人教版小学四年级数学第4讲：等积变形(学生版)
四年级 第4讲 等积变形(上)
平行线给法（二）：已知平行
【例4】(★★★★)
如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。 求三角形CDF的面积。
连接AF、CE 因为S△ADE= S△ACE； S△CDF= S△ACF 又因为AC与EF平行，所以S△ACE= S△ACF S△CDF= S△ADE=4（平方厘米）
=7+7 =14(平方厘米)
【例6】(★★★)
正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为20厘米，则图中 阴影面积为多少平方厘米？
连接CF，那么CF平行BD 所以阴影面积=三角形BCD的面积
=20×20 ÷2 =200（平方厘米）
平行线给法（三）：
并排摆放的正方形的同方向对角线
【例7】(★★★)
【例5】(★★★★)
在梯形ABCD中，OE平行于AD。如果三角形AOB的面积是7平方厘米， 则三角形DEC的面积是______平方厘米。
由平行线间的等积变形可知 S△AEO= S△DEO； S△BEO= S△CEO 所以S△DEC= S△CDO+ S△DEO+ S△CEO
=S△CDO+ S△AEO+ S△BEO = S△CDO+ S△ABO 又S△CDO+ S△ABO =7(平方厘米) 所以S△DEO= S△CDO+ S△ABO
等积变形（上）
★【动手试一试】
你有多少种方法可以将任意一个三角形分成4个面积相等的三 角形？
结论（一）：等底等高的两个三角形面积相等。
【例1】(★★)
你有什么方法将任意一个三角形分成6个面积相等的三角形？
如下图所示，答案不唯一
四年级上册数学教案-第四单元 第4课时积的变化规律 人教版
四年级上册数学教案-第四单元第4课时积的变化规律人教版一、教学目标1. 让学生通过观察、比较，发现积的变化规律。
2. 使学生能够运用积的变化规律进行简便计算。
3. 培养学生的观察能力、抽象概括能力以及运用知识解决问题的能力。
二、教学内容人教版四年级上册数学第四单元第4课时：积的变化规律。
三、教学重点与难点重点：发现并掌握积的变化规律。
难点：理解并掌握一个因数扩大（或缩小）若干倍（0除外），另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，积不变的规律。
四、教学过程1. 导入新课通过创设情境，引导学生回顾乘法的意义，为新课的学习做好铺垫。
2. 探究新知（1）出示例题，引导学生观察并发现积的变化规律。
例题：比较下列算式，你发现了什么规律？3 ×4 = 12 30 × 4 = 120 300 × 4 = 12003 × 40 = 120 30 × 40 = 1200 300 × 40 = 12000学生通过观察、比较，发现积的变化规律：一个因数扩大若干倍，另一个因数不变，积也扩大相同的倍数。
（2）引导学生进一步探究积的变化规律。
让学生举例验证积的变化规律，并总结规律：一个因数扩大（或缩小）若干倍（0除外），另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，积不变。
3. 巩固练习（1）出示练习题，让学生运用积的变化规律进行简便计算。
练习题：计算下列算式的积。
5 × 8 = 50 × 8 = 500 × 8 =5 × 80 = 50 × 80 = 500 × 80 =（2）让学生互相出题，运用积的变化规律进行计算，提高学生的计算能力。
4. 总结提升引导学生回顾本节课所学内容，总结积的变化规律，并强调在计算过程中要注意的问题。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固积的变化规律。
2. 观察生活中的积的变化现象，与同学交流分享。
四年级几何三角形的等积变形学生版
知识要点三角形的等积变形我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。
但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。
比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样。
这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。
同时也告诉我们：面积相同三角形有无数多个不同的形状。
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等。
② 若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么ACD BCD S S ∆∆=；反之，如果ACD BCD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。
ACDB等底等高【例 1】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与ABE ∆等积的三角形一共有哪几个三角形？EABDC【例 2】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。
HBD F【例 3】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC ∆等积的三角形一共有哪几个三角形？ABCEDF【例 4】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果ADE ∆的面积为4平方厘米。
四年级数学上册课件-4 积的变化规律36-人教版
三、知识运用
你能利用今天学的知识 解决这个问题吗？
2. 扩建后的绿地面积是多少？
可以先求出原来长方形的长， 再用长乘扩大后的宽，就是扩大后的绿地 面积。我的列式：200÷8＝25（米）
25×24＝600（平方米）
三、知识运用
（长）×8=200
×3
×
3
（长）×24=600
四、课堂小结，巩固目标
1、通过本节课的学习，你发现了什么规律？ 2、拓展提升：
6 × 2 = 12
不
×
×
变 × 10 × 10
不
100
100
变 6 × 20 = 120
×
×
不
10
10
变
6 × 200 = 1200
两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几，（0除外） 积也要乘几。
根据8×50＝400，直接写出积。
（400×2）
16×50＝800
（8×2）
（400×4）
32×50＝ 1600
（8×4）
一个因数不变，另一个因数乘 几时（0除外），积也要乘几。
合作探究二：
① 20×4 =80
② 10×4 =40
③ 5×4 =20
自学指导 （二）
先仔细观察这组题中的三个算式，填一填：
1、算式②与①比较，你有什么发现？什么没有变，什么变了？ 算式③与算式②比较，又有什么发现？ 第一个因数（ ），第二个因数（ ），积也（ ）。
一个因数不变，另一个因数乘（或除 以）几（0除外）， 积也要乘（或除 以）几。
这叫做积的变化规律。
三、知识运用
1. 先算出每组题中第1题的积，再写出下面 两题的得数。
12×3＝ 36
四年级数学上册课件-4 积的变化规律32-人教版
2250×02×43＝＝660000（（平平方方米米））
一个因数不变，另 一个因数乘几或除 以几(0除外），积 也乘或除以几。
拓展作业：趣味发现
算一算，想一想。你能发现什么规律？ 18×24＝432 （18÷2)×(24×2) ＝ （18×2)×(24÷2) ＝
两数相乘，一个因数除以几（0除外）， 另一个因数乘几，积不变。
三位数乘两位数
自主探究，发现规律
观察发现
第一组
①6×2 ＝ 12
×10 ×10
②6×20 ＝ 120
×10 ×10
③6×200＝ 1200
自主探究，发现规律
观察发现 第一组 ① ×100 ③ 6×200＝ 1200
×100
大胆猜想 6×2 ＝ 12 6×20 ＝ 120 6×200＝ 1200
这里有一条 重要的数学规律， 你们发现了吗？
举例验证
得出结论 6×2 ＝ 12 6×20 ＝ 120 6×200＝ 1200
5×4＝20 10×4＝40 20×4＝80
……
一个因数不变，另一个因 数乘几，积也乘几。
回顾过程
自主探索，小组合作交流
（观察发现—大胆猜测—举例验证—得出结论）
第二组 20×4＝ 80
（ ×）
2.两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘5，
积应该乘4。 （ ×）
3.两数相乘，一个因数除以10，另一个因数不变，
积也除以10。 （ √）
第二关:灵活机智
先算出每组题中第1题的积，再写出下面 两题的得数。
12×3＝ 36
48×5＝ 240 8×50＝ 400
120×3＝ 360 48×50＝ 2400 8×25＝ 200
四年级数学上册教案-4.积的变化规律34-人教版
小结
今天你学到什么？有什么想说的？
教学环节
教学过程
导入
1. 出示三道计算题，老师和学生进行比赛。（老师的速度快） 125×28= 125×14= 125×84= 2.指名学生说一说老师是怎样计算的。（激发学生的求知欲）
知识讲解 （难点突破）
1、自主探究，合作学习一。 （1）出示一组算式：
6×2=12 6×20=120 6×200=1200 先算一算，再想一想第一题与第二、第三题比较，因数发生了什么变化？积又发生了什么变化？ （2）汇报 ①第一个算式与第二个算式比较 ②第二个算是与第三个算式比较 ③第一个算式与第三个算式比较 （3）汇报完，观察这一组算式，用一句话说一说因数有什么变化，积又有什么变化。 （4）得出结论：两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘相同的数。 （5）验证结论：自己写一组这样的算式进行验证。 2、自主探究，合作学习二。 （1）改变观察顺序，继续观察这组算式，因数又有什么变化，积又有什么变化。
课ห้องสมุดไป่ตู้名称
积的变化规律
教学目标 经历探索积的变化规律的过程，感知推理的数学思想。
重难点分析
重点分析 难点分析
发现并运用积的变化规律，形成一定的归纳推理思想，数学建模思想具有一定 的难度。
学生通过对算式的观察，自主的去探索规律，验证规律，并使用规律。
通过小组合作，探究交流，初步获得探究规律的一般方法和经验，发展学生推理和思维能力。 教学方法
（2）汇报： ①第一个算式与第二个算式比较 ②第二个算是与第三个算式比较 ③第一个算式与第三个算式比较
（3）通过改变观察顺序，你又发现了什么？ （4）得出结论：两数相乘，一个因数不变，另一个因数除以几，积也除以相同的数。 （5）完善结论 问：这里的“几”可以是 0 吗？ （通过这样的问题，让学生发现 0 不能作除数） 从而得出完整的结论：两数相乘，一个因数不变，另一个因数除以几（0 除外），积也除以相同的 数。 （6）验证结论 3、归纳概括。 （1）出示得到的两个结论 问：你能用一句话把这两个结论概括一下吗？ 学生指名回答 （2）师生一起总结：两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0 除外），积也乘或除以 相同的数。 （3）揭示课题：这就是积的变化规律
四年级数学上册 第4讲：等积变形(学生版)(人教版)
第4讲 等积变形（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）1、三角形的面积=21底边长 高;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。
2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。
3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。
4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半；6、高之和等于平行四边形的高，且分别以这条高的两边为底的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半。
1、灵活运用三角形和四边形的面积公式2、掌握三角形的等积变形技巧（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）例1:如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？A B EC例2：正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中三角形BDF面积为多少平方厘米？GFHEC例3：图中三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积。
A DO例4：如下图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F,若三角形ADE 的面积为1，求三角形BEF的面积。
例5：如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？ADEB C例6：B C如图所示，长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，三角形CEF的面积是32平方厘米，则OG是多少厘米？1、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD 面积相等．2、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．3、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=4、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．5、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．6、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S △ADE=1，求△BEF的面积．1、如右图，AD DB=，AE EF FC==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是平方厘米．DA2、图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？CB3、如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y4、如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA5、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．6、右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．G4AB CDEF（不用添加内容，也不做修改）1、如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．2、如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．F E DCBA3、图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E D GCFBA4、在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．5、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
人教版小学四年级上册《积的变化规律》精品PPT课件
20×4 ﹦
根据上面算式的特点接下去写两道算式：
（ ）×4 ﹦ （ ）× 4 ﹦
自探提示
再认真观察刚才的算式，按下面方法思 考研究：
1、按照自上而下的顺序分别观察这几个算 式，其中一个 因数有何特点？另一个因数 有何变化？积有何变化？
2、你能总结出其中的规律吗？
算一算，看看发现了什么？ 我发现了
6×2＝ 12
（×10） （×10）
6×20＝ 120
第一个因数不变，第二个因 数不断变大，积也变大。
（×10） （×10） 两个数相乘，一个因
6×200＝1200 数不变，另一个因数
观察：与第一个算式比 较，第二个算式的因数
乘几，积也乘几。
是怎样变化的？积是怎
样变化的？
合作探究2：
80×4 = 320
合作探究1：
6×2﹦
6×20 ﹦
6×200﹦
根据上面算式的特点接下去写两道算式：
6×（ ） ﹦
6× （ ） ﹦
自探提示
再认真观察刚才的算式，按下面方法思 考研究：
1、按照自上而下的顺序分别观察这几个算 式，其中一个 因数有何特点？另一个因数 有何变化？积有何变化？
2、你能总结出其中的规律吗？
算一算，看看发现了什么？ 我发现了
12345679×(36)=444444444 12345679×( 54)=666666666
变，另一个因数乘以10，积也乘以10。
（√ ） 2、一个因数扩大4倍，积一定扩大4倍。（ × ）
检阅第二关
因数 20 40 40 400 因数 5 5 15 15
积 100200 6060000
两个数相乘,一个因数乘几,另一个因数 同时除以几,积不变.
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第4讲 等积变形
1、三角形的面积=
2
1
底边长 高;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。
2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。
3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。
4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；
5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半；
6、高之和等于平行四边形的高，且分别以这条高的两边为底的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半。
1、灵活运用三角形和四边形的面积公式
2、掌握三角形的等积变形技巧
例1:如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？
A B
E
C
例2：正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？ F
E C
例3：图中三角形AOB 的面积为15平方厘米,线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积。
例4：如下图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F,若三角形ADE 的面积为1，求三角形BEF 的面积。
E
D A F
例5：如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？
A
D
E
B C
例
6： A E D Array
B C
如图所示，长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，三角形CEF的面积是32平方厘米，则OG是多少厘米？
1、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD 面积相等．
2、如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
3、如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，
BE=EF=FC=
4、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
5、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
6、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S △ADE=1，求△BEF的面积．
1、如右图，AD DB
=，AE EF FC
==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC
∆的面积是平方厘米．
A
2、图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？
B
C
3、如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果24
AB=厘米，8
BC=厘米，求三角形ZCY的面积．
A
B
C D
Z Y
4、如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．
F
E D
C
B
A
5、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．
6、右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．
A
（不用添加内容，也不做修改）
1、如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．
2、如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．
F B
A
3、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．
E
G
C
B
4、在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．
5、如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
（1）求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？
（2）求三角形ABC 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？
6、两个正方形的边长分别为4cm ，3cm ，那么阴影部分面积是多少？
7、如图，在三角形ABC 中，8BC 厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？
A
F
E
C
B。