差分方程在经济学中的应用
差分方程及其应用
差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。
例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。
这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。
描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。
对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。
§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。
下面给出差分的定义。
设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。
显然，t y 的取值是一个序列。
当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t=在t 的一阶差分，记作t y ∆，即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。
由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。
当函数)(t f y t=的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。
例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，若将上式写作)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。
若记))()1()(t R t R t R -+=∆，并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。
8.7微分方程、差分方程在经济学中的简单应用
少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月
利率为0.5%， 10年后子女大学毕业用完全部资金. 分析 该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年
每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在
20 年后将所有资金用于子女教育，每月支取1000元， 10内用完所有资金. 解 设从现在到20年内共要筹措 x 元资金，第n个月 投资账户资金为In元， 每月存入资金 a 元. 同时 也设 20 年后第 n 个月投资帐户资金为Sn 元，于是， 20 年后，关于Sn的差分方程模型为
现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究
上述振荡现象.
s 设第 n 个时期 (假定为一年) 猪肉的产量为 Q n , 价格为
Pn ,
产量与价格的关系为
Pn f ( Q n ),
s
d
本时期的价格又
决定下一时期的产量， 因此
Q n 1 g ( Pn ).
这种产销关系可用下述过程来描述：
Q1 P1 Q 2 P2 Q 3 P3
.
S n 1 1.005 S n 1000,
（9）
并且 S 120 0 , S 0 x . 解方程(9)，得通解
S n 1.005 C
n
1000 1 1.005
120
1.005 C 200000,
n
以及
S 120 1.005
C 200000 0,
x
所以原方程满足初始条件的特解为
a yt 2 r 12 x r 12 (1
r 12
) x
t
1
a 2
r 12
高数第七章(14)差分方程的简单应用
C
ac bd
可 得C
P0
ac bd
，
从 而Pt
P0
ac bd
d b
t
ac bd
.
2.分析市场趋向的种种形态
1 d 1
b
lim
t
Pt
ac bd
Pt
这说明市场价格趋于平衡，且特解Pt
ac bd
是一个平衡价格.
2 d 1
b
lim
t
Pt
这说明市场价格的波动越来越大，且呈发散状态.
3 d
bபைடு நூலகம்
生
产
者
在
下
一
时
期
愿
意提
供
给
市
场
的
产
量St
，
1
还 决 定 着 本 时 期 该 产 品的 需 求 量Dt， 因 此 有 Dt a bPt，St c dPt1
其 中a，b，c，d均 为 正 常 数
假设每一时期的价格总是确定在市场售清
的水平上，即St Dt .
1.求价格随时间变动的规律；
2.讨论市场价格的种种变化趋势.
这是一个二阶常系数线性非齐次差分方程.
易求其方程的通解为
C 1λ
t 1
C 2λ
t 2
G 1 α
(若Δ
0)
yt
(C 1
C 2 )λ t
G 1α
(若Δ
0)
γ
t
(C 1
cosθ
t
C2
s inθ
t)
G 1 α
(若Δ
0)
随着，的取值不同，国民收入随时间呈现不同的规律.
二、小结
第12.4节 差分方程在经济学中的应用
例题库
代入到
S a ( P ), D b ( P )
中得
.
L t 1 L t ( a b ) Pt 1 a b
于是代入方程(4)得
P t 2 [ c ( a b ) 2 ] P t 1 P t ( a b ) .
(5)
此方程为二阶常系数线性差分方程. 设其特解 为
Pt A
，代入方程得 A ；方程(5)对应的 的特征方程为 (6)
齐次方程
Pt 2 [ c ( a b ) 2 ] Pt 1 Pt 0
2
[ c ( a b ) 2 ] 1 0 .
例题库
Pt 2 Pt 1 c ( L L t 1 ) .
(3)
将(3)减去(2)得
Pt 2 2 Pt 1 Pt c ( L t 1 L t ) .
(4)
假设库存量 L t 的改变与商品销售状态有关，且在第
t1
时段商品的库存增加量等于该时段的供求量之差, 即
（
设 Q 和 P t 分别表示第t 期商品的产量和需求函数 例4 ） 与供给函数分别为P a bQ 与 Q t 1 c dP t ，那么参数满足 什么条件，经过若干年后该商品的产量与价格才能趋于稳定 呢？
t
（
t
t
解
将 P t a bQ t 代 入 Q t 1 c dP t ,
y 120 0
t
的特解为
.
y t 219 853 1 . 005
400 000
由此可得 y 180 147 ，即从现在算起，第20年结束 时投资帐户的资金需达到180 147元．
§9差分方程的简单经济应用
§10. 9差分方程的简单经济应用课 题：§10. 9差分方程的简单经济应用教学目的：通过学习，使学生掌握差分方程的简单经济应用 教学重点：差分方程的简单经济应用教学难点：差分方程的建立教学过程：例1贷款买房问题某人买房要向银行借款6万元,月利率=r 0.01,贷款期为25年.若每月他只有900元的节余,问他能否来购买此房.解:0y =6万元,n y 表示第n 个月尚欠银行的款,x 表示25年(300个月)还清本息每月应付款.x r y y n n -+=-)1(1]1)1[()1(0-+-+=n n n r rx r y y 0,300300==y n]1)01.1[(01.0)01.1(600000300300--⨯=x 632≈x广告:本公司能帮你提前3年还清借款1每半各月向公司还款316元;2由于文书工作增多,要求你预付1896元. 分析1:6000,316,005.00===y x r)1ln(ln0r ry x xn +-=,598≈n 分析2:58104189660000,316,005.00=-===y x r 505≈n 半月=21.04年公司收入约632*12=7584元计算表明,首付尽量多一点,可以开始少借一些钱.例2市场价格的形成 最简单的需求函数 bp a p d +=)(最简单的供给函数 p b a p s 11)(+=1静态供需平衡⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=s d p b a s bp a d 1111b b a a p e --= 2动态供需平衡(1) 现期需求依赖于同期价格;(2) 现期供给依赖于前期价格. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-t tt t t t s d p b a s bp a d 111ba a pb b p t t -=--111 通解:e t t p b b C p +=)(1 若初始价格0p ,则e p p C -=0e t e t p bb p p p +-=))((10 若初始价格e p p ≠0,经济学家卡尔多(Kaldor )称之为蛛网定理.。
高等数学教学中差分方程的经济学拓展
高等数学教学中差分方程的经济学拓展随着经济学的发展，越来越多的经济现象需要通过数学方法进行分析和研究。
差分方程作为数学方法之一，可以描述经济系统中的动态变化和规律。
在高等数学教学中，差分方程也成为了重要的内容之一。
本文将从差分方程在经济学中的应用、差分方程在高等数学教学中的地位等方面进行探讨，并结合具体的例子进行说明。
一、差分方程在经济学中的应用差分方程是描述数列中相邻两项之间的关系的方程。
在经济学中，许多经济现象都可以用数列来描述，例如经济增长、通货膨胀、利率等。
差分方程可以用来描述这些现象的变化趋势和规律。
1. 经济增长经济增长是经济学中的一个重要概念，它描述的是一个国家或地区在一定时间内生产总值的增长情况。
经济增长可以用差分方程来描述。
假设一个国家的经济增长率为g，初始时刻的生产总值为y0，那么在下一个时刻，生产总值为y1=y0(1+g)。
同样，下一个时刻的生产总值为y2=y1(1+g)=y0(1+g)2。
以此类推，可以得到一个差分方程：y(t+1)=y(t)(1+g)其中，t表示时刻，y(t)表示时刻t的生产总值。
这个差分方程描述了在每个时刻，生产总值都会增加一个比例g。
2. 通货膨胀通货膨胀是指物价水平的持续上涨。
在经济学中，通货膨胀可以用价格指数来描述。
价格指数是一个数列，它表示某一商品或服务的价格在不同时期的变化情况。
假设某一商品的价格指数为p，初始时刻的价格为p0，那么在下一个时刻，价格为p1=p0(1+r)，其中r表示通货膨胀率。
同样，下一个时刻的价格为p2=p1(1+r)=p0(1+r)2。
以此类推，可以得到一个差分方程：p(t+1)=p(t)(1+r)其中，t表示时刻，p(t)表示时刻t的价格指数。
这个差分方程描述了在每个时刻，价格指数都会增加一个比例r。
3. 利率利率是指银行贷款或存款的利息率。
在经济学中，利率可以用复利公式来描述。
假设某一银行的利率为r，初始时刻的本金为P0，那么在下一个时刻，本金为P1=P0(1+r)。
差分方程在经济中的应用举例
差分方程在经济中的应用举例作者：万祥兰来源：《科技视界》2019年第31期【摘要】差分方程是经济数学中的重要组成部分，为离散取值的变量研究提供了有力工具。
本文介绍了差分方程在经济中的三个应用案例。
【关键词】差分;差分方程;贷款模型;存款模型;蛛网模型中图分类号： F224 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）31-0104-001DOI：10.19694/ki.issn2095-2457.2019.31.0481 差分差分：设函数y=f（x），记为yx。
当x取遍非负整数时函数值可以排成一个数列：y0，y1，…，yx…，则称yx+1-yx称为函数yx的差分，也称为一阶差分，记为Δyx，即Δyx=yx+1-yx。
Δ（Δyx）记为Δ2yx，称为函数yx的二阶差分。
即Δ（Δyx）=Δyx+1-Δyx=（yx+2-yx+1）-（yx+1-yx）=yx+2-2yx+1+yx，同样可定义三阶、四阶差分。
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。
2 差分方程差分方程：含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程。
方程中未知函数附标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶。
n阶差分方程形式为F（x，yx，yx+1，…yx+n）=0或G（x，yx，yx-1，…yx-n）=0或H（x，yx，Δyx，Δ2yx，…，Δnyx）=0一阶常系数线性差分方程：形如yx+1-ayx=f（x）（a≠0，a是常数）的方程称为一阶常系数线性差分方程。
其中f（x）为已知函数，yx为未知函数。
3 差分方程的应用举例3.1 贷款模型例1：小周夫妇为买房需要向银行贷款100万元，月利率0.5%，贷款期限25年（300月），试建立数学模型并计算小周夫妇每月的还款金额。
如果小周夫妇每月节余8000元，是否可以去贷款买房呢？分析：在整个还款过程中，每月还款金额是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变化规律是解决问题的关键。
差分方程在经济学中的几个应用
差分方程在经济学中的几个应用
差分方程在经济学中有多个应用。
以下是其中几个例子：
1. 消费模型：差分方程可以用于建立消费者行为模型，例如动态消费模型。
这种模型可以用来解释消费者如何根据他们的财务状况和收入水平来做出消费决策。
2. 物价模型：差分方程可以用于建立物价动态变化的模型，例如通货膨胀模型。
这种模型可以用来解释通货膨胀的根本原因，并预测未来物价的变化。
3. 投资模型：差分方程可以用于建立投资决策的动态模型，例如资本品替换模型。
这种模型可以用来解释企业如何根据他们的制造成本、利润率等因素做出生产决策。
4. 就业模型：差分方程可以用于建立就业模型，例如菲利普斯曲线。
这种模型可以用于解释失业率和通胀率之间的关系。
总之，差分方程在经济学中有多个应用，这些应用可以帮助经济学家理解和预测经济现象。
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第四节 差分方程在经济学中的应用本节介绍差分方程在经济学中的几个简单应用，以期望读者有一些初步了解．一、 存款模型设S t 为t 期存款总额，i 为存款利率，则S t 与i 有如下关系式：S t +1=S t +iS t =(1+i )S i , t =0,1,2,…，其中S 0为初始存款总额．二、 动态供需均衡模型(蛛网定理)普通市场上一般商品的价格能影响消费者对该种商品的需求量，需求量与价格呈反向 变化．设D t 表示t 期的需求量，S t 表示t 期的供给量，P t 表示商品t 期价格，则传统的动态供 需均衡模型为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-)3(,)2()1(,,111t t t t t t S D P b a S bP a D 其中a ,b ,a 1,b 1均为已知常数．上述各方程的经济意义是：(1)式表示t 期(现期)需求依赖于同期价格；(2)式表示t 期(现期)供给依赖于(t -1)期(前期)价格．这里实际上假定该种商品生产行为既不是瞬时的，也不是连续的，而是要求有一个固定的生产周期．生产者总认为：本期的市场价格将在下一周期内保持不变，并按现期价格安排下一周期的生产．因此，第t 期的供给量S t ，实际上由前一周期价格P t -1决定，也就是说，供给量滞后于价格一个周期．(3)_式为供需均衡条件． 若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即P t =P t -1=P e ，那么由(1)(2)(3)式，我们即得静态均衡价格：P e =bb a a --11． 显然，若将需求曲线与供给曲线画在同一坐标平面上，其交点(P e ,Q e )即为该种商品的静态均衡点．一般地，将动态供需均衡模型的(1)(2)两式代入(3)式，便得到动态供需均衡模型的等价差分方程：P t -bb 1P t -1=b a a -1． (11-4-1) 这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，可求得(11-4-1)的一个特解t P =bb a a --11 =P e , 从而，方程(11-4-1)的通解为： P t =A (b b 1)t ＋P e , 这里A 为任意常数．若初始价格P 0已知时，将其代入通解，可求得任意常数A =P 0-P e ，此时，通解改写为P t =(Ｐ0-Ｐe )(1b b)t +Ｐe ． (11-4-2) 如果初始价格P 0=P e ,那么Ｐt =Ｐe ，这表明没有外部干扰发生，价格将固定在常数值Ｐe 上，这就是前面所说的静态均衡．如果初始价格Ｐ0≠Ｐe ,那么价格Ｐt 将随t 的变化而变化．显然，由通解(11-4-2)式可知，当且仅当︱1b b︱＜1时，有 10e e e lim lim ()()t t t t b P P P P P b →+∞→+∞⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦, 也就是说，动态价格Ｐt 随着t 的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格Ｐe ．图11-1是普通商品的价格与供需关系图．图11-1图11-1形状类似于蜘蛛网，故称此模型为蛛网模型(或蛛网定理)．三、 凯恩斯(K e yn e s ．J ．M)乘数动力学模型设Y t 表示t 期国民收入，C t 为t 期消费，I t 为t 期投资，I 0为自发(固定)投资，ΔI 为周期固定投资增量．凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=-)3(,)2()1(,0,1I I I bY a C I C Y tt t t t t ∆ 其中(1)式为均衡条件，即国民收入等于同期消费与同期投资之和；(2)式为消费函数，即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期)，a (≥0)为基本消费水平，b 为边际消费倾向(0＜b ＜1);(3)式为投资函数，这里仅考虑为固定投资．在(1)(2)(3)式中消去C t 和I t ，得到一阶常系数非齐次线性差分方程：Y t -bY t -1=a +I 0+ΔI ． (11-4-3)可求得(11-4-3)的一个特解t Y =bI I a -++10∆, 从而，方程(11-4-3)的通解为 Y t =A ·b t ＋b I I a -++10∆，其中A 为任意常数．我们称系数b-11为凯恩斯乘数． 四、 哈罗德(Harrod ．R ．H)经济增长模型设S t 为t 期储蓄，Y t 为t 期国民收入，I t 为t 期投资，s 称为边际储蓄倾向(即平均储蓄倾向)，0＜s ＜1，k 为加速系数．哈罗德宏观经济增长模型为：11,01,(1)(),0,(2),(3)t t t t t tt S sY s I k Y Y k S I --=<<⎧⎪=->⎨⎪=⎩ 其中s ,k 为已知常数．(1)式表示t 期储蓄依赖于前期的国民收入；(2)式表示t 期投资为前两期国民收入差的加速，且预期资本加速系数k 为常数；(3)式为均衡条件．经整理后得齐次差分方程Y t -k s k + Y t -1=0， (11-4-4) 其通解为Y t =A (1+k s )t ， (11-4-5) 其中A 为任意常数，k s ＞0，哈罗德称之为“保证增长率”．其经济意义就是：如果国民收入Y t 按保证增长率ks 增长，那么就能保证t 期储蓄与t 期投资达到动态均衡，即I t =S t , t =0,1,2,…．假定t -1期收入Y t -1满足于通解(11-4-5)，而t 期收入Y t 由于某种外部干扰使其不满足于(11-4-5)，而是Y t =A (1+k s )t +B (B ≠0,称为外部干扰)， 不妨设B ＞0，那么有I t =k (Y t -Y t -1）=k ［k s A (1+k s )t -1+B ］ =sA (1+ks )t -1＋kB =sY t -1+kB=S t +kB ．因kB ＞0,故I t ＞S t ．这就表示：总投资将大于总供给(由储蓄提供)，从而对收入产生一个向上的压力，迫使收入较以前增加得更多．这就充分地说明了，“保证增长率”保证了国民收入的增长．五、 萨缪尔森(Samu e lson P ．A)乘数加速数模型设Y t 为t 期国民收入，C t 为t 期消费，I t 为t 期投资，G 为政府支出(各期均相同)．萨缪尔森将乘数和加速数两个参数同时引进而得到国民经济收支均衡模型(也称为乘数-加速数模型)：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<<=++=--)3(,0),()2(,10,)1(,11k C C k I b bY C G I C Y t t tt t t t t 其中G ＞0为常数，b 称为边际消费倾向(常数)，k 为加速数．将(2)(3)两式代入(1)并经整理后得：Y t -b (1+k )Y t -1+bkY t -2＝G ． （11-4-6）这是关于Y t 的二阶常系数非齐次线性差分方程．不难求得其特解t Y ＝bG -1． 其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数b -11与政府支出自发投资G 的乘积． 方程(11-4-6)对应的齐次方程为Y t -b (1+k )Y t -1+bkY t -2=0， (11-4-7)其特征方程为λ2-b (1+k )λ+bk =0， (11-4-8)特征方程的判别式Δ=b 2（1＋k )2-4bk =b ［b (1+k )2-4k ］,当Δ＞0时，(11-4-8)有两相异实根：λ1=21［b (1+k )-∆］, λ2=21［b (1+k )+ ∆］. 方程(11-4-7)的通解为：Y A (t )=A 1·λ1t +A 2·λ2t (A 1,A 2为任意常数)．当Δ=0时，(11-4-8)有一对相等实特征根：1(1)2b k λ=+，方程（11-4-7）的通解为：12()()t A Y t A A t λ=+⋅，（A 1，A 2为任意常数）. 当Δ<0时，(11-4-8)有一对共轭复根：λ=21[b (1+k )+i ∆], λ=21[b (1+k )-i ∆], 方程(11-4-7)的通解为：Y Ａ(t )=γt (A 1cos ωt +A 2sin ωt ),A 1,A 2为任意常数；γ和ω由下式确定⎪⎩⎪⎨⎧∈+==),0(,)1(arctan ,πωωγk b bk ∆． 综合上述，方程(11-4-6)的通解为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-++=-+⋅+>-+⋅+=,0,1sin cos (,0,1)(,0,121212211∆∆∆当当当b G t A t A b G t A A b G A A Y t t t t t ωωγλλλ， 其中Δ=b ［b (１＋k )2-4k ］，A 1，A 2为任意常数，λ1，λ2及λ，γ和ω均如前面所述．若求出Y t ,由所给模型就不难确定C t 和I t ．习题11-41． 设Y t 为t 期国民收入，C t 为t 期消费，I 为投资(各期相同)．卡恩(Kahn)曾提出 如下宏观经济模型：1,,01,0,t t t t Y C I C Y αβαβ-=+⎧⎨=+<<>⎩其中α，β均为常数，试求Y t 和C t ．2． 设Y t ，C t ，I t 分别表示t 期的国民收入、消费和投资，三者之间满足如下关系：⎪⎩⎪⎨⎧>+=≥<<+=+=+,0,,0,10,,1γγβαβαt t t t t t t t I Y Y Y C I C Y这里α,β,γ均为常数．求Y t ,C t ,I t .3． 设Y t 为t 期国民收入，S t 为t 期储蓄，I t 为t 期投资，三者之间满足如下关系：⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=≥<<+=-,0,,0),(,0,10,1δδγγβαβαt tt t t t t I S Y Y I Y S ， 这里α，β，γ，δ均为常数，试求Y t ,S t ,I t ．4． 挪威数学家汉逊(Ｈanssen ．J ．S)研究局部化理论模型遇到如下的差分方程：D n +2(t )-4(ab +1)D n +1(t )+4a 2b 2D n (t )＝０，这里a ,b 为常数，而D n (t )为未知函数，若1+2ab ＞0,试求方程的解．5． 梅茨勒(Ｍetzler ．L ．A)曾提出如下的库存模型：⎪⎩⎪⎨⎧-=<<=++=---),(,10,,211t t tt t t t t Y Y S Y U S U Y βββα, 其中Y t 为t 期总收入，U t 为t 期销售收入，S t 为t 期库存量．α和β为常数．试求Y t ，U t ，S t 关于t 的表达式．。