集合的基本概念元素集合之间的关系

第一章集合
第一节集合的概念
一、要点透析
（一）集合的有关概念：
由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。

我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

1、集合的概念
（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素
（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）
2、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A
∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A
∉3、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可
（2）互异性：集合中的元素没有重复
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
例1.下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数（）（2）好心的人（）（3）1，2，2，3，4，5．（）
4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……
（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写
5、常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}
0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*
1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，
，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}
Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}
R =数轴上所有点所对应的数
（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*
N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*
Z
例2.用适当的符号（∈∉，）填空：
(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；
2（二）集合的表示方法
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合
例如，由方程2
10x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}
-注：（1）有些集合亦可如下表示：
从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}
（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么b
a +可能取的值组成集合的元素是：
练习、由实数x,－x,｜x ｜,
332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素
2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法
格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合
例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}
x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}
x x 是直角三角形例4、已知集合{}
R a x ax x A ∈=+-=,023|2；
（1）若A 是空集，求a 的取值范围；
（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；
（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围
3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法
4、何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法
如：集合2322{,32,5,}
x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法
如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2
+=x y y 是同一个集合吗？
（三）有限集与无限集
有限集：含有有限个元素的集合
无限集：含有无限个元素的集合
空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}
x R x ∈+=二、题型解析
（一）集合的基本概念
1以下元素的全体不能够构成集合的是（）
A．中国古代四大发明B．地球上的小河流
C．方程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三角形
2方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩
的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}
3给出下列关系：①12
R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4
4下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）
A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}
N =
C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是
6用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为
（二）集合的表示方法
1用列举法表示下列集合
①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}
x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}n
x x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}
x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2用描述法表示下列集合
①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}
-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017⎧
⎫±±±±⎨⎬⎩⎭
（三）集合的分类
1关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；
当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集
2下列四个集合中，是空集的是（）
A．}
33|{=+x x B．},,|),{(2
2R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-
三、课下训练
1、有下列说法：
（1）0与{0}表示同一个集合；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）
A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）
C．只有（2）D．以上四种说法都不对
2、试选择适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232
y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|
}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合：
①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭
且③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭
或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12
x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。