数学物理的方法傅里叶变换法
数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
傅里叶变换及其应用
傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具和数学分析方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、量子力学等领域。
通过将一个函数表示成一组正弦和余弦函数的叠加，傅里叶变换能够将时域中的信号转化为频域中的信号，从而使得复杂的信号处理问题变得更加简单。
本文将介绍傅里叶变换的原理、性质以及其在实际应用中的几个重要方面。
一、傅里叶变换的原理和基本定义傅里叶变换是将一个函数f(x)表示成指数函数的叠加的过程。
设f(x)在时域上是以周期T为基本周期的连续函数，那么其傅里叶变换F(k)在频域上将成为以1/T为基本周期的连续函数。
傅里叶变换的基本定义如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-i2πkx/T)]dx其中，i是虚数单位，k是频率变量。
通过这样的变换，我们可以将时域上的函数转换为频域上的函数，从而可以更加清晰地分析信号的频谱特征。
二、傅里叶变换的性质傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具。
1. 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则对应线性组合的傅里叶变换为aF(k) +bG(k)，其中a和b为常数。
2. 时移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(x - a)的傅里叶变换为e^(-i2πak/T)F(k)，即时域上的平移将对频域上的函数进行相位调制。
3. 频移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则e^(i2πax/T)f(x)的傅里叶变换为F(k - a)，即频域上的平移将对时域上的函数进行相位调制。
4. 尺度变换性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(ax)的傅里叶变换为1/|a|F(k/a)，即函数在时域上的尺度变换会对频域上的函数进行缩放。
5. 卷积定理：若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则f(x) * g(x)的傅里叶变换为F(k)G(k)，即在频域上的乘积等于时域上的卷积。
数学与物理学中的傅里叶变换及其应用
数学与物理学中的傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在数学和物理学中广泛应用的数学转换。
它是将一个时域信号（即随时间变化的函数）转换成一个频域信号（即随频率变化的函数）。
这种转换可以有很多应用，在数学和物理学中都非常重要。
最初，傅里叶变换是由法国数学家约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）于19世纪发明的。
当时，他在研究热传导方程时发现，任何一个周期性函数都可以表示为一些正弦及余弦波的线性组合。
而这种线性组合就可以通过傅里叶变换得到。
傅里叶变换可以将连续时域信号（如音频信号、电信号等）表示成为连续频域信号。
例如，一段时间内的声音可以通过傅里叶变换变成不同频率的声音组合。
同时，傅里叶变换也可以将离散时域信号（如数字信号）表示为离散频域信号。
例如，在数字图像处理中，离散傅里叶变换可以将图像转换为一组频谱信息，从而方便进行图像的处理和分析。
傅里叶变换不仅可以用于信号分析，也可以广泛应用于物理学中的波动问题。
例如，光波、声波、电磁波等都可以通过傅里叶变换进行分析，并可以显示出不同波长和频率的成分。
在量子力学中，傅里叶变换也被广泛用于波函数的计算。
傅里叶变换在实际应用中是非常常见的。
例如，人们通过在电视上观看一部电影时，所看到的影像和声音都是通过傅里叶变换来得到的。
当人们在各种应用中收听音乐、观看电影、处理图像时，傅里叶变换都会被广泛应用。
此外，傅里叶变换在通信技术中也有着非常重要的应用。
通过傅里叶变换可以将信号分解成不同的频率成分，然后通过信号加密、压缩等方式对信号进行处理。
最后，需要指出的是，傅里叶变换并不是万能解决方案。
它只是一种将时域信号转换为频域信号的方法，而不是一种能够解决所有问题的黑盒子。
因此，在应用傅里叶变换时，需要对其能解决的范围进行了解，并针对不同的问题进行处理。
总的来说，傅里叶变换是一种非常重要的数学转换，在数学和物理学的研究和应用中占据着重要的位置。
傅里叶变换
(2-2)
其中
2 an T
T / .2
T / .2
fT ( t ) cos n 0 tdt ( n 0,1,2,)
2 bn T
T / .2
T / .2
fT ( t ) sinn 0 tdt ( n 1,2,3,)
2.1.1
傅里叶级数（续十五）
例2-3 设f(x)是周期为4的函数，它在[－ 2,＋2)上的表达式为
cos n 0 t e
in 0 t
e 2
in 0 t
sinn 0 t
e
in 0 t
e 2i
in 0 t
将上述两式代入式(2-2)，得
a0 ein0t e in0t ein0t e in0t fT ( t ) an bn 2 n 1 2 2i 2.1.1Fra bibliotek傅里叶级数
定义2-1 设f(x)是周期为2的函数，则 称三角级数 a0 f ( x ) (an cosnx bn sinnx ) 2 n 1 其中
1 π ak f ( x ) cos kxdx ( k 0,1,2,) π π 1 π bk f ( x ) sinkxdx ( k 1,2,3,) π π
π π 2
2.1.1
续解
傅里叶级数（续四）
1 π 1 π an f ( x ) cos nxdx x cos nxdx π π π 0 1 x 1 π sinnx 2 cosnx π n n 0 0 (当n为偶数时） 1 2 (cos nx 1) 2 2 (当n为奇数时） n π n π π π 1 1 bn f ( x ) sinnxdx x sinnxdx π π π 0 1 x 1 π cosnx 2 sinnx π n n 0 ( 1) n1 ( n 1,2,3, ) n
数学物理方法 第5章 傅里叶变换
0 xl l x 0 x l
-l 0
F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
k 1
a0 E (t )dt 2 2
1
0
E0 cost E 0 sin tdt 2
0
E0
E0 a k E0 sin t cos ktdt 0 2
0
[sin(k 1)t sin(k 1)t ]dt
解：
l 2 l kx 2 l kx l bk x sin dx x( ) cos 0 l l l k l 0 k
l 2 l l 2 kx 2l l ( )( 1) k ( ) sin (1) k 1 l k k l 0 k
f ( x)
0
A( ) cosxd
0
B( ) sin xd
（称为傅里叶积分式）
A( )
B( )
1
1
f ( x) cosxdx
f ( x) sin xdx
（称为傅里叶变换式）
在 f (x) 的间断点，傅里叶积分的值
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例4：定义在区间 (0, l ) 上的函数 f ( x) x ，试把它 展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 F (x)为偶 函数,如图5.7(a)所示。
第五章傅里叶(Fourier)变换
l
利用上述正交性，可以求得级数展开的各系数：
kpx kpx f ( x) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1
1 l a0 f ( ) d l 2l 1 l kp ak f ( ) cos d (k 1,2, ) l l l 1 l kp bk f ( ) sin d (k 1,2,) l l l
f ( x) a0 (ak cos
k 1
kpx kpx bk sin ) (5.1.3) l l
三角函数族是两两正交的
kpx (k 0), l cos l d x 0 l kpx l sin l d x 0 l kpx npx (k n), l cos l cos l d x 0 l kpx npx (k n), l sin l sin l d x 0 l kpx npx l sin l cos l d x 0
c0 ck e
k 1
i
kp x l
ck e
i
kp x l
数学物理方法2019傅里叶变换
Em, Em,
0t t
Em
o
t
将其展开为傅立叶级数.
Em
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点x n(n 0,±1,±2, )处不连续.
收敛于 Em Em Em(Em) 0,
2
2
当x n时, 收敛于f ( x). 和函数图象为
ak
1
u(t)cos ktdt
1
0
(
Em
的拉氏逆变换．
5.1 傅里叶级数
1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的 周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院， 包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。
傅立叶的两个最主要的贡献:
• “周期信号都可表示为谐波关 系的正弦信号的加权和”—— 傅里叶的第一个主要论点
数学物理方法2019傅里叶变换
所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数 f ( t )
，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量 的积分）
b
F() f (t)K(t,)dt a
变为另一函数类 B中的函数 F ( ) , 这里 K (t, ) 是一个确
定的二元函数，通常称为该积分变换的核．F ( ) 称为 f ( t )
的傅里叶逆变换．
（2）特别当核函数 K(t,p)ept（注意已将积分参变量
改写为变量 p ），当 a0,b，则
F(p) f(t)eptdt 0
称函数 F ( p ) 为函数 f ( t ) 的拉普拉斯 (Laplace)变换，简称
F ( p ) 为函数 f ( t ) 的拉氏变换．同时我们称 f ( t ) 为 F ( p )
记
a0 2
数学物理方法第五章傅里叶变换
l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l
sin
2 k x dx
l
l
l
cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a f 1 l
0 2l l
xdx
a f 1l n l l
xconsxdx
l
(n1,2,3, )
b f 1l n l l
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0 l
x
所以
1l
x
a
a0
l
a(1
0
l
)dx 2
ak2 l0 la(1x l)co k lx sd x 2(2 4 n a 0 1 )2(k (k 2n )2n1 )
如图做奇延拓： f (x)
a
l
0l
x
2l x kx 2a
An 2cn
A n 称为f ( x)的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅 的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱 图，通常是指频率和振幅的关系图。
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1 1 1 (k ) 2 2a ik 1 1 1 B(k ) (k ) (k ) 2 2a ik
1 1 1 ikat 故 U (t , k ) (k )e (k )e ikat 2 2a ik 1 1 1 ikat ( k )e (k )e ikat 2 2a ik
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k 2 a 2U 0 U |t 0 (k )
此常微分方程的初始问题的解为 U (t, k ) (k )e 进行傅里叶逆变换可得：
k 2a 2t
u ( x, t ) F [U (t , k )] (k )e
1
ut a 2u xx f ( x, t )( x ) u |t 0 0
解： 作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：
U k 2 a 2U F (t ; k ) U |t 0 0
5
用
e
k 2 a 2t
同乘方程各项，可得：
d k 2 a 2t k 2 a 2t U (t , k )e F (t ; k )e dt
分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。 例1 求解无限长弦的自由振动
utt a 2u xx 0( x ) u |t 0 ( x), ut |t ( x) 解： 应用傅里叶变换，即用 e ikx / 2 同乘方程和定解条件
中的各项，并对空间变量x积分，t看做参数，则
6
并利用积分公式可得最后的结果为：
( x ) t 1 4 a 2 ( t ) dd u( x, t ) f ( , ) e 0 2a (t )
2
例4 限定源扩散 在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可 以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已 有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入 硅片，这里求解的是半无界空间x>0中的定解问题:
e
dk ]d
e dk ( / a)e
k
2 / 4 2
令 a t , i( x ) 利用上述公式可得 2 ( x ) 1 4 a 2t u ( x, t ) ( ) e d 2a t
例3 求解无限长细杆的有源热传导问题
本章主要介绍傅里叶变换法、拉普拉斯变换在求解偏微分 方程中的应用。
1
第一节 傅里叶变换法
用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是 离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于 无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是
连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积
对u作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：
3
1 1 x at u( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d 达朗贝尔公式 x at 2 2a
例2 求解无限长细杆的热传导问题
ut a 2u xx 0( x ) u |t 0 ( x)
ut a 2u xx 0 u x | x 0 0 u | ( x 0) ( x 0) 0 t 0
0是单位面积硅片
表层原有杂质总量.
7
解: 没有杂质穿过硅片表面,即: ux |x0 0 第二类齐次边界条件
这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题
ut a 2u xx 0 u x | x 0 0 0 ( x 0) ( x 0) u |t 0 0 ( x 0) ( x 0)
2 u a u xx 0 则 t u |t 0 2 0 ( x)(- x )
对t积分一次，并考虑零初始值可得：
U (t; k ) e
k 2 a 2t t
F ( ; k )e
0
tห้องสมุดไป่ตู้
k 2 a 2
d e dd
0
f ( , )e
ik
e
k 2 a 2t k 2 a 2
进行傅里叶逆变换
1 u ( x, t ) 2 u ( x, t )
t
t f ( , )e k 2 a 2 (t ) e ik dd eikxdk 0
交换积分次序可得：
0
1 k 2 a 2 (t ) ik ( x ) f ( , ) e e dk dd 2
2
定解问题变换成： U k 2 a 2U 0 U |t 0 ( x),U |t 0 ( x)
其中 ( x)， ( x) 分别是 ( x), ( x) 的傅里叶变换，这样原来 的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：
U (t, k ) A(k )eikat B(k )eikat
k 2 a 2t ikx
e dk e dk
4
1 2
[
( )e
ik
d ]e
k 2 a 2t ikx
交换积分次序
积分公式： e
1 u ( x, t ) 2
2 k 2
( )[ e
k 2 a 2t ik ( x )
第十三章 积分变换法
拉普拉斯变换求解常微分方程，变换后，常微分方程变成了 代数方程，求解后再进行逆变化就得到了常微分方程的解。 积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，方程
得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微方程后，
再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，同时，积分变换
还可能得到有限形式的解，分离变数法或者傅里叶级数发往 往不能。