高三数学强化训练(3)
数学强化训练(2011。03.21。学生版)
2011届高三强化训练文科数学(问卷）时量：120分钟 总分：150分 （2011．03．26）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设映射x x x f 2:2+-→是实数集M 到实数集P 的映射，若对于实数t P t ,∈在M 中不存在原象，则t 的取值范围是（ ）A [)+∞,1B ()+∞,1C ()1,∞-D (]1,∞- 2．在区间()1,0上任取两个数，则两个数之和小于56的概率为( )A2512 B 2518 C 2516 D25173．以141222=-xy的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（ ）A1526422=+yxB1121622=+yxC141622=+yxD116422=+yx4．若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值是 ( )A 4B 2C 21 D415．曲线()12ln -=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离为（ ）A5 B 52 C 53D 0 6．等差数列{}{}n n b a , 的前n 项和分别是n n T S ,，若132+=n n T S nn ，则=nn b a （ ）A32 B1312--n n C1312++n n D4312+-n n7．在ABC ∆中,2,2,3π=∠==A BC AB ，如果不等式ACtBCBA →→→≥-恒成立，则实数t 的取值范围是( )A [)∞+，1 B⎥⎦⎤⎢⎣⎡121， C [)∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-，，121 D (][)∞+⋃∞-，，10 8．已知函数6(3)3(7)()(7)x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩ 数列{}n a 满足()(*)n a f n n N =∈ 且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围( ) A (1,3)B (2,3)C 9(,3)4 D 9[,3)4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上． 9．在9,7,5,3,1,0,2,4,6,8----这十个数中，任取两个作为虚数a b i +的实部和虚部（,,a b R ∈且a b ≠），则能组成模大于5的不同虚数的个数有 个； 10．函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上的最大值为 ；11．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字为a ，再由乙猜甲刚好想的数字， 把乙想的数字记为b ，且,{1,2,3,4,5,6}a b ∈，若||1a b -≤，则称“甲乙心有灵犀”，现任意找出两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为；12．已知直线2(0)y x a a =-+>与圆229x y +=交于A 、B 两点，且92O A O B ⋅= ，则实数a 的值等于；13．当实数x y 、满足约束条件0(20x y xk x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩为常数）时，3Z x y =+有最大值12，则实数k 的值为 ；14．一个总体中的80个个体编号为,79,,3,2,1,0 并依次将其分为8个组，组号为7,,2,1,0 ，要用（错位）系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本．即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i ，依次错位地得到后面各组的号码，即第k 组中抽取个位数为ki +（当10<+k i ）或10-+k i （当10≥+k i ）的号码．在6=i 时，所抽到的8个号码是 15．如图，有一圆柱形开口容器(底面密封)，其轴截面ACBD 是边长为2的正方形，P 是BC 的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一粒米粒，则这只蚂蚁取得米粒需要经过的最短路程为 ． 三、解答题：本大题共六小题，共计75分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()()()πϕωϕω≤≤>+=0,0cos x x f 为奇函数,且图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为24π+．⑴求()x f 的最小正周期T ； ⑵求()x f 的解析式；⑶若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<--=⎪⎭⎫⎝⎛+03323αππαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6sin πα．Ｐ Ａ ＢＣ Ｄ某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为()x G （万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()x R (万元)满足：⎩⎨⎧>≤≤-+-=)5(2.10)50(8.02.44.0)(2x x x x x R假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律. （Ⅰ）要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围？ （Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ （Ⅲ）求赢利最多时每台产品的售价.18．(本小题满分12分)如图，四棱锥G —ABCD 中，ABCD 是正方形，且边长为2a ，面ABCD ⊥面ABG ，AG=BG ． （1）画出四棱锥G —ABCD 的三视图； （2）在四棱锥G —ABCD 中，过点B 作平面AGC 的垂线，若垂足H 在CG 上， 求证：面AGD ⊥面BGC（3）在（2）的条件下，求三棱锥D —ACG 的体积及其外接球的表面积．已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）． （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？20．（本小题满分13分）已知曲线C 上任一点P 到直线1x =与点(1,0)F -的距离相等．（1）求曲线C 的方程；（2）设直线y x b =+与曲线C 交于点,A B ，问在直线:2l y =上是否存在与b 无关的定点M ，使得A M B ∠被直线l 平分，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．21．(本小题满分13分） 设函数ax x x x f +-=2331)(，b x x g +=2)(，当21+=x 时，)(x f 取得极值。
高三数学强化训练
高三数学强化训练（理尖3）命题人：邓新如 刘文平 审题人：付兴文 做题人:刘文平 命题时间：2010.3.18 班级 姓名 得分 一选择题1.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）A ．95 B ．94 C ．2111 D ．2110 2.从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 3.设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子，每盒放一球，并且恰好有两个球的编号数与盒子的编号数相同，则这样的投放方法总数为（ ）A. 20B. 30C. 60D. 1204、（2009江西师大附中等五所重点名校4月联考）将1、2、3、…、9这九个数字填在图中的9个空格中，要求每一 行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置 时，填写空格的办法有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．18种 D ．24种A5.若与的展开式中含的系数相等，则实数m 的取值范围是（ ）A.B.C.D.6.若，且，则，等于 （ ） A. 81 B. 27 C. 243D. 729 二 填空题7、n n n 2n 1n C 1n 1)1(C 31C 211+-+-+-=__________。
8、如果一个三位正整数形如“321a a a ”满足2321a a a a <<且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为___ 596 。
9. 20、若23456161520156(21)x x x x x x x N x -+-+-+∈≤且的值能被5整除，则x 的可取值的个数有__ 5 _个。
三 解答题10 1、（2009黄冈中学2月月考）一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈. (1)当12p q ==时，求S 6≠2的概率； (2)当p =31，q =32时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.解：(1)∵先求6S =2的概率，则在6次变化中，出现“○”有4次，出现“ ×”有2次.故6S =2的概率为.6415)21(·)21(2446=C ∴6S ≠2的概率为P 1=1-64496415=. (2)当82S =时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S i ≥0(i =1,2,3,4), 若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次.故此时的概率为P=()7835353638038303131=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+C C (或218780)。
名校高三数学理科不等式填空题强化提高训练(含答案)
高三数学理科不等式填空题强化提高训练1，则关于a 的不等式()()0422<-+-a f a f 的解集是_______. 2．已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是3．已知实数,x y 满足143x y+≤，则z x y =-的最大值是 . 4．已知在平面直角坐标系中，(0,0)O ，1(1,)2M ，(0,1)N ，(2,3)Q ，动点(,)P x y 满足不等式0OP OM ≤⋅1≤，01OP ON ≤⋅≤，则w OQ OP =⋅的最大值为________5．若不等式组50,5,02x y y kx x -+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k 的取值范是6．设变量,x y 满足5218020 30 x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为7．已知()1f x x x =-||+||，若()()g x f x a =-的零点个数不为0，则a 的最小值为 ．8．若2x >，则12x x +-的最小值为9．过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为10．已知x ，y 都在区间(0，1]内，且xy ＝13，若关于x ，y 的方程44－x ＋33－y －t ＝0有两组不同的解(x ，y )，则实数t 的取值范围是_ __ .11．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最小值时，2x y z +-的最大值为12．设实数,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数)0,0(>>+=b a b y a x z 的最大值为9，则d =ba +4的最小值为__ ___13．设实数y x ,满足(22)(42)0020x y x y x y -+--≤⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩,若目标函数,(0,0)m z x y m n n =+>>的最大值为10，则12m n+的最小值为14．已知函数x x x f 2)(2-=,点集}2)()(|),{(≤+=y f x f y x M ，}0)()(|),{(≥-=y f x f y x N ，则N M 所构成平面区域的面积为____ ．15．定义在R 上的函数)(x f y =是增函数，且函数)3(-=x f y 的图象关于（3，0）成中心对称，若t s ,满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≥--，当41≤≤s 时，则s s t 222-+的取值范围为___ _.16．若关于x 的不等式()2121x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是17．设向量()b a ,=α，()n m ,=β，其中R n m b a ∈,,,≤ 恒成立，可以证明（柯西）不等式()()()22222n m b a bn am ++≤+（当且仅当α∥β，即bm an =时等号成立），己知+∈R y x ,，若k x y <+恒成立，利用可西不等式可求得实数k 的取值范围是18．函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是 19．定义：{}123min ,,,,n a a a a 表示123,,,,n a a a a 中的最小值．若定义()f x ={}2min ,5,21x x x x ---，对于任意的n *∈N ，均有(1)(2)(21)(2)()f f f n f n kf n +++-+≤成立，则常数k 的取值范围是20．在A B C ∆中，已知9=⋅AC AB ，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且y x +=xy 的最大值为 ．21．已知不等式222xy ax y ≤+对于[]1,2x ∈，[]2,3y ∈恒成立，则实数a 的取值范围是___________22．已知函数f (x )＝271x ax ax ++++，a ∈R ．若对于任意的x ∈N *，f (x )≥4恒成立，则a 的取值范围是23．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧≤-≤x y a x 2,表示的平面区域的面积为4，则实数a 的值是24．函数()0ay x x x=+>有如下性质：若常数0a >，则函数在(上是减函数，在)+∞ 上是增函数.已知函数()mf x x x=+（m R ∈为常数），当()0,x ∈+∞时，若对任意x N ∈，都有()()4f x f ≥，则实数m 的取值范围是25．给定区域D ：44420x y x y x y x +≥⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定_____个不同的三角形.26．命题：“存在实数x ,满足不等式2(1)10m x mx m +-+-≤”是假命题,则实数m 的取值范围是_________ 27．已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______．28．已知a b >，且1ab =，则221a b a b++-的最小值是 .29．已知集合A ＝{(x ，y )| ⎩⎨⎧x ≥12x －y ≤1}，集合B ＝{(x ，y )|3x ＋2y －m ＝0}，若A ∩B φ≠，则实数m 的最小值等于_____参考答案12．)2,1(- 3．4 4．4 5. )0,1(- 6 ．1 7．1 8．4 9．32 10．2459512≤<t 11．2 12．34 13．4 14．π2 15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-24,21 16．1-<a 或0>a 17．10 18．41<<a 19． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21 20．3 21．1-≥a 22．31≥a 23．224．[]20,12 25．25 26．332>m 27 ．⎥⎦⎤⎝⎛34,1 28．32 29．5 （填空）24．（填）27.。
高三数学： 应用题
高三数学强化训练应用题（一）函数模型【例1】甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【例2】在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD 的三边AB ，BC ，CD 由长为8厘米的材料弯折而成，BC 边的长为2t 厘米(04t <<)；曲线AOD 是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为23x y =-，记窗户的高(点O 到BC 边的距离)为()f t .（1）求函数()f t 的解析式，并求要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米？（2）要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米？【例3】为减少人员聚集，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示，当S 中有()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为：()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，(单位：分钟)而公交群体中的人均上班路上时间不受x 的影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：（1）当x 取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？（2）已知上班族S 的人均上班时间计算公式为：()()()%50100%g x f x x x =⋅+-，讨论()g x 的单调性，并说明实际意义.(注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.)1、为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等），对国家级湿地公园—东昌湖进行进一步净化和绿化．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为245m ，四月底浮萍覆盖面积为280m ，八月底浮萍覆盖面积为2115m ．若浮萍覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （2020年1月底记1x =，2021年1月底记13x =）的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与2log (0)y m x n m =+>可供选择．（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到2148m ？（可能用到的数据：2log 15 3.9≈1.37≈66.72≈）2、2011年六月康菲公司由于机器故障，引起严重的石油泄漏，造成了海洋的巨大污染，某沿海渔场也受到污染.为降低污染，渔场迅速切断与海水联系，并决定在渔场中投放一种可与石油发生化学反应的药剂.已知每投放a (14a ≤≤，且a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (毫克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中()()()161,04815,4102x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据实验，当水中药剂的浓度不低于4(毫克/升)时，它才能起到有效治污的作用.称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化.（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试问a 的最小值(精确到0.1取近似值1.4).3、在研究某市交通情况时发现，道路密度是指该路段上一定时间内用过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量xq v =，x 为道路密度，q 车辆密度，(0,80]x ∈，且801100135(040,3(040)854080x x v k x x k ⎧-<<⎪=⎨⎪--+≤≤>⎩.（1）当交通流量95v>时，求道路密度x 的取值范围；（2）若道路密度80x =时，测得交通流量50v =，求出车辆密度q 的最大值.（二）三角模型【例4】某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长；（2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．r r rr l 【例5】如图，已知某市穿城公路MON 自西向东到达市中心O 后转向东北方向，34MON π∠=，现准备修建一条直线型高架公路AB ，在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ，且要求市中心O 到AB 所在的直线距离为10km.（1）求A ，B 两出入口间距离的最小值；（2）在公路MO 段上距离市中心O 点30km 处有一古建筑C （视为一点），现设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区，问如何在古建筑C 和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？【例6】某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位：米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，32-=r l （l 为圆柱的高，r 为球的半径，2l ≥）.假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为c 千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为y 千元.（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该储油罐的建造费用最小时的r 的值.1、重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O （如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为6π（即AOB ∠）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长3AB =且点A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M ，且6MAB MBA π∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即OA ，OB 长度），才使得喷泉M 与山庄O 距离即值OM 最大？2、某城市为发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线1l 与2l 修建景观路（桥），如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通，已知60m AB =，80m BC =，河道两侧的景观道路修建费用为每米1万元，架设在河道上方的景观桥EF 部分的修建费用为每米2万元.（1）若景观桥长90m 时，求桥与河道所成角的大小；（2）如何设计景观桥EF 的位置，使矩形区域ABCD 内的总修建费用最低？最低总造价是多少？3、如图是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面是所示的半圆弧ACB ，其中C 为半圆弧中点，渠宽AB 为2米.（1）当渠中水深CD 为0.4米时（D 为水面中点），求水面的宽;（2）若把这条水渠改挖（不准填上）成横断面为等腰梯形的水渠，使渠的底面与水平地面平行，则改挖后的水渠底宽为多少米时（精确到0.01米），所挖的土最少?（三）数列模型【例7】某公司自2020年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2020年起(2020年为第1年)，因为设备升级，第n年可新增的盈利()()5801,5100010.6,6n nn nan-⎧-≤⎪=⎨-≥⎪⎩(单位：万元)，求：（1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；（2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.【例8】某卫材公司年初投资300万元，购置口罩生产设备，立即投入生产，预计第一年该生产设备的使用费用为36万元，以后每年增加6万元，该生产设备每年可给公司带来121万元的收入.假设第n年该设备产生的利润（利润=该年该设备给公司带来的收入-该年的使用费用）为n a.（1）写出n a的表达式；（2）在该设备运行若干整年后，该卫材公司需要升级产品生产线，决定处置该生产设备，现有以下两种处置方案：①当总利润（总利润=各年的收入之和-各年的使用费用-购置口罩生产设备的成本）最大时，以7万元变卖该生产设备；②当年平均总利润最大时，以72万元变卖该生产设备.请你为该公司选择一个合理的处置方案，并说明理由.1、诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为 6.24%r =．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设n a 表示()1998n +年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．2、2019年9月1日，小刘从各个渠道融资30万元，在某大学投资一个咖啡店，2020年1月1日正式开业，已知开业第一年运营成本为6万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加2万元，若每年的销售额为30万元，用数列{}n a 表示前n 年的纯收入．（注：纯收入=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额）（1）试求年平均利润最大时的年份（年份取正整数）并求出最大值．（2）若前n 年的收入达到最大值时，小刘计划用前n 年总收入的13对咖啡店进行重新装修，请问：小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修（年份取整数）？并求小刘计划装修的费用．。
高三数学专项03-代数推理题怎么解
高三数学专项03-代数推理题怎么解陕西永寿县中学特级教师安振平数学是“教会年轻人思考”的科学,针对代数推理型问题,我们不但要寻求它的解法是什么,还要思考有没有其它的解法,更要反思什么原因要如此解,不如此解行吗?我们通过典型的问题,解析代数推理题的解题思路,方法和技巧.在解题思维的过程中,既重视通性通法的演练,又注意特别技巧的作用,同时将函数与方程,数形结合,分类与讨论,等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.例1设函数134)(,4)(2+=--+=x x g x x a x f ，]0,4[-∈x ，时恒有)()(x g x f ≤，求a 的取值范围.讲解:由得实施移项技巧,)()(x g x f ≤,134:,4:,134422a x y L x x y C a x x x -+=--=-+≤--令, 从而只要求直线L 不在半圆C 下方时,直线L 的y 截距的最小值. 当直线与半圆相切时，易求得35(5=-=a a 舍去〕. 故)()(,5x g x f a ≤-≤时.本例的求解在于,实施移项技巧关键在于构造新的函数,进而通过解几模型进行推理解题,当中,渗透着数形结合的数学思想方法,显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.还须指出的是:数形结合未必一定要画出图形,但图形早已在你的心中了,这也许是解题能力的提升,还请三思而后行.例2不等式32)1(log 121212111+-≥+++++a n n n a 关于大于1的正整数n 恒成立，试确定a 的取值范围. 讲解:构造函数n n n n f 212111)(+++++=，易证(请思考:用什么方法证明呢?))(n f 为增函数.∵n 是大于1的正整数，.127)2()(=≥∴f n f 32)1(log 121212111+-≥+++++a n n n a 要使对一切大于1的正整数恒成立，必须12732)1(log 121≤+-a a , 即.2511,1)1(log +≤<-≤-a a a 解得那个地方的构造函数和例1属于同类型,学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通,举一反三,总结一些解题的小结论.针对恒成立的问题,函数最值解法大概是一种特别有效的同法,请提炼你的小结论.例3函数)0(49433)(22>++--=b b x x x f 在区间[－b ，1－b]上的最大值为25，求b 的值.讲解:由二次函数配方,得.34)21(3)(22+++-=b x x f 2321,121)1(≤≤-≤-≤-b b b 即当时，)(x f 的最大值为4b 2+3=25. ;23214252矛盾与≤≤=∴b b ]1,[)(,210,21)2(b b x f b b --<<-<-在时即当上递增， ;25)23()(2<+=-∴b b f ]1,[)(23,121)3(b b x f b b -->->-在时，即当上递增， ∴25,2541596)1(2==-+=-b b b f 解得. 关于二次函数问题是历年高考的热门话题,值得读者在复课时重点强化训练.针对抛物线顶点横坐标21在不在区间[－b ，1－b],自然引出解题形态的三种情况,这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用.该分就分,该合就合,这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定,需要在解题时灵活把握.例4).1(1)(-≠+=x x x x f )()1(x f 求的单调区间；〔2〕假设.43)()(:,)(1,0>+-=>>c f a f b b a c b a 求证 讲解:〔1〕对已知函数进行降次分项变形,得111)(+-=x x f , .),1()1,()(上分别单调递增和在区间+∞---∞∴x f〔2〕首先证明任意).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有事实上,)(1111)()(y x xy f y x xy y x xy y x xy y x xy xy y y x x y f x f ++=+++++>++++++=+++=+ 而()),()1(,y x f y x xy f y x y x xy +>+++>++知由)()()(y x f y f x f +>+∴,04)2(1)(122>=+-≥-=a b b a b b a c .34222≥++≥+∴aa a c a 43)3()()()(=≥+>+∴f c a f c f a f . 函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值..针对本例的求解,你能够想到证明任意).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有采纳逆向分析法,给出你的想法!例5函数f (x )=a a a x x+〔ａ＞０，ａ≠１〕、(1)证明函数f (x )的图象关于点P (21,21)对称、 (2)令a n ＝)1()(n f n f a -，对一切自然数n ，先猜想使a n ＞ｎ２成立的最小自然数a ,并证明之、(3)求证：n n n n )(!(lg 3lg )1(41>+∈Ｎ). 讲解:(1)关于函数的图象关于定点P 对称,可采纳解几中的坐标证法. 设M (x ,y )是f (x )图象上任一点，那么M 关于P (21,21)的对称点为M ’〔１－ｘ，１－ｙ〕，y x f aa a aa a y a a a a a a aa a a x x x x xx x-=-∴+=+-=-+=⋅+=+--1)1(1111 ∴Ｍ′(1-x ,1-y )亦在f (x )的图象上，故函数f (x )的图象关于点P (21,21)对称. (2)将f (n )、f (1-n )的表达式代入a n 的表达式，化简可得a n ＝ａｎ猜a =3,即3ｎ＞ｎ２、 下面用数学归纳法证明、设n =k (k ≥２)时，3ｋ＞ｋ２、那么n =k +1，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２又3k ２－〔ｋ＋１〕２＝２〔ｋ－21〕２－23≥０〔ｋ≥２，ｋ∈Ｎ〕 ∴３ｎ＞ｎ２.(3)∵３ｋ＞ｋ２∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ令k =1,2,…，n ，得n 个同向不等式，并相加得：).!lg(3lg )1(4),21lg(23lg 2)1(n n n n n n >-⨯>+故 函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗?试试你的数学猜想能力.例6二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实根为x 1和x 2.〔1〕假如4221<<<x x ，假设函数)(x f 的对称轴为x =x 0，求证：x 0＞－1； 〔2〕假如2||,2||121=-<x x x ，求b 的取值范围.讲解:〔1〕设01)1()()(2>+-+=-=a x b ax x x f x g 且，由4221<<<x x 得0)4(,0)2(><g g 且,即,81,221443.221443034160124>-<--<<-∴⎩⎨⎧>-+<-+a a a a b a b a b a 得由a a b a 4112832->->-∴， 故18141120-=⋅->-=a b x ； 〔2〕由,01,01)1()(212>==+-+=ax x x b ax x g 可知21,x x ∴同号. ①假设0124)2(,22,2,2012121<-+=∴>+=∴=-<<b a g x x x x x 则. 又0(1)1(1244)1(||222212>+-=+=--=-a b a a a b x x 得，负根舍去〕代入上式得 b b 231)1(22-<+-，解得41<b ；②假设,0)2(,22,02121<-∴-<+-=<<-g x x x 则即4a －2b+3＜0. 同理可求得47>b . 故当.47,02,41,2011><<-<<<b x b x 时当时 对你而言,本例解题思维的障碍点在哪里,找找看,如何排除?下一次遇到同类问题,你会特别顺利的克服吗?我们力求做到学一题会一类,不断提高逻辑推理能力. 例7关于函数)(x f ，假设存在000)(,x x f R x =∈使成立，那么称)(0x f x 为的不动点。
高三数学高考第一轮复习向量复习教案空间向量及其运算强化训练
芯衣州星海市涌泉学校第三课时空间向量及其运算强化训练一、复习目的：1、理解空间向量的概念，理解空间向量的根本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的一一共线与垂直；4、通过本课强化训练，使学生进一步纯熟理解和掌握上述概念和运算方法，进步学生的灵敏和综合运用才能。
二、重难点：空间向量及其运算的综合运用。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳。
四、教学过程〔一〕、根底自测〔分组训练、一一共同交流〕 1.有4个命题：①假设p=xa+yb ，那么p 与a 、b 一一共面；②假设p 与a 、b 一一共面，那么p=xa+yb ；③假设MP =x MA +y MB ，那么P 、M 、A 、B 一一共面；④假设P 、M 、A 、B 一一共面，那么MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是〔B 〕。
A.1 B.2C.3D.42.以下命题中是真命题的是(D)。
A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，那么这两个向量不是一一共面向量B.假设|a|=|b|，那么a ，b 的长度相等而方向一样或者者相反C.假设向量AB ，CD 满足|AB |＞|CD |，且AB 与CD 同向，那么AB ＞CDD.假设两个非零向量与满足+=0，那么∥ 3.假设a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，那么 〔C 〕。
A.x=1,y=1B.x=21，y=-21C.x=61，y=-23D.x=-61，y=234.A 〔1，2，3〕，B 〔2，1，2〕，P 〔1，1，2〕，点Q 在直线OP 上运动，当QA ·QB 取最小值时，点Q 的坐标是.答案⎪⎭⎫ ⎝⎛38,34,345.在四面体O-ABC 中，OA =a,OB =b,OC =c,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点，那么OE =(用a,b,c 表示).答案21a+41b+41c 〔二〕、典例探析例1、如下列图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设1AA =a ，AB =b ，AD =c ，M ，N ，P 分别是AA1，BC ，C1D1的中点， 试用a ，b ，c 表示以下各向量：〔1〕AP ；〔2〕N A 1；〔3〕MP +1NC .解〔1〕∵P 是C1D1的中点，∴AP =1AA +11D A +P D 1=a+AD +2111C D =a+c+21AB =a+c+21b. 〔2〕∵N 是BC 的中点，∴N A 1=A A 1+AB +BN =-a+b+21BC =-a+b+21AD =-a+b+21c. 〔3〕∵M 是AA1的中点，∴MP =MA +AP =21A A 1+AP =-21a+(a+c+21b)=21a+21b+c ， 又1NC =NC +1CC =21BC +1AA =21AD +1AA =21c+a ，∴MP +1NC =(21a+21b+c)+(a+21c)=23a+21b+23c. 例2、如下列图，空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点.〔1〕求证：MN⊥AB，MN⊥CD；〔2〕求MN 的长； 〔3〕求异面直线AN 与CM 夹角的余弦值. 〔1〕证明设AB =p,AC =q ，AD =r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN =AN -AM =21〔AC +AD 〕-21AB =21〔q+r-p 〕，∴MN ·AB =21〔q+r-p 〕·p =21〔q·p+r·p -p2〕=21〔a2·cos60°+a2·cos60°-a2〕=0.∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD. 〔2〕解由〔1〕可知=21〔q+r-p 〕∴||2=2=41〔q+r-p 〕2=41［q2+r2+p2+2〔q·r -p·q -r·p〕］=41[a2+a2+a2+2〔22a -22a -22a 〕] =41×2a2=22a .∴||=22a,∴MN 的长为22a. (3)解设向量与的夹角为θ. ∵=21(+)=21(q+r),=-=q-21p, ∴·=21〔q+r 〕·〔q-21p 〕=21〔q2-21q·p+r·q -21r·p〕 =21(a2-21a2·cos60°+a2·cos60°-21a2·cos60°)=21〔a2-42a +22a -42a 〕=22a .又∵||=||=a 23， ∴·=||·||·cos θ=a 23·a 23·cos θ=22a .∴cos θ=32， ∴向量与的夹角的余弦值为32，从而异面直线AN 与CM 夹角的余弦值为32.例3、〔1〕求与向量a=(2,-1,2)一一共线且满足方程a·x=-18的向量x 的坐标；〔2〕A 、B 、C 三点坐标分别为〔2，-1，2〕，〔4，5，-1〕，〔-2，2，3〕，求点P 的坐标使得=21〔-〕；〔3〕a=〔3，5，-4〕，b=〔2，1，8〕，求：①a·b；②a 与b 夹角的余弦值； ③确定λ，μ的值使得λa+μb 与z 轴垂直，且〔λa+μb 〕·〔a+b 〕=53. 解〔1〕∵x 与a 一一共线，故可设x=ka ，由a·x=-18得a·ka=k|a|2=k〔414++〕2=9k ，∴9k=-18，故k=-2. ∴x=-2a=〔-4，2，-4〕.〔2〕设P 〔x ，y ，z 〕，那么=〔x-2，y+1，z-2〕， AB =〔2，6，-3〕，=〔-4，3，1〕，∵AP =21〔AB -〕. ∴〔x-2，y+1，z-2〕=21［〔2，6，-3〕-〔-4，3，1〕］=21〔6，3，-4〕=(3，23，-2)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+=-2223132z y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0215z y x ∴P 点坐标为(5，21，0).〔3〕①a·b=〔3，5，-4〕·〔2，1，8〕=3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a|=222)4(53-++=52,|b|=222812++=69,∴cos〈a,b 〉=b b a a ⋅=692521⋅-=-2301387.∴a 与b 夹角的余弦值为-2301387.③取z 轴上的单位向量n=〔0，0，1〕，a+b=〔5，6，4〕.依题意()()()⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+530b b b a a a a μλμλ即()()()()⎩⎨⎧=⋅+-++=⋅+-++534,6,584,5,2301,0,084,5,23μλμλμλμλμλμλ 故⎩⎨⎧=+=+-531829084μλμλ解得⎪⎩⎪⎨⎧==211μλ. 〔三〕、强化训练：如下列图，正四面体V —ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M. 〔1〕求证：AO 、BO 、CO 两两垂直； 〔2〕求〈DM ,AO 〉.(1)证明设VA =a,VB =b,VC =c,正四面体的棱长为1, 那么VD =31(a+b+c),AO =61(b+c-5a), BO =61(a+c-5b),CO =61(a+b-5c) ∴AO ·BO =361〔b+c-5a 〕·〔a+c-5b 〕=361〔18a·b -9|a|2〕 =361〔18×1×1·cos60°-9〕=0.∴AO ⊥BO ，∴AO⊥BO，同理AO⊥CO，BO⊥CO， ∴AO、BO 、CO 两两垂直.〔2〕解DM =DV +VM =-31〔a+b+c 〕+21c=61(-2a-2b+c).∴|DM |=()22261⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--c b a =21，|AO |=()2561⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+a c b =22，DM ·AO =61〔-2a-2b+c 〕·61〔b+c-5a 〕=41，∴cos〈DM ,AO 〉=222141⋅=22，∵〈DM ,AO 〉∈(0,π),∴〈DM ,AO 〉=45°. 〔四〕、小结：本节主要有空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法那么.一个向量在不同空间的表达方式不一样，本质没有改变.因此运算的方法和运算规律结论没变。
高中数学-概率专题强化训练(解析版)
高中数学-概率专题强化训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.5D ．0.82．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数是1或2”，事件B =“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（ ） A ．A BB ．A BC ．A B ⊆D ．A B =3．2020年起，山东省高考实行新方案.新高考规定：语文、数学、英语是必考科日，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目.某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为（ ） A ．相互独立事件 B ．对立事件C ．不是互斥事件D ．互斥事件但不是对立事件4．同时投掷两颗质地均匀且大小相同的骰子，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，记A 为“所得点数之和小于5”，则事件A 包含的样本点个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5D ．65．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.2，不用现金支付的概率为0.45，则既用现金支付也用非现金支付的概率为（ ） A ．0.35B ．0.65C ．0.25D ．06．下列说法正确的是（ ）A ．投掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B ．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定C ．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式D ．一组数据1､2､5､5､5､3､3的中位数和众数都是57．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(素数即质数)猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数p ，使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.则从不超过15的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（ ） A ．115B ．215 C ．15D ．4158．一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为310，则概率为710的事件是（ ） A ．恰有一个红球 B ．两个小球都是白球 C ．至多有一个红球D ．至少有一个红球9．已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．0.25B ．0.2C ．0.35D ．0.410．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F =“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，①F AB =，①F A B =+，①G A B =+，①G AB AB =+，①()()1P F P E =-，①()()()P F P A P B =+．其中正确的关系式的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题11．某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”他决定按如下两种方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为1p ，2p ，则下列判断不正确的是（ ） A ．1212p p == B ．1213p p ==C ．112p =，213p =D ．113p =，212p =12．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为p 和q ，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ） A ．目标未被命中的概率为1pq -B ．目标恰好被命中一次的概率为p q +C ．目标恰好被命中两次的概率为pqD ．目标被命中的概率为1(1)(1)p q ---13．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（ ） A ．3件都是正品 B ．至少有1件次品 C ．3件都是次品D ．至少有1件正品14．下列说法错误的有（ ）A ．随机事件A 发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值B ．在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生C ．任意事件A 发生的概率()P A 满足()01P A <<D ．若事件A 发生的概率趋近于0，则事件A 是不可能事件15．（多选）某工厂制造一种零件，甲机床的正品率是0.9，乙机床的正品率为0.8，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（ ） A ．两件都是次品的概率为0.28 B ．至多有一件正品的概率为0.72 C ．恰有一件正品的概率为0.26 D ．至少有一件正品的概率为0.98 三、填空题16．2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.17．若分别以连续掷两枚骰子得到的点数m ，n 作为点M 的横坐标、纵坐标，则点M 落在圆229x y +=内的概率为______________.18．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为____.19．在一个不透明的袋中，装有6个红球和若干个绿球，若再往此袋中放入5个白球（袋中所有球除颜色外完全相同）摇匀后摸出一球，摸到红球的概率恰好为25，那么此袋中原有绿球________个.20．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____．21．从3名男生和2名女生中随机选出2名志愿者，其中至少有1名男生的概率为______.22．甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A，B两个不同的岗位，且每个岗位至少1人，则甲、乙两人被分到同一岗位的概率为________.23．某班学生考试成绩统计如下：数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是_______．24．2021年7月9日，第18届中国（长春）国际汽车博览会正式启幕，某汽车企业以“与进取者同享”为主题，携旗下21款重磅车型震撼亮相，展示出该汽车企业的实力和对未来移动出行时代的前瞻性思考.某模特公司从甲､乙､丙､丁､戊5人中随机抽取3人作为该汽车企业A型车的车模，则甲､乙同时被抽到的概率为___________.25．下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；①基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，A，B为互斥事件，但不是对立事件；①某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，若一模考试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为na mbm n；①如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交．其中真命题的序号是__________．四、解答题26．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：（1）A=“第一次摸到红球”；（2）B=“第二次摸到红球”；（3）AB=“两次都摸到红球”.27．下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天.（1）求此人到达当日空气重度污染的概率； （2）求此人停留期间空气重度污染恰有1天的概率.28．为缓解城市垃圾带来的问题，许多城市实行了生活垃圾强制分类.为了加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，某学校团委组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别标有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有写有垃圾名称的卡片若干张.每位参赛选手从所有写有垃圾名称的卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.规定每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子得5分，放入其他箱子得0分.从所有参赛选手中随机抽取40人，将他们的得分分成以下5组：[]0,20，(]20,40，(]40,60，(]60,80，(]80,100，绘成如下频率分布直方图：(1)求得分的平均数（每组数据以中点值代表）；(2)学校规定得分在80分以上的为“垃圾分类知识达人”.为促进社区的垃圾分类，学校决定从抽取的40人中的“知识达人”（其中含A ，B 两位同学）中选出两人利用节假日到社区进行垃圾分类知识宣讲，求A ，B 两人至少1人被选中的概率.29．某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和D ，E 两种型号的乙品牌电脑.希望中学要从甲､乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑，有关报价信息如图.（1）写出所有选购方案；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？(直接写出结果即可)30．某数学兴趣小组有男生3名，记为1a ，2a ，3a ；有女生2名，记为1b ，2b ．现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛． (1)写出样本空间 所包含的样本点； (2)求参赛学生中恰好有1名男生的概率； (3)求参赛学生中至少有1名男生的概率．31．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件A 为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B 为“任选一灯谜，乙猜对”．（1）任选一道灯谜，记事件C 为“恰有一个人猜对”，求事件C 发生的概率；（2）任选一道灯谜，记事件D 为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件D 发生的概率． 32．抛掷两颗骰子，求：（1）向上点数之和是4的倍数的概率； （2）向上点数之和大于5小于10的概率.33．为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表(1)求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级．(2)用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．34．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率.35．某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.参考答案：1．B 【解析】 【分析】甲不输分为甲胜乙和甲乙下成平局两种情况，其中甲胜乙和甲乙下成平局是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式进行求解即可. 【详解】甲不输棋的设为事件A ，甲胜乙设为事件B ，甲乙下成平局设为事件C ，则事件A 是事件B 与事件C 的和，显然B 、C 互斥，所以()()()P A P B P C =+，而()0.8P A =，()0.5P C =，所以()()()0.3P B P A P C =-=，所以甲胜的概率是0.3故选:B 2．B 【解析】根据事件A 和事件B ，计算A B ，A B ，根据结果即可得到符合要求的答案. 【详解】由题意可得：{}1,2A =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B ∴=，{}2A B ⋂=.故选B. 【点睛】本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题. 3．D 【解析】 【分析】本题首先可以根据题意得出考生选择的两个考试科目的所有可能情况，然后令这些选择构成的集合为Q ，A =“思想政治、化学”，B =“地理、生物”，最后根据A B Q 且A 和B不能同时发生即可得出结果. 【详解】由题意得，考生选择的两个考试科目可能为“思想政治、化学”、“思想政治、历史”、“思想政治、地理”、“思想政治、生物”、“历史、地理”、“历史、化学”、“历史、生物”、“地理、化学”、“地理、生物”、“化学、生物”，设这些选择构成的集合为Q，令A=“思想政治、化学”，B=“地理、生物”，则A B Q，且A和B不能同时发生，故该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”是互斥事件但不是对立事件，故选：D.【点睛】本题考查互斥事件以及对立事件的相关性质，主要考查互斥事件以及对立事件的判定，考查推理能力，体现了基础性，是简单题.4．D【解析】【分析】根据题意列出所有情况即可得出.【详解】解析：由题可得“所得点数之和小于5”包含{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)}共6个样本点．故选：D.5．A【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式，计算结果.【详解】支付方式中包含3种方法：只用现金支付，不用现金支付，既用现金，也用非现金支付，这三种支付方法，并且是互斥事件，p=--=.所以既用现金，也用非现金支付的概率10.20.450.35故选：A6．B【解析】【分析】根据统计量，对各项分析判断即可得解.【详解】对于A ，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A 错误； 对于B ，因为方差越小越稳定，故B 正确；对于C ，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C 错误； 对于D ，数据1､2､5､5､5､3､3按从小到大排列后为1､2､3､3､5､5､5， 则其中位数为3，故D 错误， 故选：B. 7．C 【解析】 【分析】由题意得不超过15的素数有6个，满足题意的孪生素数对有3对，利用古典概型公式可得结果. 【详解】不超过15的素数有2,3,5,7,11,13，共6个，则从不超过15的素数中任取两个素数共有2615C =种根据素数对(),2p p +称为孪生素数，则由不超过15的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13), 共有3组， 能够组成孪生素数的概率为31155P == 故选：C 【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题. 8．C 【解析】根据题意可得概率为710的事件是“2个小球全是红球”的对立事件即可得出. 【详解】 因为7311010=-，所以概率为710的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．9．A 【解析】当三次投篮恰有两次命中时，就是三个数字xyz 中有两个数字在集合{}1,2,3,4，再逐个考察个数据，最后利用古典概型的概率公式计算可得． 【详解】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.共5组随机数，∴所求概率为510.25204==. 故选：A 【点睛】本题主要考查了随机事件概率的含义及其运算，以及用数值表示随机事件的意义，属于基础题． 10．B 【解析】 【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【详解】由题可得：①E AB =，正确；①事件F =“靶被击中”，AB 表示甲乙同时击中，F AB AB AB =++，所以①错误；①F A B =+，正确，①A B +表示靶被击中，所以①错误；①G AB AB =+，正确；①,E F 互为对立事件，()()1P F P E =-，正确；①()()()()P F P A P B P AB =+-，所以①不正确． 正确的是①①①①． 故选：B 【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析. 11．ABD【分析】用列表法列举基本事件，分别求概率，即可判断. 【详解】记“车况好、中、差”分别为A ，B ，C ，方案一包含的基本事件数为1n ，方案二包含的基本事件数为2n ，列表如下由表中所列事件数可知，13162p ==，22163p ==，所以选项C 正确．故选：ABD. 12．CD 【解析】 【分析】根据题意，结合概率的计算，逐项分析即可得解. 【详解】对A ，目标未被命中，则两次都不中，概率为(1)(1)1p q p q pq --=--+，故A 错误； 对B ，目标恰好被命中一次，则甲中乙不中，或乙中甲不中， 概率为(1)(1)2p q p q p q pq -+-=+-，故B 错误；对C ，目标恰好被命中两次，则两次都中，概率为pq ，故C 正确； 对D ，目标被命中，从反面考虑可得概率为1(1)(1)p q ---，故D 正确；13．CD 【解析】 【分析】根据题意25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，且至少有1件正品，即可得解. 【详解】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品， 则“3件都是次品”不是随机事件，是不可能事件，又25件产品中只有2件次品，从中任取3件产品，则“至少有1件正品”为必然事件， 而A ，B 是随机事件， 故选：CD 14．CD 【解析】 【分析】根据概率与频率的关系判断①正确，根据基本事件的特点判断①正确，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断①错误，根据小概率事件的概念判断①错误． 【详解】①随机事件A 发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，①A 中说法正确； 基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，①在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生，①B 中说法正确；必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率大于0且小于1.①任意事件A 发生的概率P （A ）满足()01P A ≤≤.①C 中说法错误；若事件A 发生的概率趋近于0，则事件A 是小概率事件，但不是不可能事件，①D 中说法错误. 故选CD 【点睛】本题主要考查了概率的概念和有关性质，属于概念辨析题，对一些易混概念必须区分清． 15．CD【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算概率后判断． 【详解】记事件A 为“从甲机床制造的产品中抽到一件正品”，事件B 为“从乙机床制造的产品中抽到一件正品”，事件C 为“抽取的两件产品中至多有一件正品”，事件D 为“抽取的两件产品中恰有一件正品”，事件E 为“抽取的两件产品中至少有一件正品”．由题意知A ，B 是相互独立事件，则()()()0.10.20.02P AB P A P B ==⨯=，故A 错误； ()()()()P C P AB P AB P AB =++()()()()()()0.90.20.10.80.10.20.28P A P B P A P B P A P B =++=⨯+⨯+⨯=，故B 错误；()()()()()()()0.90.20.10.80.26P D P AB P AB P A P B P A P B =+=+=⨯+⨯=，故C 正确； ()()110.020.98P E P AB =-=-=，故D 正确．故选：CD ． 16．12【解析】 【分析】根据基本事件总数,与甲被选中包含的基本事件求解概率即可. 【详解】解：某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援, 基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个. 甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个, ①甲被选中的概率为p 3162==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 17．19【解析】求出以连续掷两枚骰子得到的点数m ，n 作为点M 的横坐标、纵坐标样本点的个数，列出在圆229x y +=内的样本点，即可求解. 【详解】分别以连续掷两枚骰子得到的点数m ，n 作为点M 的横坐标、纵坐标，样本点总数6636n =⨯=.点M 落在圆229x y +=内包含的样本点有()1,1，()1,2，()2,1，()2,2，共4个，故点M 落在圆229x y +=内的概率41369P ==. 故答案为:19.【点睛】本题考查古典概型的概率，常见类型事件样本点个数要多加归纳总结，属于基础题. 18．316【解析】 【分析】 【详解】试题分析：总的数对有4416⨯=，满足条件的数对（1，4），（4，1），（2，2）共有3个， 故概率为316P =考点：等可能事件的概率．点评：本题考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式 19．4 【解析】 【分析】设袋中原有x 个绿球，利用最终摸到红球的概率构建关系式，解得x 即可. 【详解】设此袋中原有绿球x 个，共有6+x 个，再往此袋中放入5个白球后，共11+x 个，其中红球6个，所以摇匀后摸出一球，摸到红球的概率为62 115x=+解得4x=，所以原有绿球4个，故答案为：4.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.20．0.3【解析】甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以2:1获胜的概率．【详解】甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2:1获胜的概率是：0.60.50.60.40.50.60.3P=⨯⨯+⨯⨯=.故答案为：0.3．【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．9 10【解析】【分析】首先设3名男生为A，B，C，2名女生为a，b，再用列举法列出全部基本事件，找到至少有1名男生的基本事件个数，即可得到答案.【详解】设3名男生为A，B，C，2名女生为a，b，从5名学生中选2名志愿者，共有：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个基本事件.至少有1名男生共有9个基本事件，概率为9 10.故答案为：9 10【点睛】本题主要考查古典概型，列举法列出全部基本事件为解题的关键，属于简单题.22．1 3【解析】【分析】这是一个古典概型，利用列举法得到分配的基本事件总数，再找出甲、乙两人被分到同一岗位的基本事件数，代入公式求解.【详解】所有可能的分配方式如表:则样本空间共有6个样本点，令事件M为“甲、乙两人被分到同一岗位”，则事件M包含2个样本点，所以()2163p M==，故答案为：1 323．0.2【解析】【分析】设这个班有100人，根据题意可分析数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人，因此可知一学生数学不及格，则他语文也不及格的为15人中有3人，计算概率即可.【详解】由题意设这个班有100人，则数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人，则数学不及格的人里头有3人语文不及格，①已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为：30.215p==．故答案为：0.2．24．310##0.3【解析】【分析】列出从5人中随机抽取3人的所有的情况，由古典概型概率计算公式可得答案.【详解】从5人中随机抽取3人，所有的情况为（甲､乙､丙），（甲､乙､丁），（甲､乙､戊），（甲､丙､丁），（甲､丙､戊），（甲､丁､戊），（乙､丙､丁），（乙､丙､戊），（乙､丁､戊），（丙､丁､戊），共10种，其中满足甲､乙同时被抽到的情况有（甲､乙､丙），（甲､乙､丁），（甲､乙､戊），共3种，故答案为：3 10.25．①①.【解析】【分析】根据方差定义、互斥与对立概念、平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假.【详解】因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度，所以①对因为基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，A，B 不为互斥事件，所以①错；因为某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是,m n，若一模考试数学平均分分别是,a b，则这两个班的数学平均分为ma nbm n++，所以①错；因为如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行（同侧时）或相交（异侧时），所以①对. 因此真命题的序号是①①. 故答案为：①①.26．（1）25（2）25（3）110【解析】首先写出整个样本空间中的所有可能的结果，然后再分别列举出事件,,A B AB 所含的结果，再由概率公式计算概率． 【详解】解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果，将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表表示.（1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2行），即()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,1,5,2,1,2,3,2,4,2,5A =，所以()82205P A == （2）第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列），即()()()()()()()(){}2,1,3,1,4,1,5,1,1,2,3,2,4,2,5,2B =，所以()82205P B == （3）事件AB 包含2个可能结果，即()(){}1,2,2,1AB =，所以()212010P AB == 【点睛】本题考古典概型，属于基础题．解题关键是列举出样本空间中所有基本事件．27．（1）512 （2）512【解析】 【分析】（1）由图查出11月1日至11月12日中空气重度污染的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（2）用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案． 【详解】解：（1）某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，其到达日期的所有可能结果有1日，2日，3日，…，12日，共12种，其中此人到达当日空气重度污染的有1日，2日，3日，7日，12日，共5种，①此人到达当日空气重度污染的概率为512. （2）此人停留3天的所有可能结果有123（，，），234（，，），345（，，），456（，，），567（，，），678（，，），789（，，），8910（，，），91011（，，），101112（，，），111213（，，），121314（，，），共12种，其中恰有1天重度污染的有345（，，），567（，，），678（，，），789（，，），101112（，，）共5种， ①此人停留期间空气重度污染恰有1天的概率为512. 【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了学生的读图能力，是基础题． 28．(1)56 (2)1328【解析】 【分析】（1）利用平均数公式即可求得结果；（2）列出所有基本事件，利用古典概型概率公式计算即可求得结果. (1)由频率分布直方图可求得各组的频率自左到右依次为：0.1，0.15，0.3，0.25，0.2， 所以得分的平均数100.1300.15500.3700.25900.256x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)所抽取的40人中，得分在80分以上的有400.28⨯=人，。
高中数学培优点07 隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形(3大考点+强化训练)(习题版)
培优点07隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形（3大考点+强化训练）在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档．知识导图考点分类讲解考点一隐圆(阿波罗尼斯圆)“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C |2aλλ2－1|为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．规律方法对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹．【例1】(多选）（2023·贵州铜仁·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B 的距离之比为定值m（0m >且1m ≠）的点的轨迹是圆”．人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB=．设点P 的轨迹为C，则下列结论正确的是（）A．轨迹C 的方程为()22416x y ++=B．轨迹C 与圆M：()()222836x y -+-=有两条公切线C．轨迹C 与圆O：222x y +=的公共弦所在直线方程为14x =-D．当A，B，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线【变式1】（2023·四川成都·模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足PA PBλ=（0λ>且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为21AB λλ⋅-的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P 在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -的一个侧面11ABB A 上运动，且满足2PA PB =，则点P 的轨迹长度为（）A．8π3B．4π3【变式2】（2023·四川成都·模拟预测）已知平面上两定点,A B ，则所有满足(0PA PBλλ=>且1)λ≠的点P的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为21AB λλ⋅-的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹长度为（）A．8π32+B．4π3+C．8π3+D．4π3【变式3】(多选)在平面直角坐标系中，A(－1,0)，B(2,0)，动点C 满足|CA||CB|＝12，直线l：mx－y＋m＋1＝0，则()A．动点C 的轨迹方程为(x＋2)2＋y 2＝4B．直线l 与动点C 的轨迹一定相交C．动点C 到直线l 距离的最大值为2＋1D．若直线l 与动点C 的轨迹交于P，Q 两点，且|PQ|＝22，则m＝－1考点二蒙日圆在椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆．设P 为蒙日圆上任一点，过点P 作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O 为原点．性质1PA⊥PB.性质2k OP ·k AB ＝－b2a2.性质3k OA ·k PA ＝－b 2a 2，k OB ·k PB ＝－b 2a 2(垂径定理的推广)．性质4PO 平分椭圆的切点弦AB.性质5延长PA，PB 交蒙日圆O 于两点C，D，则CD∥AB.性质6S △AOB 的最大值为ab 2，S △AOB 的最小值为a 2b2a 2＋b 2.性质7S △APB 的最大值为a 4a 2＋b 2，S △APB 的最小值为b4a 2＋b 2.规律方法蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2＋y 2＝a 2－b 2(只有当a>b时才有蒙日圆)．抛物线y 2＝2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB 交点P 的轨迹是该抛物线的准线：x＝－p 2(可以看作半径无穷大的圆)．【例2】（23-24高三上·安徽·期末）法国数学家蒙日发现椭圆两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴和短半轴的平方和．如图所示为稀圆()2222:10x y E a b a b+=>>及其蒙日圆O ，点,,P C D 均为蒙日圆与坐标轴的交点，,PC PD 分别与E相切于点,A B ，若PAB 与PCD 的面积比为4:9，则E 的离心率为（）B．12D．2【变式1】（多选）（2024·山西吕梁·一模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆221222:1(0)x y C a b F F a b+=>>，，分别为椭圆的左、右焦点，)2F ，其短轴上的一个端点到2F 的距离A 在椭圆上，直线22:0l bx ay a b +--=，则（）A．直线l 与蒙日圆相切B．椭圆C 的蒙日圆方程为222x y +=C．若点P 是椭圆C 的蒙日圆上的动点，过点P 作椭圆C 的两条切线12l l ，，分别交蒙日圆于M N ，两点，则MN 的长恒为4D．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -的最小值为22+【变式2】（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的蒙日圆的面积为13π，该椭圆的上顶点和下顶点分别为12,P P ，且122PP =，设过点0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭的直线1l 与椭圆E 交于,A B 两点（不与12,P P 两点重合）且直线2:260l x y +-=.(1)证明：1AP ，2BP 的交点P 在直线2y =上;(2)求直线112,,AP BP l 围成的三角形面积的最小值.【变式3】(2023·合肥模拟)已知A 是圆x 2＋y 2＝4上的一个动点，过点A 作两条直线l 1，l 2，它们与椭圆x23＋y 2＝1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.(1)若A(－2,0)，求直线l 1，l 2的方程；(2)①求证：对于圆上的任意点A，都有l 1⊥l 2成立；②求△AMN 面积的取值范围．【变式4】定义椭圆C：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的“蒙日圆”的方程为x 2＋y 2＝a 2＋b 2，已知椭圆C 的长轴长为4，离心率为e＝12.(1)求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；(2)过“蒙日圆”E 上的任意一点M 作椭圆C 的一条切线MA，A 为切点，延长MA 与“蒙日圆”E 交于点D，O 为坐标原点，若直线OM，OD 的斜率存在，且分别设为k 1，k 2，证明：k 1·k 2为定值．考点三阿基米德三角形抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．性质1阿基米德三角形底边上的中线MQ 平行于抛物线的轴．性质2若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线．性质3抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹．性质4若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线l 方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为性质5底边为a 的阿基米德三角形的面积最大值为a 38p.性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为p 2.规律方法(1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质；(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆．【例3】（2024高三·全国·专题练习）AB 为抛物线()220x py p =>的弦，()11,A x y ，()22,B x y 分别过,A B作的抛物线的切线交于点00(,)M x y ，称AMB 为阿基米德三角形，弦AB 为阿基米德三角形的底边.若弦AB 过焦点F ，则下列结论错误的是（）A．1202x x x +=B．底边AB 的直线方程为()000x x p y y -+=；C．AMB 是直角三角形；D．AMB 面积的最小值为22p .【变式1】（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，顶点为O ，斜率为43的直线l 过点F 且与抛物线C 交于,M N 两点，若PMN 为阿基米德三角形，则OP =（）B．【变式2】（多选）（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设,A B 是抛物线2:4C x y =上两个不同的点，以()()1122,,,A x y B x y 为切点的切线交于P 点.若弦AB 过点()0,1F ，则下列说法正确的有（）A．124x x =-B．若12x =，则A 点处的切线方程为10x y --=C．存在点P ，使得0PA PB ⋅>D．PAB 面积的最小值为4【变式3】(多选)(2023·南平模拟)过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作抛物线的弦与抛物线交于A，B 两点，M 为AB 的中点，分别过A，B 两点作抛物线的切线l 1，l 2相交于点P.下面关于△PAB 的描述正确的是()A．点P 必在抛物线的准线上B．AP⊥PBC．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则△PAB 的面积S 的最小值为p22D．PF⊥AB【变式4】已知抛物线C：x 2＝2py(p>0)的焦点为F，且F 与圆M：x 2＋(y＋4)2＝1上的点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P 在圆M 上，PA，PB 是C 的两条切线，A，B 是切点，求△PAB 面积的最大值．强化训练一、单选题1．（2023·四川·三模）19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆()222210x y a b a b+=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+.若圆()()2239x y b -+-=与椭圆2213x y +=的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b 的值为（）A．3±B．4±C．5±D．2．（2023·青海西宁·二模）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：22221x y a b+=（0a b >>）的蒙日圆为2224:3C x y a +=，则椭圆Γ的离心率为（）A．2B．2C．3D．33．（2023·河北·三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线24y x =，过焦点的弦AB 的两个端点的切线相交于点M ，则下列说法正确的是（）A．M 点必在直线2x =-上，且以AB 为直径的圆过M 点B．M 点必在直线=1x -上，但以AB 为直径的圆不过M 点C．M 点必在直线2x =-上，但以AB 为直径的圆不过M 点D．M 点必在直线=1x -上，且以AB 为直径的圆过M 点4．（2023·海南·模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆22:154x y C +=的蒙日圆为圆1C ，若圆1C 不透明，则一束光线从点()4,3A -出发，经x 轴反射到圆1C 上的最大路程是（）A．2B．4C．5D．85．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）椭圆()222210,0,x y a b a b a b+=>>≠任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：2222x y a b +=+，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆()()()222430x y r r -+-=>上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆2213y x +=的两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是（）A．[]1,7B．[]1,9C．[]3,7D．[]3,96．（2023·广西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ（0λ>且1λ≠），那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P 到()2,0A ，()2,0B -P 到直线l ：0y -=的距离的最大值是（）A．B．2+C．D．7．（2023·湖北襄阳·模拟预测）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0λλ>且1)λ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，动点M 满足2=MA MO ，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线():1l y k x b =-+与圆C 恒有公共点，则b 的取值范围是（）A．33⎡-⎢⎥⎣⎦B．33⎡-⎢⎣⎦C．33⎡-⎢⎣⎦D．44,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．（2023·青海西宁·二模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线22(0)y px p =>，弦AB 过焦点，△ABQ 为阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为（）A．22p B．2p C．22p D．24p二、多选题1．（22-23高三下·江苏南京·开学考试）加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R 的四边均与椭圆22:163x y C +=相切,则下列说法正确的是（）A．椭圆C 的离心率为2e =B．椭圆C 的蒙日圆方程为226x y +=C．椭圆C 的蒙日圆方程为229x y +=D．长方形R 的面积最大值为182．（22-23高三上·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值(0λλ>且1)λ≠的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()()1,0,2,0A B -，点P 满足12PA PB=，设点P 的轨迹为曲线C ，下列结论正确的是（）A．曲线C 的方程为22(2)4x y ++=B．曲线C 与圆22:(2)4C x y +-='外切C．曲线C 被直线:0l x y +=截得的弦长为D．曲线C 上恰有三个点到直线:0m x =的距离为13．（2024高三下·江苏·专题练习）（多选）如图，PAB 为阿基米德三角形.抛物线()220x py p =>上有两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，以A，B 为切点的抛物线的切线,PA PB 相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（）A．若弦AB 过焦点，则ABP 为直角三角形且90APB ︒∠=B．点P 的坐标是1212,22x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭C．PAB 的边AB 所在的直线方程为()121220x x x py x x +--=D．PAB 的边AB 上的中线与y 轴平行（或重合）三、填空题1．（23-24高三上·广东湛江·期末）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆为22273x y b +=，则C 的离心率为.2．（23-24高三上·河北沧州·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.已知(0,4)P ，Q 为直线3y x =-上的动点，R 为圆22:4O x y +=上的动点，则1||||2RQ PR +的最小值为.3．（2023高三·全国·专题练习）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．设抛物线为24y x =，弦AB 过焦点，ABQ 为阿基米德三角形，则ABQ 的面积的最小值为．四、解答题1．（2024·全国·模拟预测）在圆224x y +=上任取一点T ，过点T 作x 轴的垂线段TD ，垂足为D ．当点T 在圆上运动时，线段TD 的中点P 的轨迹是椭圆C ．(1)求该椭圆C 的方程．(2)法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746—1818）发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”．若椭圆C 的左、右焦点分别为12,,F F P 为椭圆C 上一动点，直线OP 与椭圆C 的蒙日圆相交于点,M N ，求证：12||||||||PM PN PF PF ⋅⋅为定值．2．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点M 与两定点Q Q，P 的距离之比MQMP λ=（0λ>且1λ≠），λ是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=，定点分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为12e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为()0k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ，D （点B 在x 轴上方），点S ，T 是椭圆C 上异于B ，D 的两点，SF 平分BSD ∠，TF 平分BTD ∠.①求BS DS 的取值范围；②设BFT 、DFT 的面积分别为1S 、2S ，当1212S S =时，求直线l 的方程.3．（2023·陕西西安·一模）数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线C的实轴长为，其蒙日圆方程为224x y +=.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设点()3,1P 关于坐标原点的对称点为Q ，不过点P 且斜率为13的直线与双曲线C 相交于,M N 两点，直线PM 与QN 交于点()00,D x y ，求直线OD 的斜率值.4．（2023·河南·模拟预测）在椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：2222x y a b +=+上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C 过()22P ，1(2Q .(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的蒙日圆上一点M ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N ，若OM k ，ON k 存在，证明：OM ON k k ⋅为定值.5．（2023·广西·模拟预测）在椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：2222x y a b +=+上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆C 过A ⎝⎭，B ⎛ ⎝⎭(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的蒙日圆上一点M ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N ，若OM k ，ON k 存在．证明：OM ON k k ⋅为定值．。
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福建省永泰二中高三数学强化训练（3）
1．复数的虚部为 A ． B ． C ． D ． 2．已知全集，集合，，则=
A ．
B ．
C ．
D ．
3．对于直线，和平面，若，则∥是∥的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．设，为不共线的向量，若向量，，，且，，三点共线，则实数的值等于
A ．
B ．2
C ．
D ．10
5．执行右边的程序框图，若，则输出的=
A ．
B ．
C ．
D ． 6．对于平面和直线、，给出下列命题：
①若∥，则、与所成的角相等；
②若∥，∥，则∥；
③若，，则∥；
④若与是异面直线，且∥，则与相交．
其中真命题的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．已知公差不为0的等差数列的前5项和为，若，，成等比差数列，则=
A ．
B ．
C ．
D ．
8．过圆上一点作切线与轴，轴的正半轴交于、两点，则的最小值为
A ．2
B ．3
C ．
D ．
9．下列四个函数中，图象为如图所示的只可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则
122i i ++353
5i 454
5
i U R ={|1}M x x =≥-1{|0}2x N x x +=≥-()U M N {|2}x x <{|2}x x ≤{|12}x x -<≤{|112}x x x <--<≤或a b αb α⊂a b a αa b AB a kb =-2CB a b =+3CD a b =-A B D k 2-10-9p =S 9107188925
αm n m n m n αm αn αm n m α⊥m n ⊥n αm n m αn α{}n a 20-1a 3a 4a 2a 4-6-8-10-221x y +=P x y A B ||AB 2321y x nx =+21y x nx =-21y x nx =-+21y x nx =--{}*
()n a n N ∈1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 1x 1y 2x 2y 3x 3y 4x 4y 5x 5y 6x 6y 2009a =
A ．501
B ．502
C ．503
D ．504
11．一个几何体的三视图及其尺寸（单位：）
如图所示，则该几何体的侧面积为 ．
12．在中，，所对的边分别为，，
且，则角的大小为 ． 13．已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于__________．
14．用字母、，数字1、8、9构成一个字符不重复的五位号牌，要求字母、不相邻，数字8、9相邻，则可构成的号牌个数是
15．在椭圆中，有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，类比上述结论：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线 上. 16．已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）在中，角、、的对边分别是、、，且满足，求的取值范围
17．一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的六个小球，某人做如下游戏：每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则分．
（Ⅰ）求拿出4次至少得2分的概率；
（Ⅱ）求拿4次所得分数的分布列和数学期望
21．（1）已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求矩阵的特征值及特征向量
（2）求经过极点，，三点的圆的极坐标方程 （3）若． 福建省永泰二中高三数学强化训练（3）
cm 2cm ABC ∆A B a b sin cos A B a b
=B x y 、121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩
，z x y =-1-m A Y A Y 22
221x y a b
+=220x y a b +=22
221x y a b
-=)0(2
12cos )2cos 2sin
3()(>-+=ωωωωx x x x f πωABC ∆A B C a b c (2)cos cos a c B b C -=()2
A f 1-ξ111A a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
R a ∈(1,1)P A (0,3)P '-A (0,0)O (6,)2A π
9(62,)4
B π21,32x ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭1232332x x x --+<
参考答案
1-5ADDBD 6-10ABABC
11． 80 12． 13． 5 14． 24 15． 16．解：（1）
（2）
，
21（1）解：由 =，得． （2）由（1）知 4π220x y a b -=)6
sin(212cos 2cos 2sin 3)(2πωω
ω
ω
+=-+=x x x x x f πωπ
22==T 1=∴ω)6sin()(π
+=∴x x f C b B c a cos cos )2(=- C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=-∴A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=3
21cos π=∴=∴B B 320)6sin()(ππ
<<+=A A A f 6
566πππ<+<∴A 1sin()126
A π<+
≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-111a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-30431-=⇒-=+a a ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=1411A
则矩阵A 的特征多项式为
令，得矩阵A 的特征值为-1或3．
当时 二元一次方程
∴矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡21
当3=λ时，二元一次方程020
)1(40)1(=+⇒⎩⎨⎧=-+=+-y x y x y x λλ
∴矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-21． （2）解：将点的极坐标化为直角坐标，点,,O A B 的直角坐标分别为()()()0,0,0,6,6,6，故OAB ∆是以
OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为()3,3，
半径为圆的直角坐标方程为()()22
3318x y -+-=，即22
660x y x y +--=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入上述方程，得()26cos sin 0ρρθθ-+=
，即4πρθ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
（3）
2222222](111)++++≥
324)1(1411
)(22--=--=--=λλλλλx f 0)(=λf 1-=λx y y x y x 20
)1(40)1(=⇒⎩⎨⎧=-+=+-λλ。