解析几何-三角形面积相关最值问题
28.三角形中的最值(或范围)问题
三角形中的最值（或范围）问题解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。
其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。
类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决例1.在△ABC 中 ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++. (1) 求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 解：已知2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，根据正弦定理，得22(2)(2)a b c b c b c =+++，即222a b c bc =++又2222cos a b c bc A =+-，∴1cos 2A =-，在△ABC 中可求得120A =故sin sin sin sin(60)B C B B +=+-=1sin sin(60)22B B B +=+ 故当30B =时，sin sin BC +的最大值为1变式1：已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ⋅=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.(1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值.解：由m n ⋅=()a c +()()0a c b b a -+-=，得a 2+b 2—c 2=ab=2abcosC所以cosC=21，从而C=60故sin sin sin sin(120)OA B A A +=+-+A)所以当A=30时，sin sin A B +变式2．已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中，若有2R （sin 2A —sin 2C ）=（2a —b ）sinB 成立，试求⊿ABC 的面积S 的最大值。
浅谈解析几何中最值和参数范围问题的求解策略
浅谈解析几何中最值和参数范围问题的求解策略作者：陆爱莲来源：《教育教学科研》2013年第03期作者简介：陆爱莲，2002年毕业于广西师范大学数学教育专业，大学本科学历，理学学士，同年9月至今任教于马山中学，2008年12月获得中学一级教师资格。
积极参加教研教改活动，所撰写的论文多次在省、国家级论文评选中获二、三等奖。
【摘要】：解析几何中的最值和参数范围问题是高中数学的重要内容.其主要特点是综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角等内容.因此，在教学中应重视对数学思想、方法进行归纳提炼，如方程思想、函数思想、参数思想、数形结合的思想、对称思想、整体思想等思想方法，达到优化解题思维、简化解题过程的目的.本文通过对一些典型例题的分析和解答，归纳了解析几何中常见的解决最值和参数范围问题的思想方法，总结了解答典型例题的具体规律，并提供了一些常用的解题方法、技能与技巧。
【关键词】：解析几何最值问题参数范围求解策略解析几何中涉及最值和参数范围问题常有求面积、距离最值、参数范围问或与之相关的一些问题；求直线与圆锥曲线中几何元素的最值或与之相关的一些问题。
我们可以从两个方面来研究圆锥曲线的最值和参数范围问题，一方面用代数的方法研究几何，题中涉及较多数字计算与字母运算，对运算及变形的能力要求较高，用代数的方法解决几何；另一方面要善于从曲线的定义、性质等几何的角度思考，利用数形结合的思想解决问题。
一、代数法：借助代数函数求最值和参数取值范围的方法。
运用代数法时，先要建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值。
常用的方法有： 1.配方法。
由于二次曲线的特点，所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值联系紧密，这时可对二次函数进行配方，并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值。
1、已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1。
《周长固定三角形面积的最大值》
《周长固定三角形面积的最大值》——数学建模一例谈到，周长固定围成面积的问题，许多人会想到正方形和二次函数。
好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。
那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
其中，平行四边形有一条重要的性质：平行四边形的对边相等。
好了，现在我们对矩形也有一个印象了。
简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。
而且我们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。
可知它的周长公式：L=2*(a + b)。
有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a + b)，经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意条件，a是不为0的，即（a>0）。
现在，把b=L/2-a 代入s=a*b 就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a>0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1<0，函数s有最大值。
微积分的解法：因为：s= -a^2+ (L/2) *a （a>0），所以s`=-2a+L/2 （a>0）令s`=0有：2a= L/2 所以a= L/4。
所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 (此时，矩形为正方形) 也可以用不等式：因为 (a - b)^2≥0，又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab，所以有：(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 当a=b，去“=”，s有最大值因为： a + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16 。
过定点与坐标轴围成的三角形面积最小问题
过定点与坐标轴围成的三角形面积最小问题1.引言在平面解析几何中，经常会遇到求解围成的三角形面积的问题。
本文将围绕着过定点与坐标轴围成的三角形面积最小问题展开讨论。
我们将从基本原理开始，逐步推导出解决该问题的方法。
2.问题描述给定一个坐标轴上的一点P(x,y)，以及坐标轴上的两个端点A(0,0)和B(a,0)，其中a为正实数。
我们的目标是找到通过点P的直线与坐标轴围成的三角形A BC，使得该三角形的面积最小。
3.解决方法为了解决这个问题，我们可以按照以下步骤进行推导。
3.1建立坐标轴表示首先，我们可以将问题抽象为在坐标系中求解面积最小的三角形。
我们以P点在坐标系的位置为起点，建立坐标轴表示。
3.2确定点B的坐标由于点B在坐标轴上，且横坐标为a，纵坐标为0，我们可以确定B的坐标为B(a,0)。
3.3确定点C的坐标为了求得面积最小的三角形A BC，我们需要确定点C在坐标系中的位置。
由于P点在过点C的直线上，我们可以假设点C的坐标为C(c,0)，其中c为正实数。
3.4确定三角形面积根据解析几何的面积公式，我们可以计算出三角形AB C的面积S为：S=0.5*|x*0-0*c+a*c-x*0|经过计算化简，可以得到：S=0.5*a*c3.5最小化面积为了使三角形AB C的面积最小，我们需要找到使S最小的c值。
由于c为正实数，所以我们可以对S进行求导，然后令导数为0，解得最小值。
3.6求解最小面积对S=0.5*a*c求导，并令导数为0，我们可以得到c的值：0.5*a*c'=0解得c'=0，即c为任意的正实数。
这说明无论c取多少，都不会改变S的最小值。
3.7结论根据上述推导，我们可以得出结论：过定点与坐标轴围成的三角形面积最小的条件是无论c取多少，c为任意的正实数。
4.总结通过以上推导，我们解决了过定点与坐标轴围成的三角形面积最小问题。
我们发现，无论点C在坐标系中的位置如何，三角形A BC的面积都不会改变。
解析几何法巧解三角形的范围问题
b
n+1+c
n+1=
b
n+c 2
n
+a1，
所以b n+1+c n+1-2a1=
1（b 2
n+c
n-2a1）=…=
21n（b 1+c 1-2a1）=0援
所以bn+cn=2a1援 淤
因为bn+1-cn+1=- 12（bn-cn），所以{bn-cn}是以b1-c1为首
蓸 蔀 项，-
1 2
为公比的等比数列，bn-cn=（b1-c1） -
2
2
姨3 援 解法2院如图1，以A B的中点为
原点O，直线A B为x轴建立平面直 角 坐 标 系 ，则 A（-1，0），B（1，0）.
y C
A
B
-2 -1 O 1 x
设C（x，y）（y屹0），据题意，a=姨 3 b，
求 得 点 C 的 轨 迹 方 程 为（x +2）2+
图1
y2=3，S=
1 2
|A B||y|=|y|，易知x=-2时S取到最大值 姨
a1|yn|，故{Sn}为递增数列援
例4 （2016年咸阳市二模·理
16）如图5，在 吟A BC中，O是外 接 圆
的圆心，若OB·OC=- 1 ，A = 仔 ，则
2
3
B
吟A BC周长的最大值为_____援
解法1院设吟A BC外接圆的半径
A 仔 O3
a= 姨 3 C 图5
为R.由OB·OC=R2cos
b1>c
1，b 1+c 1=2a1，an+1=an，b n+1=
an+c n 2
怎样解答三角形中的最值问题
思路探寻解三角形中的最值问题一般与三角形的边、角、面积有关.要想顺利解答此类问题，同学们需首先根据题意，灵活运用正余弦定理、三角恒等变换的技巧求出并化简目标式，然后通过边角互化、构造几何图形、坐标运算等来求得最值.一、通过边角互化求最值通过边角互化，可将解三角形中的最值问题转化为三角函数最值问题，灵活运用三角恒等变换的技巧和三角函数的性质便可求得最值.例1.已知三角形ABC 的面积为S ，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若10c 2+5a 2=4b 2，则20S15a 2+6b 2的最大值是.解：根据题意将10c 2+5a 2=4b 2进行变形可得15a 2+6b 2=10a 2+10b 2-10c 2，由余弦定理得10a 2+10b 2-10c 2=10(a 2+b 2-c 2)=20ab cos C ，所以20S 15a 2+6b 2=10ab sin C 20ab cos C =12tan C，而cos C =a 2+b 2-c 22ab =32a 2+35b 22ab ，所以cos C ≥310，当且仅当5a 2=2b 2时，“=”成立，所以tan C ≤13，故20S 15a 2+6b 2=12tan C ≤16，即20S 15a 2+6b2的最大值是16.在解答本题时，我们需将已知关系式与目标式关联起来，根据余弦定理将边化为角.在得到角C 的表达式后，根据基本不等式求得cos C 的最值，进而求得目标式的最值.二、通过构造几何图形求最值.在解答解三角形最值问题时，我们可以根据题意，构造出合适的几何图形，通过解直角三角形来求得问题的答案.很多解三角形问题都可通过作高构造直角三角形来求解，这样能使问题得以简化.例2.在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A +sin 2B =2sin 2C ,则1tan A +1tan B +1tan C 的最小值为.解析：我们可以根据题意画出三角形，作出高线，将斜三角形化为直角三角形，根据三角函数的定义把对应的正弦、正切值表示出来，利用两角和的正切公式和基本不等式求得最值.解：由正弦定理得2a 2+b 2=2c 2.如图，作BD ⊥AC 于D ，设AD =x ,CD =y ,BD =h .因为2a 2+b 2=2c 2，所以2()y 2+h 2+()x +y 2=2()x 2+h 2，化简得x =3y .又1-tan A tan C tan A -tan C =-1tan B ，则1tan A +1tan B +1tan C=1tan A +1tan C +tan A tan C -1tan A +tan C=x h+y h +h 2xy -1h x +h y=13y 4h +h 4y ≥当且仅当13y 2=h 2时等号成立.三、通过坐标运算求最值.通过坐标运算求解三角形中最值问题的关键是根据题意建立合适的直角坐标系.一般需结合三角形的特点，如等边、等腰三角形的对称性、直角三角形的两条直角边垂直等来建立坐标系.通过坐标运算，可将问题转化为解析几何问题.例3.在ΔABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a 2+b 2+2c 2=8，则ΔABC 的面积的最大值为.解：以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系.设A æèöø-c 2,0,B æèöøc2,0,C ()x ,y ,由a 2+b 2+2c 2=8，得æèöøx -c 22+y 2+æèöøx +c 22+y 2+2c 2=8，即x 22=4-54c 2，所以点C 在以原点()0,0为圆心为半径的圆上，所以S ≤=ùûúæèöø4-54c 2+54c 2≤.我们通过坐标运算求得A 点的轨迹，然后根据圆的性质和基本不等式即可求得ΔABC 的面积的最大值.我们可以通过边角互化、构造几何图形、坐标运算来将问题转化为三角函数、平面几何、解析几何问题，借助三角函数的性质、平面几何和解析几何知识来求得最值.（作者单位：福建师范大学第二附属中学）D x y54 Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
圆助攻,巧解三角形最值问题
2021345圆助攻,巧解三角形最值问题广东省佛山市第四中学(528000)黄仪解三角形中的最值问题,一般是利用正余弦定理,结合基本不等式,或三角函数的有界性,二次函数的最值等方法求解,但通常会推导过程繁冗,计算量大,容易出错,尤其是选择填空题,做题耗时过多,得不偿失.三角形中角度和边长的变化,其实就是平面几何中点和线的变化,能否跳出知识的局限,利用平面几何辅助解题?平面几何中的圆,由于其半径和圆心角,圆周角的特性,往往成为一个很好的解题助力工具.一、角的转化三角形中,当点动而角不变时,如果定角所对的边也是定值,求最值问题时,可将角转化为同圆中同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角或圆心角不变的性质,化动为静.例1(2014高考新课标Ⅰ卷理科)已知a,b,c 分别为∆ABC 的三个内角A,B,C 的对边,a =2且(2+b )(sin A −sin B )=(c −b )sin C ,则∆ABC 的面积的最大值为.解由正弦定理,(2+b )(sin A −sin B )=(c −b )sin C 即(2+b )(a −b )=c (c −b ),将a =2代入整理得b 2+c 2−a 2=bc ,所以cos A =b 2+c 2−a 22bc =12,A =π3.边a 为定长2,角A 为π3定值,构造∆ABC 外接圆O ,则点A 可看作圆O中所对的圆周图1角∠BAC 的顶点,由垂径定理易知当AO ⊥BC 时,∆ABC的面积最大,为√3.评析这是一道求面积最值的经典题目,方法多样.构造圆,利用几何辅助解题是最灵活,计算量最少的解法.通过角度不变,点A 可看作在圆周上运动,角A 两边长的变化转化为三角形高的变化,求面积的最值即求高的最值.例2∆ABC 中,∠ABC =90◦,AC =2BC =2√3,P 是∆ABC 内一动点,∠BP C =120◦,则AP 的最小值为.解以BC 为x 轴,BA 为y 轴建立平面直角坐标系,构造圆O ,使BC 为圆O 的弦,∠BP C 为优弧BC 所对的圆周角恒为120◦,则点P 的运动轨迹为弧BC .线段AP 的最小值就转化为点A 到弧BC 的距离的图2最小值.由BC =√3,圆心角∠BOC =120◦易知O点坐标为(√32,−12),圆O 半径为2,则AP 的最小值=|OA |−|OP |=√13−1.评析此处巧妙地用了平面几何与解析几何中圆的性质.首先由动点P 形成的角为定值,将点动转化为角动,根据角度不变构造出同弧所对的圆周角,再将AP 的值转化为点到圆的位置关系求解,利用坐标系大大简化了计算量.垂足为A ,则tan (α+β)=AC OA.因此,只需要利用α,β的正切线表示ACOA即可.过点C 作CD 垂直于BT ,并交BT 的延长线于点D ,则AB =CD ,AC =BD .注意到∠CT D =α,故在Rt ∆T DC中,由sin α=CD T C 知CD =tan αtan β;由cos α=T DT C知T D =tan β.在Rt ∆OAC 中,根据正切的定义及三角函数线可知tan (α+β)=AC OA =BT +T D OB −CD =tan α+tan β1−tan αtan β,即tan (α+β)=tan α+tan β1−tan αtan β.本文通过三角函数线推导三角公式,从而实现复杂、抽象的三角公式可视化.这种直观呈现的方式,能够激发学生的学习兴趣、培养学生的创造性思维,使得数学知识的学习变得简单、自然、易于理解.参考文献[1]王位高.透析常见误区优化公式教学[J].中学数学研究(华南师范大学版),2013(15):22-24.[2]李小华,邵琼.“教学关键点”视角下培养学生数学核心素养的实践与思考—–以“任意角的三角函数”为例[J].中学数学研究(华南师范大学版),2020(18):14-16+44.4620213二、边的转化三角形中,点动,角变,而边不变,结合圆中的定长为半径或直径,可将三角形中的一条动边构造为圆的半径或直径,将点动转化为圆中半径位置的转动,进而引起其他顶点或角度的变化,再结合圆的性质,求出相应的取值范围.例3在∆ABC 中,AB =1,BC =2,求角C 的取值范围.解以B 为圆心,AB =1为半径构造半圆,当顶点A 从点M 沿着半圆弧运动到点N 的过程中,角C 从零开始,先逐渐图3增大,当CA 与半圆B 相切时,角C 最大,为30◦,然后又逐渐减小至零,得出角C 的取值范围是(0,30◦].评析本题中角C 的对边为定值,以定长为半径构造圆,当角C 变化时,点A 在半圆周上运动,角C 的值随着角A 的变化而变化,由角A 的取值范围得出角C 的取值范围.这一招可谓“动中求变化,变中有方法”!三、三角形的转化平面四边形中,某动点在变化,带动其它的点也在对应变化(这两个称之为对应点),相当于整个图形在变化,其中蕴含着变化的三角形与不变的对应关系,将其中变化的三角形构造圆,对应点利用其对应关系也构造出相应的圆,两圆相结合辅助解题,事半功倍.例4在平面四边形ABCD 中,AD =2,CD =4,∆ABC 为正三角形,则∆BCD 面积的最大值为.图4解以点C 为原点,CD 为x 轴建立平面直角坐标系,则D (4,0),由AD =2,CD =4可知点A 在圆D :(x −4)2+y 2=4上,因为是点A 绕原点C 旋转60◦得到点B ,所以点A 的轨迹圆D 绕原点C 逆时针旋转60◦所得点B 的轨迹圆E ,可求得E (2,2√3),所以点B (x,y )在圆E :(x −2)2+(y −2√3)2=4上,易知|y | 2√3+2,所以有y max =2√3+2,所以∆BCD 面积的最大值为S max =12|CD |·y max =4√3+4|.评析本题中点A,C 在变化,带动点B 也在动,其不变关系是等边∆ABC .构造出动点A 作圆周运动的圆D ,再根据等边三角形中的定角∠ACB 及等边,得出动点B 的运动轨迹圆E ,相当于把∆ACD 旋转到∆BCE ,动点B 的的运动过程,就是∆BCD 高的变化过程,从而确定面积的变化.本题是“点(A )动—–点(B )动—–线(高)动”的变化过程,构思巧妙,技巧性强.例5如图5在凸四边形ABCD 中,AB =1,BC =√3,AC ⊥CD ,AC =CD ,当∠ABC 变化时,对角线BD 的最大值为.解以B 为圆心,AB 半径构造圆B ,以C 为圆心,将圆B 旋转90◦得到圆E ,则∠BCE =90◦,BC =CE =√3,BE =√6,当点A 在圆B 上运动时,点D 在以E 为圆心,1为半径的半圆上运动,由图得BD 的最大值即BE 的长加圆E 的半径,即√6+1.图5评析本题与例4异曲同工,也是构造双圆辅助解题.将∆ABC 旋转变换到∆DEC ,即圆B 变换到圆E ,即利用点A 的运动轨迹求出点D 的运动轨迹,此时,即可眼前一亮,豁然开朗,进而结合圆的性质解出此题.三角形的转化,其实就是边和角的转化,归根到底还是根据点的运动、点和线的变化,把点、线的运动与圆相结合,构造圆解题.借助圆这个工具,解题跳出知识的局限,回归平面几何与解析几何的本质时,则可以从几何要素点、线、角、三角形等角度,将问题转化为观察变化规律的几何问题,避免大量的三角运算,缩短解题时间,化繁为简.在教学中,要求学生有较强的抽象思维能力以及平面几何,空间几何的想象能力,平时多观察,多思,多练,多画(图),跳出思维的框架,发挥想象的空间;还要善于将知识点融会贯通,综合运用,将三角函数与平面几何、解析几何综合运用,灵活转换,学生要有扎实的数学基础和培养良好的数学素养;最后要有模型意识,善于建立数学模型.与圆相结合的解三角形问题具有较高的特定性和技巧性,需要在实际解题过程中多体会模型的特征,提高解三角形问题的几何意识.参考文献[1]于涛.平面几何视角下解三角形问题的四大类型[J].中学数学研究,2017(9):40-42.。
一题多解求三角形面积的最大值
得 ：ｙ２＝１２－２ｘ２，所 以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ ２１ＢＣ·ＡＥ＝
槡 槡 ｘ ·
２
ｙ２
－ｘ４２
＝
１ ２
ｘ２（１２－２ｘ２）－ｘ４２ ，
槡 化
简 得 ：Ｓ△ＡＢＣ
＝
１ ２
－
９ ４
（ｘ２－
８ ３
）２＋１６，当
ｘ２
＝
８ ３
时
三
角形面积最大为２，此时 ＡＢ＝２ ３槡１５，ＢＣ＝２３槡６。
角Ａ 表示，从而求出其最大值。
解法 二：设 ＡＤ ＝ＤＣ＝ｍ，则 ＡＢ＝２ ｍ，由 余 弦 定 可 得 理：
ｃｏｓ Ａ＝５ ｍ４ ｍ２ －２ ３，则
ｍ２
＝５－４３ｃｏｓ Ａ，Ｓ△ＡＢＣ
＝
１ ２
ＡＢ
·ＡＣｓｉｎＡ
＝
２ ｍ２ｓｉｎＡ＝５－６ｓ４ｉｃｎｏＡｓ Ａ，设 ｆ（Ａ）＝５－６ｓ４ｉｃｎｏＡｓ Ａ，Ａ∈ （０，π）；可 利 用 导
的长度，可以建立适当的直角坐标系，设出各点坐标，并 将 三 角 形
面积和腰上的中点用坐标表示，并根据中线长度写出坐 标 之 间 的
解后反思：三角问题 和 向 量 问 题 之 间 可 以 互 相 转 化，很 多 三 角问题可以从向量的角度去思考，很多时候利用向量问 题 有 助 于 优化计算过 程。 解 法 五 与 解 法 一、二 比 较 起 计 算 过 程 明 显 得 到 优化。
策 略 三 ：坐 标 法 分析 四：根 据 题 意 △ＡＢＣ 面 积 是 △ＡＢＤ 面 积 的 两 倍，而
出不同的解题方法，教师应引导学生善于观察，善于思考，拓宽思 路，培 养 学 生 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 。 在 高 三 复 习 中，笔 者 曾 遇
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✧ 难度：★★
✧ 特点：已知高（作为一个限制弦的条件），求弦长的最大值
✧ 来源：07陕西高考
已知椭圆C :2222b
y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3，求△AOB 面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，
依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩
1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=. （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，.（1）当AB x ⊥
轴时，AB =.（2）当AB 与x 轴不垂直时，
设直线AB 的方程为y kx m =+.
=，得223(1)4
m k =+.把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=， 122631
km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+.2
2221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 222222222
12(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k
=+=+≠+=++⨯+++≤. 当且仅当2219k k
=，
即k =时等号成立.当0k =
时，AB =综上所述max 2AB =. ∴当AB 最大时，AOB △
面积取最大值max 12S AB =⨯=. ✧ 难度：★★
✧ 特点：椭圆已知，直线过定点（由椭圆定），求三角形面积的最大值
✧ 来源：
已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.
(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.
解：设椭圆方程为).(0b a 1b y a x 2222>>=+（I ）由已知得2222
c
b a 4
c 2a c
b +===⇒1
c 1b 2
a 222=== ∴所求椭圆方程为.1y 2
x 22
=+
（II ）解法一：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2kx y +=，),(),,(2211y x B y x A 由1y 2x 2
kx y 22
=++=消去y 得关于x 的方程：068kx x 2k 122=+++)(
由直线l 与椭圆相交A 、B 两点，∴△02k 12464k 022>+-⇒>)(，
解得23k 2>，又由韦达定理得2212212k 16x x 2k 18k
x x +=⋅+-
=+ 2
12212212x 4x x x k 1x x k 1AB -++=-+=∴)(2416k 2k 1k 122
2
-++=. 原点O 到直线l 的距离2
k 12
d +=2222ADB 2k
132k 222k 12416k d AB 21S +-=+-=⋅=∴∆ 所以，所求直线方程为：042y x 14=+-±.
解法2：令)(0m 32k m 2>-=，则3m 2k 22+=，222m
4m 224m m 22S 2≤+=+=
∴. 当且仅当m
4m =即2m =时，22S ma x =此时214k ±=.所以，所求直线方程为042y x 14=+-±.
解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零.
设直线l 的方程为2kx y +=，)(11y ,x A ，)(22y ,x B
则直线l 与x 轴的交点),(0k
2D - 由解法一知：23k 2>且2212212k 16x x 2k 18k
x x +=⋅+-
=+
解法1：2kx 2kx k 221y y OD 21S 2121AOB --+⋅=-⋅=
∆ 解法2：POA POB AOB S S S ∆∆∆-=
✧ 难度：★★
✧ 特点：椭圆差一个条件，直线过定点（由椭圆定），已知三角形面积的最大值确定椭圆 ✧ 来源：
已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为
2
2，21,F F 为其焦点，一直线过点1F 与椭圆相交于B A ,两点，且AB F 2∆的最大面积为2，求椭圆的方程. 解：由e ＝2
2得1:1:2::=c b a ，所以椭圆方程设为22222c y x =+设直线c my x AB -=:，由⎩⎨⎧=+-=22222c
y x c my x 得：02)2(222=--+c mcy y m 0)1(8)22(4)2(4422222222>+=+=++=∆m c m c m c c m 设),(),,(2211y x B y x A ，则21,y y 是方程的两个根 由韦达定理得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=+2222221221m c y y m mc y y 所以21224)(22212
2121++=-+=-m m c y y y y y y c c y y F F S ABF 222
121212∙=-=∆2122++m m ＝22222221221
1122c c m m c =∙≤+++ 当且仅当0=m 时，即x AB ⊥轴时取等号1,222==∴c c 所以，所求椭圆方程为12
22
=+y x ✧ 难度：★★
✧
特点：椭圆方程已知，直线过定点，已知面积确定直线
✧ 来源：
已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||F F =2点3(1,)2
在该椭圆上。
（I ）
求椭圆C 的方程； （II ） 过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AF B ∆，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
✧ 难度：★★★
✧ 特点：将三角形面积表示为某个变量的函数
✧ 来源：石室高2015届周练2014-4-10 如图，椭圆Q ：（a >b >0）的右焦点F （c ，0），过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点
（1） 求点P 的轨迹H 的方程
（2） 在Q 的方程中，令a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θ（0<θ≤），确定θ的值，使原点距椭圆的右准线l 最远，此时，设l 与x
动到什么位置时，三角形ABD
解：如图，（1）设椭圆Q ：（a >b >0上的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），又设P （x ，y ），则
1︒当AB 不垂直x 轴时，x 1≠x 2，
由（1）－（2）得b 2（x 1－x 2）2x ＋a 2（y 1－y 2）2y ＝0
∴b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0 (3)
2︒当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（3）故所求点P 的轨迹方程为：b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0
（2）因为，椭圆 Q 右准线l 方程是x ＝，原点距l 22
22x y 1a b
＋＝2
π22
22x y 1a b
＋＝2222221122222222b x a y a b 1b x a y a b 2⎧⎪⎨⎪⎩＋＝…………（）＋＝…………（）212212y y b x y x x a y x c ∴－＝－＝－－2
a c
的距离为，由于c 2＝a 2－b 2，a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θ（0<θ≤） 则
＝2sin （＋） 当θ＝时，上式达到最大值。
此时a 2＝2，b 2＝1，c ＝1，D （2，0），|DF|＝1 设椭圆Q ：上的点 A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），三角形ABD 的面积 S ＝|y 1|＋|y 2|＝|y 1－y 2|设直线m 的方程为x ＝ky ＋1，代入中，得（2＋k 2）y 2＋2ky －1＝0由韦达定理得y 1＋y 2＝，y 1y 2＝， 4S 2＝（y 1－y 2）2＝（y 1＋y 2）2
－4 y 1y 2＝ 令t ＝k 2＋1≥1，得4S 2＝，当t ＝1，k ＝0时取等号。
因此，当直线m 绕点F 转到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大。
2
a c
2π2a c ＋＋2θ4π2
π2
2x y 12
＋＝1212122
2x y 12
＋＝22k 2k －＋212k
－＋2228k 1k 2（＋）（＋）28t 8821t 14t 2t
≤＝＝（＋）＋＋。