初中数学青年教师解题大赛试题参考答案
初中数学青年教师基本功大赛笔试试卷(含答案)
A B
5. (本小题 12 分) 从甲地到乙地有 A1、A2 两条路线，从乙地到丙地有 B1、B2、B3 三条路 线，从丙地到丁地有 C1、C2 两条路线．一个人任意先了一条从甲地到丁地的路线．求 他恰好选到 B2 路线的概率是多少？
22ຫໍສະໝຸດ 要 t 最小，即 CT+TQ 最小，而 CT+TQ 是点 C 到直线 C
′B 的折线长，只有当 CT+TQ 成为点 C 到直线 C′B 的
y C
OK
T
x
B
Q H
垂线段时才最小，故作 CH⊥BC′交 OB 于点 K，则点
C′
K 就是使运动时间最短的点。
∵△CBC′为正三角形，∴∠C′CH=30°∴OK=OC·tan30°=2
P138—139） 5. (本小题 12 分)
A1
甲
乙
A2
如图：从甲到丁有 2×3×2=12 种走
9
A
M
B1
C1
B2
丙
C2
丁
B3
N
D
C
B
E
法，而经过线路
B2
共有
2×1×2=4
种走法，故
P=
4 12
1 3
6. (本 小 题 12 分 ) 如 图 ： 裁 剪 线 AB 与 CD 长 恰 好 为 三 棱 柱 底 面 周 长 30cm， 故
BM AB 2 AM 2 30 2 182 24
由△CEB∽△AMB 可知： CB BE ，故 CB 60
AB BM
30 24
2018年广州市白云区初中数学青年教师解题比赛(含答案)
2018年广州市白云区初中数学青年教师解题比赛试 卷学校 姓名 考号 得分本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题24小题，共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，请务必填写上自己所在的学校、姓名及考号． 2．用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．第I 卷（选择题，共44分）一、选择题1、a 是负实数，下列判断正确的是（ ）. （A ）a a -> （B ）a a<2（C ）23a a > （D ）20a > 2、已知集合2{|22},{|230},M x x N x x x =-<<=--<则集合M N ＝（ ）.（A ）}2|{-<x x （B ）}3|{>x x （C ）{|23}x x -<< （D ）{|13}x x -<<3、已知函数)2(x f y =的定义域是[－1,1]，则函数)(log 2xf y =的定义域是( ). (A) (0，＋∞) (B) (0，1) (C) [1，2] (D) [2，4]4、函数224)(1++=+x x x f 的值域是（ ）.（A ） ),1[+∞ （B ）),2(+∞ （C ）),3(+∞ (D)),4[+∞5、如果1x 、2x 是两个不相等的实数，且满足21120061x x -=，22220061x x -=， 那么 x 1+x 2=（ ）.（A ）2006 （B ）－2006 （C ） 1 （D ）－1 6、已知0a b c -+=， 930a b c ++=, 则二次函数2y ax bx c =++ 的图象的顶点可能在（ ）.(A)第一或第四象限 (B)第三或第四象限(C)第一或第二象限 (D)第二或第三象限7、如图1，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC ，∠BCO ＝15°，则∠AOC 等于（ ）.（A ）120° （B ）130° （C ）140° （D ）150° 8、已知a 、b 是不全为零的实数，则关于x 的方程222()0x a b x a b ++++=的根的情况为（ ）.（A ） 有两个负根 （B ）有两个正根 （C ）有两个异号的实根 （D ）无实根9、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案： 则第（ ）个图案中有白色地面砖38块.(A)8 (B)9 (C)10 (D)1110、甲、乙、丙三位同学进行立定跳远比赛,每人轮流跳一次称为一轮,每轮按名次从高到低分别得3分、2分、1分(没有并列名次),他们一共进行了五轮比赛,结果甲共得14分；乙第一轮得3分,第二轮得1分,且总分最低.那么丙得到的分数是（ ）．(A)8分 (B)9分 (C)10分 (D)11分11、一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n 个，则n 的最大值是（ ）．( A)4 (B)6 (C)10 (D)12第II 卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）12、在实数范围内把多项式22x y xy y --分解因式所得的结果是___________________．13、已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x _________． 14、设x 、y 、z 满足关系式 x －1＝21+y ＝32-z ， 则x 2＋y 2＋z 2的最小值为 .15、不等边三角形ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，O C BA D图1那么它的长度最大可能是_____ ．16、已知：如图2，正方形ABCD 的边长为8，M 在CD 上，且DM=2，N 是AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为 ．三、解答题（共7小题，满分86分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 17、（本题满分9分）已知⎩⎨⎧<-≥=1,11,1)(x x x f ，求不等式3)1()1(≤+++x x f x 的解集.18、（本题满分9分）求圆064422=++-+y x y x 截直线x -y -5＝0所得的弦长？19、（本题满分10分）.等差数列｛n a ｝中，公差为d ，484a =，前n 项和为n s ，且10s ＞0，11s ＜0， 求d 的取值范围.20、（本题满分10分）如图3，在⊿ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于D ，交AC 于E ，BD=CE ，求证：AB=AC（要求：用多种方法证明.详写其中一种证明， 其余证明则略写.用三种方法证明结论成立的满分）21、 （本通满分10分）已知：不论k 取什么实数，关于x 的方程 1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1， 试求a 、b 的值.22（本题满分10分）已知m为整数，且12＜m＜40，试求m为何值时，关于未知数x的方程22--+-+=有两个整数根．x m x m m2(23)4148023 （本题满分14分）已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB 求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值.24. （本题满分14分） 如图4直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点．（1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式： （3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．图42006年广州市白云区初中数学青年教师解题比赛参考答案第I 卷（选择题，共44分）二、 选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确的答案代号填在答题卷上）第II 卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）三、解答题17、解：当0x ≥时(1)1f x +=则不等式变为(1)3,1x x x ++≤≤解得当0x ≤时(1)1f x+=-则不等式变为(1)3,x x x -++≤解得为任意实数 不等式3)1()1(≤+++x x f x 的解集是{}1|≤x x 18、解：解法1：先求交点坐标，设A 1122(,),(,)x y B x y064422=++-+y x y xx -y -5＝0 弦长==把x=y+5代入064422=++-+y x y x 中得2210110y y ++= 所以22212121211()()4(5)432y y y y y y -=+-=--⨯= 同理得22121212()()43x x x x x x -=+-=152-+225252x y -+=--=弦长221212()()336x x y y -+-=+=解法3：由064422=++-+y x y x 得圆心（2，-22 圆心到直线的距离2222522211d +-===+ 根据勾股定理弦长AB=22262(2)()262-== 19、解：⑴由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯+⨯+=+021011110291010843111＜＞d a d a d a 解之得 －56＜d ＜－4220、解：21、解：把x ＝1代入原方程并整理得（b ＋4）k ＝7－2a要使等式（b ＋4）k ＝7－2a 不论k 取什么实数均成立，只有⎩⎨⎧=-=+02704a b解之得 27=a ，4-=b22、解：08144)32(222=+-+--m m x m x []22=2(23)-4414884m m m m ---++（）=(23)x m -±又12＜m ＜40所以59，且m得m=2423、解: (1)Ａ（x 1，0）,B (x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根.∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2,∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m =1或m =3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M (a ，b )，则N (－a ，－b ) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N .∴a = .这时M 、N 到y轴的距离均为 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 ,∴2×12×（2－m.∴解得m =－7 .24、解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）． ∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ． ∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝60°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ．∴ OD ＝OB ·tan30°=1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形． ∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ． 即直线PA 是⊙E 的切线．。
初中数学教师解题比赛试题
初中数学教师解题比赛试题初中数学教师解题比赛试题一、比赛试题种类及要求本次解题比赛试题为初中数学教师专业能力测试，旨在考察参赛教师的数学解题能力、教学技能以及专业知识掌握程度。
试题将包括选择题、填空题、解答题等类型，全面考察教师的数学素养。
试题难度将按初中数学教学的实际需求和难度水平设置。
二、比赛试题内容1、选择题(1)在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AB=2，则BC的长度为( )A. √3B. √6C. 2D. 2√3 答案：B(2)在实数范围内，方程x²+3x+2=0的解为( ) A. x=1 B. x=-1 C. x=2D. x=-2 答案：D2、填空题(1)已知一个圆的半径为5，那么它的内接正六边形的边长为____。
答案：5√3(2)若二次函数y=x²-4x+c的图像与x轴有交点，则c的取值范围是____。
答案：c≤43、解答题(1)求证：等腰三角形两底角的平分线相等。
证明：设△ABC为等腰三角形，底角∠B和∠C的平分线分别为BD和CE。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。
又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC=∠ECB。
在△DBC和△ECB中，∵DBC=ECB，BC=BC，∴△DBC ≌△ECB。
∴BD=CE，即等腰三角形两底角的平分线相等。
(2)已知一个二次函数y=ax²+bx+c的图像过点(1，2)，且与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁和x₂，其中x₁²+x₂²=9，求这个二次函数的解析式。
解：∵二次函数y=ax²+bx+c的图像过点(1，2)，∴a+b+c=2 ①。
又∵该函数与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁和x₂，其中x₁²+x₂²=9，∴x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。
∴(x₁+x₂)²=(b/a)²，∴(b/a)²=(x₁²+x₂²)+2x ₁x₂=(9+2c/a)。
泰州市初中数学青年教师基本功大赛笔试试卷
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个三角形的两边分别为8cm和10cm，且这两边的夹角为60°，则这个三角形的周长为多少cm？A. 16cmB. 26cmC. 28cmD. 无法确定2. 下列函数中，哪一个函数是增函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2 4x + 4C. y = x^3D. x = 13. 已知一组数据2，3，5，7，x，若这组数据的平均数为5，则x 的值为多少？A. 1B. 4C. 6D. 84. 下列命题中，真命题是？A. 对顶角相等B. 对顶角互补C. 对顶角互余D. 对顶角都是直角5. 若一个正方形的对角线长为10cm，则这个正方形的面积为多少cm^2？A. 50cm^2B. 100cm^2C. 200cm^2D. 250cm^2二、判断题（每题1分，共5分）1. 若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是矩形。
（）2. 任何两个奇数之和都是偶数。
（）3. 两个函数如果它们的图像关于y轴对称，那么这两个函数是相等的。
（）4. 若一组数据的方差为0，则这组数据中的每个数都相等。
（）5. 在直角坐标系中，两点之间的距离公式是d = √((x2 x1)^2 + (y2 y1)^2)。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个等差数列的首项为3，公差为2，则第10项为______。
2. 若一个等边三角形的边长为6cm，则这个三角形的面积为______cm^2。
3. 若一个正方形的边长为8cm，则这个正方形的对角线长为______cm。
4. 若一个函数的图像关于x轴对称，则这个函数是______函数。
5. 在直角坐标系中，点(3, 4)关于原点对称的点为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列的定义及通项公式。
2. 简述等边三角形的性质。
3. 简述正方形的性质。
4. 简述一次函数的性质。
5. 简述两点之间的距离公式。
初中数学青年教师解题比赛及答案
秒初中数学青年教师解题比赛决 赛 试 卷本试卷共8页， 23小题，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上．） 1．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()UA B =R ，则实数a 的取值范围是（A ）1a ≤（B ）a ≥1（C ）a ≤2（D ）2a ≥2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（A ）1（B ）56（C ）16（D ）1303．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒 与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于 14秒且小于15秒；……；第六组，成绩大于等于18秒且 小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布 直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数 为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 （A ）0.9，35 （B ）0.9，45 （C ）0.1，35（D ）0.1，454．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 （A ）3（B ）2-（C ）3或2-（D ）3-或25. 如图，P A 、PB 切O 于A 、B ，50P ∠=，点C 是O 上异于A 、B 的任意一点，则ACB ∠的度数为（A ）65 （B ）115 （C ）65或115 （D ）无法确定 6．已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛的实数x 的取值范围是 (A) ()1,1- (B)()1,0 (C)()()1,00,1 - (D) ()()+∞-∞-,11, 7．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程222(2)330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ．若22126x x +=，则m 的值是（A（B（C（D ）1-第14题图 NM DC B A第14题8. 如图是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm ）．将它们拼成如图的新几何体，则该新几何体的体积为 （ ） cm 3．（A ）48π （B ）50π （C ）58π （D ）60π9．给定点M (-1, 2),N (1,4),点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标是(A)21 (B) 43(C) 1 (D) 2 10．已知a 、b 、c 为正整数，且19222=---++ac bc ab c b a ，那么c b a ++的最小值等于(A) 11 (B) 10 (C) 8 (D) 6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在答题卷上．）11．函数0)2()3lg(1-+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是______．12． 设变量x y ，满足约束条件30023x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪-⎩≥，≥，≤≤，则目标函数2x y +的最小值为 ．13．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．则取出的4个球均为黑球的概率是__________．14．如图，平行四边形ABCD 中，AM ⊥BC 于M , AN ⊥CD 于N ，已知AB =10,BM =6, MC =3，则MN 的长为_________．15．若()f x 表示3x +和2283x x -+中较大者，则函数()f x 的最小值是 ．16．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………………。
初中数学教师解题比赛试题及答案
青年教师基本功大赛试题一、选择题（10×2=20分,单选或多选）1.现实中传递着大量的数学信息，如反映人民生活水平的“恩格尔系数”、预测天气情况的“降雨概率”、表示空气污染程度的“空气指数”、表示儿童智能状况的“智商”等，这表明数学术语日趋（）（A）人本化（B）生活化（C）科学化（D）社会化2. 导入新课应遵循（）（A）导入新课的方法应能激发学生的学习兴趣、学习动机，造成悬念，达到激发情感，提出疑问的作用（B）要以生动的语言、有趣的问题或已学过的知识，引入新知识、新概念（C）导入时间应掌握得当，安排紧凑（D）要尽快呈现新的教学内容3.下列关于课堂教学的改进，理念正确的是（）（A）把学生看作教育的主体，学习内容和学习方法由学生作主（B）促进学生的自主学习，激发学生的学习动机（C）教学方法的选用改为完全由教学目标来决定（D）尽可能多的提供学生有效参与的机会，让学生自己去发现规律，进而认识规律4．为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（）（A ）7000名学生是总体（B）每个学生是个体（C ）500名学生是所抽取的一个样本（D）样本容量是5005. 一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体是（）主视图左视图俯视图图2 （A）（B）（C）（D）6．如图1，点A(m,n)是一次函数y=2x 的图象上的任意一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，那么三角形ABO 的面积Ｓ关于m 的函数关系的图象大致为（ ）7．有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子。
若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为（ ） (A)21 (B) 31 (C) 61 (D) 918．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，折出一个菱形。
甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠DAC ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是( )（A ）甲 （B ）乙 （C ）甲乙相等 （D ） 无法判断9．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。
2007年广州市初中数学青年教师解题比赛试题及参考答案
2007年广州市初中数学青年教师解题比赛决 赛 试 卷 2007－4－15本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷．请将选择题和填空题的答案做在第3页的答卷上．全卷共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共44分）一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上．）1．对于实数a ，下列运算正确的是（ ）．（A ）)2(121a a ÷=- （B ）3232a a a =+（C ）623)(a a a -=⋅- （D ）422)()(a a a -=-⨯-2．给出以下三个命题：①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的和有可能是有理数；③两个无理数的和一定是实数．其中正确的命题是（ ）．（A ）①和②（B ）①和③（C ）②和③（D ）③3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,7,384==S S 则12S 的值是 （ ） ．（A ）8 （B ）11 （C ）12（D ）154．如果b a ,为实数，则“b a =”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切” 的（ ） ． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ） 充要条件（D ）既不充分又不必要条件5．已知AB 是圆O 的直径，弦AD 和BC 相交于点P , 那么ABCD等于（ ）． （A ）BPD ∠sin （B ）cos BPD ∠ （C ）tan BPD ∠ （D ）cot BPD ∠ 6．如图，三个天平的托盘中相同的物体质量相等．图⑴、⑵所示的两个天平处于平衡状态要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）．(3)(2)(1)（A ）3个球 （B ）4个球 （C ）5个球 （D ）6个球7．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面上都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式b ca-的值等于（ ）． （A ）43- （B ）6- （C ）43（D ）6 8．已知集合}3,2,0{=A ，},,|{A b a ab x x B ∈==且，则集合B 的子集的个数是（ ）．（A ）4 （B ）8 （C ）15 （D ）16 9．如图，ABC ∆的角,,A B C 所对边分别为,,a b c ， 点是O ABC ∆的外心，，于，于E AC OE D BC OD ⊥⊥，于F AB OF ⊥ 则OD OE OF =∶∶（ ） ．第5题图第7题图（A ）a b c ∶∶ （B ）cb a 1:1:1 （C ）C B A cos :cos :cos （D ）C B A sin :sin :sin10．设a b >，在同一平面直角坐标系内，一次函数a bx y +=与b ax y +=的图象最有可能的是（ ）．11．二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，)2,(n Q 是图象上的一点，且BQ AQ ⊥，则a 的值为（ ）． （A ）13-（B ）12- （C ）－1 （D ）－2 第II 卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在答题卷上．）12．随机掷一枚均匀的正方体骰子（正方体骰子的六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），每次实验掷两次，则每次实验中掷两次骰子的点数之和为6的概率是__________．13．如果关于x 的方程()012122=++++a x a x 有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围是 ．14．在矩形ABCD 中，已知两邻边AD =12，AB =5，P 是AD 边上异于D A 和的任意一点，且BD PE ⊥，F E AC PF 、,⊥分别是垂足，那么=+PF PE ___________．15．已知012=--x x ,那么代数式123+-x x 的值是 ．16．已知z y x ,,为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，则z 的取值范围为 ．17．已知正方形ABCD 的面积35平方厘米, E 、F 分别为边AB 、BC 上的点, AF 和CE 相交于点G ,并且ABF ∆的面积为5平方厘米,BCE ∆的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF 的面积是___________平方厘米．2007年广州市初中数学青年教师解题决赛答题卷2007-4-15一、选择题答案（每小题4分，共44分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 二、填空题答案（每小题5分，共30分）ABQ O xy第9题图第11题图第14题图第17题图考号12． 13． 14．15． 16． 17．三、解答题（共8小题，满分76分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）18．（本小题8分）已知01<<-a ，21a A +=，21a B -=，aC +=11，试比较A 、B 、C 的大小，并说明理由．19．（本小题8分）设)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，并且x x x g x f -=-2)()(，求)(x f 和)(x g ．20．（本小题10分）已知⊥PA 矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． （1）求证：CD MN ⊥；（2）若=∠PDA 45°，求证MN ⊥面PCD ．第20题图21．（本小题10分）在ABC ∆中，,60,40==AC AB 以A 为圆心，AB 的长为半径作圆交BC 边于D ，若DC BD 和的长均为正整数，求BC 的长．22．（本小题10分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，1=AB ，=∠A 900，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且BE FE ⊥，求CEF ∆的面积．第21题图第22题图23．（本小题10分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程k x x kx x +=-++3132的解，求实数k 的取值范围．24．（本小题10分）如图，在梯形PMNQ 中，MN PQ //，对角线MQ PN 和相交于点O ，并把梯形分成四部分，记这四部分的面积分别为4321S S S S 、、、．试判断21S S +和43S S +的大小关系，并证明你的结论．第24题图25．（本小题10分）已知42++=m m y ,若m 为整数，在使得y 为完全平方数的所有m 的值中，设m 的最大值为a ，最小值为b ，次小值为c ．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．） （1）求c b a 、、的值；（2）对c b a 、、，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2007？证明你的结论．密封线20.。
2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛
2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛参考答案2005-3-2012． 偶 ，),0(+∞ 13. 36π 14. 二、三15. 0100 16.313-≤≤-t 17． 4三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、解：（代数方法）由题意，⎩⎨⎧=+-=+0122a y x y x⇒012222=-++a ax x 直线与圆相交，∴0>∆即0)2(4)1(84222>--=--=∆a a a 则022<-a ，即22<<-a 时，有0>∆直线与圆相交（此题可有几何方法，相应评分）19、解： AO=OC=435BO AB 2222=-=-，易得 θ = ∠ ⊥ ⊥AOC , BD OC , BD AO 为二面角A-BD-C 的平面角。
.s i n 166sin 38BDS 31V ,sin 8sin 421AOC sin OC AO 21S AOC ABCD 2AOC θ=⋅θ=⋅=θ=θ⋅=∠⋅=∆∆依题意,8sin 16=θ得21sin =θ，又πθ<<0, 656ππθ或所以=, 故所求二面角的大小为656ππ或20、解：分析 已知式和要求值的式子都是分母比分子复杂，不妨考查它们的倒数。
因为,0,12≠=++a a x x x故 ,0,112≠=++a ax x x 即x+111-=a x ,又11122224++=++xx x x x 区 学 姓名 考号222211)11(1)1(a a ax x -=--=-+=所以 aa x x x 2112242-=++ 21、解：设实际销售运动衣x 套，每套运动衣实际利润为y 元.则 ⎩⎨⎧==+-16000xy 12000)10y )(400x ( 解得.20y ,800x 11⎩⎨⎧== 及⎩⎨⎧-=-=20y 800x 22 （舍去） 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣实际利润20元22、()也是等高三角形，故与又是等高的三角形，故与由于证明：ABE ADE 11ADABAD AD -AB AD BD S M BDE ADEADE ∆∆-===∆∆∆ ()()x ，设此比值为，故又同理，ACAEAB AD BC ||DE 3 ACAE S S 2 AB AD S S ABE ABE ADE ===∆∆∆ ()()()()SM x x x S M M Sx x x x 4141)21(41)1S41M 04SM S 0S,1S MAB ADAB AD -1AC AE AB AD 1-AD AB S M3,2,1 222≤⇒≤--=-=≤≥-=∆=+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=（法二：由解之得有实根，故法一：展开得即式相乘，得将23、解:(1)∵△ABC 是Rt △且BC=a ，AC=b ，AB=5 （a>b ）又a 、b 是方程的两根∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>+=⋅>-=+>+--=∆2504010)4(4)1(222b a m b a m b a m m ∴(a+b)2-2ab=25 (m-1)2-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0…………. 得m 1=8 m 2=-4 经检验m=-4不合舍去∴m=8 …………ABCMA'B'C'∴x 2-7x+12=0 x 1=3 x 2=4 ∴a=4，b=3(2) ∵△'''C B A 以1厘米/秒的速度沿BC 所在直线向左移动。
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A. a > 12.5 学 学5. 平面上动点 A( x, y) 满足 7. 设集合｛ +b ︱1≤a≤b≤2｝中的最大元素与最小元素分别为 M 、m,则 M-m0)1⨯ 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 ⨯ 4 3 ⨯ 4 ⨯ 5 n ⨯ (n + 1)(n + 2)2014 年安庆市初中数学青年教师解题大赛试题参考答案（2014 年 12 月 4 日下午 1:30—4:00）一、选择题（每题 6 分，共 36 分）1. 已知 a =- 6 + 6 - 4 22，则 a 3 + 6a 2 + 2a + 6 的值为（C ）名姓 姓A. - 2B. 2C. 6D. - 62. 已知 a, b , c 满足 2a - 4 + b + 2 + (a - 3)b 2 + a 2 + c 2 = 2 + 2ac ，则 a - b + c 的值为（ D ）A. 4B.6C.8D.4 或 83．小青步行从家出发，匀速向学校走去，同时她哥哥小强骑摩托车从学校出发， 匀速向家驶去，二人在途中相遇，小强立即把小青送到学校，再向家里驶去，这 样他在途中所用的时间是原来从学校直接驶回家所用时间的 倍，那么小强骑摩托 车的速度是小青步行速度的（ B ）.A. 2 倍B. 3 倍C.4 倍D. 5 倍4. 方程 2 x - 1 - 1 = a 的解的个数是 4，则 a 的取值范围为（ B ）1B. 0 < a < 1C. a > 1D. 0 < a <2 2校 x 5 + y3 = 1 ， B(-4,0) ， C (4,0) ,则一定有（ B ）A ． AB + AC < 10B ． AB + AC ≤ 10C ． AB + AC > 10D ． AB + AC ≥ 106. 函数 f(x)=ax 2+bx +c(a ≠ ，对任意的非 0 实数 a 、b 、c 、m 、n 、g 关于 x 的方程 m [f(x)]2+n f(x)+g =0 的解集不可能是( D ) A. {1,3} B . {2,4} C . {1,2,3,4} D . {1,2,4,8}二、填空题（每题 8 分，共 32 分）3a的值为 5-2√3 。
8. 化 简 ：1 1 11+ + ++=n 2+3n/4(n+1)(n+2)市县。
9. 在 ∆ABC 中， AB = 4 ,ACBC= 2 则 ∆ABC 的面积的最大值为 16/3 .10. 袋内有 8 个白球和 2 个红球，每次从中随机取出一个球，然后放进 1 个白球，则第 4（3）当 的值等于多少时， △PFD ∽△BFP ？并说明理由．(3) 当 的值等于 1/2 时， △PFD ∽△BFP当 的值等于 1/2 时，AP=PB次恰好取完所有红球的概率为434/10000 .三 、 解 答 题 （ 共 82 分 ）11.（ 本题 12 分）如图，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与点 A ，B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90°得到线段 PE ， PE 交边 BC 于点 F ，连接 BE ，DF ．（1）求证： ∠ADP = ∠EPB ； （2）求 ∠CBE 的度数；APAB证明: (1)在正方形 ABCD 中，∠A=90°， ∴∠ADP+∠APD=90°∵∠DPE=90° ∴∠EPB+∠APD=90° ∴ ∠ADP = ∠EPB ；(2)作 EG⊥AB 交 AB 的延长线于 G, ∴∠PGE=∠A=90°又∵ ∠ADP = ∠EPB ，DP=PE∴⊿ADP ≌⊿PGE∴AD=PG=AB,AP=GE ∴AB-PB=PG-PB 即 AP=BG ∴BG=GE∴∠EBG=∠BEG=45° ∴∠CBE=45°APAB证明 ：∵∠A=∠PBF=90°、 ∠ADP = ∠EPB∴⊿ADP ∽⊿BPF ∴ DP/PF=AP/BFAPAB∴DP/PF=PB/BF ∴DP/PB=PF/BF∵ ∠DPE=∠PBF=90° ∴ △PFD ∽△BFP12.（本题 15 分）请用一个长方形纸片折出一个 30°的角（不借助任何工具）写出你的作法，并说明理由.A G DA'E FB H C作法：如图，将长方形纸片ABCD沿着一组对边中点对折得折痕EF再将∠A沿着过点B的直线折叠使点A落在折痕EF上的点A’处得折痕BG,,则∠ABG=∠GBA’=∠A’BC=30°证明：延长GA’交BC于H,由作图知：AD∥EF∥BC AE=EB∠BA’G==90°=∠BA’H∴A’G=A’H又∵BA’=BA’∴⊿ADP≌⊿PGE∴∠GBA’=∠HBA’由折纸知∠ABG=∠GBA’，∠ABC=90°∴∠ABG=∠GBA’=∠A’BC=30°13..（本题共20分）凸四边形ABCD内接于⊙O，其中AC为⊙O直径，AB=BC，已知BD=10.求：四边形ABCD的面积.E解：方法1记AC和BD的交点为E,∵AC为⊙O直径∴∠ABC=∠ADC=90°∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB=∠DAC=∠BDC=45°又∵∠ABE=∠DBA∠CDB=∠CAD∴⊿BAE∽⊿BDA⊿ADE∽⊿BDC∴AB/BD=BE/AB AD/BD=DE/DC∴AB2=BD×BE AD×DC=BD×DE∴AB2+AD×DC=BD×BE+BD×DE=BD(BE+DE)=BD2=102=100∴S=S+S=1/2AB×BC+1/2AD×DC=1/2(AB2+AD×DC)=50四边形ABCD⊿ABC⊿ADC方法2：设圆的半径为R,则AC=2R,AB=BC=√2R运用托勒密定理可得AB×CD+BC×AD=AC×BD即√2R×CD+√2R×AD=2R×10从而得AD+CD=10√2S四边形ABCD =S⊿BAD+S⊿BCD=1/2BD×AD×Sin45°+1/2BD×CD×Sin45°=1/2BD×Sin45°(AD+CD)=1/2×10×√2/2×10√2=50方法3：可分别过点A、C作BD上的垂线段AE、CF 用⊿ABE≌⊿BCF可以得到AE+CF=BD=10方法4：过点A作BD的垂线垂足为E,交圆于F,连接CF,用圆周角，弧，弦得关系可证AF=BD=10S=1/2BD×AF=50四边形ABCD方法5：在4得到AD+CD=10√2后，将他平方得AD2+CD2+2AD×CD=200由勾股定理AD2+CD2=AC2=2AB22AB2+2AD×CD=200S四边形ABCD =S⊿ABC+S⊿ADC=1/2(AB2+AD×DC)=5014.（本题20分）如图，抛物线y=ax2+bx-1经过A（-1,0）、B（2,0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC 于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式.（2）如图1，当点P的横坐标为23时，求证：△OBD∽△ABC.（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积.（4）当以点Ｏ、Ｃ、Ｄ为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P 的坐标.y y yE EA O DB x A O D B x A O B xPC P C C图1图2备用图证明：（2）∵点 P 的横坐标为 ，即 x=2 时 y =-10/9 . 解：（1）由待定系数法得抛物线表达式为 y=1/2x 2-1/2x -1直线 BC 的表达式为 y=1/2x -12 Py D =-2/3 ∵ED= 3y D -y P =2/3=OE ∴∠EOD=∠EDO= 45°又∵OA=OC=1∴∠OAC=∠OCA= 45° ∴∠OAC=∠EOD 又∵∠OBD=∠ABC ∴ △O BD ∽△ABC.（3） OE =2PE OE=x PE=-y=-1/2x 2+1/2x +1)2(-1/2x 2+1/2x +1)= x解得 x 1=-√2(舍去) x 2=√2 即 OE= √2 PE=√2/2， DE=y D =√2/2-1 PD=PE-DE=1s △POD =1/2PD ×OE=√2/2(4) 点 P 的坐标为：（2√5/5， 3/5-√5/5）或（-2√5/5，-3/5+√5/5）或（4/5，-37/25） 或（1，-1）15.（本题 15 分）证明：不存在整数 x, y , 使得 x 2 + 3xy - 2 y 2 = 122 成立。
证明：假设存在整数 x, y , 使得 x 2 + 3xy - 2 y 2 = 122 成立，则关于 x 得一元二次方程 x 2+3xy-(2y 2+122)=0 在 y 是整数时有整数解，于是⊿=（3y ）2+4 (2y 2+122)=17y 2+488 是完全平方数，设 m 2=17y 2+488=17(y 2+28)+12m 2-12=17(y 2+28) 故 m 2-12 能被 17 整除，显然，整数 m 不能被 17 整除，再设整数 m=17n+p,其中 n 为任意整数，|P|=1、2、3、 (8)m 2-12=（17n+p ）2-12=17（17n 2+2nP ）+p 2-12 其中 17（17n 2+2nP ）能被 17 整除 而当|P|=1、2、3、…8 时，p 2-12=|p|2-12=-11、-8、-3、4、13、24、37、52 都不能被 17 整除，所以 m 2-12=（17n+p ）2-12=17（17n 2+2nP ）+p 2-12 一定不能被 17 整除， 这就与前面所说 m 2-12 能被 17 整除相矛盾，所以假设“存在整数 x, y , 使得 x 2 + 3xy - 2 y 2 = 122 成立”是错误的；所以不存在整数 x, y , 使得 x 2 + 3xy - 2 y 2 = 122 成立。
初中组 13 题和高中组的一题，有些解题方法很相似附：高中组中平面几何证明E方法1:用相似三角形记AB、PC得交点为E设正三角形边长为a，易证：⊿PAE∽⊿PCB⊿ACE∽⊿PCA∴PA×PB=PE×PC AC2=CE×PC∴PA×PB+AC2=PE×PC+CE×PC=PC(PE+CE)=PC2∴PC2-PA×PB=AC2=a2=3R2即PC2-PA×PB为定值3R2方法2:用特勒密定理证PC=PA+PB证明：设正三角形边长为a，由特勒密定理得：PC×AB=AP×BC+BP×AC即aPC=aAP+aBP所以PC=PA+PB所以PC2-PA×PB=(PA+PB)2-PA×PB=PA2+PB2+PA×PB=a2=3R2即PC2-PA×PB为定值3R2方法3：用余弦定理证PC=PA+PB证明：设正三角形边长为△a在APC、BPC、APB中，∠APC=∠BPC=60°∠BPA=120°根据余弦定理得：a2=PA2+PC2-2PA×PC×COS60°=PA2+PC2-PA×PC(1)a2=PB2+PC2-2PB×PC×COS60°=PB2+PC2-PB×PC(2)a2=PA2+PB2-2PA×PB×COS120°=PA2+PB2+PA×PB(3)由（1）-（2）得：（PA2+PC2-PA×PC）-（PB2+PC2-PB×PC）=0整理得：PA×PC-PB×PC=PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)所以PC=PA+PB所以PC2-PA×PB=(PA+PB)2-PA×PB=PA2+PB2+PA×PB=a2=3R2即PC2-PA×PB为定值3R2方法4:构造全等三角形（如图做辅助线可通过全等证明PC=PA+PB）A APPB C B C。