第二章-电阻电路的等效变
第二章 电阻电路的等效变换
-
C
i
+ u
-
对A电路Hale Waihona Puke 言，C代替B后BA
C
A
（1）等效变换的条件
结 论 （2）仅仅是对外等效
（3）对内不等效
两电路具有相同的VCR
即外电路A中的电压、 电流和功率不变。
C是B的简化。
2.3 电阻的串联、并联
1. 电阻串联( Series Connection of Resistors )
（1） 电路特点
R31
R1
R2
R3
2
R23
3
2
3
形网络
Y形网络
R2
b
R4
三端 网络
，Y 网络的变形：
形电路 ( 形)
T 形电路 (Y形）
这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时， 能够相互等效。
2. —Y 变换的等效条件
1 +– i1
1 +i1Y –
u12 R12
– i2
2+
R23 u23
等效条件：
i1 =i1Y ,
第二章 电阻电路的等效变换
2.2 电路的等效变换
1. 二端电路（网络）
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且从一个 端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电 路为二端网络(或一端口网络)。
i i
2. 电路等效的概念
两个二端电路，端口具有相同的伏安特性,则两电路等效
B
i
+ u
等效
i3 =u31 /R31 – u23 /R23
根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得Y型型的变换条件：
R12
R1R2R2R3R3R1 R3
第二章 电阻电路的等效变换
i
＋
… i
＋ －
u
－
K=1，2 ， i
＋ －
u
Reg
u
G1
in Gn
u
－
Geg
分流公式： 分流公式：ik=Gku=Gk/Geg i n=2时，Reg=R1R2/（R1+R2） 时 （ i1=R2/（R1+R2）， 2=R1/（R1+R2）×i ），i （ （ *混联：有串，又有并 混联：有串， 混联 1 R1 R2 R3 R4
对于△ 对于△形，各电阻中电流为：i12=u12/R12 i23=u23/R23 i31=u31/R31 各电阻中电流为：
i ′ =i12-i31=u12/R12-u31/R31 1
i ′2 =u23/R23-u12/R12
i ′3 =u31/R31-u23/R23
i1 + i 2 + i 3 = 0
③
2
2 i31 1 i12
④
2
⑤
i′2
1
1
R2
3
自已补充:R 自已补充 4与1串,R3与2串,然 串 串然 后再并 i2
R4 R3 2
3
i3 2
1
1
2-5
电压源和电流源的串联和并联
＋
1、n个电压源串联：us=∑usk--------等效电压源 、 个电压源串联： 等效电压源 个电压源串联 ＋ － ＋ ○ ○ －○ us1 us2 usn。 。 注：正、负号取 。 。 。 2、n个电流源的并联： 个电流源的并联： 、 个电流源的并联 is1 is=is1+is2+…is=∑isk 。 。
αi
＋ uS － i ＋
第二章 电阻电路的等效变换.
第二章 电阻电路的等效变换§ 2-1 引言§ 2-2电阻的等效变换 § 2-3 电阻串联和并联§ 2-4 星三角变换（一）教学目标1、 要求掌握电路等效的概念；2、 要求掌握电阻串并联电路的计算方法及分压分流公式；3、要求掌握星形三角形的等效变换。
（二）教学难点星三角变换为难点（三）教学思路对于简单电路的分析，常常采用的是等效化简的方法，首先让同学理解等效的概念，在此基础上，再接下来介绍串并联等效化简及其他变换。
（四）教学内容和要点２．2等效变换的概念（二端网络）i =i ’c（二端网络）若两个二端网络N 1和N 2，当它们与同一个外部电路相接，在相接端点处的电压、电流关系完全相同时，则称N 1和N 2为相互等效的二端网络．2.3 电阻的串联、并联和混联一． 电阻的串联+ + _ _ u u u R 3 i R eq１．特征：流过同一电流（用于以后判断是否为串联） ２．KVL:iR u u u u u k R k ⋅==++∑321３．等效电阻：∑=keq RR４．分压公式：u R R u eqkk =５．功率：2i R P k k = ∑=kPP二． 电阻的并联特征：１．承受同一个电压２．KCL:∑=++k i i i i 321分流不分压，分流电路u GR ui k kk ==u G i k )(∑= ∑=k eq G G３．等效电阻：∑=keq GG４．分压公式：i G G u G i eqkk k == ５．功率：2u G P k k =∑=kP P并联串联↔↔↔,,i u G RR 1 G 1i 1(R eq)G eq三．电阻的混联串联 串并联13232R R R R R R eq++=321321)(R RR R R R R eq ++⋅+=求R ab ． R ab =4Ω+6Ω=10Ω 例：桥式电路 具有四个节点 每个节点联接三条支路求R ab ．平衡电桥：R 1﹒R 4=R 2﹒R 3例：R 1c 6Ω3Ω4Ω4Ω2Ω1Ω3R 4求R ab =2R a00804080804031603a ab R R ⨯==Ω+=Ω 例：无限长梯形网络，求R ab =?(R=5Ω) R cd ≈R ab 近似解法22205250ab ab abab ab abab ab R R R R R R R R R R R R R ⋅=++--⋅=--=∴==R ab2.4 电阻的Y —⊿等效变换1、三端网络的等效概念若两个三端网络的电压u 13、u 23与电流i 1、i 2之间的关系完全相同时，则称这两个三端网络对外互为等效。
第02章电阻电路的等效变换(丘关源)
(6)恒压源并联任何元件其两端电压不变；
恒流源串联任何元件其流出电流不变；
a a
+ us
－
+ +
－
对外等效
us
－
b
c
b c
对外等效
is
+
－
d
is
d
（1-30）
例1 用电源等效变换法求i R5
R1 u1 + R2 R3 i
+
i=?
解：
-u3
R4
is
R5 u3 — R3 i
应 用 举 例
一、理想电压源的串联和并联
1、串联 + uS1_ _ uS2 +
+ 注意参考方向
º uS＝＋uS1 …－uS2 i + uS _ º
等效
+
uS _
º +
_ º
2、并联
条件：uS＝uS1＝uS2 方向相同 º 恒压源中的电流由外电路决定。相同的恒压源才能并联 。
（1-21）
uS1_
u S2
+ _
i
º
3、恒压源与任意支路(非恒压源)并联的等效 i i + + + + 任意 uS 对外等效 uS _ u _ u 元件 _ _ 4、实际电压源的串联等效
+ i +
uS1 _
R1
_ uS2 + u
R2 _
等效
uS _ R + i +
u
_
uS＝＋uS1－uS2
R＝R1 ＋ R2
（1-22）
二、理想电流源的串联和并联
电阻电路的等效变换
+
u
_
各电阻顺序连接，流过同一电流 （判断电路是否为串联的依据）
2）等效电阻
R1
Rk
_
_
i
+ u1
+ uk
+
u
由KVL和VAR得：
Rn
_
+ un
_
等效
Req
i
+u
_
u R1i Rki Rni (R1 Rk Rn )i Reqi
n
等效电阻： Req R1 Rk Rn Rk Rk k 1
电阻元件的串、并联对偶记忆
电阻元件
串联
并联
等效变换 分压/分流 公式
功率比
i相同
u相同
Req R1 R2 Rn Geq G1 G2 ... Gn
uk
Rk Req
u
ik
Gk Geq
i
pk1 Rk1 pk 2 Rk 2
pk1 Gk1 pk 2 Gk 2
三、电阻的混联
电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，这种连接方式称电阻的串并 联(混联)。
如果一个电路（网络）向外引出一对端钮，这 对端钮可以作为测量用，也可以用来与外部的电源 或其他电路连接用。这类具有一对端钮的电路称为 一端口电路（网络）或二端电路（网络）。
i
+
N
u
i
N0-无源二端网络 Ns-含源二端网络
2.等效二端电路（网络）
N1 i
+
u
i
-
i
+
N2
u
i
若两个二端网络N1和N2与同一个外部相连，当 相接端钮处的电压、电流关系完全相同时，称N1和 N2互为等效的二端网络。
第2章电阻电路的等效转换
a i + R1 u (G ) 1 － b
i1 R2 (G2)
i2
Rn
in (Gn)
+ u － b
n G=Σ G=Σ Gk k=1 k=1 等效电路
两电阻并联
R1R 2 R = R1 R 2 = R1 + R 2
(2)等效电路 (2)等效电路
G = G 1 + G 2 + LLG n
(3)分流公式 (3)分流公式
2A A
解：
3A A 6A A
2A A
2Ω Ω 2Ω Ω 6V V － 2A A 6A A 2Ω Ω 7Ω Ω 2Ω Ω 2Ω Ω
2Ω Ω
+
7Ω Ω
i
4V V
i
+
－ 2Ω Ω
2Ω Ω 9A A 1Ω Ω 7Ω Ω 1Ω Ω 9V V － 7Ω Ω
+
9−4 i= = 0.5 ( A ) 1+ 2+ 7
+
作业： 作业：P47
一：根据串、并联关系求Ri 根据串、并联关系求R 1.电阻串联 1.电阻串联
a + i +
u1 － R1 R2
(1)输入电阻(或等效电阻) (1)输入电阻(或等效电阻) 输入电阻
a + u
－ Rn
i R=Σ R=ΣRk
k=1 k=1
R in = R 1 + R 2 + L + R n
n
+
u
u2 －
i2 i1
R1 R2
αR2i
－
u b
+
－
+
R3
u b
第2章电阻电路的等效变换
总电流
U S 18 I= = A = 6A R 3
由分流公式得
6 I1 = I = × 6A = 4A 4× 4 9 6 + (1 + ) 4+4
再分流得
6
1 I x = I 1 = 2A 2
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电路分析基础
第2章 电阻电路的等效变换
2.2.4 Y形电路和Δ形电路之间 的等效变换
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电路分析基础
如何等效化简电桥测温电路? 如何等效化简电桥测温电路?
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电路分析基础
第2章 电阻电路的等效变换
2.1 等效变换
电阻电路
线性电阻电路
非线性电阻电路
简化线性电阻电路的主要依据是等效变换
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电路分析基础
第2章 电阻电路的等效变换
2.1.1 一端口网络的定义
二端网络
一端口网络
流入一个端子的电流必定等于流出另一端子的电流
Ig =
Rp Rg + R p
× 10 × 10 −3 = 1 × 10 −3 mA
解之得应并联的电阻为
0.1RG 2 × 10 3 Rp = = Ω ≈ 222.22Ω 0.9 9
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电路分析基础
第2章 电阻电路的等效变换
2.2.3 电阻的混联
判别电路的串并联关系根据以下原则： 判别电路的串并联关系根据以下原则： （1）看电路的结构特点。 看电路的结构特点。 （2）看电压、电流关系。 看电压、电流关系。 （3）对电路作变形等效。 对电路作变形等效。 （4）找出等电位点。 找出等电位点。
R4 R5 R2(R3 + ) R4+R5 R = R1 + R4 R5 R2 + (R3 + ) R4 + R5
02第二章电阻电路的等效变换
12
12
12
8 //(4 4) 4
R
R eq R
R
R
例6.求Req。
解：
R
R
R
R R
Req
R 8
例7.
R R I1 I2
I3
I4 求：I1 ,I4 ,U4
12V
2R 2R
2R
U4 2R
解：
I1
12 R
I4
1 2
I
3
1 4
I2
1 8
I1
1 8
12 R
3 2R
0.04
16.5mA
10mA
I3
G1
G3 G2
G3
Is
0.04 0.025 0.1
0.04
16.5mA
4mA
三、 电阻的串并联(混联)
电阻的串联和并联相结合的联接方式叫电阻的串并联 （或混联）。
要求：弄清楚串、并联的概念。
计算举例：
4
º
例1.
Req
2 3
Req
i1
i' 1
,
i2
i' 2
,
i3
i' 3
i' 2
2
对，各个电阻的电流分别为：
R31
'
i ' 31
i3 3
1 i'
1
i' 12
i' u12 R 12
12
R 12
R23
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第二章 电阻电路的等效变换2.1 学习要点1. 电阻的等效变换：电阻的串并联， Y 与△的等效变换。
2. 电源的串联、并联及等效变换。
3. “实际电源”的等效变换。
4. 输入电阻的求法。
2.2 内容提要 2.2.1 电阻的等效变换1. 电阻的串联：等效电阻： R eq ＝∑1=k nk R ；分压公式：u k ＝eqkeq ×R R u ； 2. 电阻的并联：等效电导：G eq ＝∑1=knk G ；分流公式：qe G G i i keq k ×=； 2.2.2. 电阻的Y 与△的等效变换1. △→Y ：一般公式：Y 形电阻＝形电阻之和形相邻电阻的乘积∆∆；即31232331*********231231212311++=++=++R R R R R R R R R R R R R R R R R R 2312＝2. Y →△：一般公式：形不相邻电阻形电阻两两乘积之和形电阻＝Y Y ∆；图 2.1即：213322131113322123313322112++=++=++=R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R2.2.3 电源的串联、并联等效变换 电源的串联、并联等效变换见表2.1。
表2.1 电源的串联、并联等效变换2.2.4 “实际电源”的等效变换 1. “实际电压源”→“实际电流源” R i ＝R u 或 G i ＝1/R u i s ＝u s /R u 2. “实际电流源”→“实际电压源”R u ＝R i ＝1/G i u s ＝i s R i ＝i s /G i两者等效互换的原则是保持其端口的V AR 不变。
2.2.5 输入电阻的求法一端口无源网络输入电阻的定义（见图2.2）：R in ＝u/ i1. 当一端口无源网络由纯电阻构成时，可用电阻的 串并联、Y 形与△形等效变换化简求得。
2. 当一端口无源网络内含有受控源时，可采用外加电压法或外加电流法求得： 即输入电阻 R in ＝u s /i 或 R in ＝u/ i s方法是：在端口处加一电压源u s （或电流源i s ）, 再求比值u s /i 或u/ i s ，该比值即是一端口无源网络的输入电阻。
此方法也适用于由纯电阻构成的一端口网络。
2.3 例题例2.1 求图2.3所示电路等效电阻R in 。
解：由△→Y 将图2.3等效成题解2.3图，其中：32113332132232121'1++++++R R R R R R R R R R R R R R R R R R '＝ ＝ ＝’()()5'''''in R R R R R R R RR R ++++++=43252431 例2.2 求图2.4所示电路的等效电阻R ab 。
解：本电路包含两个T 型电阻网络，且其参数成比例。
若在a 、b 之间加一电压源，则c 、d 两点电位必相题解2.3图图 2.3R 5'5'+图2.2图 2.4a b等，c 、d 两点可视为短路，这样就可按电阻串、并联公式求解，得1kΩ、2kΩ电阻并联，得： Ω32k Ω2+12×112k R ＝＝2kΩ、4kΩ电阻并联，得： k Ω34k Ω4+24×224R ＝＝ 3kΩ、6kΩ电阻并联，得： k Ω 2k Ω6+36×336 R ＝＝则 ()()()Ωk 6671k Ω2+2+342+234+k Ω32k Ω2++k Ω2++3624362412 .//R R R R R R ab ＝＝＝ 例2.3 设电路如图2.5所示，求i 3和两个电流源各自发出的功率。
解：(1) 根据电流源的性质可知，对于外电路，与恒流源串联的电阻、电压源可忽略。
由此可做出图2.5的等效电路题解2.5图。
由KCL 得 i 3＝i s2－i s1(2) 计算i s1与i s2发出的功率。
依欧姆定律，得u ab ＝R 3 i 3＝R 3(i s2－i s1) ①计算两个电流源的功率，必须．．用图2.5所示电路，不能．．用等效的题解2.5图所示电路。
计算过程是：先根据图2.5求出两个电流源的端电压u 1和u 2，再按功率公式去计算。
由图2.3得 u ab ＝R 1i s1－u 1 ② u ab ＝u s2 + u 2 ③ 将式①代入②得 u 1＝R 1i s1－u ab ＝(R 1+R 3) i s1－R 3 i s2 将式①代入③得 u 2＝u ab －u s2＝R 3( i s2－i s1)－u s2 故各电流源发出的功率为P i s1＝u 1 i s1＝(R 1+R 3)12321 s s s i i R i － P i s2＝2212322322s s s s s s i u i i R i R i u －－＝R 3i 3 3图 2.5i 题解2.5图例2.4 求图2.6所示电路中的电流I 3。
解：图2.6电路可化简为题解2.6图所示电路，化简时应保留I 3支路。
对题解2.6图应用KCL 得 －0.9I 3－2 + I 3 + U/6Ω＝0 又因为 U ＝3Ω·I 3 求解得 I 3＝3.333 A例2.5在图2.7(a)所示电路，已知U s1＝12 V ，U s2＝24 V ，R 1＝R 2＝20 Ω，R 3＝50Ω，试求通过R 3的电流I 3。
解：将图2.7(a)所示电路的电压源模型转化为图2.7(b)所示的电流源模型， 其中 A 6020V121s1s1 . R U I ＝＝＝Ω A 2120V2422 .R U I s ＝＝＝Ω2s 合并电流源I s1和I s2，得电路如图2.7 (c)所示。
其中 I s ＝I s1－I s2＝(0.6－1.2) A ＝－0.6 AR ＝Ω R R R R R 102202+12121＝＝＝ 根据图2.7(c)所示电路,利用电流分流公式求得流过R 3的电流为 ()A 1010+5010×A 60+×33 . .R R R I I s ＝－ΩΩΩ－＝＝ R 3图 2.7(c)U 3I 3 I (b) 3 (a) 图 2.60.9题解2.6图负号表示I 3的实际方向与参考方向相反。
例2.6 试用电源的等效变换方法，求图2.8(a)所示电路中的电压U 12。
解：在图2.8所示电路中，受控源的控制量是I ，故在变换时8Ω电阻支路要始终保留且不能变换掉，具体变换步骤是由图2.8(a)→(b)→(c)→(d)。
根据图2.8(d)电路4Ω电阻与8Ω电阻并联，8Ω电阻的电流是I ，所以4Ω电阻应是2I 。
应用KCL ，则有： I + 2I ＝I + 1A 解得 I ＝0.5 A故得 U 12＝8Ω×I ＝0.5×8＝4 V 例2.7 求图2.9所示电路的输入电阻R i 值。
解：根据电压源与电流源等效变换方法，将电路逐次化简，最后得一简化电路。
对于含受控源电路，化简过程与独立电源一样对待。
唯一要注意的是，在化简过程中不要把控制量消掉。
由此等效成图2.9(b)、(c)电路。
在图2.9(c)中，假设在输入端接图 2.9(c)(a)(b) (a) (b)(d)图 2.8(c)入电压源U ，由KVL 得U ＝125Ω·I －90Ω·I ＝35Ω·I 所以 Ω IUR i 35=＝ 例2.8 求图2.10电路的输入电阻R ab 。
解：在ab 端口外加电压U ， 由KVL 得 U ＝2Ω·I + 1.5Ω·I 1 由KCL 得 I 1＝I + 0.5S U 1 又因为 U 1 ＝1Ω·I 1 联立以上三个方程求解得：I 1＝2 I U ＝5 I所以 R ab ＝U/I ＝5 Ω 2.4 习题选解电路如图所示，已知u s ＝100V ，R 1＝2KΩ，R 2＝8KΩ。
若：(1) R 3＝8KΩ；(2) R 3＝∞（R 3处开路）；(3) R 3＝0（R 3处短路）。
试求以上三种情况的电压u 2和电流i 2、i 3。
解：（1）R 2的R 3并联，其等效电阻R ＝8/2＝4 kΩ，则总电流 A m 350=4+2100=+=1s R R u i 1； 分流有： A m 8.33=650i i i =2==132； V ×==222 i R u 66.667=6508；(2) 当R 3＝∞时有 i 3＝0，V =×=•=222 80108i R u(3) 当R 3＝0时，有i 2＝0，u2＝0， i 3＝u s /R 1＝100/2 ＝50 mA ，电路如图所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。
mA10==+=212 R R u i s 8+2100题2.1图+U 1-图2.10+(b) (a)(c)4R 3R 4u s-i i 题解2.2图求： (1) 电压u 2和电流i 2；(2) 若电阻R 1增大，对哪些元件的电压、电流有影响？影响如何？解(1)：对于R 2和R 3来说，其余部分的电路可用电流源i s 等效替换，如题解图(a)所示。
因此有；； R R i R R u R R i R i ss 323223232+=+=解(2)：由于R 1和电流源i s 串接在同一支路中，对其余电路来说可以等效为一个电流源i s 。
如题解图2.2图(b)所示。
因此当R 1增大，对R 2、R 3、R 4及u s 的电流和端电压都无影响。
但R 1增大，R 1两端的电压增大，将影响电流源两端的电压，因为 u is ＝ R 1 i s ＋ u 2 － u s 显然u is 随着R 1的增大而增大。
在图（a ）电路中，u s1＝24 V , u s2=6 V , R 1=12 Ω, R 2 = 6 Ω, R 3 =2 Ω。
图（b ）为经电源变换后的等效电路。
（1）求等效电路的i s 和R ;（2）根据等效电路求R 3中电流和消耗功率； （3）分别在图（a ）、（b ）中求出 R 1 、R 2及 R 消耗的功率；（4）试问u s1 ,u s2 发出的功率是否等于i s 发出的功率？R 1 ,R 2 消耗的功率是否等于 R 消耗的功率？为什么？3 i题2.2图(a)题2.3图3(b)解 ：（1）利用电源的等效变换,图（a ）中电阻与电压源的串联可以用电阻与电流源的并联来等效。
等效后的电路如题解2.3图所示,其中A 2=1224==1s1s1R u i A 1=66==2S2S2R u i 对题解2.3图电路进一步简化得图（b ） 所示电路,故A 3=1 i i i +2=+=s2s1s ；Ω 4=6+12612=2×=1R //R R （2）由图（b ）可解得三条并联支路的端电压()V 4=32+424××=×=s 3i R //R u 所以R 3 的电流和消耗的功率分别为A 2=24==33R u i ； W 8=2×22==2333i R P(3) 根据KVL ，图（a ）电路中R 1、R 2两端的电压分别为 u 1＝u s1－u ＝ 24－4＝20 V u 2＝u s2 – u = 6－4 = 2 V 则R 1、R 2消耗的功率分别为P 1＝33.33=12202=121R u Wｐ2＝W 32=622=222R u(b)图中R 消耗的功率 P ＝W 4=442=2R u (4) (a)图中u s1和u s2发出的功率分别为 W 40=122024×=×=11s1s1R u u p u题解2.3图R 3W 2=626×=×=22s2s2R u u p u （b ）图中i s 发出的功率 W 12=34×=×=s s i u p i显然：u s1 ，u s2 发出的功率不等于i s 发出的功率，即s2s1s u u i p p p +≠；R 1 ,R 2 消耗的功率也不等于 R 消耗的功率，即p ≠ p 1 + p 2 ；在图(a)中，u s1＝45V , u s2＝20V ，u s4＝20V ，u s5＝50V ；R 1＝R 3＝15Ω，R 2＝20Ω，R 4＝50Ω，R 5＝8Ω；在(b)图中，u s1＝20V ，u s5＝30V ，i s2＝8A ，i s4＝17A ，R 1＝5Ω，R 3＝10Ω，R 5＝10Ω。