M_G_1非空竭服务休假排队系统随机分解

t S L（ z）- L（ z） X （ z） = （ l - "） （ l - z）
［ Y］即一个服务期内到达的顾客平均数. 其中 " = E S t S t L、 L、 Y 的母函数分别为 L（ z） 、 L（ z） 、 Y （ z） . 引理 l 虽然证明了 M / G / l （ NE ）稳态队长的随 机分解在相当一般的条件下成立， 但式 （ l ）并没有 （ NE ）稳 态 队 长 的 随 机 分 解 的 明 确 结 给出 M / G / l 构 . 主要原因是 M / G / l （ NE ）的服务期受非空竭服 务规则和休假策略的影响， 使得 B 与 Y 的分布难以
i （ z） = L（ z）（ z）
1 - V＊ （ - z） E （ V） （ 1 - z）
（4）
（ 1 - z） （1 - ） B＊ （ - z） （ z） = （5） ＊ B （ - z）- z 即经典无休假 M / G / 1 稳态队长（ 是 Fuhrman 与 Cooper 的结果 . 当系统为独立单重休假 M / G / 1 （ NE ）时， 有
一般休 假 排 队 系 统 时 提 出 并 证 明 未 完 成 工 作 量
［ 6］ （ unfinished work）的随机分解 . 1990 年 Doshi 在
相当一般的条件下， 推广了未完成工作量的随机分 解 . 90 年代后， 一般休假排队的随机分解发展到非
［ 3］ 更 新 到 达 的 情 形. 作 者 受 F u h r m a n 与 C o o p e r
与
广 Fuhrman 和 Cooper 的结论， 给出一般休假排队的 随机分解成立的较为宽泛的条件 . 1987 年 Boxima
［ 5］ 和 Groenendijk 在研究休假对服务抢占的 M / G / 1
可谓诸多工作中的典范 . 然而， M/ G/1 非
M/ G/1 （ NE） ）的研 空竭服务休假排队系统 （ 简记： 究还不成熟， 研究方法单一， 主要是再生循环法 . 该 方法并不能从理论上揭示 M / G / 1 （ NE ）的随机分解 规律与结构， 而且运算过程繁杂， 随机分解的结构与 概率 含 义 不 很 明 确 . 作 者 试 图 从 理 论 上 寻 求 M/ G/1 （ NE）随机分解的规律和结构， 从而提供简
然， 这里定义的分支链与 l. l 中 M / G / l （ NE ）相对
2
M／ G／1 （ NE）稳 态 队 长 随 机 分 解 的结构分析
随机分解的一般结论 直接引用一般休假排队系统 （ 含零假期）随机
［ 4］
应， 是对 Fuhrman 与 Cooper 分支链的推广 . 并作如 下假设： L SI ） ， I = l， 2， 3， … 是遍历链， 且 A、 L分 !（ A I ， L SI 的极限 分 布， 其母函数分别为 A （ z）和 别为 A I 、 L （ z） . 假期不为零常量， 且可能含 " 独立休假策略， . 有部分闲期 （ 如单重休假策略）
S L（ z） = X （ z） （ z） ! a. s
1
1. 1
定义与常用记号
M／ G／1 （ NE）休假排队系统的一般定义 如文献 ［ 3 ］所述， M / G / l 休假模型中引入非空
（l）
式中
（ NE）排队 竭服务规则和休假策略便可得到 M / G / l 系统 . （l） 非 空 竭 服 务 规 则 （ NE ）有：闸 门 服 务 、 限量服务 （ Limited service） 、 减量 （ Gated service） 服务 （ Decreasing service） 、 贝努里进程 （ Bernouiii
i L（ z） =
=
/
< 1） . 这
1 - V＊ （ - z）+（ 1 - z） V＊ （ ） （6） ＊ ［ V （ ）+ E （ V） ］ （ 1 - z）
Abstract ：The stochastic decomposition on the M / G / 1 vacation gueue and its variants with nonexhaustive service are discussed. With independent vacation poIicy a certain structure of stochastic decomposition of steady gueue Iength is acguired. Based on the generaI structure ， the stochastic decomposition with severaI cIass of gueues of M / G / 1 type variants with certain vocation poIicy is easiIy obtained. Key words：vacation gueue；stochastic decomposition ；generaI ancestor Iine；steady gueue Iength M / G / 1 型一般休假排队系统是休假排队系统 中最活跃、 研究成果最丰富的一支， 其中， M/ G/1 空 竭服务休假排队 （ 简记： M/ G/1 （ ES） ）已经发展到 较为成熟的阶段， 队长和等待时间的随机分解基本 上实现统一处理， 而且随机分解的结构及概率含义 非常明 确，理 论 与 方 法 高 度 融 合 . 田 乃 硕 Leung
［ 7］ scheduiing） 、 搜寻服务 （ searching phase service） ［ 8］ 和轮循服务 （ circie service） 等， 作者主要讨论前
（ l - "） （ l - z） Y （ z） （ z） = ! Y （ z）- z （ z） = B ＊ （ # - # z） Y
S 求出 . 从而 Y （ z）的概率含义不明确 . 其次 L（ z）与 t L（ z）的求解无定式可循 . 因此难以从一般条件下
4 种. （ 2 ）休假策略： 定义 1 独立休假策略 （ IV） ： 休假长度和级数 与休假前系统中顾客数 （ 有、 无）独立的休假策略， （ ES）中的任一种， 关于 具体休假方式可为 M / G / l M/ G/l （ ES）各种休假方式可参见文献 ［2］ . 定义 2 非独立休假策略 （ DV） ： 休假长度和级 数与休假开始系统中的顾客数 （ 有、 无）相关 . 具体 休假方式同上 . 依此定义， M/ G/l （ ES）的各种休假 策略均可视为独立休假策略 . 其实， 上述模型只是对文献 ［ 3 ］的一般休假排 队系统的 ‘ 非空竭化’ . 1. 2 常用符号说明 设： B I 表示第 I 个服务期的长度； V 表示第 I 个
＊ 体 （ I0 的第 k 代） . 定义 I0 的广义分支链， 记为 I0 . 显
务期间到达并留在系统中的顾客数； A I 表示 I 个假 期中到达并留在系统中的顾客数； L SI 表示 I 个假期 系统中的顾客数； L tI 表 开始 （ I - l 个服务期结束时） 示 I 个假期结束 （ I + l 个服务期开始）系统中的顾 客数 .
收稿日期： 2003 - 10 - 28 基金项目：江苏省教育厅自然科学基金资助项目 （ 00KJT110003 ） 作者简介：程应松 （ 1970 - ） ， 男， 安徽省安庆市人， 讲师， 主要从事排队论与随机运筹方面的研究 .

江苏大学学报 （ 自 然 科 学 版）
第 25 卷
［ 4］ 及 ShaIthikumar 的工作的启发， 将一般休假排队
Analysis of decomposition structure of ! " # / 1 type vacation gueue with nonexhaustive service
CHENG Ying-song，ZHU Yi-jun
（ FacuIty of Science，Jiangsu University，Zhenjiang，Jiangsu 212013 ，China ）
t 假期长度； Y I = L SI +l - L（ I 假定非负）表示第 I 个服
去寻求 M / G / l （ NE ）的随机分解的确定结构 . 作者 沿用并推广 Fuhrman 与 Cooper 分支链方法， 并且在 独立休假策略下寻求确定的随机分解结构 . 2. 2 随机分解的结构分析 引入广义分支链的定义， 把 Fuhrmann 和 Cooper 一般休假排队系统的稳态队长的随机分解结构推广 到 l. l 中描述的 M / G / l （ NE ） 休假排队模型， 即经典 M / G / l 排队模型及其变体情形 . 定义 3 广义分支链： 独立休假策略下， I0 表示 某一休假期间到达 （ 可以某规则退出）并留在系统 Il 表示 I0 的服务期内到达 （ 可以批量 中的顾客总体， 到达， 或以某规则退出或反馈）并留在系统中的顾 客总体， 一般 I I 表示 I I -l 的服务期内到达的顾客总
引理 1
假设：
i i i
的随机分解结论推广到非空竭服务情形， 得到确定 （ NE）排队 的随机分解结构， 为进一步研究 M / G / l 模型提供理论指导与简洁的方法 .
（ YI ， L tI ）一－ （ Y， Lt ） ， L SI 一－ L S ， B I 一－ B （l） 其中 i 表示依分布收敛 . （ 2 ）Y 为非负随机变量， 并且 Y 与 L t 相互独立. （ 3 ）L S ＜ L t 即稳态下服务期开始系统中的顾客 数几乎必然大于服务期结束时的顾客数， 则
（ 江苏大学理学院，江苏 镇江 212013 ）
摘要：讨论了一般非空竭服务 M / G / 1 型休假排队系统及其变体的稳态队长随机分解 . 运用广义 分支链， 在独立休假策略下得到稳态队长随机分解的一般结构， 而且各部分随机分解结构概率含义 明确 . 利用随机分解一般结构式从独立休假策略与经典 M / G / 1 变体两方面来推广 Fuhrman 与 Cooper 的随机分解的结论， 得到系列非空竭服务 M / G / 1 型休假排队系统变体稳态队长的随机分 解 . 实现了一般非空竭服务 M / G / 1 型休假排队系统稳态队长的随机分解的统一处理 . 关键词：休假排队；随机分解；广义分支链；稳态队长 中图分类号：0226 文献标识码：A 文章编号： 1671 - 7775 （ 2004 ） 03 - 0239 - 04