高中数学试题及答案解析
高中集合试题及答案解析
高中集合试题及答案解析一、选择题1. 集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，求A∩B的值。
A. {1, 2}B. {3}C. {4, 5}D. 空集答案：B解析：根据集合交集的定义，A∩B是指既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合。
在本题中，只有3同时属于集合A和集合B，因此A∩B={3}。
2. 如果集合A={x|x<5}，集合B={x|x>3}，求A∪B的值。
A. {x|x<3}B. {x|x<5}C. {x|x>=3}D. {x|x>=5}答案：C解析：集合并集的定义是将两个集合中所有的元素合并在一起，不重复计算。
在本题中，集合A包含所有小于5的数，集合B包含所有大于3的数。
因此，A∪B包含所有大于等于3的数，即{x|x>=3}。
二、填空题3. 若集合M={x|x²-5x+6=0}，请写出集合M的所有元素。
答案：{2, 3}解析：首先解方程x²-5x+6=0，通过因式分解得到(x-2)(x-3)=0，因此x=2或x=3。
所以集合M的元素为2和3。
4. 已知集合N={x|-2≤x≤2}，求集合N的补集。
答案：{x|x<-2或x>2}解析：集合N的补集是指所有不属于N的元素组成的集合。
根据N的定义，它的补集是所有小于-2或大于2的实数。
三、解答题5. 集合P={x|0<x<10}，集合Q={x|x是偶数}，求P∩Q，并说明其性质。
答案：P∩Q={2, 4, 6, 8}解析：集合P包含所有0到10之间的实数，而集合Q包含所有偶数。
因此，P∩Q包含所有既是0到10之间又是偶数的实数，即{2, 4, 6, 8}。
这个集合是有限集，且每个元素都是正偶数。
6. 已知集合R={x|x²-4=0}，求R的子集个数。
答案：4解析：集合R的元素可以通过解方程x²-4=0得到，即x=±2。
高中数学集合测试题(含答案和解析)
高中数学集合测试题(含答案和解析)一、单选题1．已知集合{}2|280{|1]M x x x N y y =--<=≥-，，则M N ⋂=（ ）A ．[-1，4)B ．[-1，2)C ．(-2，-1)D ．∅2．设集合{}1,0,1,2A =-，{}2230B x x x =+-<，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．163．已知2{|1}A x x ==，1|B x x a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，若B A ⊆，则a 的值为( )A ．1或－1B ．0或1或－1C ．1-D ．14．已知集合{}15A x N x ∈≤≤，{}05B x x =<<，则A B ⋃=（ ） A ．{}2,3,4 B ．{}1,2,3,4 C ．{}15x x ≤≤D ．{}05x x <≤5．设集合{}220A x x x =--≤，124x B x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则()A B ⋃=R（ ）A ．112x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭B ．{}1x x <-C ．12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭D ．{}1x x ≥-6．设集合{}{}(,)|20(,)|35A x y x y B x y x y =-==+=，，则A B =（ ） A ．{1,2} B ．{1,2}xyC ．（1，2）D ．{(1,2)}7．已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知集合{}{}22540,7100A x x x B x x x =-+<=-+<，则A B ⋃=（ ）A ．()1,2B ．()1,5C ．()2,4D ．()4,5 9．已知集合{}2{63},3100S x x T x x x =∈-<<=--<Z∣∣，则S T （ ） A ．{23}x x -<<∣ B ．{1,0,1,2}- C ．{52}xx -<<∣ D ．{2,1,0,1,2}--10．已知集合{},,A a b c =的所有非空真子集的元素之和等于12，则a b c ++的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知集合(){}30A x x x =-<，{}0,1,2,3B =，则A B =（ ） A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,212．设集合{}220A x x x =-≤，{}1,2,3B =，{}2,3,4C =，则()A B C =（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,413．已知集合{}ln 0A x x =>，{}221x B x -=<，则A B =（ ）A ．{}2x x <B ．{}1x x <C ．{}02x x <<D ．{}12x x <<14．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,4A =，{}2,3B =，则()U A B ⋂=（ ） A ．{}2B ．{}2,3C ．{}0,3D ．{}315．已知集合{}1e 1x M x -=>，{}220N x x x =-<，则MN =（ ）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．()0,1D ．()1,2二、填空题16．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，()1,2,,8i i x AB AP i =⋅=则用集合列举法表示i x 组成的集合______．17．已知全集U =R ，集合{}()3,,0A x x B ∞=≤-=-，则A B =________．18．等差数列{}n a 中15141024a a a a ++=+，513a a =. 若集合{}*122nn n N a a a λ∈<+++∣中仅有2个元素，则实数λ的取值范围是______．19．已知集合(){}2,M x y y x ==∣，(){},0N x y y ==，则M N =______.20．满足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数为______. 21．已知平面上两个点集()(){}22,|12,R,R M x y x y x y x y =+++∈∈，(){},|11,R,R N x y x a y x y =-+-≤∈∈，若MN ≠∅，则实数a的取值范围为___________..22．已知函数()51f x a x=-+-M ，集合{}9N x x =≥，若M N ⋂=∅，则实数a 的取值范围是_________.23．集合{}31A x x =-<，{}3782B x x x =-≥-，则A B =___________.24．已知函数()214f x x -A 为函数()f x 的定义域，集合B 为函数()f x 的值域，若定义{,A B x x A -=∈且}x B ∉，()()⊕=--A B A B B A ，则A B ⊕=___________.25．如图所示，U 为全集，A U ⊆，B U ⊆，用A 、B 表示图中的阴影部分的集合是______.三、解答题26．已知集合{}|123A x a x a =-≤≤+，{}|14B x x =-≤≤，全集U =R ． (1)当1a =时，求()U C A B ⋂；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．27．在①A B A ⋃=，②A B ⋂≠∅，③B A ⊆R这三个条件中任选一个，补充在下面问题(3)中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由． 已知一元二次不等式2320ax x -+>的解集为{1A x x =<或}x b >，关于x 的不等式()20ax am b x bm -++<的解集为B (其中m ∈R ).(1)求a ，b 的值； (2)求集合B ；(3)是否存在实数m ，使得_______.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).28．在①A B B ⋃=；②“x A ∈”是 “x B ∈”的充分不必要条件；③A B =∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合{}11A x a x a =-≤≤+，{}2230B x x x =--≤(1)当2a =时，求A B ；(2)若______，求实数a 的取值范围.29．已知集合702x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}123B x m x m =-≤≤-． (1)当6m =时，求集合A B ；(2)若{}58C x x =<≤，“()x A C ∈⋂”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围．30．设{}24,21,A a a =--，{}5,1,9B a a =--，已知{}9A B ⋂=，求a 的值.【参考答案】一、单选题 1．A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合M ，再根据集合的交运算求M N ⋂. 【详解】由题设，{|24}M x x =-<<，而{|1}N y y ≥-， 所以{|14}M N x x ⋂=-≤<. 故选：A 2．B 【解析】 【分析】求出集合B ，可求得集合A B ，确定集合A B 的元素个数，利用集合子集个数公式可求得结果. 【详解】因为{}{}223031B x x x x x =+-<=-<<，所以，{}1,0A B ⋂=-，则集合A B 的元素个数为2，因此，A B 的子集个数为224=. 故选：B. 3．A 【解析】 【分析】A ＝{－1，1}，若B A ⊆，则1a＝±1，据此即可求解﹒{}2{|1}1,1A x x ===-，11|B x x a a ⎧⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 若B A ⊆，则1a＝1或－1，故a ＝1或－1． 故选：A ． 4．D 【解析】 【分析】理解集合的含义，由并集的概念运算 【详解】{}15A x N x ∈≤≤，{}05B x x =<<，则A B ⋃={}05x x <≤故选：D 5．B 【解析】 【分析】分别化简集合A 与B ，再求A B ，最后求()RA B ⋃【详解】220x x --≤⇒()()120x x +-≤⇒12x -≤≤124x⎛⎫< ⎪⎝⎭222x-⇒<21x ⇒-<12x ⇒>- 即{}|12A x x =-≤≤，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭所以{}|1A B x x ⋃=≥- 所以(){}R|1AB x x =<-故选：B6．D 【解析】 【分析】 联立方程求解即可. 【详解】集合A 表示在直线2x -y =0上所有的点，集合B 表示3x +y =5上所有的点，所以联立方程2035x y x y -=⎧⎨+=⎩ ，解得x =1，y =2， ()1,2A B ⋂= ，即A 与B 的交集是点（1,2）；故选：D. 7．D 【解析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可. 【详解】解：因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<， 所以，实数a 的取值范围是31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ． 8．B 【解析】 【分析】先求出集合,A B ，再求A B 即可. 【详解】{}{}14,25A x x B x x =<<=<<，故A B ⋃=()1,5.故选：B. 9．B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式解得集合T ，再求S T 即可. 【详解】因为{63}S x x =∈-<<Z∣{}5,4,3,2,1,0,1,2=-----， {}23100T x x x =--<∣()(){}|520{|25}x x x x x =-+<=-<<，故S T {}1,0,1,2=-. 故选：B. 10．D 【解析】 【分析】根据真子集的定义进行求解即可. 【详解】因为集合{},,A a b c =的所有非空真子集为：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,a b c a b a c b c ， 所以有123()124a b c a b a c b c a b c a b c ++++++++=⇒++=⇒++=， 故选：D 11．D 【解析】 【分析】解不等式求得集合A ，由此求得A B . 【详解】因为()30x x -<的解为03x <<， 所以{}03A x x =<<，所以{}1,2A B =. 故选：D 12．C 【解析】 【分析】先求出集合A ，再按照交集并集的运算计算()A B C 即可. 【详解】{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤，{}(){}1,2,1,2,3,4A B A B C ==.故选：C. 13．D 【解析】 【分析】解指数和对数不等式可求得集合,A B ，由交集定义可得结果. 【详解】{}{}ln 01A x x x x =>=>，{}{}{}221202x B x x x x x -=<=-<=<，{}12A B x x ∴⋂=<<.故选：D. 14．D 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求得结果. 【详解】 由已知可得{}0,3UA =，因此，(){}U 3AB ⋂=，故选：D. 15．D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质解出集合M ，再由二次不等式的解法求出集合N ，最后求交集即可. 【详解】解：由1e 1x ->得10e e x ->，又函数e x y =在R 上单调递增，则10x ->，即{}1M x x =>， 又由220x x -<得02x <<，即{}02M x x =<<， 所以{}12M N x x ⋂=<<.故选：D.二、填空题 16．{}1【解析】 【分析】由空间向量的加法得：i i AP AB BP =+，根据向量的垂直和数量积得221AB AB ==，0i AB BP ⋅=计算即可.【详解】由题意得，()2i i i i x AB AP AB AB BP AB AB BP =⋅=⋅+=+⋅又AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，则0i AB BP ⋅=，所以221i i x AB AB BP AB =+⋅==， 则()1,2,,81i i x AB AP i =⋅==，故答案为：{}117．()3,0-【解析】 【分析】先求出{}3A x x =>-，进而求出交集. 【详解】{}3A x x =>-，()3,0A B =-故答案为：()3,0-18．924⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设列出d 与1a 的方程组，解出d 与1a ，从而可得到212322n n n a a a n n ++⋯++=，令23()2n n nf n +=，得出()f n 的单调性，即可求出λ的取值范围． 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设可知：11111141392443a a d a d a d a d a ++++=++⎧⎨+=⎩，解得：14a =，2d =，212(1)4232n n n a a a n n n -+++=+⨯=+， ∴212322n n na a a n n++⋯++=，令23()2n n n f n +=，则22211(1)3(1)34(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=-， 当2n <时，()()10f n f n +->， 当2n ≥时，()()10f n f n +-<，f ∴（1）f <（2）f >（3）f >（4）>，又f （1）2=，f （2）52=，f （3）94=，f （4）74=， 集合{}*12N |2n n n a a a λ∈<++⋯+中有2个元素，即集合*12N |2n n a a a n λ++⋯+⎧⎫∈<⎨⎬⎩⎭中有2个元素， [2λ∴∈，9)4．故答案为：924⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．19．(){}0,0【解析】 【分析】根据题意，得到两集合均为点集，联立20y x y ⎧=⎨=⎩求解，即可得出结果.【详解】因为集合(){}2,M x y y x ==∣表示直线2y x 上所有点的坐标，集合(){},0N x y y ==，表示直线0y =上所有点的坐标，联立20y x y ⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩则(){}0,0MN =.故答案为：(){}0,0. 20．7 【解析】 【分析】根据{}a {},,,M a b c d ⊆可知，M 中的元素应该是多于一个不多于{},,,a b c d 中的元素个数，由此可求得答案. 【详解】由{}a {},,,M a b c d ⊆可知，M 中的元素个数多于{}a 中的元素个数，不多于{},,,a b c d 中的元素个数 因此M 中的元素来自于b ,c,d 中，即在b ,c,d 中取1元素时，M 有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个， 故足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数有7个， 故答案为：7. 21．16,310⎡⎤-+⎣⎦【解析】 【分析】根据抛物线的定义可知集合M 是以原点()0,0为焦点，以直线10x y ++=为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，集合N 是以(),1a 为中心的正方形内部的点，数形结合先求出M N ⋂=∅时实数a 的取值范围，再求其补集即可求解.【详解】由()2212x y x y ++≥+可得()()221002x y x y ++≥-+-，点(),x y 到直线10x y ++=的距离大于等于点(),x y 到点()0,0的距离，所以点(),x y 的轨迹是以原点()0,0为焦点，以直线10x y ++=为准线的抛物线上及其凹口内侧的部分，即集合M 是以原点()0,0为焦点，以直线10x y ++=为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，由1x y +≤可得：001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或001x y x y <⎧⎪>⎨⎪-+≤⎩或001x y x y >⎧⎪<⎨⎪-≤⎩或001x y x y <⎧⎪<⎨⎪--≤⎩，作出其表示的平面区域如图所示：将该图象向上平移一个单位可得11x y +-≤的图象如图：将其向左或右平移a 个单位可得11x a y -+-≤的表示的平面区域，作出()2212x y x y ++=+对应的抛物线如图：将1y =代入()2212x y x y ++=+2420x x --=，解得：26x = 所以26116a <=M N ⋂=∅，将2y =代入()2212x y x y ++=+2610x x --=，解得：310x =， 当310a >时，M N ⋂=∅， 综上所述：当16310a ≤16,310a ⎡⎤∈⎣⎦时，M N ≠∅，故答案为：16,310⎡⎤⎣⎦. 22．(,8]-∞【解析】【分析】根据集合交集的性质，结合子集的性质进行求解即可.【详解】∵{}9,N x x M N =≥⋂=∅，∵{}9M x x ⊆<，∵{}1M x x a =<+，∴19a +≤，解得8a ≤，∴实数a 的取值范围是(,8]-∞. 故答案为：(,8]-∞23．{}34x x ≤<【解析】【分析】 求出{}24A x x =<<与{}3B x x =≥，进而求出A B .【详解】31x -<，解得：24x <<，故{}24A x x =<<，3782x x -≥-解得：3x ≥，故{}3B x x =≥，所以A B ={}34x x ≤< 故答案为：{}34x x ≤<24．11,0,122⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】【分析】根据()f x =.【详解】要使函数()f x =2140-≥x ，解得1122x -≤≤，所以11,22A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，函数()f x =[]0,1B =， {,A B x x A -=∈且}x B ∉102x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭,{,B A x x B -=∈且}x A ∉112x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭. ()()⊕=--A B A B B A 102x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭112x x ⎧⎫⋃<≤=⎨⎬⎩⎭11,0,122⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 故答案为：11,0,122⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 25．A B ⋂##B A ⋂【解析】 【分析】根据集合的运算法则求解．【详解】阴影部分是集合A 与集合B 的补集的公共部分，因此表示为：A B ⋂．故答案为：A B ⋂．三、解答题26．(1){}()10U C A B x x ⋂=-≤<(2)4a 或102a ≤≤【解析】【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件等价于A B ⊆.讨论A 是否为空集，即可求出实数a 的取值范围.(1)当1a =时，集合{}|05A x x =≤≤，{|0U C A x x =<或}5x >，{}()|10U C A B x x ⋂=-≤<．(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，则A B ⊆，①当A =∅时，123,4a a a ->+<-∴；②A ≠∅，则4a ≥-且11,234a a -≥-+≤，102a ∴≤≤. 综上所述，4a 或102a ≤≤． 27．(1)1、2；(2)当2m <时，(),2B m =；当2m =时，B =∅；当2m >时，()2,B m =；(3)若选①：2m ≥；若选②：1m <或2m >；若选③：12m ≤≤.【解析】【分析】(1)由题可知x ＝1是方程2320ax x -+=的解，由此即可求出a ，从而求出b ；(2)根据a 、b 的值即可分类讨论求解不等式，从而得到B ；(3)若选①，则B ⊆A ，分类讨论m 的范围即可；若选②，则根据题意分类讨论即可；若选③，则先求出A R ，分类讨论即可.(1)由一元二次不等式2320ax x -+>的解集为{1A x x =<或}x b >，得0a >，且方程2320ax x -+=的两根为1、b ， ∴0,31,21,a b ab a ⎧⎪>⎪⎪=+⎨⎪⎪=⨯⎪⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)由(1)可知()20ax am b x bm -++<即为()2220x m x m -++<，即()()20x m x --<．m ＜2时，2m x <<；m ＝2时，不等式无解；m ＞2时，2x m <<．综上，当2m <时，(),2B m =；当2m =时，B =∅；当2m >时，()2,B m =．(3)由(1)知{1A x x =<或}2x >，若选①：A B A ⋃=，则B A ⊆，当2m <时，(),2B m =，不满足；当2m =时，B =∅，满足；当2m >时，()2,B m =，满足；∴选①，则实数m 的取值范围是2m ≥；若选②：A B ⋂≠∅，当2m <时，(),2B m =，则1m <；当2m =时，B =∅，不满足；当2m >时，()2,B m =，满足；∴选②，则实数m 的取值范围是1m <或2m >；若选③：B A ⊆R ，A R []1,2=，当2m <时，(),2B m =，则m ≥1，∴12m ≤<；当2m =时，B =∅，满足;当2m >时，()2,B m =，不满足．∴选③，则实数m 的取值范围是12m ≤≤.28．(1){}|13A B x x ⋃=-≤≤(2)条件选择见解析，()(),24,-∞-+∞【解析】【分析】（1）化简集合A 与B 之后求二者的并集（2）先判断集合A 与B 的关系，再求a 的取值范围(1)当2a =时，集合{}|13A x x =≤≤，{}|13B x x =-≤≤，所以{}|13A B x x ⋃=-≤≤；(2)若选择①A ∪B ＝B ，则A B ⊆，因为{}|11A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅，又{}|13B x x =-≤≤， 所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得02a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是[]0,2．若选择②，“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ，因为{}|11A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅， 又{}|13B x x =-≤≤，所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,2．若选择③，A B =∅，因为{}|11A x a x a =-≤≤+，{}|13B x x =-≤≤，所以13a ->或11a +<-，解得4a >或2a <-，所以实数a 的取值范围是()(),24,-∞-+∞． 29．(1){|29}x x -<≤(2)56m ≤≤【解析】【分析】（1）先化简集合A ，由6m =解得集合B ，然后利用并集运算求解.（2）根据“()x A C ∈⋂”是“x B ∈”的充分条件，转化为A B ⊆求解.(1) 由702x x -≤+得：27x -<≤，即27{|}A x x =-<≤， 当6m =时，{|59}B x x =≤≤，所以{|29}A B x x ⋃=-<≤.(2) 因为{}58C x x =<≤，所以{}57A C x x ⋂=<≤，由“A C ”是“x B ∈”的充分条件，则()A C B ⋂⊆，则2312237556156m m m m m m m m -≥-≥⎧⎧⎪⎪-≥⇒≥⇒≤≤⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎩， 实数m 的取值范围是56m ≤≤.30．-3【解析】【分析】根据{}9A B ⋂=，分219a -=和29a =，讨论求解.【详解】解：因为{}24,21,A a a =--，{}5,1,9B a a =--，且{}9A B ⋂=，所以当219a -=时，解得5a =，此时{}{}4,9,25,0,4,9A B =-=-，不符合题意； 当29a =时，解得3a =或3a =-，若3a =，则{}{}4,52,9,9,,2B A =--=-，不成立；若3a =-，则{}{}4,7,9,8,4,9A B =--=-，成立；所以a 的值为-3.。
高一数学高中数学北师大版试题答案及解析
高一数学高中数学北师大版试题答案及解析1.扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且，则扇形的圆心角为。
【答案】【解析】设圆的半径为r,则扇形的半径为3r,根据,则.2.已知点与两个定点的距离之比为，则点的轨迹的面积为（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，设点，则，即，整理得，所以点的轨迹表示以为圆心，半径为的圆，所以面积为，故选C．【考点】轨迹方程的求法．3.已知棱长等于2的正四面体的四个顶点在同一个球面上，则球的半径长为，球的表面积为．【答案】；6π【解析】将正四面体补成正方体，再将正方体放在一个球体中，利用它们之间的关系求解．解：如图，将正四面体补形成一个正方体，∵正四面体为2，∴正方体的棱长是，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，∴2R=∴R=，球的表面积为6π．故填：；6π．点评：巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V﹣ABC的棱长为a，求外接球的半径，我们可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．4.电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（1≤X≤2013）等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求出P（X=0），即第0次首次测到正品，即全是次品的概率，从而可得结论．解：由题意，P（X=0）=∴P（1≤X≤2013）=1﹣P（X=0）=故选B．点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，考查学生的计算能力，属于中档题．5. 100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验放回，连检两次，恰一次为次品的概率为（）A．0.42B．0.3C．0.7D．0.21【答案】A【解析】设恰一次为次品为事件A，根据100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验放回，连检两次，可求基本事件的个数，从而可求恰一次为次品的概率．解：由题意，设恰有一次取出次品为事件A，则P（A）===0.42故选A．点评：本题考查的重点是概率知识的运用，解题的关键是确定基本事件的个数，应注意每次取出1件检验放回，属于基础题．6.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），．，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合，可求a．利用等比数列的求和公式可求，从而可求解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴从而可得单调递增，从而可得a＞1∵，∴a=2故=2+22+…+2n=∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*∴n=6故选：A点评：本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增．7.已知曲线y=x2的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．4B．3C．2D．【答案】C【解析】根据切点处的导数即为切线的斜率建立等式关系，解出方程，问题得解．解：设切点的横坐标为t==，解得t=2，y′|x=t故选C．点评：本题考查了导数的几何意义，切点处的导数即为切线的斜率，属于基础题．8.已知y=f（x）=ln|x|，则下列各命题中，正确的命题是（）A．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）=﹣B．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）无意义C．x≠0时，都有f′（x）=D．∵x=0时f（x）无意义，∴对y=ln|x|不能求导【答案】C【解析】利用绝对值的意义将函数中的绝对值去掉转换为分段函数；利用基本的初等函数的导数公式及复合函数的求导法则：外函数的导数与内函数的导数的乘积，分别对两段求导数，两段的导数合起来是f（x）的导数．解：根据题意，f（x）=，分两种情况讨论：（1）x＞0时，f（x）=lnx⇒f'（x）=（lnx）'=．（2）x＜0时f（x）=ln（﹣x）⇒f'（x）=[ln（﹣x）]'=（这里应用定义求导．）故选C点评：本题考查绝对值的意义、考查分段函数的导数的求法、考查基本初等函数的导数公式及简单的复合函数的求导法则．9.已知，则f′（）=（）A．﹣1+B．﹣1C．1D．0【答案】B【解析】本题先对已知函数进行求导，再将代入导函数解之即可．解：故选B．点评：本题主要考查了导数的运算，以及求函数值，解题的关键是正确求解导函数，属于基础题．10.空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【答案】C【解析】利用与同向共线的单位向量向量即可得出．解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，故选：C．点评：本题考查了与同向共线的单位向量向量，属于基础题．11.函数f（x）=xsinx+cosx的导数是（）A．xcosx+sinx B．xcosx C．xcosx﹣sinx D．cosx﹣sinx【答案】B【解析】利用和及积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式求出函数的导数．解：∵f（x）=xsinx+cosx∴f′（x）=（xsinx+cosx）′=（xsinx）′+（cosx）′=x′sinx+x（sinx）′﹣sinx=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx故选B点评：本题考查导数的运算法则、基本初等函数的导数公式．属于基础试题12.的导数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用导数的四则运算法则，按规则认真求导即可解：y′===故选A点评：本题考查了导数的除法运算法则，解题时认真计算即可，属基础题13.设函数f（x）在点x可导，则=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．不存在【答案】C【解析】利用导数的定义，把增量转化为2h，问题得以解决．解：==2f′（x）．故选C．点评：本题以函数为载体，考查导数的定义，关键是理解导数的定义，从而得解．14.已知点O为坐标原点，点A在x轴上，正△OAB的面积为，其斜二测画法的直观图为△O′A′B′，则点B′到边O′A′的距离为．【答案】2【解析】画出斜二测画法的直观图为△O′A′B′，求出正△OAB的边长，B′D′的长，然后求出点B′到边O′A′的距离．解：正△OAB的面积为，边长为2，O′A′=2D′为O′A′的中点，B′D′=所以点B′到边O′A′的距离：cos45°=故答案为：点评：本题考查斜二测法画直观图，点、线、面间的距离计算，考查计算能力，记住结论平面图形和直观图形面积之比为2．15.一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，直观图的底角为45°，两腰和上底边长均为1，则这个平面图形的面积为．【答案】2+【解析】根据斜二测化法规则画出原平面图形，可知水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故答案为：2+．点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则，正确画出原平面图形是解题的关键．16.如图是某一问题的算法程序框图，它反映的算法功能是．【答案】计算|x|的值．【解析】从赋值框输入的变量x的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．解：框图首先输入变量x的值，判断x≥0，执行输出x；否则，输出x的相反数：﹣x．算法结束．故此算法执行的是计算|x|的值．故答案为：计算|x|的值．点评：本题考查了程序框图中的选择结构，选择结构是先判断后执行，满足条件时执行一个分支，不满足条件执行另一个分支，此题是基础题．17.执行程序框图，输出的T= ．【答案】30．【解析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量T的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解：按照程序框图依次执行为S=5，n=2，T=2；S=10，n=4，T=2+4=6；S=15，n=6，T=6+6=12；S=20，n=8，T=12+8=20；S=25，n=10，T=20+10=30＞S，输出T=30．故答案为：30．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．18.变量y是变量x的函数，则（）A．变量x，y之间具有依赖关系B．变量x是变量y的函数C．当x每取一个值时，变量y可以有两个值与之对应D．当y每取一个值时，变量x有唯一的值与之对应【答案】A【解析】根据函数的定义去判断．解：变量y是变量x的函数，所以变量x，y之间具有依赖关系．故A正确．故选A．点评：本题主要考查函数的定义，比较基础．19.下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是（）A．y=x﹣1B．y=C．y=3x2+D．y2=x2【答案】D【解析】一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数．记做y=f（x）．分别利用函数的定义去判断，其中D中x对应y的取值不唯一．解：根据函数的定义可知A，B，C满足函数的定义．在D中当x=1时，y=±1；当y=2时，x=±2，不符合函数的定义．故选D．点评：本题考查函数的定义，函数的定义要求对于A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素对应．否则不能构成函数．20.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为 ()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}【答案】B【解析】集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}.故选B.【考点】集合的表示方法点评：列举法是把集合中的所有元素一一写出的方法。
高中数学集合测试题(附答案和解析)
高中数学集合测试题(附答案和解析)一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}3,4,5A =，{}2,3,4B =，则()U AB =（ ）A ．{}1,3,5B ．{}1,2,5C ．{}1,5D ．{}2,5 2．设集合{}22M x Z x =∈-<，则集合M 的真子集个数为（ ）A ．16B ．15C ．8D ．7 3．如图，已知集合{A =1-，0，1，2}，{|128}x B x N +=∈<≤，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{1，2}B ．{1-，0，3}C ．{1-，3}D ．{0，1，2} 4．已知集合{}1,2,3A =，{}20B x x =-<，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,2,3 5．设集合{}|3,A x x x R =<∈，{}1,2,3B =，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}1,0,1-6．已知集合{}20A x x =-≤≤，{}21B x x =>，则A B ⋃=（ ） A ．[)2,1--B ．[]()2,01,-⋃+∞C ．(](),01,-∞⋃+∞D ．[)2,1-7．已知集合{}21A x x =<，{}e 2x B x =<，则A B =（ ） A ．()1,1- B ．()1,ln 2- C ．()0,ln 2 D ．()ln 2,1 8．已知集合(){}30A x x x =-<，{}0,1,2,3B =，则A B （ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2 9．已知集合11A x x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{}log 4x y x =-，则A B =（ ） A ．{}41xx -<<∣ B ．{}14x x -<< C ．{}14x x << D ．{}1x x ≥-10．已知集合{}21A x x =-<<，{}03B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ）A ．{}01x x ≤<B ．{}23x x -<≤C ．{}13x x <≤D ．{}01x x <<11．已知集合1144A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，12B x a x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[)0,∞+D ．[)1,+∞12．已知集合{}22280,03x A x x x B x x -⎧⎫=--≤=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．{}42x x -≤≤B ．{42x x -≤≤且3}x ≠-C ．{}34x x -≤≤ D ．{34}x x -<≤ 13．已知全集{}0,1,2,3,4,5U A B ==，(){}1,2,4U AB =，B =（ ） A ．{}0B ．{}3,5C ．{}0,3,5D ．{}1,2,4 14．已知集合{|13}A x x =-<<，1,{}1,2B =-，则A B =（ ） A ．{}1,2B ．{}1,1,2-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2,3- 15．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A ．某班视力较好的同学B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数二、填空题16．已知(){}22,1,01M x y x y y =+=<≤，(){},,N x y y x b b R ==+∈，如果M N ≠∅，那么b 的取值范围是______．17．集合*83A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法可以表示为A =_________． 18．已知集合(){}(){},24,,5A x y x y B x y x y =-==+=∣∣，则A B 中元素个数为__________．19．某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人.已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有___________人.20．若集合{}2210A x x x =-+=，{}210B x x =-=，则A ______B ．（用符号“⊂”“=”或“⊃”连接）21．若集合{}3cos23,x A x x x R π==∈，{}21,B y y y R ==∈，则A B ⋂=_______． 22．设α：()124R m x m m +≤≤+∈；β：13x ≤≤．若β是α的充分条件，则实数m 的取值范围为______．23．某学校开设校本课程，高一（2110）班确定了数学类､英语类､历史类三个类别校本课程供班上的40名学生选择参加，且40名学生全部参与选择.其中只选数学类的有8人，只选英语类的有8人，只选历史类的有8人，既选数学类又选英语类的有7人，既选数学类又选历史类的有11人，既选英语类又选历史类的有8人，则三类课程都选择参加的有___________人.24．若全集{}0,1,2,3,4U =，{}0,1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B ⋃=______.25．判断下列命题的真假：（1）集合{}1,2,3是集合{}1,2,3的真子集；( )（2）{}1是集合{}1,2,3的元素；( )（3）2是集合{}1,2,3的子集；( )（4）满足{}{}00,1,2,3A 的集合A 的个数是322-个．( )三、解答题26．已知{}28200P x x x =--≤，非空集合{}11S x m x m =-≤≤+.若x P ∈是x S ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.27．已知集合{}26A x x =-≤≤，{}11,0B x m x m m =-≤≤+>.(1)若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围；(2)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求m 的取值范围.28．已知函数2()327mx n h x x +=+为奇函数，||1)3x m k x ﹣（）=( ，其中R m n ∈、 ． (1)若函数h （x ）的图象过点A （1，1），求实数m 和n 的值；(2)若m =3，试判断函数11()+()()f x h x k x =在[3x ∈+∞，）上的单调性并证明； (3)设函数()()(),39,3h x x g x k x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若对每一个不小于3的实数1x ，都恰有一个小于3的实数2x ，使得12g x g x （）＝（） 成立，求实数m 的取值范围．29．已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >．(1)若A B =∅，求a 的取值范围；(2)若A B A =，求a 的取值范围．30．已知U =R ，{}2=160A x x -<，{}2=3180B x x x -++>，求A B ，A B ．【参考答案】一、单选题1．B【解析】【分析】根据给定条件，利用交集、补集的定义直接计算作答.【详解】集合{}3,4,5A =，{}2,3,4B =，则{3,4}A B =，而全集{}1,2,3,4,5U =，所以(){1,2,5}U A B ⋂=. 故选：B2．D【解析】【分析】求出集合M 中的元素，再由子集的定义求解．【详解】由题意{|04}{1,2,3}M x Z x =∈<<=，因此其真子集个数为3217-=．故选：D ．3．B【解析】【分析】由题知{}1,2,3B =，进而得{}1,2A B =，再求阴影部分表示的集合即可.【详解】解：解不等式128x <≤得03x <≤，所以{}1,2,3B =，因为{A =1-，0，1，2}，所以{}1,2A B =所以，图中的阴影部分表示的集合为{}1,0,3-.故选：B4．A【解析】【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】 由题意，集合{}{}202B x x x x =-<=<，又由{}1,2,3A =，根据集合交集的概念及运算，可得{}1A B ⋂=.故选：A.5．C【解析】【分析】求出集合A 的解集，取交集运算即可.【详解】因为{}|33A x x =-<<，{}1,2,3B =，所以{}1,2A B =.故选：C.6．C【解析】【分析】解不等式求得集合B ，由此求得A B .【详解】()()21,110x x x >+->，解得1x <-或1x >，所以()(),11,B =-∞-⋃+∞，所以(](),01,A B ⋃=-∞⋃+∞.故选：C7．B【解析】【分析】由已知，分别求解出集合A 、集合B 的范围，然后直接求解交集即可.【详解】 由已知，集合{}21A x x =<，即集合{}11A x x =-<<， 集合{}2x B x e =<，即集合{}ln 2B x x =<， 因为11ln ln 21ln e e-=<<=，所以A B ={}1ln 2x x -<<.故选：B.8．D【解析】【分析】先化简集合A ，继而求出A B .【详解】解：(){}{}30=03A x x x x x =-<<<，{}0,1,2,3B =，则A B ={}1,2.故选：D.9．B【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再求两集合的交集即可【详解】 解：由11x x -<+得2101x x x ++>+， 因为210x x ++>恒成立，所以1x >-，即{}1A x x =>-.由函数2log y =4x <，即{}4B x x =<. 所以{}14A B x x ⋂=-<<.故选：B10．B【解析】【分析】根据集合的并集计算即可.【详解】{}21A x x =-<<，{}03B x x =≤≤{}|23A B x x ∴=-<≤，故选：B11．C【解析】【分析】解不等式求得集合A ，对a 进行分类讨论，根据B 是A 的子集列不等式，从而求得a 的取值范围. 【详解】1111111,,0,0,4444422x x x A ⎛⎫-<-<-<<<= ⎪⎝⎭，当12a ≥时，B =∅，满足B A ⊆. 当12a <时，由于B A ⊆，所以102a ≤<. 综上所述，a 的取值范围是[)0,∞+.故选：C12．D【解析】【分析】分别解一元二次不等式以及分式不等式得集合A ，B ，再进行并集运算即可.【详解】 因为{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，{}20323x B x x x x -⎧⎫=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭， 所以{}34A B x x ⋃=-<≤，故选：D.13．C【解析】【分析】根据条件可得1,2,4∈U B ，则1,2,4B ∉，结合条件即可得答案. 【详解】因为(){}1,2,4U A B =，所以1,2,4∈U B ，则1,2,4B ∉，又{}0,1,2,3,4,5U A B ==，所以0,3,5B ∈，即{}0,3,5B =.故选：C14．A【解析】【分析】根据交集运算求A B【详解】{|13}A x x =-<<，1,{}1,2B =-，{1,2}A B ∴=，故选：A15．D【解析】【分析】根据集合的定义分析判断即可.【详解】对于A ，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于B ，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于C ，π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位，不是明确的定义，故不能构成集合；对于D ，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；故选：D.二、填空题16．(1,2⎤-⎦【解析】【分析】数形结合，进行求解.【详解】M 是以原点为圆心，1为半径的圆位于x 轴上方部分上的点，N 为直线y x b =+上的点，如图，当直线过点()1,0时，此时11b =-，当直线与半圆相切时，此时圆心到直线距离111bd ==+，解得：22b =±，因为直线与y 轴交点在y 轴正半轴，故22b =，由图可知：b 的取值范围是(1,2⎤-⎦.故答案为：(2-17．{1,2}##{2,1}【解析】【分析】根据集合元素属性特征进行求解即可.【详解】因为83N x *∈-，所以31,2,4,8-=x ，可得2,1,1,5=--x ，因为x N ∈，所以1,2x =，集合{1,2}A =．故答案为：{1,2}18．1【分析】利用交集的定义直接求解.【详解】∵集合(){},24A x y x y =-=∣，(){},5B x y x y =+=∣， ∴()(){}24,3,25x y A B x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪⋂==⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭， ∴A B 中元素个数为1.故答案为：1.19．12【解析】【分析】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有x 人，列方程求解即可.【详解】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有x 人，则31264512x =+-=. 故答案为：12.20．⊂【解析】【分析】先化简集合A 、B ，再去判断集合A 、B 间的关系即可解决.【详解】{}{}22101A x x x =-+==，{}{}2101,1B x x =-==-，则A B ⊂ 故答案为：⊂21．{}1【解析】【分析】易知{}1,1B =-，分别验证1,1-和集合A 的关系即可得结果.【详解】 因为{}{}21,1,1B y y y R ==∈=-，13cos 23π=，()13cos 23π--≠，即1A ∈，1A -∉， 所以{}1A B ⋂=，故答案为：{}1.22．102m -≤≤【解析】【分析】根据给定条件可得β所对集合包含于α所对集合，再利用集合的包含关系列式作答.令α所对集合为：{|124(R)}x m x m m +≤≤+∈，β所对集合为：{|13}x x ≤≤， 因β是α的充分条件，则必有{|13}{|124(R)}x x x m x m m ≤≤⊆+≤≤+∈，于是得11243m m +≤⎧⎨+≥⎩，解得102m -≤≤， 所以实数m 的取值范围为102m -≤≤. 故答案为：102m -≤≤ 23．5【解析】【分析】设三类课程都选择参加的学生有x 人，由题意得()()()83711840x x x x ⨯+-+-+-+=，解方程可求得结果【详解】设三类课程都选择参加的学生有x 人，由题意得()()()83711840x x x x ⨯+-+-+-+=，解得5x =.故答案为：524．{}0,1,4【解析】【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】 由已知{4}A =，{0,1}B =，所以{0,1,4}A B =．故答案为：{0,1,4}．25． 假 假 假 真【解析】【分析】（1）利用真子集的定义即可判断．（2）由集合与集合的关系即可判断真假．（3）由元素与集合的关系即可判断真假．（4）由真子集的定义即可找到满足条件集合A 的个数．【详解】（1）因为{}1,2,3的真子集有{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3∅，所以{}1,2,3不是{}1,2,3真子集，命题为假命题．（2）{}1是集合，因此不是{}1,2,3的元素，命题为假命题．（3）因为2是元素，因此不是{}1,2,3的子集，命题为假命题．（4）若{}0A ，所以集合A 中至少含有两个元素且其中一个必须为0，又因为{}0,1,2,3A ，所以集合A 可以从1,2,3中再选取一个元素、或者两个元素，所以满足条件的集合A 把∅和{}0,1,2,3去掉，所以满足条件集合A 的个数为322-个，命题为真命题． 故答案为：假；假；假；真三、解答题26．[]0,3.【解析】【分析】先解出集合P ，由x P ∈是x S ∈的必要不充分条件得出S P ，又S 为非空集合，解不等式求出m 的取值范围即可.【详解】由28200x x --≤，得210x -≤≤，∴{}210P x x =-≤≤.∵S 为非空集合，∴11m m -≤+，解得0m ≥. 又∵x P ∈是x S ∈的必要不充分条件，则S P ， ∴12,110,m m -≥-⎧⎨+≤⎩且不能同时取等，解得3m ≤. 综上，m 的取值范围是[]0,3.27．(1)(0,3](2)[5,)+∞【解析】【分析】（1）根据A B A ⋃=，由B A 求解;（2）根据x A ∈是x B ∈的充分条件，由A B 求解.(1) 解：因为{}26A x x =-≤≤，{}11,0B x m x m m =-≤≤+>，且 A B A ⋃=，所以B A ，则01216m m m >⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩， 解得03m <≤，所以实数m 的取值范围是(0,3]；(2)因为x A ∈是x B ∈的充分条件，所以A B ，则01216m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩， 解得5m ≥，所以m 的取值范围是 [5,)+∞.28．(1)30,0m n ==(2)单调递增，证明见解析(3)(0,6)【解析】【分析】（1）运用奇函数的定义可得0n =，再由()h x 图象经过点(1,1)，解方程可得m ； （2）39()3x f x x x-=++在[3，)∞+递增．运用单调性的定义，结合因式分解和指数函数的单调性，即可得证；（3）求得当3x 时，2()()273273mx m g x h x x x x ===++；当3x <时，||1()9()9()3x m g x k x -==⋅;分别讨论0m ，03m <<，3m ，运用基本不等式和函数的单调性，求得m 的范围．(1) 函数2()327mx n h x x +=+为奇函数， 可得()()h x h x -=-，即22327327mx n mx n x x -++=-++，则0n =， 由()h x 的图象过(1,1)A ，可得h （1）1=，即130m n +=， 解得30m =，故30,0m n ==；(2)3m =，可得39()3x f x x x -=++，[3,)x ∈+∞，()f x 在[3,)+∞ 上递增．证明：设123x x <，则123312121299()()33x x f x f x x x x x ---=++--- 12331221129()33x x x x x x x x ---=-⋅+-， 由123x x <，可得210x x ->，129x x >，1233330x x ---<，则12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，可得()f x 在[3，)∞+递增；(3)当3x 时，2()()273273mx m g x h x x x x===++；当3x <时，||1()9()9()3x m g x k x -==⋅．①0m 时，13x ∀时，1111()()0273m g x h x x x ==+；23x ∀<时，2||221()9()9)30(x m g x k x -==>⋅不满足条件，舍去；②当03m <<时，13x ∀≥时，1111()()(0273mg x h x x x ==∈+，]18m ， 23x ∀<时，2||0x m -≥，2||221()9()9()(03x m g x k x -==⋅∈，9]， 由题意可得(0，](018m ⊆，9]，可得918m ，即162m ； 综上可得03m <<； ③当3m 时，13x ∀≥时，1111()()(0273mg x h x x x ==∈+，]18m ， 23x ∀<时，2||30x m m ->-，2||221()9()9()(03x m g x k x -==⋅∈，319())3m -⋅， 由题意可得(0，](018m ⊆，319())3m -⋅， 可得5318m m -<，可令5()318x x H x -=-，则()H x 在R 上递减，(6)0H =， 故由5318m m -<，可得6m <，即36m <， 综上可得06m <<，所以m 的取值范围是(0,6)．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，考查分类讨论思想方法和化简整理的运算能力，属于难题．29．(1)[]1,2-(2)()(),45,-∞-+∞【解析】【分析】（1）根据交集的定义，列出关于a 的不等式组即可求解；（2）由题意，A B ⊆，根据集合的包含关系列出关于a 的不等式组即可求解；(1) 解：∵{}3,{1A x a x a B x x =≤≤+=<-或5}x >，且A B =∅， ∴135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤， ∴a 的取值范围为[]1,2-；(2) 解：∵{}3,{1A x a x a B x x =≤≤+=<-或5}x >，且A B A =，∴A B ⊆，∴31a +<-或5a >，即4a或5a >， ∴a 的取值范围是()(),45,-∞-+∞.30．{}=34A B x x ⋂-<<,{}=46A B x x ⋃-<<【解析】【分析】先化简集合A 、B ，再去求A B 、A B 即可解决.【详解】{}{}2=16044A x x x x -<=-<< {}{}2=318036B x x x x x -++>=-<< 则{}{}{}=443634A B x x x x x x ⋂-<<⋂-<<=-<< {}{}{}=443646A B x x x x x x ⋃-<<⋃-<<=-<<。
高中数学试题及答案解析
高中数学试题及答案解析导语：本文为高中数学试题及答案解析，旨在帮助学生巩固数学知识，提高解题能力。
以下是一些常见的高中数学试题及其答案解析，希望对你有所帮助。
一、函数与方程1. 题目：已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(4) 的值。
解析：将 x 替换为 4，带入函数 f(x)。
计算得 f(4) = 2 * 4 + 3 = 11。
2. 题目：已知方程 3x + 2y = 10，求解 x 和 y 的值。
解析：将方程转化为解 x 或 y 的形式。
令 x = (10 - 2y) / 3，代入原方程得 3 * ((10 - 2y) / 3) + 2y = 10。
整理得到 y = 2，代入方程求解得 x = 2。
二、平面几何1. 题目：在平面直角坐标系中，点 A(2, 3)、B(5, -1) 和 C(-1, -4) 三点共线吗？解析：计算向量 AB 和向量 BC 的叉积，若结果为零，则说明三点共线。
向量 AB 的坐标表示为 (5 - 2, -1 - 3) = (3, -4)；向量 BC 的坐标表示为 (-1 - 5, -4 - (-1)) = (-6, -3)。
计算叉积得 (3 * (-3) - (-4) * (-6)) = 18 - 24 = -6。
由于叉积不为零，因此三点不共线。
2. 题目：已知一个圆的半径为 5cm，求其周长和面积。
解析：圆的周长公式为C = 2πr，其中 r 为半径。
带入半径 5cm，得周长C = 2π * 5 = 10π cm。
圆的面积公式为A = πr²，代入半径 5cm，得面积A = π * 5² = 25π cm²。
三、概率与统计1. 题目：甲、乙、丙三个人参加抽奖活动，每人有1/3的概率中奖。
求至少有两个人中奖的概率。
解析：计算甲、乙、丙三人都不中奖的概率为 (2/3) * (2/3) * (2/3) =8/27。
至少有两人中奖的概率为 1 - 8/27 = 19/27。
高中数学集合测试题(附答案和解析)
高中数学集合测试题(附答案和解析)一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4A =，2{|log ,}B y y x x x A ==-∈，则A B =（ ） A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}1,2,3D ．{}1,3,42．已知集合{A xy =∣，{}0,1,2,3B =，则A B =（ ） A ．{3} B ．{2,3} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2,3}3．已知集合{}1,2,3A =，{}21,B y y x x A ==-∈，则A B =（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,2,3 C ．{}1,3D ．{}1,2,3,54．已知集合{}2|8120A x x x =-+<，{|14}B x Z x =∈<<，则A B =（ ）A ．{1，2}B ．{}2,4C ．{3}D ．∅5．已知集合{}N 15A x x =∈≤≤，{}05B x x =<<，则A B =（ ） A ．{}2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}15x x ≤≤D ．{}15x x ≤<6．已知R 为实数集，集合{}{}2340,ln(1)A x x x B x y x =--≤==-，则R A B ⋃=（ ）A ．{}14x x <≤B ．{}11x x -≤≤C ．{}1x x ≥-D ．{}4x x ≤7．已知集合{}{}2230,1A x x x B x x =--<=≤，则R()A B ⋂=（ ）A ．(,1][1,)∞∞--⋃+B ．(,1](1,)-∞-⋃+∞C ．(]1,1-D ．[1,1)- 8．已知集合{}{}|2,|(1)0A x x B x x x =>=->，则A B ⋃=（ ） A ．（-∞，0） B ．()(),01,-∞⋃+∞ C ．()(),02,-∞⋃+∞D ．（2，+∞）9．设集合(){}ln 2A x y x ==-，{}13B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．(]2,3 B ．[)1,+∞ C ．()2,+∞D ．(],3-∞10．已知集合{|12}A x x =-<≤，{}2,1,0,2,4B =--，则()R A B ⋂=（ ） A ．∅B ．{}1,2-C ．{}2,4-D ．{}2,1,4--11．已知函数()2log f x x =，()2g x a x =-，若存在[]12,1,2x x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),25,-∞⋃+∞ B ．(][),25,-∞⋃+∞ C ．()2,5D ．[]2,512．已知集合(){},M x y y x ==，(){}22,|1N x y xy =+=，M N A ⋂=，则A 中元素个数为（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．4 13．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,4A =，{}2,3B =，则()U A B ⋂=（ ） A ．{}2B ．{}2,3C ．{}0,3D ．{}314．集合N A x x ⎧⎫=∈⎨⎬⎭⎩31，()}{N log B x x =∈+≤211，S A ⊆，S B ⋂≠∅，则集合S 的个数为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．815．设集合{}260A x x x =--≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则=a （ ） A ．4-B ．2-C ．2D ．4二、填空题16．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，()1,2,,8i i x AB AP i =⋅=则用集合列举法表示i x 组成的集合______．17．如图，用集合符号表述下列点､直线与平面之间的关系.（1）点C 与平面β：___________； （2）点A 与平面α：___________；（3）直线AB 与平面α：___________； （4）直线CD 与平面α：___________.18．若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤﹐则A B =_________． 19．已知集合{}1,2,3,4,A =，{}1,4,7,10,B =，下有命题：①{} 2,3,5,6,8,9,AB =；②若f 表示对二个数乘以3减去2的运算，则对应:f A B →表示一个函数； ③A 、B 两个集合元素个数相等； ④n A ∀∈，22n n ≥. 其中真命题序号是______.20．已知{}3A x a x a =≤≤+，{}15b x x =-<<，A B =∅，则实数a 的取值范围是______ 21．集合(){},A x y y a x ==，(){},B x y y x a ==+，C AB =，且集合C 为单元素集合，则实数a 的取值范围是________.22．已知[]x 表示不超过x 的最大整数.例如[2.1]2=，[ 1.3]2-=-，[0]0=，若{[]}A y y x x ==-∣，{0}∣=≤≤B y y m ，yA 是yB ∈的充分不必要条件，则m 的取值范围是______.23．已知集合{1,2,3}A =，则满足A B A ⋃=的非空集合B 有_________个．24．已知集合{}1,0,1A =-，{}220B x x x =-=，则A B ⋃=______．25．写出集合{1,1}-的所有子集______.三、解答题26．（1）已知全集{}|510,Z U x x x =-≤≤∈，集合M ={|07,Z x x x ≤≤∈}，N ={|24,Z x x x -<∈≤}，求()U N M （分别用描述法和列举法表示结果）；（2）已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B =⋃=，若集合{}2,4,6,8UA B =，求集合B ；（3）已知集合2{|210,R,R}P x ax ax a x =++=∈∈，当集合P 只有一个元素时，求实数a 的值，并求出这个元素.27．函数()()sin 22sin cos 1a x f x a x x +=+-.(1)若1a =，,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，求函数()f x 的值域；(2)当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，且()f x 有意义时，①若(){}0y y f x ∈=，求正数a 的取值范围； ②当12a <<时，求()f x 的最小值N .28．已知集合2111x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{(1)(2)0}B x x x m =-+<． (1)当1m =时，求A B ；(2)已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数m 的取值范围．29．已知集合{|lg(3)A x y x ==-，2{|9200}B x x x =-+≤，{|121}C x a x a =+≤<-.若()C A B ⊆，求实数a 的取值范围.30．已知U =R ，{}2=160A x x -<，{}2=3180B x x x -++>，求A B ，A B ．【参考答案】一、单选题 1．A 【解析】 【分析】根据对数的运算求出集合B ，再根据交集的定义可求出结果. 【详解】当1x =时，21log 11y =-=， 当2x =时，22log 21y =-=， 当3x =时，23log 3y =-， 当4x =时，24log 42y =-=， 所以2{1,2,log 3}B =， 所以A B ={1,2}. 故选：A 2．C 【解析】 【分析】先由y =A ，再根据集合交集的原则即可求解.【详解】对于集合A ，10x -≥，即1≥x ，则{}1A x x =≥， 所以{}1,2,3A B =， 故选：C 3．C 【解析】 【分析】根据题意求出集合B ，在和集合A 取交集即可. 【详解】因为集合{}1,2,3A =，{}21,B y y x x A ==-∈， 所以{}1,3,5B =，所以{}1,3A B =， 故选：C. 4．C 【解析】 【分析】解出不等式28120x x -+<，然后可得答案. 【详解】因为{}{}2|8120|26A x x x x x =-+<=<<，{}{}142,3B x Z x =∈<<=所以{}3⋂=A B ， 故选：C 5．B 【解析】 【分析】由集合的交运算求A B 即可. 【详解】由题设，集合{}1,2,3,4,5A =，{}05B x x =<<， 所以{}1,2,3,4A B ⋂=. 故选：B 6．D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据对数型函数的定义域求出集合B ，最后根据补集、并集的定义计算可得； 【详解】解：由2340x x --≤，即410x x ，解得14x -≤≤，即{}{}234014A x x x x x =--≤=-≤≤，又(){}{}ln 11B x y x x x ==-=，所以{}|1R B x x =≤，所以{}4R A B x x ⋃=≤； 故选：D 7．B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合A 、解绝对值不等式求集合B ，再应用集合的交补运算求R()A B .【详解】由题设，{|13},{|11}A x x B x x =-<<=-≤≤， 所以1{|1}A B x x =-<≤，则R(){|1A B x x ⋂=≤-或1}x >.故选：B 8．B 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据并集的定义计算可得； 【详解】解：由(1)0x x ->，解得1x >或0x <，所以{}|(1)0{|1B x x x x x =->=>或0}x <，又{}|2A x x =>，所以()(),01,A B ⋃=-∞⋃+∞；故选：B 9．B 【解析】 【分析】根据对数型函数的性质，结合集合并集的定义进行求解即可. 【详解】因为(2,)A =+∞，{}13B x x =≤≤， 所以A B ⋃=[)1,+∞， 故选：B 10．D 【解析】 【分析】 利用补集定义求出A R，利用交集定义能求出()A B R ．【详解】解：集合{|12}A x x =-<≤，{}2,1,0,2,4B =--， 则R{|1A x x =≤-或2}x >，(){}R 2,1,4A B ∴⋂=--． 故选：D 11．D【分析】根据条件求出两个函数在[1,2]上的值域，结合若存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x =，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可． 【详解】当12x ≤≤时，22log 1()log 2f x ≤≤，即0()1f x ≤≤，则()f x 的值域为[0，1]， 当12x ≤≤时，4()2a g x a -≤≤-，则()g x 的值域为[4,2]a a --， 因为存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x =， 则[4,2][0,1]a a --≠∅ 若[4,2][0,1]a a --=∅， 则14a <-或02a >-， 得5a >或2a <，则当[4,2][0,1]a a --≠∅时，25a ≤≤， 即实数a 的取值范围是[2,5]，A ，B ，C 错，D 对. 故选：D ． 12．B 【解析】 【分析】联立方程，解方程组，考察方程组的解的组数，即为集合A 的元素个数； 【详解】联立方程得221y x x y =⎧⎨+=⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以集合M 与N 的交集A 中的元素个数为2个； 故选：B. 13．D 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求得结果. 【详解】 由已知可得{}0,3UA =，因此，(){}U 3AB ⋂=，故选：D. 14．C 【解析】 【分析】根据分式不等式和对数不等式求出集合A 和B ，利用交集的定义 和集合的包含关系即可求解.由x31，得03x <≤， 所以}{N,,A x x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎭⎩31123. 由()log x +≤211，得11x -<≤． 所以()}{}{N log ,B x x =∈+≤=21101．由S A ⊆，S B ⋂≠∅，知S 中必含有元素1，可以有元素2,3．所以S 只有{}1，{}12，，{}13，，{}123，，，即集合S 的个数共4个． 故选：C. 15．B 【解析】 【分析】先求出集合,A B ，再根据交集的结果求出a 即可. 【详解】由已知可得{}23A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭又∵{}21A B x x ⋂=-≤≤，∴12a-=， ∴2a =-． 故选：B ．二、填空题 16．{}1【解析】 【分析】由空间向量的加法得：i i AP AB BP =+，根据向量的垂直和数量积得221AB AB ==，0i AB BP ⋅=计算即可.【详解】由题意得，()2i i i i x AB AP AB AB BP AB AB BP =⋅=⋅+=+⋅又AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，则0i AB BP ⋅=，所以221i i x AB AB BP AB =+⋅==， 则()1,2,,81i i x AB AP i =⋅==，故答案为：{}117． C β∉ A α AB B α⋂= CD α⊂【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系，由图可写出答案 【详解】(1)C 为元素，平面β为集合，所以，由图可得C β∉.(2)A 为元素，平面α为集合，所以，由图可得A α.(3)直线AB 为集合，平面α为集合，所以，由图可得AB B α⋂=. (4)直线CD 为集合，平面α为集合，所以，CD α⊂.故答案为：①C β∉；②A α；③AB B α⋂=；④CD α⊂； 18．{2,3}##{3,2} 【解析】 【分析】 由交集的运算求解 【详解】{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则{2,3}A B =故答案为：{2,3} 19．①②③ 【解析】 【分析】①由补集定义直接判断；②按照函数定义进行判断；③元素一一对应即可判断；④3n =时，不成立. 【详解】因为{}{}**,32,A n n N B n n k k N =∈==-∈，故②正确，又{ 31AB n n k ==-或}*3,n k k N =∈，故①正确；A 、B 两个集合元素一一对应，元素个数相等，故③正确；当3n =时，3223<，故④错误. 故答案为：①②③. 20．4a ≤-或5a ≥ 【解析】 【分析】由3a a <+可得A ≠∅，根据题意可得到端点的大小关系，得到不等式，从而可得答案. 【详解】由题意 3a a <+，则A ≠∅要使得A B =∅，则31a +≤-或5a ≥ 解得4a ≤-或5a ≥ 故答案为：4a ≤-或5a ≥21．[1,1]-【解析】 【分析】由题意可得集合A ，B 表示的曲线有一个交点，可得a x x a =+有一个根，当0a =时，符合题意，当0a ≠时，1x x a =+，分别作出y x =与1xy a=+的图象，根图象求解即可 【详解】因为C A B =，且集合C 为单元素集合， 所以集合A ，B 表示的曲线有一个交点， 所以a x x a =+有一个根 当0a =时，符合题意， 当0a ≠时，1x x a =+，分别作出y x =与1xy a=+的图象， 由图象可知11a ≥或11a≤-时，两函数图象只有一个交点， 解得01a <≤或10a -≤<， 综上，实数a 的取值范围是[1,1]-， 故答案为：[1,1]-22．[)1,+∞【解析】 【分析】由题可得{[]}[0,1)A yy x x ==-=∣，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求. 【详解】∵[]x 表示不超过x 的最大整数，∴[]x x ≤，[]01x x ≤-<，即{[]}[0,1)A yy x x ==-=∣， 又y A 是y B ∈的充分不必要条件，{0}∣=≤≤B y y m ，∴A B ，故m 1≥，即m 的取值范围是[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞.23．7 【解析】 【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆，所以求出集合B 的所有非空子集即可 【详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆， 因为{1,2,3}A =，所以非空集合{}1B =，{}2，{}3，{}1,2，{}1,3，{}2,3，{}1,2,3， 所以非空集合B 有7个， 故答案为：724．{1,0,1,2}-【解析】 【分析】根据给定条件求出集合B ，再利用并集的定义直接计算作答. 【详解】解方程220x x -=得：0x =或2x =，则{}0,2B =，而{}1,0,1A =-， 所以{1,0,1,2}A B =-. 故答案为：{1,0,1,2}- 25．∅，{}1-，{1}，{1,1}- 【解析】 【分析】利用子集的定义写出所有子集即可. 【详解】由子集的定义，得集合{1,1}-的所有子集有：∅，{}1-，{1}，{1,1}-.故答案为：∅，{}1-，{1}，{1,1}-.三、解答题26．（1）{}|47,Z x x x ≤≤∈，{}4,5,6,7；（2）{}0,1,3,5,7,9,10；（3）1a =，元素为1-. 【解析】 【分析】（1）根据补集和交集的定义直接计算作答. （2）利用补集的定义直接计算作答. （3）利用元素与集合的关系推理计算作答. 【详解】（1）由{}|510,Z U x x x =-≤≤∈，N ={|24,Z x x x -<∈≤}， 得：{|52U N x x =-≤<-或410,Z}x x ≤≤∈，而{|07,Z}M x x x =≤≤∈， 所以{}()|47,Z U N M x x x =≤≤∈{}4,5,6,7=.（2）由{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B =⋃=，{}2,4,6,8UA B =，得{2,4,6,8}UB =，所以{}()0,1,3,5,7,9,10U U B B ==. （3）当0a =时，P =∅，不符合题意，当0a ≠时，因集合P 只有一个元素，则方程2210ax ax ++=有等根，2440a a ∆=-=， 此时1a =，集合P 中的元素为1-， 所以1a =，这个元素是1-.27．(1)(,2-∞-(2)①2a ≥；②)21N a=【解析】 【分析】（1）当1a =时，求得()sin 22sin cos 1x f x x x +=+-，令[)sin cos 1,1t x x =+∈-，令[)12,0m t =-∈-，()()22h m f x m m==++，利用双勾函数的单调性可得出函数()h m 在[)2,0-上的值域，即可得解；（2）①分析可知210a a --≤≤，可得出2a ≥，分1a =、1a ≠两种情况讨论，化简函数()221at ap t at +-=-的函数解析式或求出函数()f x 的最小值，综合可得出正实数a 的取值范围；②令[]11,1n at a a =-∈---，则1n t a +=，可得出()()21122a a p t n n a n ϕ⎡⎤+-=++=⎢⎥⎣⎦，分析可得出101a a --<<-<法可求得N . (1)解：当1a =时，()sin 22sin cos 1x f x x x +=+-，因为,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则,444x πππ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，令[)sin cos 1,14t x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，则212sin cos 1sin 2t x x x =+=+，可得2sin 21x t =-， 设()()211t g t f x t +==-，其中11t -≤<，令1m t =-，则()22111221m t m t m m+++==++-，令()22h m m m=++，其中20m -≤<，下面证明函数()h m 在2,⎡-⎣上单调递增，在()上单调递减，任取1m 、[)22,0m ∈-且12m m <，则()()1212122222h m h m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12121212121222m m m m m m m m m m m m ---=--=，当122m m -≤<<122m m >，此时()()12h m h m <，当120m m <<，则1202m m <<，此时()()12h m h m >， 所以，函数()h m在2,⎡-⎣上单调递增，在()上单调递减，则()(max 2h m h ==-因此，函数()f x 在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的值域为(,2-∞-. (2)解：因为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，则,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，令[]sin cos 1,14t x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，设()()222211a a t at a a f x p t at at -⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭===--， ①若(){}0y y f x ∈=，必有210aa--≤≤，因为0a >，则2a ≥，当1a =时，即当1a =()110p t t t a =+==，可得1t =，合乎题意；当1a≠2a ≥且1a ≠()min 0p t =，合乎题意. 综上所述，2a ≥；②令[]11,1n at a a =-∈---，则1n t a+=， 则()()22121122n a a a a a a p t n n n a n ϕ⎡⎤+-⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦==++=⎢⎥⎣⎦， 令()()20qs x x q x=++>，下面证明函数()s x在(上单调递减，在)+∞上为增函数，任取1x、(2x ∈且12x x <，则120x x -<，120x x q <<， 所以，()()()()()()121212121212121212220q x x x x x x q q qs x s x x x x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-=++-++=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，()()12s x s x >，故函数()s x在(上单调递减， 同理可证函数()s x在)+∞上为增函数，在(,-∞上为增函数，在()上为减函数，因为12a <<，则()()2212121,2a a a +-=--+∈，且()()22121220a a a a a +---=->10a >->， 又()22212120a a a a +----=-<，1a ∴--<，101a a ∴--<<-由双勾函数的单调性可知，函数()n ϕ在1,a ⎡--⎣上为增函数，在()上为减函数，在(]0,1a -上为减函数， 当[)1,0x a ∈--时，()((max 120n aϕϕ==-<， ()2101a a ϕ-=>-，()((22111a a a ϕϕ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦- (())())()21142214210111a a a a a a a a a a +------=≥=>---，由双勾函数性质可得()()min 21f x a ϕ=-=，综上所述())min 21f x N a==.【点睛】关键点点睛：在求解本题第二问第2小问中，要通过不断地换元，将问题转化为双勾函数的最值，结合比较法可得出结果. 28．(1){21}x x -<<； (2)[2,4]∈-m . 【解析】 【分析】（1）当1m =时，解分式不等式化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，再利用并集的定义计算作答.（2）由给定条件可得B A ⊆，再借助集合包含关系列式计算作答. (1) 由2111x x +<-，得201x x +<-，解得21x -<<，则{21}A x x =-<<， 当1m =时，()()1{1210}12B x x x x x ⎧⎫=-+<=-<<⎨⎬⎩⎭，所以{21}A B x x ⋃=-<<． (2)因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆， 当12m ->，即2m <-时，{1}2mB x x =<<-，B A ⊄，不符合题意，当12m-=，即2m =-时，B =∅，符合题意， 当12m -<，即2m >-时，12m B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则212m -≤-<，解得24m -<≤，综上得：24m -≤≤，所以实数m 的取值范围[2,4]∈-m .29．(,3]-∞【解析】 【分析】求函数定义域得93,2A ⎛⎤= ⎥⎝⎦，解不等式得[4,5]B =，进而得(3,5]A B =，再结合题意，分C =∅和C ≠∅两种情况求解即可.【详解】解：由30920x x ->⎧⎨-≥⎩，解得932x <≤，所以93,2A ⎛⎤= ⎥⎝⎦，因为()()2920450x x x x -+=--≤，解得45x ≤≤，所以[4,5]B =所以(3,5]A B = 因为()C A B ⊆，所以，当C =∅时，121a a +≥-，解得2a ≤C ≠∅时，可得12113215a a a a +<-⎧⎪+>⎨⎪-≤⎩，解得：23a <≤综上可得：实数a 的取值范围是(,3]-∞ 30．{}=34A B x x ⋂-<<,{}=46A B x x ⋃-<< 【解析】 【分析】先化简集合A 、B ，再去求A B 、A B 即可解决. 【详解】{}{}2=16044A x x x x -<=-<<{}{}2=318036B x xx x x -++>=-<<则{}{}{}=443634A B x x x x x x ⋂-<<⋂-<<=-<<{}{}{}=443646A B x x x x x x ⋃-<<⋃-<<=-<<。
高中数学优质试题及答案
高中数学优质试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(x) \)的零点。
2. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在\( x > 0 \)时的单调性。
3. 已知方程\( x^2 + 2x + 1 = 0 \)，求其根并判断根的性质。
试题二：几何与代数1. 已知三角形ABC的边长分别为\( a = 5 \)，\( b = 7 \)，\( c = 8 \)，求其面积。
2. 已知圆的半径为\( r = 4 \)，求圆的周长和面积。
3. 已知点A(1,2)和点B(4,6)，求直线AB的斜率和方程。
试题三：概率与统计1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求抽到至少一个红球的概率。
2. 某工厂生产的零件，合格率为90%，求生产100个零件中，至少有85个合格的概率。
3. 已知一组数据的平均数为50，中位数为48，标准差为10，求这组数据的方差。
试题四：数列与级数1. 已知等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求其第10项。
2. 求等比数列\( a_n = 3^n \)的前n项和。
3. 判断数列\( b_n = \frac{1}{n} \)是否收敛，并求其极限。
试题五：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a = 3 \)，\( b = 2 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 已知双曲线\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a = 2 \)，\( b = 1 \)，求其渐近线方程。
3. 已知抛物线\( y^2 = 4px \)，求其焦点和准线方程。
答案：试题一：1. 零点为\( x = 1 \)和\( x = 3 \)。
2. 函数\( g(x) \)在\( x > 0 \)时单调递减。
高中生数学试题及答案解析
高中生数学试题及答案解析一、选择题1. 若函数\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. -6B. -4C. -2D. 0答案：B解析：将\( x = -1 \)代入函数\( f(x) \)中，得到\( f(-1) = 3(-1)^2 - 5(-1) + 2 = 3 + 5 + 2 = 10 \)。
计算错误，正确答案应为\( 10 \)，但题目选项中没有10，可能是题目或选项设置有误。
2. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)为锐角，求\( \cos(\alpha) \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{3}{4} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{3}{5} \)答案：A解析：根据勾股定理，\( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)。
已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，代入公式得\( \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 =\frac{16}{25} \)。
由于\( \alpha \)为锐角，\( \cos(\alpha) \)为正，所以\( \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \)。
二、填空题1. 计算\( (x - 2)^2 \)展开后的结果。
__________。
答案：\( x^2 - 4x + 4 \)。
解析：根据完全平方公式，\( (x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + 2^2 = x^2 - 4x + 4 \)。
2. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为三角形的三边长，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则该三角形是__________。
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高中数学必修1试题及答案解析
一、选择题
1．设集合{}012345U =，，，，，，{}035M =，
，，{}145N =，，，则()U M C N ⋂=（ ） A ．{}5 B ．{}0,3 C ．{}0,2,3,5 D ．{}0,1,3,4,5
2、设集合2{650}M x x x =-+=,2{50}N x x x =-=，则M
N 等于 （ ） A.｛0｝ B.｛0，5｝ C.｛0，1，5｝ D .｛0，－1，－5｝
3、计算：9823log log ⋅＝ （ ）
A 12
B 10
C 8
D 6
4、函数2(01)x y a a a =+>≠且图象一定过点 ( )
A （0,1）
B （0,3）
C （1,0）
D （3,0）
5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相吻合是 （ ）
6、函数12
log y x =的定义域是（ ）
A {x ｜x ＞0}
B {x ｜x ≥1}
C {x ｜x ≤1}
D {x ｜0＜x ≤1}
7、把函数x
1y -=的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为 （ ）
A 1x 3x 2y --=
B 1x 1x 2y ---=
C 1x 1x 2y ++=
D 1
x 3x 2y ++-= 8、设x x e 1e )x (g 1x 1x lg )x (f +=-+=，，则 ( ) A f(x)与g(x)都是奇函数 B f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
C f(x)与g(x)都是偶函数
D f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
9、使得函数2x 2
1x ln )x (f -+=有零点的一个区间是 ( ) A (0，1) B (1，2) C (2，3) D (3，4)
10、若0.52a =，πlog 3b =，2log 0.5c
=，则（ ） A a b c >>
B b a c >>
C c a b >>
D b c a >> 二、填空题 11、函数5()2log (3)f x x =++在区间[-2，2]上的值域是______
12、计算：2391－ ⎪⎭⎫ ⎝⎛＋3
2
64＝______ 13、函数212
log (45)y x x =--的递减区间为______
14、函数1
22x )x (f x -+=的定义域是______ 15．若一次函数b ax x f +=)(有一个零点2，那么函数ax bx x g -=2)(的零点是 .
三、解答题
16. 计算 5log 333
3322log 2log log 859
-+-
17、已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<--≤+=)2(2)21()1(2)(2x x x x x x x f
。
（1）求)4(-f 、)3(f 、[(2)]f f -的值；
（2）若10)(=a f ，求a 的值.
19、已知函数()lg(2),()lg(2),()()().f x x g x x h x f x g x =+=-=+设
（1）求函数()h x 的定义域
（2）判断函数()
h x的奇偶性，并说明理由.
20、已知函数()f x ＝1
515+-x x 。
（1）写出()f x 的定义域；
（2）判断()f x 的奇偶性；
21．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。
当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。
租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
答案
1－5：BCDBB 6-10:DCBCA
11：[2,3] 12：43 13：(5,)+∞ 14：(,2]-∞ 15 ：2
1,0- 16：5log 3333332log 2log 329)log 25-
+-解：原试＝（－log ＝33332log 2log 23)3log 23-
+-（5－2log ＝333log 23log 23-+-+2=-1
17、解：（1）(4)f -＝－2，)3(f ＝6，[(2)]f f -＝(0)0f =
（2）当a ≤－1时，a ＋2＝10，得：a ＝8，不符合；
当－1＜a ＜2时，a 2＝10，得：a ＝10±，不符合；
a ≥2时，2a ＝10，得a ＝5， 所以，a ＝5
18、解：（1）()()()lg(2)lg(2)h x f x g x x x =+=++-
由 20()20
x f x x +>⎧=⎨->⎩ 得22x -<< 所以，()h x 的定义域是（－2，2） ()f x 的定义域关于原点对称
()()()lg(2)lg(2)()()()h x f x g x x x g x f x h x -=-+-=-++=+=()h x ∴为偶函数
19、解：（1）R （2）()f x -＝1515+---x x ＝x x 5151+-＝－1
515+-x x ＝()f x -， 故()f x 为奇函数。
（3）()f x ＝15215+-+x x ＝1－152+x ， 因为x 5＞0，所以，x 5＋1＞1，即0＜1
52+x ＜2，
即－2＜－
152+x ＜0，即－1＜1－1
52+x ＜1 所以，()f x 的值域为（－1,1）。
20．解：（1）租金增加了600元，所以未出租的车有12辆，一共出租了88辆。
（2）设每辆车的月租金为x 元，（x ≥3000），租赁公司的月收益为y 元。
则：22300030003000(100)50(100)150505050116221000(4050)370505050x x x y x x x x ---=-
-⨯--⨯=-+-=--+ max 4050,30705x y ==当时
bx ax y +=∴2的顶点横坐标的取值范围是)0,2
1(-。