结构， 以多余约束力作为基本未知量，根据原 结构在多余联系处的变形条件列力法方 程，解之即得多余约束力；而以后的计 算与静定结构相同。必须指出，基本结 构的选取虽然可以不同，但它必须是几 何不变的。否则不能用作计算超静定结 构的计算图形。支反力数 目）； j（节点数）
单位荷载法
EA GA EI 小曲率杆可利用直杆公式近 PR kPR PR3 似计算 () ;轴向变形,剪切变形对位 4 EA 4GA 4 EI移的影响可略去不计
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 二.位移计算公式
1.梁与刚架
ip M PMi ds EI N P Ni ds EA N P Nil EA
P
ip
适用于线弹性 直杆体系,
NP kQ M , P P , P P EA GA EI M PMi N N kQP Qi [ P i ]ds EA GA EI
例 1：已知图示粱的E 、G, 求A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态.
q
A
h b
Ni ( x) 0, N P ( x) 0 Qi ( x) 1, QP ( x) q(l x)
4.拱
ip [ M PMi N N P i ]ds EI EA
2.桁架
ip
这些公式的适 用条件是什么?
3.组合结构
ip M PMi N Nl ds P i EI EI
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移. 解：
kx
P
Mi ( x) x l, M P ( x) q(l x) / 2
x
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
P
B P=1
QP M P
P
A
R
O
θ
R
NP R
θ
ip [
PR3 kPR PR 设 : M , Q , N 解：构造虚设的力状态如图示 4GA 4 EA M P PR sin , M i R sin 4 EI A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5, QP P cos , Qi cos h / R 1 / 10, E / G 2.5(钢砼) N P P sin , N i sin Q N 1 1 ds Rd M 1200 400 N P Ni kQP Qi M M PM i
结构力学第5章__影响线
bl
FQC
al
5-2机动法作影响线
A
FP=1
B
C a
b
l
A
FP=1 MC MC
B
B
A 1
P 2
1 2 1
MC 1 MC 2 FP P 0
MC P / 1 2 P
ab l
MC
机动法做影响线的理论基础 刚体虚功原理
机动法做影响线的步骤
1. 撤去相应的约束。 2. 使体系沿约束的正向发生单位
aa aa
1 3/2
1/2
a
1 1/2 1
5-2机动法作影响线
例
A
FP=1
C
B
aa aa
A
C FP=1 B
aa aa
FQ C
FQ C
FyA
1
1/2
1/2
1/2
1/2
a/2 1
MA
MC
a/2
a/2
FQLB
FQLB
FQLB
1/2
1
1
5-2机动法作影响线
例A
FP=1 CB
aa aa
1 MC
MC
A
FP=1
5-1 静力法作单跨梁的影响线
5-1-2悬臂梁
y x FP=1
1 支反力
B
A a
C
b
x
l
FyA 1 MA x
FyA 1 MA
FQC
1
MC
2 剪力
FQC 0
x 0,a
l
FQC FyA
x a, l
3 弯矩
MC 0
x 0,a
l-a
MC a x x a,l
考研结构力学的知识点梳理
第一章结构的几何构造分析1 •瞬变体系：本来是几何可变，经微小位移后，又成为几何不变的体系，成为瞬变体系。
瞬变体系至少有一个多余约束。
2.两根链杆只有同时连接两个相同的刚片，才能看成是瞬较。
3.关于无穷远处的瞬较：（1）每个方向都有且只有一个无穷远点，（即该方向各平行线的交点），不同方向有不同的无穷远点。
（2）各个方向的无穷远点都在同一条直线上（广义）。
（3）有限点都不在无穷线上。
4.结构及和分析中的灵活处理：（1）去支座去二元体。
体系与大地通过三个约束相连时，应去支座去二元体；体系与大地相连的约束多于4个时，考虑将大地视为一个刚片。
（2）需要时，链杆可以看成刚片，刚片也可以看成链杆，且一种形状的刚片可以转化成另一种形状的刚片。
5.关于计算自由度：（基本不会考）（1），则体系中缺乏必要约束，是几何常变的。
（2）若，则体系具有保证几何不变所需的最少约束，若体系无多余约束，则为几何不变，若有多余约束，则为几何可变。
（3）,则体系具有多与约束。
是保证体系为几何不变的必要条件，而非充分条件。
若分析的体系没有与基础相连，应将计算出的W减去3.第二章静定结构的受力分析1.静定结构的一般性质：（1）静定结构是无多余约束的几何不变体系，用静力平衡条件可以唯一的求得全部内力和反力。
（2）静定结构只在荷载作用下产生内力，其他因素作用时，只引起位移和变形。
（3）静定结构的内力与杆件的刚度无关。
（4）在荷载作用下，如果仅靠静定结构的某一局部就可以与荷载维持平衡，则只有这部分受力，其余部分不受力。
（5）当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载或构造做等效变换时，其余部分的内力不变。
（6）静定结构有弹性支座或弹性结点时，内力与刚性支座或刚性节点时一样。
解放思想：计算内力和位移时，任何因素都可以分别作用，分别求解，再线性叠加，以将复杂问题拆解为简单情况处理。
2.叠加院里的应用条件是：用于静定结构内力计算时应满足小变形，用于位移计算和超静定结构的内力计算时材料还应服从胡克定律，即材料是线弹性的。
结构力学第五章 位移计算
M ( x ) x l , M P ( x ) q (l x ) 2 / 2
FP 1 x
MP
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
FP B FP=1 FP
FQ P M P
A
R
O
θ
R
FN P R
θ
FPF R sin , M k R R R3 M P P , i FP sin, FP R 设 : M Q N
3.变形体的虚功原理 （1）质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系，在某一 位置处于平衡的必要和充分条件 是： 对于任何可能的虚位移，作用 于质点系的主动力所做虚功之 和为零。也即
FP1
FN 1
FP 2
m1 m
2
FN 2
→. → ΣFi δri=0
（2）刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应 的反力，该反力便可看 成外力。则有：刚体系 处于平衡的必要和充分 条件是：
铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 (2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
3.本章位移计算的假定 (1)
(2) (3)
线弹性 (Linear Elastic),
小变形 (Small Deformation), 理想联结 (Ideal Constraint)。
[
M PM EI
FN P FN EA
]ds
2.桁架
kp FN P FN EA FN P FN l EA ds
3.组合结构
kp
这些公式的适 用条件是什么?
结构力学第五章
（b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程：
1 F RK cK 0
（c）由虚功方程，解出所求位移：
(6 - 3)
F RK cK
(6 - 4)
⊿CV
例:
图示三铰刚架， 支座B下沉c1，向 右移动c2。求铰 C 的竖向位移⊿CV和 铰左右截面的相对 角位移φC。
• •
•
非线性体系：
* 物理非线性； *几何非线性（大变形）。
（5）、变形体位移计算方法及应满足的条件
• • • • • •
方法： 用虚功原理推导出位移计算公式。 计算时应满足的条件： *静力平衡； *变形协调条件； *物理条件。
3、虚功原理的一种应用形式 ——虚力原理（ 虚设力系，求位移） （1）虚功的概念
ΔA
A
lAB θAB
B
ΔB
lAB A
B
=(⊿A+⊿B)/ lAB =θAB
广义位移和广义虚单位荷载示例 广义位移
j B
iA A
li
B
lj
iB
C
广义虚单位荷载 1 1 li li B
A
（外力）虚功
1/li· Ai + 1/li· Bi ⊿ ⊿ +1/lj· Aj+ ⊿ 1/lj· Aj ⊿ = (⊿Ai+⊿Bi)/ li+ (⊿Bj+⊿Cj)/ lj =θi+ θj = θij 1· CL+1· CR θ θ = θ CL + θ CR =θC
• •
一、局部变形时静定结构的位移计算举例
设静定结构中的某个微段出现局部变形，微段两端 相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形， 仍然是刚体。 • 因此，当某个微段有局部变形时，静定结构的位 移计算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时 刚体体系的位移计算问题。举例说明。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P
N i NPds N i NPl
EA
EA
P
MiM Pds N i NPl
EI
EA
例 2：求曲梁B点的竖向位移 By 和水 平位移 Bx。(EI、EA、GA已知) FP
解：构造虚设的力状态如图示
B
P=1
A
P =1
θ
R
M y R sin
θ
R
MP θ
R
M x R(1 cos )
~
2E 25 G
(h)2 l
E G的取值范围是什么？
G
E
2(1 )
0 0.5
2 EG 3
取：
h l
1 10
， E G 2.5 ，有：
(Ay )N
~
1, 750
(Ay )Q
~
1 500
即：
Ay
5ql 4 (1 1 1 ) 8EI 750 500
(Ay )Q 0.2% , (Ay )N 0.13%
(Ay )M
(Ay )M
因此,对受弯细长杆件,通常略去N、 V的影响。
三、几点讨论（只有荷载作用）：
Ay
MiM Pds EI
N i NPds EA
V iVPds
GA
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
1. 对梁和刚架：
P
MiM Pds EI
2. 对桁架： 3. 对组合结构：
构；静定和超静定结构；
3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切
变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移
和相对角位移。
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
1 A ?
(a)
1 B
A 1
(b)
AB ?
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1 d
1 d1
1 d1
§5-2 单位荷载法 一、位移计算的一般公式
(General Formula of Displacements)
应用虚功原理计算结构的位移，假设一个虚 拟状态，设置一个单位力1，这就是求解结 构位移的实际协调位移和虚设平衡力状态间 方法——单位荷载法。
下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计 算的一般公式。
A
C d1
d2 1 d2
C d
A
1 d
B 1 d2
(c)
B
BC ?
(d)
? AB AC
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1A
(e)
M=1 C
B AB ?
1 M=1
(f)
C 左右 =？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
M=1 A
(g)
A ?
A
B
M=1
M=1
(h)
AB ?
二、 荷载作用下位移计算的一般公式 在仅荷载作用时的位移计算一般公式
(1
8I 5 Al
2
4kEI 5GAl 2
)
讨论： 引入符号
(Ay )M ~ 1 , 弯曲
(Ay )N
~
8 5
I Al 2
,
轴向
(Ay )Q
~
4 kEI 5 GAl 2
剪切
设杆件截面为 bh 的矩形截面杆，有：
A bh , I bh3 , k 6
12
5
(Ay )N
~
2 (h)2 15 l
,
(Ay )Q
p
N i du p V i dv p M i d p
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
duP
NP ds , EA
d P
VP
GA
ds ,
dP
MP EI
ds
P
轴向
N i NP EA
V iVP
GA
MiMP EI
ds
剪切 弯曲
式中： E 弹性模量； G
剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
R O
P
M P PR sin
将内力方程代入位移计算公式,可得
By
l M PM i ds 0 EIΒιβλιοθήκη 2MPMiRd
PR3
()
0 EI
4EI
同理有：
Bx
PR3 2EI
()
三铰拱的分析同此类似，但一般要考
虑轴力对位移的贡献，也即
P
MiM Pds EI
Ni Npds EA
例 3：求对称桁架D点的竖向位移 Dy。图中
内力的正负号规定如下：
轴力 N P , N i
剪力 VP ,V i 者为正；
以拉力为正； 使微段顺时针转动
弯矩 M P , M i
只规定乘积的正负
号。使杆件同侧纤维受拉时，
其乘积取为正。
将内力方程代入公式，有：
Ay
MiM Pds EI
N i NPds EA
V iVPds
GA
5ql 4 8EI
设应待的求广的义实力际为广1。义位移为ΔBX ，与ΔBX对
设仅在广义力1作用下，与之平衡的轴 力、剪力和弯矩分别为N i 、V i 和 Mi 。
实际位移状态
P 1
B
C
Bx ?
A
虚设的力状态
B C
N i、V i 和
A Mi
际又变设形与分内别力为Ndupp、、dVvpp和和Mdp对p。应的微段实
实际位移状态 P
截面形状系数。如：对矩形截
面k=6/5;圆形截面k=10/9。
例 1：求刚架A点的竖向位移。 解：构造虚设状态
（虚拟状态）
（实际状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力 方程（或画出内力图），如：
1 ql2 2
ql
1 qx2 x 2
MP
x qx
VP
ql
NP
荷载内力图
l
11
xx
x
Mi
Vi
Ni
单位内力图
右半部各括号内数值为杆件的截面积A
(101m2 ) ，设 E=210GPa。
FN
解： 构造虚拟状态并求出实际和虚拟状 态中各杆的内力
FN
代入公式得：
Dy
N i NPl 8 mm ( ) EA
返
章
菜
单
B
C
Bx ? up、vp和 p A ci
虚设的力状态
1B C
N i 、V i 、
和 Mi
A
则杆系结构虚功方程为: 位移计算的一般公式
N i du p V i dv p M i d p
一般公式的普遍性表现在：
1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结