集合与元素

数学课教学
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第七章 集合与简易逻辑
§7－1 集合与元素（第 一 课） － 集合与元素（
单位： 单位：武汉市财政学校 授课人： 授课人：
§ 7－ 1
集合与元素
观察: （）“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋” 观察:（13）使一元一次不等式 印度洋、>北冰洋” 的距离等于3 （2） 平面上到定点 O的距离等于 3 ） 的距离等于 武汉市财政学校全体师生. ( 4） 太平洋、大西洋、 2. + 1 的 )） 武汉市财政学校全体师生 x
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记作 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集.记作
例如， 例如，由方程 空集： 有空集： …
2
φ
.
的所有实数解组成的集合是空集. x = −1 的所有实数解组成的集合是空集 空集： 还有空集： …
填空： 用符号 ∈ 或 ∉ 填空： 想一想： 想一想：
0
解： 0
例2 . 用描述法表示下列集合： 用描述法表示下列集合： （1）大于2的整数组成的集合； ）大于 的整数组成的集合； 的整数组成的集合 （2）不等式 x − 2 > 3 的解集； ） 的解集； （3）所有直角三角形组成的集合. ）所有直角三角形组成的集合 解： 1） {a a > 2, 且 a ∈ Z } （ ） （2）{ x ） （3） ）
集合中的元素具有： 集合中的元素具有： 确定性、 互异性、无序性. 确定性、 互异性、无序性.
互异性也叫无重性 是指集合中的元素 互异性 不能重复出现. 不能重复出现 无序性是指集 无序性 合中的元素不 计较排列次序. 计较排列次序
确定性 确定性是指组 成集合的元素 是确定的. 是确定的
2．常用数集 ．
∈B
，−2 ∉ B 。
0
∈N
2 3
∈
Q
2 3
∉
Z
1 ∈ N , − 4∉ N , 0.5∉ N , 3 ∈ N * , 0 ∉ N + ; 1 1 ∈ Z , − 2 ∈ Z , 0.5 ∉ Z , ∉ Z , 3 ∉ Z ; 3 ∈ Q, − 3 ∈ Q, 0.5 ∈ Q, 2 ∈ Q, 2 ∉ Q; 1 3 * 1 π ∈ R, 5 ∈ R, 3 ∈ R , ∈ R,− 2 ∉ R+ . 3
{x
x ∈ R, 且 x < 3 }
其中， 是集合的代表元素， 其中，大括号内竖线左边的 是集合的代表元素， 像这样， 像这样， 满足的特征性质或者条件. 竖线右边表示的是集合的元素 满足的特征性质或者条件 将集合元素满足的特征性质或者条件用形式 写出来 表示集合的方法，叫做描述法 描述法. 表示集合的方法，叫做描述法 其中， 是集合的代表元素， 其中，大括号内竖线左边的 是集合的代表元素， 满足的特征性质或者条件. 竖线右边的 是集合的元素 满足的特征性质或者条件
2、描述法： 、描述法： 思考 ： 比 3小的实数组成的集合怎么样表示？ 小的实数组成的集合怎么样表示？ 小的实数组成的集合怎么样表示
用列举法行吗？ 用列举法行吗？
为了表示这个集合，关键是抓住这个集合的元素具有的特征： 为了表示这个集合，关键是抓住这个集合的元素具有的特征： 显然， 小的实数组成的集合有无数多个元素， 显然，比3小的实数组成的集合有无数多个元素， 小的实数组成的集合有无数多个元素 它们都是实数 而且小于3.于是我们可以将这个集合表示成 都是实数， 它们都是实数，而且小于 于是我们可以将这个集合表示成 无法一一列举出来，不能用列举法来表示这个集合. 无法一一列举出来，不能用列举法来表示这个集合
练一练： 练一练：
用描述法表示下列集合： 用描述法表示下列集合： 的有理数组成的集合； （1）小于 的有理数组成的集合； ）小于5的有理数组成的集合 的解集； （2） x + 1 < 2 不等式 的解集； ）
（3）所有的正偶数组成的集合 ）所有的正偶数组成的集合. 解答： 解答：
解：（1）小于 的有理数组成的集合为： 的有理数组成的集合为： ）小于5的有理数组成的集合为
自然数集 整数集
N
N*或N + 或 Z +
正整数集
Z
N *或 N + 或 Z +
有理数集 也就是由所有可以写成 自然数集 N 两个整数之比形式的数 组成的集合… 组成的集合… 整数集
正整数集 有理数集
也就是集合： 也就是集合： { 0，1，2，…}
Q
Q
Z
也就是集合： 也就是集合： { 1，2，3，…}
R
R
在某集合表示的右上方加上“ ” 是表示由原集合中， 注：在某集合表示的右上方加上“*”的，是表示由原集合中， 所有非零元素构成的集合。 表示非零实数集。 所有非零元素构成的集合。如 R * 表示非零实数集。
3．元素与集合的关系 ． 的元素， 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A ，记作 a∈ A ； 的元素， 如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于A，记作 a ∉ A . 注：a ∉ A 也可以写成 a ∈ A ， a∈ A 也可以写成 A ∋ a 。
解：
（1） ） （2） ） （3） ）
{ 4 ，5 ，6 ，7 ，8 } { 1 ，-1 }
{ 2，4 ，6，8， …，96，98 } ， ， ， ， ，
练一练： 练一练：
用列举法表示下列集合： 用列举法表示下列集合： (1) 小于 的自然数组成的集合。 小于5 的自然数组成的集合。 (2) 我校一年级开设的课程组成的 集合。 集合。 (3) 大于 且小于 大于0且小于 且小于100的奇数组成的 的奇数组成的 集合。 集合。 (4) 所有的正偶数组成的集合。 所有的正偶数组成的集合。
有限集还 有：…？
像自然数集N这样 像自然数集 这样
无限集还 有：…？
含有无限个元素的集合，叫做无限集. 含有无限个元素的集合，叫做无限集
思 考 ： 大于 并且小于 的整数组成的集合是什么样子的呢？ 大于5并且小于 的整数组成的集合是什么样子的呢？ 并且小于2的整数组成的集合是什么样子的呢
显然，大于5并且小于 的数是不存在的， 显然，大于 并且小于2的数是不存在的， 并且小于 的数是不存在的 所以这个集合不含任何一个元素. 所以这个集合不含任何一个元素
我们一般用大括号表示集合， 我们一般用大括号表示集合， 集合的元素常用小写的英文字 为了方便起见，通常也用大写的英文字 为了方便起见， a，B，C， ， 等来表示 A，B， C，… A，b，c，… ，x，y等来表示 ， ， ， 或者，用大写希腊字母 等来表示. 或者， 等来表示
例如， ， “ 武汉市财政学校 例如 ， “ 太平洋 、 大西洋 、 印 又例如， 又例如 太平洋、 大西洋、 度洋、 北冰洋” 组成一个集合。 度洋 、 北冰洋 ” 组成一个集合 。 全体师生”组成一个集合。 全体师生”组成一个集合。 这个集合的元素是： 这个集合的元素是： 学校中的每一位学生或者教师 太平洋、 大西洋、 印度洋、北冰洋 太平洋、 大西洋、 印度洋、 都是这个集合的一个元素. 都是这个集合的一个元素. 这个集合可以表示成： 这个集合就可以表示成： 这个集合可以表示成：： 这个集合就可以表示成 {武汉市财政学校全体师生 武汉市财政学校全体师生} 武汉市财政学校全体师生 {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
当一个集合的元素较多，或者它是一个无限集时， 注：当一个集合的元素较多，或者它是一个无限集时， 如果要用列举法来表示，可以只写出其中几个元素， 如果要用列举法来表示，可以只写出其中几个元素， 其它的元素可以用省略号表示. 其它的元素可以用省略号表示 但要注意的是必须让人明白省略号表示了哪些元素. 但要注意的是必须让人明白省略号表示了哪些元素
{x
x < 5, 且 x ∈ Q }
的解集为： （2） x + 1 < 2 不等式 的解集为： ）
{x
x < 1, 且 x ∈ R } 或写成
{x
x < 1}
（3）所有的正偶数组成的集合为： ）所有的正偶数组成的集合为：
{2n n ∈ N }
+
集合与元素
集合的概念： 集合的概念： 集合的特性： 集合的特性： 所指定的全部对象构成的整体。 所指定的全部对象构成的整体。 确定性、互异性、无序性。 确定性、互异性、无序性。
成立的一切实数. 组成的地球上的四大海洋. 所有点形成的一个圆. 成立的一切实数 组成的地球上的四大海洋 所有点形成的一个圆
结论： 结论： 由一些我们要研究的指定对组成
的整体，用集合这个词来表示它 的整体，用集合这个词来表示它.
一、集合的概念
1、集合的概念 、
由一些指定的对象组成的整体，叫做集合。 由一些指定的对象组成的整体，叫做集合。 集合中的每一个对象叫做这个集合的元素. 集合中的每一个对象叫做这个集合的元素
解答： 解答：
解： （1）小于 的自然数组成的集合 ）小于5
为：{ 0，1 ，2 ，3， 4 }。 ， ， 。 （2）我校一年级开设的课程组成的 ） 集合为： 集合为： {语文，英语，数学，体育，…}。 语文， 语文 英语，数学，体育， 。 （3）大于 且小于 且小于100的奇数组成的集合 ）大于0且小于 的奇数组成的集合 为：{ 1，3，5，…，97，99 }。 ， ， ， ， ， 。 （4）所有的正偶数组成的集合为： ）所有的正偶数组成的集合为： { 2，4， 6，8 ，… } 。 ， ， ，
用列举法表示下列集合： 例1. 用列举法表示下列集合： (1) 大于 且小于 的自然数组成的集合 大于3且小于 的自然数组成的集合. 且小于9的自然数组成的集合 (2) x 2 = 1 方程 的所有解组成的集合 的所有解组成的集合. (3) 大于 且小于 大于0且小于 且小于100的偶数组成的集合 的偶数组成的集合. 的偶数组成的集合