高中数学选修2-2课时作业17：1.5.3 定积分的概念
高中数学1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念课件新人教A版选修2_2
轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( A. lim ∑ B. lim ∑
������
1 (������∈[0,2])及 x 1+������2
������ (x)dx =
(x2 + 1)
(2)定积分就是和的极限 lim ∑ ������(������t)·Δx,而
n →∞i=1
������ a
������(x)dx 只是这种极限的一种记号.
题型一
题型二
利用定义计算定积分
【例 1】 利用定积分的定义,计算 1 (3x + 2)dx 的值. 分析:将区间[1,2]等分为 n 个小区间,利用函数在每个小区间上 的左端点值求出 Sn,其极限即为所求. 解:令 f(x)=3x+2. (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入(n-1)个分点,把区间[1,2]等分成 n 个小区间
答案:
2 x2 dx -4 2
3.定积分的基本性质 ������ ������ (1) a ������������(x)dx = ������ a ������(x)dx(������为常数); (2)
������ a ������ a
[������1(x) ± ������2(x)]dx =
c
n →∞t=1 n n ������-a t=1 n
lim ∑
n ������-a
������ a
������(x)dx, 即
������ a
������(x)dx =
������(������t), 这里, a 与������分别叫做积分下限与积分上限, 区间
[a, b]叫做积分区间, 函数������(x)叫做被积函数, x 叫做积分变量 , ������(x)dx 叫做被积式.
高中数学(新课标)选修2课件1.5.3定积分的概念
bf(x)dx 的几何意义．
a
状元随笔 定积分的物理意义：从物理上看，如果在时间区
间[t1，t2]上
v＝v(t)连续且恒有
v(t)≥0，那么定积分t2v(t)dt t1
表示做
变速直线运动的物体在时间区间[t1，t2]内经过的路程．这就是定积
分tt12v(t)dt 的物理意义．
知识点三 定积分的性质 由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质： (1)bkf(x)dx＝___k__bf_(_x_)d_x___(k 为常数)； ((23))aabb[f(fx1()xd)x±＝f2(_x_)_]adc_fx_(x＝_a)_d__xab__f_1_(_＋x_)_d__x__±__cb_fab__(f_x2_(_)_xd__)x_d__x___；_(其中 a<c<b)．
1.5.3 定积分的概念
知识点一 定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－
1<xi<…<xn＝b xi]上任取一点
将ξi(i区＝间1,[2a，，…b]，等n分)，成作n和个式小i＝Σn1区f(ξ间i)Δ，x在＝每__i＝Σ个_n1_小_b_－区n__a间_f(_ξ[_ix)_i－_1_，.
B.1(2x－1)dx 0
C.1(2x＋1)dx 0
D.1(1－2x)dx 0
解析：根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为12xdx－1
0
0
1dx＝1(2x－1)dx.
0
答案：B
3．定积分3(－3)dx＝( )
1
A.－6
B．6
C．－3 D．3
解析：33dx 表示图中阴影部分的面积 1
高中数学(人教A版选修2-2)练习：1.5.3 定积分的概念
课时提升作业(十)定积分的概念一、选择题(每小题3分，共12分)1.(2014·广州高二检测)关于定积分m=dx，下列说法正确的是( )A.被积函数为y=-xB.被积函数为y=-C.被积函数为y=-x+C，D.被积函数为y=-x3【解析】选B.由定积分的定义知，被积函数为y=-.2.定积分f(x)dx(f(x)>0)的积分区间是( )A.[-2，2]B.[0，2]C.[-2，0]D.不确定【解析】选A.由定积分的概念得定积分f(x)dx的积分区间是[-2，2].3.设f(x)=则f(x)dx的值是( )A.x2dxB.2x dxC.x2dx+2x dxD.2x dx+x2dx【解析】选D.因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.4.(2014·南昌高二检测)下列等式不成立的是( )A.[mf(x)+ng(x)]dx=m f(x)dx+n g(x)dxB.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-aC.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dxD.sinxdx=sinxdx+sinxdx【解析】选C.由定积分的性质知选项A，B，D正确.【误区警示】应用定积分的性质计算定积分时，要特别注意积分区间及被积函数的符号.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2014·长春高二检测)定积分(-3)dx=__________.【解析】3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6，(-3)dx=-3dx=-6.答案：-66.计算：(1-cosx)dx=________.【解题指南】根据定积分的几何意义，运用余弦曲线的对称性计算，或通过补形转化为矩形的面积计算.【解析】根据定积分的几何意义，得1dx=2π，cosxdx=cosxdx+cosxdx+cosxdx+cosxdx=cosxdx-cosxdx-cosxdx+cosxdx=0，所以(1-cosx)dx=1dx-cosxdx=2π-0=2π.答案：2π【一题多解】在公共积分区间[0，2π]上，(1-cosx)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cosx在[0，2π]上围成封闭图形的面积，如图，由于余弦曲线y=cosx在[0，π]上关于点中心对称，在上关于点中心对称，所以区域①与②的面积相等，所求平面图形的面积等于边长分别为1，2π的矩形的面积，其值为2π.所以(1-cosx)dx=2π.答案：2π三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2014·济南高二检测)已知x3dx=，x3dx=，x2dx=，x2dx=，求：(1)3x3dx.(2)6x2dx.(3)(3x2-2x3)dx.【解析】(1)3x3dx=3x3dx=3=3=12.(2)6x2dx=6x2dx=6(x2dx+x2dx)=6=126.(3)(3x2-2x3)dx=3x2dx-2x3dx=3×-2×=-.8.求定积分(-x)dx的值.【解析】(-x)dx表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形(图中阴影部分)的面积，故原式=×π×12-×1×1=-.【拓展延伸】1.利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各部分的面积.(4)写出定积分，注意当f(x)≥0时，S=f(x)dx，而当f(x)≤0时，S=-f(x)dx.2.利用定积分的几何意义求定积分的注意点准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外，要注意结合图形的直观辅助作用.一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·黄冈高二检测)设曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )A.S=(x2-x)dxB.S=(x-x2)dxC.S=(y2-y)dyD.S=(y-)dy【解析】选B.将曲线方程y=x2与直线方程y=x联立方程组，解得x=0或x=1，结合图形可得B正确.2.如图所示，图中曲线方程为y=x2-1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.B.(x2-1)dxC.|x2-1|dxD.(x2-1)dx+(x2-1)dx【解题指南】由定积分的几何意义及性质即可得出.【解析】选 C.由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|dx，故选C.【举一反三】将本题中的函数改为f(x)=x-1，则(x-1)dx=__________.【解析】直线y=x-1，与x=0，x=1.y=0围成的图形为三角形，面积为S=×1×1=.由定积分的几何意义得(x-1)dx=-.答案：-3.(2013·天津高二检测)曲线y=与直线y=x，x=2所围成的图形面积用定积分可表示为( )A.dxB.dxC.dxD.dx【解析】选A.如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2014·深圳高二检测)定积分2014dx=__________.【解析】根据定积分的几何意义2014dx表示直线x=2014，x=2015，y=0，y=2014围成的图形的面积，故2014dx=2014×(2015-2014)=2014.答案：20145.定积分(2+)dx=________.【解题指南】利用定积分的几何意义先分别求出2dx，dx.再由性质求和.【解析】原式=2dx+dx.因为2dx=2，dx=，所以(2+)dx=2+.答案：2+三、解答题(每小题10分，共20分)6.(2014·青岛高二检测)根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx.(2)cosxdx.(3)|x|dx.【解析】(1)如图(1)，xdx=-A1+A1=0.(2)如图(2)，cosxdx=A1-A2+A3=0.(3)如图(3)，因为A1=A2，所以|x|dx=2A1=2×=1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)【拓展延伸】利用几何意义求定积分的注意点(1)关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间.(2)正确利用相关的几何知识求面积.(3)不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定.7.一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程.【解析】依题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)=所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s=v(t)dt=tdt+(50-t)dt+10dt=300+400+200=900(米).关闭Word文档返回原板块。
高中数学人教A版选修2-2课件：1-5-3 定积分的概念
������ (x)dx =
(x2 + 1)
(2)定积分就是和的极限 lim ∑ ������(������t)·Δx,而
n →∞i=1
������ a
������(x)dx 只是这种极限的一种记号.
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二
利用定义计算定积分
【例 1】 利用定积分的定义,计算
������ ������ ������ (u)du = ������(t)dt = ⋯(称为积分形式的不变性), a a ������ 另外定积分 a ������(x)dx 的大小与积分区间[a,b]息息相关,不同的积 1 分区间,所得的值可能也不同,例如 0 dx 与 3 (x2 + 1)dx 的值就不同. 0 n ������ a
3 2
2 1
������d������ = .
1-������ 2 d������表示的是图③中阴影部分所示的半径为 1 的半 1-������ 2 d������ =
π . 2
1 π 圆的面积,其值为 , 所以 -1 2
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二
①
②
③
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
1.5.3 定积分的概念
-1-
目标导航
第一章
三角函数
1.了解定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
如何正确认识定积分的概念? 剖析:(1)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函 数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即
高中数学 1.5.3定积分的概念 新人教版选修2-2
• 一、问题的提出 • 二、定积分的定义 • 三、几何意义 • 四、小结 思考题
.
砖是直边 的长方体
烟囱的截面 是弯曲的圆
“直的砖”砌 成了“弯的圆”
局部以直代曲
.
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线
yf(x)
yf(x)(f(x)0)、
f (i )xi i3xi
i1
i1
n
xi3xi , i 1
.
n
b
a f (x)dx
的几何意义就是曲线 y = f (x)
直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形的面积
.
y=f (x) y
AS
oa
x b
当函数 f (x) 0 ， x[a, b] 时
定积分
b
f (x)dx
a
就是位于 x 轴下方的曲边梯形 面积的相反数. 即
b
a f(x)dxS
.
二、定积分的定义
定义 设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 有 界 ， 在 [a ,b ]中 任 意 插 入
若干个分点a x x x x x b
012
n 1 n
把 区 间 [ a , b ] 分 成 n 个 小 区 间 ， 各 小 区 间 的 长 度 依 次 为
x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , ) ， 在 各 小 区 间 上 任 取
个小区[x间 i1,xi]，
长度 xix 为 ixi 1;
在每个小区[x间i1, xo i a x 1 上任取一点i，
b xi1 i x i xn1
人教版高中数学选修2-2教师用书 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析
．定积分的概念预习课本～，思考并完成下列问题()定积分的概念是什么？几何意义又是什么？()定积分的计算有哪些性质？．定积分的概念与几何意义()定积分的概念：一般地，设函数()在区间[，]上连续，用分点＝<<…<－<<…<＝将区间[，]等分成个小区间，在每个小区间[－，]上任取一点ξ(＝，…，)，作和式(ξ)Δ＝(ξ)，常数时，上述和式无限接近某个当，这个→∞[常数上的定积分，，]叫做函数()在区间记作()，即()＝(ξ)，[，区间积分上限，这里，与分别叫做积分下限与]积函数被叫做积分区间，函数()叫做，叫做积分变量，()叫做被积式．，[()定积分的几何意义：如果在区间]，那么定积分上函数连续且恒有≥()()表示由直线＝，＝(<)，和曲线＝()所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)＝．[点睛]利用定积分的几何意义求定积分的关注点()当()≥时，()等于由直线＝，＝，＝与曲线＝()围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．()计算()时，先明确积分区间[，]，从而确定曲边梯形的三条直边＝，＝，＝，再明确被积函数()，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积而得到定积分的值：当()≥时，()＝；当()<时，()＝－.．定积分的性质()()＝(为常数)．().()()±＝[()±()]()．()(其中<<)()＋()＝()．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()＝.( )()()的值一定是一个正数．( )()(＋)＝＋.( )答案：()√ ()× ()√的值为( )． ． ．－答案：．已知()＝，则( )()＝()＝()＋()＝．以上答案都不对答案：．已知＝，则＝.答案：－错误!利用定义求定积分[典例] 利用定义求定积分.[解] 令()＝，()分割：在区间[]上等间隔地插入－个点，把区间[]分成等份，其分点为＝(＝，…，－)，这样每个小区间[－，]的长度Δ＝(＝，…，)．()近似代替、求和：令ξ＝＝(＝，…，)，于是有和式：(ξ)Δ＝·＝＝·(＋)(＋)＝.()取极限：根据定积分的定义，有＝(ξ)Δ ＝＝.用定义求定积分的一般步骤()分割：等分区间[，]；。
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第1章 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析
1.5.3 定积分的概念1．了解定积分的概念．(难点)2．理解定积分的几何意义．(重点、易混点) 3．掌握定积分的几何性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分的概念 阅读教材P 45内容，完成下列问题．如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf(ξi )Δx ＝________________，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f(x(dx ＝__________.其中a 与b 分别叫做__________与__________，区间[a ，b ]叫做______，函数f (x )叫做____________，x 叫做__________，f (x )d x 叫做__________．【答案】 ∑i ＝1n b －a n f (ξi ) lim n→∞∑i ＝1n b －an f (ξi ) 积分下限 积分上限 积分区间 被积函数积分变量 被积式⎠⎛12(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形的面积有什么关系？【解析】 由定积分的概念知：二者相等． 教材整理2 定积分的几何意义 阅读教材P 46的内容，完成下列问题．从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a b f (x )d x 表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义．【答案】 直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x)判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( ) (2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛012x d x <⎠⎛022x d x ( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理3 定积分的性质阅读教材P 47的内容，完成下列问题．1.⎠⎛ab kf (x )d x ＝________________________(k 为常数)． 2.⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±__________________. 3.⎠⎛ab f (x )d x ＝______________(其中a <c <b )． 【答案】 1.k ⎠⎛a b f (x )d x 2.⎠⎛a b f 2(x )d x 3.⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x填空：(1)由y ＝0，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________． (2)⎠⎛-11f (x )d x ＝⎠⎛-10f (x )d x ＋__________. (3)⎠⎛a b (x 2＋2x )d x ＝⎠⎛ab 2x d x ＋________. 【答案】 (1) ⎠⎜⎛0π2cos x d x (2)⎠⎛01f (x )d x (3)⎠⎛a b x 2d x[小组合作型]⎠⎛1【精彩点拨】 根据定积分的意义，分四步求解，即分割、近似代替、求和、取极限． 【自主解答】 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n. (2)近似代替、作和取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx ＝∑i ＝1n错误!·错误!＝错误!错误!＝错误![0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n2－n n2＋5＝132－32n. (3)取极限 ⎠⎛12(3x ＋2)d x＝lim n→∞S n ＝lim n→∞⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132.利用定义求定积分的步骤[再练一题]1．利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值．【解】 令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、作和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n3错误!＋错误!·错误!＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n .(3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡－13⎝⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋ ⎦⎥⎤3＋1n＝23.(1)⎠⎛-33－39－x2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x ； (3)⎠⎛-11－1(x 3＋3x )d x . 【导学号：62952046】【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x2d x ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.(3)∵y ＝x 3＋3x 在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x 轴上方部分面积与x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛-11(x 3＋3x )d x ＝0.定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f (x )d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及y ＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(关键词：平面图形的形状)(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)[再练一题]2．上例(1)中变为⎠⎜⎛－32329－x2d x ，如何求解？ 【解】 由y ＝9－x2，知x 2＋y 2＝9(y ≥0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知⎠⎜⎛－32329－x2d x 等于圆心角为60°的弓形C ED 的面积与矩形ABC D的面积之和．S 弓形＝12×π3×32－12×3×332＝6π－934，S 矩形＝|AB |×|BC |＝2×32×9－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝932，∴⎠⎜⎛－32329－x2d x ＝6π－934＋932＝6π＋934.[探究共研型]探究1【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a ，b ]上的定积分？【提示】 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝0；②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a g (x )d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x .(1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，0≤x<1，2x2，1≤x≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d xB.⎠⎛022x 2d x C.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛122x d x ＋⎠⎛02(x ＋1)d x (2)已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝________.【自主解答】 (1)∵f (x )在[0,2]上是连续的，由定积分的性质(3)得⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x .(2)由定积分的性质(2)可得 ⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛022x d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x . 又∵⎠⎛02f (x )d x ＝8，⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，∴⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x ＝8－2×2＝4.【答案】 (1)C (2)4利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x ±…±⎠⎛ab f n (x )d x ； (2)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎜⎛a c1f (x )d x ＋⎠⎜⎛c1c2f (x )d x ＋…＋⎠⎜⎛cnb f (x )d x (其中a <c 1<c 2<…<c n <b ，n ∈N *)．[再练一题]3．已知⎠⎛0e x d x ＝e22，⎠⎛0e x 2d x ＝e33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x ；(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x .【解】 (1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x＝2⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e x 2d x ＝2×e22＋e33＝e 2＋e33.(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2⎠⎛0e x 2d x －⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e 1d x ， 因为已知⎠⎛0e x d x ＝e22，⎠⎛0e x 2d x ＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2×e33－e22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a b g (x )d xB.⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋b －aC.⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d x D.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x 【解析】 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4， 即⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 【答案】 C2．图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为()图1-5-3A.⎠⎛012x dxB.⎠⎛01(2x －1)d xC.⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x )d x 【解析】 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x －1)d x .【答案】 B3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________. 【导学号：62952047】【解析】 ∵0＜x ＜π2，∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛0π2 sin x d x .【答案】 ⎠⎜⎛0π2 sin x d x4．若⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝1，则⎠⎛a b [2g (x )]d x ＝________.【解析】 ⎠⎛ab [2g (x )]d x＝⎠⎛a b [(f (x )＋g (x ))－(f (x )－g (x ))]d x ＝⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x －⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝3－1＝2. 【答案】 25．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x2d x .【解】 由y ＝4－x2可知x 2＋y 2＝4(y≥0)，其图象如图．⎠⎛-114－x2d x 等于圆心角为60°的弓形C E D 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3.S 矩形＝|AB |·|BC |＝23.∴⎠⎛-114－x2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋3.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.5 1.5.3 定积分的概念
i i i 取 ξi＝xi＝2＋n，则 f(ξi)＝2＋n＋2＝4＋n.
f(ξi)Δxi＝
i＝ 1 n n
i＝ 1
i 1 4＋ · n n
跟 踪 训 练
＝
i＝ 1
n
4 n＋1 i 4 1＋2＋…＋n ＋ 2＝n·＋ ＝4＋ . 2 n n n n 2n n＋1 9 4＋ ＝ . 2n 2
2
∴
栏 目 链 接
(3)函数 y＝sin x 在区间[－π，π]上是一个奇函数，图象关于 原点成中心对称，由在 x 轴上方和下方面积相等的两部分构成， 故该区间上定积分的值为面积的代数和，这个代数和为 0，即 f
π
－π
sin xdx＝0.
点评： 定积分 b 介于 x＝a， a f(x)dx 的几何意义是： x＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数 和， 其中 x 轴上方部分的面积为正， x 轴下方部分的面 积为负．
栏 目 链 接
题型1
用定义求定积分
2 例1 用定积分的定义计算： 1 x 0 dx.
解析：(1)分割． n－1 n 1 2 将区间[0,1]分成 n 等份，0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1，分割后的 i i－1 1 区间长为 Δx＝n－ n ＝n. (2)近似代替． 第 i 个小曲边梯形的面积可近似为
i－1 i－12 1 · (i＝1,2，…，n)． ΔSi≈ΔSi′＝f ·Δx＝ n n n
栏 目 链 接
(3)求和．
1 2 0x dx≈Sn＝
i－1 · Δx ΔSi′＝ f n i＝ 1 i＝ 1
n n
n－12 1 1 1 2 1 ·＋…＋ · ＝0· ＋ n n n n n
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1.5.3 定积分的概念
一、选择题
1．关于定积分m ＝⎠⎛0
2⎝⎛⎭
⎫－1
3d x ，下列说法正确的是( ) A ．被积函数为y ＝－1
3x
B ．被积函数为y ＝－1
3
C ．被积函数为y ＝－1
3x ＋C
D ．被积函数为y ＝－1
3
x 3
2．已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛-6
6f (x )d x )＝( )
A ．0
B ．16
C ．12
D ．8
3．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2，x ≥0，
2x ，x <0，则⎠⎛-11f (x )d x 的值是( )
A. ⎠⎛-1
1x 2d x
B. ⎠⎛-1
12x d x
C. ⎠⎛-10x 2d x ＋⎠⎛0
12x d x
D. ⎠⎛-102x d x ＋⎠⎛0
1x 2d x
4．变速直线运动的物体的速度为v (t )≥0，初始t ＝0时所在位置为s 0，则当t 1秒末它所在的位置为( ) A ．⎠⎛0
t 1∫t 10v (t )d t
B ．s 0＋⎠⎛0
t 1v (t )d t
C ．⎠⎛0
t 1v (t )d t －s 0
D ．s 0－⎠⎛0
t 1v (t )d t
5．定积分⎠⎛a
b f (x )d x 的大小( )
A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关
B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关
C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关
D ．与f (x )，积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 二、填空题
6．定积分⎠⎛1
3(－3)d x ＝__________.
7．定积分⎠⎛-1
2|x |d x ＝__________.
8．曲线y ＝1
x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．
三、解答题
9．已知⎠
⎛0
1x 3d x ＝14，⎠⎛1
2x 3d x ＝154，⎠⎛1
2x 2d x ＝73，⎠⎛2
4x 2d x ＝56
3，求：
(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ；(3)⎠⎛1
2(3x 2－2x 3)d x .
10．利用定积分的几何意义，求⎠⎛-1
1
1－x 2d x 的值．
——★ 参 考 答 案 ★——
一、选择题
1．[答案] B
[解析] 被积函数为y ＝－1
3.
2．[答案] B
[解析] 偶函数图象关于y 轴对称，故⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛0
6f (x )d x ＝16.故选B.
3．[答案] D
[解析] 被积函数f (x )是分段函数，故将积分区间[－1,1]分为两个区间[－1,0]和[0,1]，由定积分的性质知选D. 4．[答案] B
[解析] 由位移是速度的定积分，同时不可忽视t ＝0时物体所在的位置，故当t 1秒末它所在的位置为s 0＋⎠⎛0
t 1v (t )d t .
5．[答案] A
[解析] 定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi 的取法无关． 二、填空题 6．[答案] －6
[解析] 由定积分的几何意义知，定积分 ⎠⎛1
3
(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3与y ＝－3，y ＝0 所围成图形面积的相反数．所以⎠⎛1
3(－3)d x ＝－(2×3)＝－6.
7．[答案] 52
[解析] 如图，⎠
⎛-1
2|x |d x ＝12＋2＝5
2.
8．[答案] ⎠⎛1
2⎝⎛
⎭
⎫x －1
x d x [解析] 如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛1
2x d x －⎠⎛1
21
x d x ＝⎠⎛1
2⎝⎛
⎭
⎫x －1x d x .
三、解答题
9．解：(1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛0
2x 3d x
＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛1
2x 3d x ＝3⎝⎛⎭⎫14＋154＝12. (2)⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛1
4x 2d x
＝6⎝⎛⎭⎫⎠
⎛1
2x 2d x ＋
⎠⎛24x 2d x ＝6⎝⎛⎭
⎫73＋563＝126. (3)⎠⎛1
2 (3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛1
2x 2d x －2⎠
⎛1
2x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.
10． 解：y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆(含圆与x 轴的交点)．根据定积分的几何意义，知⎠⎛-1
11－x 2d x 表示由曲线y ＝1－x 2与直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所
围成的平面图形的面积， 所以⎠⎛-1
1
1－x 2d x ＝S 半圆＝1
2
π.。