求梁的弯曲变形通用程序
梁弯曲时的变形和刚度计算
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
最大转角发生在支座A (或支座B )处，其值为
max
A
ql3 24EI
()
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
1.4 用叠加法求梁的变形
积分法是求梁变形的基本方法。这种方法的优点是可以求得梁 的转角方程和挠曲线方程，从而求得梁任一横截面的转角和挠度。 其缺点是运算过程比较繁复，特别当梁上荷载复杂时，尤为明显。
2EI 3 2
w q ( x4 lx3 ) Cx D 2EI 12 6
简支梁在铰支座处的挠度均为零，即
x=0，w=0； x=l，w=0
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弯曲\梁的变形及刚度计算
将这两个边界条件代入方程，得
C ql3 , D 0 24EI
3) 求转角方程和挠曲线方程。 将所得的积分常数C、D值方程，得转角和挠曲线方程分别为
l
a qa3
6EI
B
C
qa3 6EI
(
)
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弯曲\梁的变形及刚度计算
1.5 梁的弯曲刚度计算
在工程中，根据强度条件对梁进行设计后，往往还要对梁进行 刚度计算。梁的刚度条件为
wmax
max
w
式中：wmax、max——梁的最大挠度和最大转角；
[w]、——许用挠度和许用转角。根据梁的用途，其值可在
5-3 梁的弯曲变形
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】求等截面直梁的挠度方程、最大挠度及最大转角。
解：
1）建立坐标系并写出弯矩方程
M ( x ) P ( x L)
2）写出微分方程并积分
EIw" M ( x) P( L x)
1 P( L x ) 2 C 2 1 EIw P( L x)3 Cx D 6 EIw
4）根据强度条件和刚度条件选择工字钢 由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面模量 Wz=3.09xl0-4m3 ，惯性矩Iz=3.40x10-5m4，可见选择22a工字 钢作梁能同时满足强度和刚度要求。
§5-3 梁的弯曲变形
六、提高梁弯曲刚度的措施
梁的弯曲变形与梁的弯曲刚度EI、约束条件、梁的跨度 以及梁所受载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，以 提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】按载荷叠加法求A点转角和C点挠度。
解：
1）载荷分解如图
§5-3 梁的弯曲变形
2）由梁的简单载荷变形表查简单载荷引起的变形。
AP Pa 2 4 EI
wCP
Aq
Pa3 6EI
qa3 3EI 5qa 4 24 EI
wCq
3）叠加得到总变形。
5）最大挠度及最大转角
wmax PL3 w( L) 3EI
max
PL2 ( L) 2 EI
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
1）建立坐标系并写出弯矩方程
P( x a) M ( x) 0 (0 x a) (a x L )
梁的弯曲实验
实验四 梁的弯曲实验一、实验目的掌握剪应力计算和平衡校核方法。
1、 作梁的整数级或半数级等差线图案；2、 根据所测定的等差线和等倾线数据，计算各测点的剪应力值；3、 与材料力学所计算出的理论结果比较。
二、实验设备偏光弹性仪三、实验模型及加载方式四、实验步骤1、测量模型尺寸用卡尺测量模型尺寸，做记录，同时检查刻线尺寸。
2、安装模型及调整仪器（1）调整仪器为正交圆偏振场，并调节杠杆平衡。
（2）调节下支座间距和位置，将模型置于二支座上，并在梁中点置一小钢柱，同时将杠杆压下并加少许载荷（10N ），调节夹头上下位置使其保持水平。
（3）开启白光光源（同时开启钠光灯预热），观察等差线图案是否对称；若不对称，需再调整直至对称为止，方可继续加载。
3、绘制等差线图案（1）用白光观察等差线图案，逐渐加载直至边界处最高条纹级数为4~5级左右。
弄清等差线图案的特点，找出0级位置及级数变化趋势，并用铅笔在模型上描出0级条纹，记录载荷数量。
（2）用单色光，描出整个等差线图案，标明级数，反复检查核对。
（3）卸除载荷，取下模型，用描图纸描摹出条纹图案，标明级数，注明载荷，最后从模型上擦掉等差线图案。
4、作等倾线图案，测量各测点的等倾线度数四点弯曲梁受力示意图三点弯曲梁受力示意图（1）调整仪器为正交平面偏振场，重新安装模型，施加适当载荷，按逆时针方向同步旋转偏振轴，仔细观察等倾线的特征，待摸清等倾线的变化规律后，将偏振轴恢复到00位置。
（2）按逆时针方向同步旋转偏振轴，依次描绘出00、150、300、450、600及750等倾线，标明度数，并反复检查核对。
（3）测量AB、CD截面上各测点的等倾线度数，并填入表格7-2中，分析判定σx方向。
（4）卸下模型，用描图纸描摹等倾线图案，标明度数。
5、补偿各测点的等差线条纹级数（1）擦去等倾线图案，重新安装模型，并施加作等差线时的相同载荷量。
（2）用单色光，以旋转分析镜补偿法确定各测点的非整数级等差线条纹级数，并填入记录表格。
工程力学26 梁弯曲时的变形和刚度计算
式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该点的挠度。
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
2 挠曲线的近似微分方程
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为
1M
EI
横力弯曲时, M和都是x的函数。略去剪力对梁的位移
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS 梁弯曲时的变形和刚度计算
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
一、工程中的弯曲变形问题
弯曲构件除了要满足强度条件外, 还需满足刚度条件。如车床主 轴的过大弯曲引起加工零件的误差。
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为x轴, 横截面的
铅垂对称轴为y轴, xy平面为纵向对称平面。
y
A
挠度符号？
C
B
x
C1 w
B'
挠度
挠度(w): 横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴
方向的线位移, 称为该截面的挠度(Deflection) 。
3 2
M (x) EI
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
w (1 w2 )32
M (x) EI
由于挠曲线是一条非常平坦的曲线, w'2远比1小, 可以略去不计,
于是上式可写成 w M (x) EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。
(Approximately differential equation of the deflection curve)
混凝土梁弯曲试验方法
混凝土梁弯曲试验方法一、前言混凝土梁是建筑中常用的横向承载构件，其承载能力的大小与弯曲性能有直接关系。
因此，混凝土梁弯曲试验是评价混凝土梁强度和刚度的重要方法之一。
本文将介绍混凝土梁弯曲试验的方法。
二、试验设备1. 轴向拉压试验机：用于测定混凝土梁的抗压强度。
2. 试验机加载系统：用于对混凝土梁进行弯曲加载。
3. 测量仪器：用于测量混凝土梁的变形和应力。
三、试验准备1. 样品制备：按照设计要求，制备混凝土梁样品。
2. 样品保养：样品制备后应在湿润环境下养护，保持水分。
3. 样品标记：在样品上标记试验编号、制备日期、尺寸等信息。
四、试验步骤1. 轴向压缩试验：测定混凝土梁的抗压强度。
（1）将混凝土梁放置在轴向拉压试验机上，调整试验机的压力头位置，使其与混凝土梁的中心轴线重合。
（2）开始加载，直到混凝土梁破坏，记录断裂荷载。
（3）根据断裂荷载计算混凝土梁的抗压强度。
2. 梁弯曲试验：测定混凝土梁的弯曲性能。
（1）将混凝土梁放置在试验机加载系统上，调整加载系统的位置，使其支撑点与混凝土梁的支撑点对齐。
（2）开始加载，记录不同荷载下混凝土梁的挠度和应变。
（3）根据荷载-挠度曲线和应变-应力曲线计算混凝土梁的弯曲刚度和弯曲强度。
五、试验注意事项1. 样品尺寸：混凝土梁的尺寸应符合设计要求，不得出现明显的缺陷和裂纹。
2. 试验环境：试验室应保持稳定的温度和湿度，避免外部因素影响试验结果。
3. 试验过程：试验过程中应注意数据记录和保持荷载的稳定性。
六、结论混凝土梁弯曲试验方法是评价混凝土梁强度和刚度的重要方法之一。
通过测定混凝土梁的弯曲刚度和弯曲强度，可以为建筑结构的设计和施工提供参考依据。
在试验过程中，应注意样品尺寸、试验环境和试验过程等因素，保证试验的准确性和可靠性。
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
材料力学-弯曲变形
二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
材料力学 积分法求梁的变形
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
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材料力学电算大作业
题目名称：求梁的弯曲变形通用程序
作者班号：
作者学号：
作者姓名：
指导教师：
完成时间：2014年06月07日
评语：
成绩（满分10分）：
签名：
1 算法
在如图所示的悬臂梁中，杆件为圆杆。
杆长为L ，直径为D ，材料弹性模量为E 。
输入集中力F 大小，作用点a ，弯矩M ，作用点b ，即可求得悬臂梁的挠度曲线图。
二、程序代码
clear all
disp('请给定材料信息'); %输入材料信息
L=input('圆杆长度L(/m)=');
while L<=0 %判断L 的值
L=input('圆杆长度错误 再次输入圆杆长度L(/m)=');
end
D=input('圆杆直径D(/m)=');
while D<=0 %判断D 的值
L=input('圆杆直径错误 再次输入圆杆直径D(/m)=');
end
E=input('弹性模量E(/GPa)=');
while E<=0 %判断E 的值
L=input('弹性模量错误 再次输入弹性模量E(/GPa)=');
end
I=double(D^4*3.14/32);
disp('请给定受力情况'); %输入受力情况
F=input('切向集中力大小F(/N)=');
a=input('切向集中力作用位置(/m)=');
while a>L||a<0 %判断a 的值
a=input('集中力位置错误 再次输入切向集中力作用位置(/m)=');
end
M=input('弯矩大小M(/N*m)=');
b=input('弯矩作用位置(/m)=');
while b>L||b<0 %判断b 的值
b=input('弯矩位置错误 再次输入弯矩作用位置(/m)=');
end
a b
L
F
M
x1=0:0.01:a; %F引入的挠度
vx1=(-F*x1.^2*3*a+F*x1.^3)*(1/(6*E*10^9*I));
x2=a:0.01:L;
vx2=(-F*a.^2*3*x2+F*a.^3)*(1/(6*E*10^9*I));
v11=[vx1,vx2];
x11=[x1,x2];
x3=0:0.01:b; %M引入的挠度
vx3=(-M*x3.^2)*(1/(2*E*10^9*I));
x4=b:0.01:L;
vx4=(-M*b*x4+M*0.5*b.^2)*(1/(E*10^9*I));
x22=[x3,x4];
v22=[vx3,vx4];
v33=v22+v11; %叠加
plot(x11,v33),xlabel('x /M'),ylabel('v(x) /M')
title('挠曲线图')
grid on;
三、使用方法
运行代码
输入圆杆长度（单位：m）
输入圆杆直径（单位：m）
输入弹性模量（单位：GPa）
输入集中力大小（单位：N）（向下为正，若无请输入0）
输入集中力作用位置（单位：m）（若无请输入0）
输入弯矩大小（单位：N*m）（逆时针为正，若无请输入0）输入弯矩作用位置（单位：m）（若无请输入0）
输出挠曲线图
四、运行实例
【实例1】
圆杆同时受集中力与弯矩作用，输入、输出见下图。
【实例2】
圆杆只受集中力作用，输入、输出见下图
【实例3】
圆杆只受弯矩作用，输入、输出见下图。